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專題二 代數(shù)式 第三章 整式的加減 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1．列代數(shù)式 ★ 2．求代數(shù)式的值 ★★ 3．同類項(xiàng)及合并同類項(xiàng) ★★★ 3～9分 4．整式的加減 ★★ 5．化簡(jiǎn)、求值 ★★★ 知能圖譜 代數(shù)式的概念 列代數(shù)式 代數(shù)式 求代數(shù)式的值 求代數(shù)式值的方法 步驟：先代入，再計(jì)算 代數(shù)式的意義 代數(shù)式的讀法 描述代數(shù)式的語言 單項(xiàng)式 整式的加減 定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和 多項(xiàng)式 項(xiàng)：多項(xiàng)式中的每個(gè)單頂式 次數(shù)：多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù) 多項(xiàng)式各項(xiàng)的排列 整式運(yùn)算法則 合并同類項(xiàng) 去括號(hào)法則 括號(hào)前面是“＋”號(hào) 括號(hào)前面是“－”號(hào) 整式的加減 第5講 代數(shù)式的基礎(chǔ)知識(shí) 知識(shí)能力解讀 知能解讀 (一)用字母表示數(shù)，列式表示數(shù)量關(guān)系 用字母表示數(shù)，可以簡(jiǎn)明地表達(dá)一些一般的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，即把問題中與數(shù)量有關(guān)的語句，用含數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來， (二)代數(shù)式的概念 用運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，叫作代數(shù)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式． 注意：代數(shù)式中不含“＝”“＞”“＜”“≠”等符號(hào)． (三)列代數(shù)式 (1)把問題中與數(shù)量有關(guān)的語句，用含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來，這就是列代數(shù)式． (2)書寫代數(shù)式的注意事項(xiàng)： ①代數(shù)式中在表示數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘時(shí)，乘號(hào)通常省略不寫或簡(jiǎn)寫為“”，且數(shù)字在前，字母在后，如2乘寫作或，乘寫作或．若數(shù)字是帶分?jǐn)?shù)，要化成假分?jǐn)?shù)，如乘，應(yīng)寫作或． ②除法運(yùn)算寫成分式的形式，如寫作，寫作． ③在同一個(gè)問題中，不同的數(shù)量必須用不同的字母來表示． ④在一些實(shí)際問題中，有時(shí)表示數(shù)量的代數(shù)式有單位，若代數(shù)式是積或商的形式，則單位直接寫在代數(shù)式的后面，如；若代數(shù)式是和或差的形式，則必須先把代數(shù)式用括號(hào)括起來，再將單位寫在代數(shù)式后面，如等． (3)列代數(shù)式的步驟： ①讀懂題意，弄清其中的數(shù)量關(guān)系，抓住題目中表示運(yùn)算關(guān)系的關(guān)鍵詞，如和、差、積、商、比、倍、分、大、小、增加了、增加到、減少、幾分之幾等． ②分清運(yùn)算順序，注意關(guān)鍵性的斷句及括號(hào)的恰當(dāng)使用． (四)解釋簡(jiǎn)單代數(shù)式表示的實(shí)際背景或幾何意義 實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系可以用代數(shù)式表示，另一方面，同一個(gè)代數(shù)式可以揭示多種不同的實(shí)際意義．注意在說代數(shù)式表示的實(shí)際意義時(shí)，數(shù)與字母的含義必須與實(shí)際相符． (五)求代數(shù)式的值 (1)概念：一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中指定的運(yùn)算順序計(jì)算得出結(jié)果，叫作求代數(shù)式的值． (2)步驟：按照定義求代數(shù)式的值有“代入”和“計(jì)算”兩個(gè)步驟： 第一步：“代入”，指用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母； 第二步：“計(jì)算”，指按代數(shù)式指明的運(yùn)算，計(jì)算得出結(jié)果． (3)方法：常見的基本方法有直接代入和整體代入以及化簡(jiǎn)后代入． 注意：(1)代數(shù)式與代數(shù)式的值是兩個(gè)不同的概念，代數(shù)式表述的是問題的一般規(guī)律，而代數(shù)式的值是這個(gè)規(guī)律下的特殊情形；(2)代數(shù)式中字母的取值，必須使要求值的代數(shù)式有意義；(3)用代數(shù)式表示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，字母的取值要保證具有實(shí)際意義；(4)代數(shù)式中的字母每取一個(gè)確定的數(shù)時(shí)，能相應(yīng)地求出代數(shù)式的一個(gè)確定值． (六)列代數(shù)式與求代數(shù)式的值的區(qū)別 列代數(shù)式是把數(shù)量關(guān)系用含有數(shù)、表示數(shù)的字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來，是由特殊到一般的思維方式；求代數(shù)式的值，是用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出結(jié)果，是由一般到特殊的思維方式． