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第十五章 三角形與多邊形 考情分析 高頻考點 考查頻率 所占分值 1.三角形的三邊關(guān)系 ★★ 3～5分 2.三角形的內(nèi)角和 ★★★ 3.三角形外角的性質(zhì)及推論 ★ 4.三角形中的角平分線、中線、高線的性質(zhì) ★ 5.多邊形的內(nèi)角和公式 ★★ 6.多邊形的外角和 ★ 7.多邊形的對角線條數(shù) ★ 知能圖譜 第34講 三角形的有關(guān)概念 知識能力解讀 知能截圖（一）三角形及其相關(guān)概念 （1）定義：由不在同一條直線上的三條線段收尾順次相接所組成的圖形叫作三角形. （2）相關(guān)概念：如圖所示，線段是三角形的邊.點是三角形的頂點，是相鄰兩邊組成的角，叫作三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角. （3）表示方法：頂點是的三角形，記作，讀作“三角形.” （4）三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫作三角形的外角. 知能解讀（二）三角形的分類 （1）按角分： 三角形 （2）按邊分： 注意 不能把等邊三角形算作是單獨的一類，等腰三角形包括等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形，即底邊和腰相等的等腰三角形. 知能解讀（三）三角形中的重要線段 1三角形的角平分線 三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，頂點和交點之間的線段叫作三角形的角平分線. 2三角形的中線 在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫作三角形的中線. 三角形的三條中線相交于一點，三角形三條中線的交點，叫作三角形的重心. 3三角形的高 從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線畫垂線，頂點和垂足間的線段叫作三角形的高. 注意 （1）三角形中，角平分線、中線以及高都有三條，且分別都交于一點. （2）這三種線都是線段. （3）一個三角形中，①三條角平分線都在三角形內(nèi)；②三條中線也都在三角形內(nèi)；③三條高的位置：a.銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)；b.直角三角形有兩條高為直角邊，斜邊上的高在三角形內(nèi)；c.鈍角三角形有一條高在三角形內(nèi)，另兩條高在三角形外. 知能解讀（四）三角形的三邊關(guān)系 （1）三角形的和大于等三邊，（2）三角形兩邊的差小于第三邊. 注意 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，只要比較兩條線段的長度和大于最長線段的長度即可構(gòu)成三角形. 知能解讀（五）三角形的穩(wěn)定性 如果三角形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了，三角形的這個特征叫作三角形的穩(wěn)定性.除了三角形外，其他多邊形不具備穩(wěn)定性，因此在生產(chǎn)建設(shè)中，為達到穩(wěn)固的目的，把一些部件都做成三角形結(jié)構(gòu). 知能解讀（六）三角形中有關(guān)角的結(jié)論 （1）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于. （2）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和. （3）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角. （4）直角三角形的兩個銳角互余；有兩個角互余的三角形是直角三角形. 方法技巧歸納 方法技巧（一）利用三角形中角的關(guān)系求值與證明 三角形中求角的讀數(shù)，涉及的知識點有三個：（1）三角形的內(nèi)角和；（2）三角形的外角性質(zhì)；（3）三角形的內(nèi)角與相鄰?fù)饨腔パa. 點撥 充分利用角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外交的關(guān)系建立與的練習(xí)是解決問題的關(guān)鍵. 方法技巧（二）利用三角形三邊關(guān)系判斷是否能構(gòu)成三角形 按照三角形三邊關(guān)系去判斷時必須滿足任意兩邊之和大于第三邊，而在實際使用時，只要其中較小的兩條線段長度的和能夠大于第三條線段的長度，就能構(gòu)成三角形. 點撥 三條線段能否組成三角形，可用如下方法來進行判定：設(shè)三條線段的長為，并滿足，若，則線段可以組成三角形. 方法技巧（三）利用三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍 根據(jù)三角形兩邊和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊，可得第三邊應(yīng)小于兩邊的和，并且大于兩邊的差. 點撥 已知三角形的兩邊長，可根據(jù)三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍；另兩邊之差的絕對值＜第三邊＜另兩邊之和. 方法技巧（四）利用三角形中線的概念證明面積相等 三角形的一條中線把原三角形分成兩個三角形，根據(jù)垂線的性質(zhì)可得到這兩個三角形等底同高，因此其面積相等，利用這一特點可以證明有關(guān)的面積關(guān)系問題. 點撥 三角形的中線把它分成兩個面積相等的三角形. 方法技巧（五）利用三角形的穩(wěn)定性解決實際問題 把實際問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，用三角形的穩(wěn)定性未解釋. 