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第六章 二次根式 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1．二次根式有意義的條件 ★★ 2．二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn) ★ 3．最簡(jiǎn)二次根式 ★ 4．二次根式的乘除法 ★★ 3～7分 5．二次根式的加減法 ★ 6．二次根式的混合運(yùn)算 ★★★ 7．二次根式的化簡(jiǎn)求值 ★★ 知能圖譜 二次根式的有關(guān)概念 二次根式 二次根式的性質(zhì) 二次根式的乘除 二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算 二次根式的乘法 二次根式的除法 二次根式的加減 二次根式的混合運(yùn)算 第13講 二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì) 知識(shí)能力解讀 知能解讀 (一)二次根式 一般地，形如的式子叫作二次根式，“”稱為二次根號(hào)．其中叫作被開方數(shù)，為整式或分式，如，，等． 注意：對(duì)定義的理解要注意三點(diǎn)：(1)從形式上看必須含有二次根號(hào)“”；(2)在二次根式中，被開方數(shù)必須滿足，且可以是一個(gè)數(shù)，也可以是含字母的代數(shù)式；(3)二次根式表示非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根． (二)最簡(jiǎn)二次根式 滿足下列兩個(gè)條件的二次根式是最簡(jiǎn)二次根式：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式． 化去根號(hào)內(nèi)的分母將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式的步驟：如果根號(hào)內(nèi)的分母是一個(gè)平方數(shù)(式)，可直接利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，分子、分母分別開方；如果分母不能開得盡方，則被開方數(shù)中的分子、分母同乘—個(gè)適當(dāng)?shù)牟粸榱愕臄?shù)(式)，使分母成為一個(gè)平方數(shù)(式)，其根據(jù)是分式的基本性質(zhì)． (三)同類二次根式(拓展) 幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式． 注意：(1)同類二次根式類似于整式中的同類項(xiàng)，如和是同類二次根式，和也是同類二次根式． (2)定義中強(qiáng)調(diào)在化成最簡(jiǎn)二次根式后，要滿足“兩相同”，即根指數(shù)是2，被開方數(shù)相同，這一定義的應(yīng)用很廣． (3)幾個(gè)同類二次根式在沒有化簡(jiǎn)之前，被開方數(shù)完全可以互不相同，如，，等都是同類二次根式，判斷的關(guān)鍵是能熟練地化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式． (四)二次根式的性質(zhì) (1)； (2)； (3)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：； (4)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：． 注意：對(duì)性質(zhì)的理解和應(yīng)用注意以下幾點(diǎn)： 1．性質(zhì)的應(yīng)用：可把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成平方的形式，即可逆用．如，故因式分解可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行，如．也可以用平方運(yùn)算去掉根號(hào)． 2．這一性質(zhì)的主要應(yīng)用：(1)正向應(yīng)用于二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算；(2)逆向應(yīng)用時(shí)可將根號(hào)外的非負(fù)因式移到根號(hào)內(nèi)，如． 3．積、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)是化簡(jiǎn)二次根式的重要依據(jù)． (1)．該表達(dá)式有兩個(gè)特點(diǎn)：①這個(gè)性質(zhì)是針對(duì)算術(shù)平方根而言的；②等式左邊是兩個(gè)非負(fù)數(shù)，的積的算術(shù)平方根，右邊是這兩個(gè)非負(fù)數(shù)，的算術(shù)平方根的積． (2)對(duì)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的理解：①這個(gè)性質(zhì)是針對(duì)算術(shù)平方根而言的；②等式左邊是兩個(gè)非負(fù)數(shù)(除數(shù)不為0)的商的算術(shù)平方根，右邊是被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根；③在實(shí)際解題時(shí)，若不考慮，的正、負(fù)，得是錯(cuò)誤的，如：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)二次根式概念問題的解題方法 1．二次根式的識(shí)別方法 2．二次根式有意義的條件是 (二)利用二次根式的性質(zhì)解決問題的方法 1．性質(zhì)與的應(yīng)用 ，正用該性質(zhì)，可以計(jì)算形如的式子，如，；逆用該性質(zhì)，可以把一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成它的算術(shù)平方根的平方，如，用它可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)多項(xiàng)式分解因式． 在化簡(jiǎn)時(shí)，一定要明確被開方數(shù)的底數(shù)是非負(fù)數(shù)還是負(fù)數(shù)：若是非負(fù)數(shù)，則等于它本身，即；若是負(fù)數(shù)，則等于的相反數(shù)，即． 2．性質(zhì)和的應(yīng)用 (三)最簡(jiǎn)二次根式的識(shí)別方法 判斷斷一個(gè)二次根式是否為最簡(jiǎn)二次根式的標(biāo)準(zhǔn)有兩條：一是被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；二是被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式． (四)用同類二次根式的概念解題(拓展) (五)二次根式中的化簡(jiǎn)技巧 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1．