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)列代數(shù)式的方法技巧 列代數(shù)式的關(guān)鍵是正確理解數(shù)量關(guān)系，弄清運(yùn)算順序和括號(hào)的作用．掌握文字語言“和、差、積、商、倍、分、大、小、多、少”等在數(shù)學(xué)語言中的含義，此外，還要掌握下述數(shù)量關(guān)系： 行程問題：路程＝速度時(shí)間； 工作問題：工作量＝工作效率工作時(shí)間； 數(shù)字問題：三位數(shù)＝百位數(shù)字100＋十位數(shù)字10＋個(gè)位數(shù)字； 利潤(rùn)問題：利潤(rùn)率＝100％． (二)求代數(shù)式值的方法 (三)用代數(shù)式表示數(shù)的規(guī)律 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1．列代數(shù)式時(shí)，對(duì)一些語句理解不透容易出錯(cuò)．如“，兩數(shù)的平方和”與“，兩數(shù)和的平方”容易混淆． 2．忽略題目中的單位和括號(hào)． 題目中有單位時(shí)，用字母表示的式子應(yīng)帶單位．如果列出的式子是單項(xiàng)式，單位可直接寫在式子的后面；如果列出的式子是多項(xiàng)式，應(yīng)先用括號(hào)把式子括起來，再在式子后面寫上單位． 易混易錯(cuò) (一)代數(shù)式的書寫格式不規(guī)范 (二)列有關(guān)實(shí)際問題的代數(shù)式時(shí)，不能正確理解題意導(dǎo)致列錯(cuò)式 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的考點(diǎn)主要是列代數(shù)式，它是中考的基礎(chǔ)內(nèi)容，單獨(dú)命題考查基本知識(shí)的運(yùn)用，題型以填空題、選擇題為主，求代數(shù)式的值以及利用代數(shù)式表示規(guī)律是近幾年中考的熱點(diǎn)． 中考試題 (一)列代數(shù)式表示生活中的數(shù)量關(guān)系 (二)觀察、歸納、推理型問題 (三)求代數(shù)式的值 (四)探究圖形中的變化規(guī)律 第6講 整式的加減 知識(shí)能力解讀 知能解讀 (一)單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式的定義及它們的聯(lián)系與區(qū)別 (1)單項(xiàng)式：像，，，，這些式子都是數(shù)或字母的積，這樣的式子叫作單項(xiàng)式．特別地，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或—個(gè)字母也是單項(xiàng)式． (2)多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫作多項(xiàng)式．如，等． (3)整式：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式． 它們的關(guān)系可以用圖表示． 注意：分母中含有字母的代數(shù)式不是單項(xiàng)式，如，都不是單項(xiàng)式；而是單項(xiàng)式，因?yàn)槭潜硎緢A周率的常數(shù)． (二)單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù) 單項(xiàng)式的系數(shù)是指單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)，單項(xiàng)式的次數(shù)是指單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和． 注意：(1)單項(xiàng)式的系數(shù)包括符號(hào)． (2)當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1或時(shí)，“1”通常省略不寫，如，；單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，通常寫成假分?jǐn)?shù)，如寫成． (3)單項(xiàng)式的次數(shù)是指所有字母的指數(shù)的和，不包括系數(shù)的指數(shù)，如的次數(shù)是3，而不是6．單獨(dú)一個(gè)非零的數(shù)是零次單項(xiàng)式． (4)單項(xiàng)式的系數(shù)有數(shù)字系數(shù)和字母系數(shù)之分，這是因?yàn)橄禂?shù)都是相對(duì)于某些字母而言的．例如，對(duì)于所有字母，，來講，系數(shù)是6；而只對(duì)于字母來講，系數(shù)是． (三)多項(xiàng)式的項(xiàng)、次數(shù) 在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫作多項(xiàng)式的項(xiàng)．