方法技巧（六）三角形內(nèi)角和的應(yīng)用技巧 點撥 當要求的角度列式計算很復(fù)雜時，可以通過列方程求解，體現(xiàn)方程思想. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.角平分線和三角形的角平分線. 區(qū)別：角平分線是一條射線，而三角形的角平分線是一條線段. 2.三角形的角平分線、中線和高. 區(qū)別：三角形的角平分線是一個角的平分線和對邊相交所構(gòu)成的線段，而高是過一個頂點向?qū)吽谥本€作的垂線段. 易混易錯（一）忽視三角形“三邊關(guān)系”致錯 易混易錯（二）不能準確畫出鈍角三角形的三條高 中考試題研究 中考命題規(guī)律 三角形是歷年中考的必考內(nèi)容，考查熱點是運用三角形的三邊關(guān)系，內(nèi)角和以及內(nèi)外交之間的關(guān)系進行有關(guān)推力與計算，多以填空題、選擇題的形式出現(xiàn). 中考試題（一）三角形內(nèi)角和的應(yīng)用 中考試題（二）三角形中角的運算求解 中考試題（三）三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用 第35講 多邊形的內(nèi)角和與外角和 知識能力解讀 知能解讀（一）多邊形的有關(guān)概念 1多邊形的定義 在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫作多邊形. 注意 多邊形根據(jù)邊數(shù)的不同可分為三角形、四邊形、五邊形、…，我們所學(xué)的多邊形都是凸多邊形（整個圖形都在任一邊所在直線同旁的多邊形），即組成多邊形的每一個內(nèi)角都大于，且小于. 2正多邊形 各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫作正多邊形，比如：等邊三角形、正方形等. 3相關(guān)概念 （1）內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫作它的內(nèi)角. （2）外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫作多邊形的外角. （3）對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫作多邊形的對角線. 注意 （1）一個邊形從一個頂點出發(fā)有條對角線，所有對角線的條數(shù)是. （2）把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形求解的常用方法是連接對角線. 知能解讀（二）多邊形的內(nèi)角和公式：邊形的內(nèi)角和等于 知能解讀（三）多邊形的外角和等于 注意 （1）多邊形的外角和不隨邊數(shù)的變化而變化，但內(nèi)角和隨邊數(shù)的變化而變化，且邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和就增加；（2）多邊形的每一個內(nèi)角都大于，小于；（3）多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān). 知能解讀（四）平面圖形的鑲嵌 用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫作用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）. 注意 （1）不論用同種正多邊形還是用多種正多邊形鑲嵌平面，都必須滿足圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角. （2）用兩種正多邊形鑲嵌，①正三角形和正方形；即一個頂點處需三個正三角形，兩個正方形；②正三角形和正六邊形；可以鑲嵌成兩種圖形，一是一個頂點處有四個正三角形和一個正六邊形，二是一個頂點處有兩個正三角形和兩個正六邊形；③正三角形和正十二邊形：即一個頂點處需一個正三角形和兩個正十二邊形；④正方形和正八邊形：即一個頂點處需一個正方形和兩個正八邊形. 方法技巧歸納 方法技巧（一）利用多邊形的內(nèi)角和與外角和進行計算的方法 邊形的內(nèi)角和為，利用該公式，可以求一個多邊形的內(nèi)角和或邊數(shù). 方法技巧（二）利用多邊形的外角和進行計算的方法 任意多邊形的外角和都是，據(jù)此我們可以進行相關(guān)計算. 點撥 判斷凸多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)一般從外角中鈍角的個數(shù)入手. 方法技巧（三）利用多邊形的對內(nèi)角線條數(shù)公式求對角線條數(shù)或求多邊形邊數(shù) 對邊有條對角線，利用這規(guī)律可以在已知多邊形數(shù)時求對角線條數(shù)，也可以已知對角線條數(shù)求多邊形的邊數(shù). 方法技巧（四）利用鑲嵌的條件判斷哪些圖形能進行鑲嵌 不論用一種多邊形還是多種正多邊形鑲嵌地面，都必須滿足周圍一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角和是 易混易錯辨析 易混易錯知識 多邊形對角線條數(shù)與公式容易混淆. 因為從邊形的每一個頂點都能引出條對角線，共有個頂點，但每條對角線都計算了兩次，因此邊形的對角線共有條.而我們學(xué)過的平面內(nèi)條直線相交，最多有個交點；過不在同一直線上的個點，最多有條直線. 易混易錯（一）因?qū)﹁偳兜母拍罾斫獠煌付洛e 易混易錯（二）因把與混淆而致錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講在中考中主要考查多邊形的內(nèi)角和與外角和及利用鑲嵌的知識解決一些實際問題，另外還考查學(xué)生的動手實踐能力，題型以填空題、選擇題為主. 中考試題（一）用多邊形內(nèi)角和外角和公式進行運算 中考試題（二）計算多邊形對角線條數(shù)