其中，不含字母的項(xiàng)叫作常數(shù)項(xiàng)．多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫作這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．一個(gè)多項(xiàng)式中有幾個(gè)單項(xiàng)式，它就是幾項(xiàng)式．如多項(xiàng)式有四項(xiàng)，為，，，，其中是常數(shù)項(xiàng)，這一項(xiàng)次數(shù)最高，所以這個(gè)多項(xiàng)式是四次四項(xiàng)式． 注意：(1)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)． (2)多項(xiàng)式的各項(xiàng)名稱分別為：叫作四次項(xiàng)，叫作三次項(xiàng)，叫作一次項(xiàng)，叫作常數(shù)項(xiàng)． (四)升冪排列與降冪排列 為便于多項(xiàng)式的運(yùn)算，可以用加法的交換律將多項(xiàng)式中各項(xiàng)按某個(gè)字母的指數(shù)的大小順序重新排列． 若按某個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列，叫作這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母降冪排列． 若按某個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列，叫作這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母升冪排列． 如多項(xiàng)式，按字母升冪排列為． 注意：(1)將各項(xiàng)重新排列后還是多項(xiàng)式的形式，各項(xiàng)的位置發(fā)生變化，其他都不變． (2)各項(xiàng)移動(dòng)時(shí)要連同它前面的符號(hào)一起移動(dòng)． (3)某項(xiàng)前的符號(hào)是“＋”，它在第一項(xiàng)位置時(shí)，“＋”可省略，在其他位置時(shí)不能省略． (五)同類項(xiàng)的概念 所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫作同類項(xiàng)．幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)．例如：與是同類項(xiàng)；與是同類項(xiàng)． 注意：判斷同類項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)是“兩相同”，即所合字母相同，相同字母的指數(shù)也相同，二者缺一不可；而同類項(xiàng)與系數(shù)無關(guān)，與字母的排列順序也無關(guān)． (六)合并同類項(xiàng) (1)定義：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫作合并同類項(xiàng)． (2)合并同類項(xiàng)的法則：合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變，口訣為“同類項(xiàng)，需判斷；兩相同，是條件；合并時(shí)，需計(jì)算；系數(shù)加，兩不變”． 根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則；在合并同類項(xiàng)時(shí)可以按以下步驟完成： 第一步：準(zhǔn)確找出同類項(xiàng)； 第二步：利用法則，把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變； 第三步：寫出合并后的結(jié)果． 注意：如果兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)后，結(jié)果為0；合并同類項(xiàng)時(shí)，只能把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，不是同類項(xiàng)的不能合并；不能合并的項(xiàng)，在每步運(yùn)算時(shí)不能漏掉． (七)去括號(hào) 去括號(hào)法則：如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反． 如：，． 注意：(1)去括號(hào)時(shí)，要連同括號(hào)前面的符號(hào)一起去掉． (2)去括號(hào)時(shí)，首先要弄清楚括號(hào)前是“＋”還是“－”． (3)易犯的錯(cuò)誤是：括號(hào)前面是“－”，去括號(hào)時(shí)，只改變括號(hào)里第一項(xiàng)的符號(hào)，而其余各項(xiàng)的符號(hào)均忘記改變． (八)整式的加減 一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)． 去括號(hào)要依據(jù)去括號(hào)法則進(jìn)行，若括號(hào)不止一種，通常要按照去小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)(或大括號(hào)、中括號(hào)、小括號(hào))的順序來運(yùn)算，直到結(jié)果中沒有括號(hào)為止． 求整式的和或差時(shí)，應(yīng)先用括號(hào)將每一個(gè)整式括起來，再用加減運(yùn)算符號(hào)連接，具體運(yùn)算時(shí)，先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)． 根據(jù)題目的表現(xiàn)形式不同，我們可把整式的加減分為兩大類： (1)直接的整式加減問題，即算式直接給出，直接運(yùn)用上述方法求解即可． (2)間接的整式加減問題，與類型(1)不同，其求解步驟是：①根據(jù)題意列出代數(shù)式；②用加減號(hào)連接成整式的加減的算式；③去括號(hào)，合并同類項(xiàng)． 注意：整式加減的最后結(jié)果要求：①不能含有同類項(xiàng)，即要合并到不能再合并為止；②一般按照某一字母降冪或升冪排列；③不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)． (九)化簡(jiǎn)求值問題 對(duì)于代數(shù)式求值問題，我們一般不直接把字母的取值代入代數(shù)式中計(jì)算，而是先化簡(jiǎn)(卻去括號(hào)、合并同類項(xiàng))，再代入求值，使計(jì)算簡(jiǎn)捷明了． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)對(duì)單項(xiàng)式概念的理解及應(yīng)用 (二)對(duì)多項(xiàng)式概念的理解與應(yīng)用 (三)多項(xiàng)式的重新排列 (四)同類項(xiàng)的識(shí)別方法 同類項(xiàng)有兩個(gè)條件：一是所含字母相同，二是相同字母的指數(shù)也相同，二者缺一不可；而與系數(shù)和字母的排列順序無關(guān)． (五)合并同類項(xiàng)的方法 合并同類項(xiàng)時(shí)，一般按以下步驟進(jìn)行：①標(biāo)：用不同的符號(hào)標(biāo)出同類項(xiàng)；②移：利用加法交換律把同類項(xiàng)移到一起；③合：合并同類項(xiàng)． (六)去括號(hào)法則的運(yùn)用 (七)整式的加減運(yùn)算 整式的加減是求幾個(gè)整式的和、差的運(yùn)算，其實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，運(yùn)算結(jié)果仍是整式．一般步驟為：(1)如果有括號(hào)，先去括號(hào)；(2)合并同類項(xiàng)． (八)代數(shù)式求值 代數(shù)式求值一般是先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再代入求值．有時(shí)我們還需根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇特殊的方法求代數(shù)式的值，如整體代入法等． 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1．確定單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)． 如的系數(shù)是，而不是2或；次數(shù)是5，即，防止漏掉的指數(shù)1． 2．同類項(xiàng)概念理解有誤，導(dǎo)致在合并同類項(xiàng)過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤． 如這個(gè)計(jì)算過程是錯(cuò)誤的．合并同類項(xiàng)的前提是要合并的項(xiàng)是同類項(xiàng)，與不是同類項(xiàng)，故不能能合并． 3．去括號(hào)時(shí)，易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，漏乘某些項(xiàng)． 去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是“－”，往往只改變了第一項(xiàng)的符號(hào)，而其余各項(xiàng)的符號(hào)忘了改變．當(dāng)括號(hào)前有數(shù)字因數(shù)時(shí)，易發(fā)生只將此數(shù)字因數(shù)與括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)相乘，而漏乘其他項(xiàng)的錯(cuò)誤． 4．多項(xiàng)式的次數(shù)與單項(xiàng)式的次數(shù)混淆． 如的次數(shù)是2，而不是3．因?yàn)槎囗?xiàng)式的次數(shù)是組成多項(xiàng)式的單項(xiàng)式中的最高次項(xiàng)的次數(shù)．注意與單項(xiàng)式次數(shù)定義的區(qū)別． 易混易錯(cuò) (一)括號(hào)前是“－”時(shí)，去括號(hào)時(shí)容易弄錯(cuò)符號(hào)或漏乘某些項(xiàng) (二)整式相加減時(shí)忽略括號(hào)的作用 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的考點(diǎn)主要是單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)，單項(xiàng)式的有關(guān)規(guī)律探究，同類項(xiàng)的概念與合并同類項(xiàng)，整式的加減運(yùn)算，題型以填空題、選擇題為主，還常與其他知識(shí)綜合命題． (一)單項(xiàng)式的規(guī)律探究 (二)單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)、次數(shù) (三)對(duì)同類項(xiàng)概念的理解 (四)合并同類項(xiàng) (五)整式的化簡(jiǎn)求值