與的異同． 式子 異同點(diǎn) 不同點(diǎn) 意義 表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方 表示一個(gè)實(shí)數(shù)的平方的算術(shù)平方根 取值 是非負(fù)數(shù) 是任意實(shí)數(shù) 結(jié)果 相同點(diǎn) 與本身都是非負(fù)數(shù)，且當(dāng)時(shí)， 2．忽略積、商的算術(shù)平方根公式中被開方數(shù)應(yīng)滿足的條件．中易忽略，，的條件；中易忽略，的條件． 易混易錯(cuò) (一)二次根式的概念理解不透 (二)不能正確運(yùn)用積、商的算術(shù)平方根公式中的條件 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的主要考點(diǎn)是二次根式的概念、最簡(jiǎn)二次根式的概念及用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算、化簡(jiǎn)，題型以填空題、選擇題為主，近幾年中考出現(xiàn)了估算、規(guī)律探究等新題型． 中考試題 (一)二次根式有意義的條件 (二)二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn) (三)最簡(jiǎn)二次根式 第14講 二次根式的運(yùn)算 知識(shí)能力解讀 知能解讀 (一)二次根式的乘法法則： 說明：(1)此法則是積的算術(shù)平方根性質(zhì)的逆用． (2)此法則可推廣到多個(gè)二次根式相乘，即． (二)二次根式的除法法則： 此法則是逆用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)得到的．如果，是負(fù)數(shù)，那么，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有意義．如果，那么，無意義． (三)二次根式的加減 二次根式進(jìn)行加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并． 注意：(1)與整式的加減類似，二次根式的加減，就是化簡(jiǎn)后合并被開方數(shù)相同的二次根式．合并時(shí)只將二次根式中的“系數(shù)”相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．如． (2)二次根式中的系數(shù)不能寫成帶分?jǐn)?shù)．如，而不能寫成． (3)二次根式的加法也滿足加法交換律和結(jié)合律． (四)二次根式的混合運(yùn)算 二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的．運(yùn)算結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)二次根式或整式． 有理數(shù)(式)中的運(yùn)算律及多項(xiàng)式乘法、乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用． 如：(1)型，可用分配律化簡(jiǎn)，即原式． (2)，即用平方差公式． (3)，即用完全平方公式． (4)型． (五)分母有理化(拓展點(diǎn)) 有理化因式：兩個(gè)含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，如和；和互為有理化因式．二次根式的除法可以用化去分母中根號(hào)的方法來進(jìn)行，這種化去分母中根號(hào)的變形叫作分母有理化． 分母有理化的依據(jù)是：分式的基本性質(zhì)． 分母有理化的方法是：將分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)． 注意：分母有理化因式不唯一，但以運(yùn)算最簡(jiǎn)便為宜，如的有理化因式是，的有理化因式是． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)二次根式乘法的解題方法 二次根式相乘就是把各因式的“系數(shù)”的積作為積的“系數(shù)”，各被開方數(shù)的積作為被開方數(shù)，根指數(shù)不變，計(jì)算結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式或整式． (二)二次根式除法的解題方法 商的算術(shù)平方根的性質(zhì)反過來就是二次根式的除法法則，與二次根式的乘法法則類似，要求能正、反應(yīng)用公式化簡(jiǎn)二次根式． 1．法則的直接應(yīng)用 2．分母有理化的方法(拓展) 把分母中的根號(hào)化去的過程稱為分母有理化，具體做法：①；②也可以通過類比分式中的“約分”進(jìn)行分母有理化，如． (三)二次根式加減的解題方法 二次根式加減的實(shí)質(zhì)就是合并被開方數(shù)相同的二次根式．一般步驟：(1)將每一個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式；(2)找出其中的被開方數(shù)相同的二次根式，再合并． (四)二次根式的混合運(yùn)算技巧 二次根式混合運(yùn)算與有理數(shù)的混合運(yùn)算一樣，使用運(yùn)算律可使計(jì)算簡(jiǎn)便． (五)二次根式化簡(jiǎn)求值的技巧 在二次根式的化簡(jiǎn)求值過程中，根據(jù)代數(shù)式的特點(diǎn)將某些含有字母的代數(shù)式的值整體代入，會(huì)使計(jì)算更簡(jiǎn)便． (六)根號(hào)外因式移到根號(hào)內(nèi)的技巧 二次根式的化簡(jiǎn)就是把被開方數(shù)中能開得盡方的因式，用它的算術(shù)平方根代替，移到根號(hào)外邊．反過來，根號(hào)外的因式要移到根號(hào)內(nèi)，該因式必須是非負(fù)因式，平方后移到根號(hào)內(nèi)即可．若根號(hào)外的因式是負(fù)數(shù)或負(fù)因式，則變形為正數(shù)或正因式后再移動(dòng)． 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1．忽視公式、法則成立的條件． 例如在中忽視，，在中忽視，．在化簡(jiǎn)時(shí)，分子、分母都乘，忽視了的可能情況，而出現(xiàn)的錯(cuò)誤解法．正解解法應(yīng)該是：． 2．因式內(nèi)移時(shí)，符號(hào)出錯(cuò)． 如把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，應(yīng)考慮本身的正負(fù)性，由知，故根號(hào)外的不能直接移到根號(hào)內(nèi)，即當(dāng)把—個(gè)負(fù)數(shù)移入根號(hào)內(nèi)時(shí)，要把負(fù)號(hào)留在根號(hào)外，把它的絕對(duì)值的平方移入根號(hào)內(nèi)，防止出現(xiàn)類似“”的錯(cuò)誤． 3．做二次根式的加法時(shí)，不能合并的合并了． 如出現(xiàn)類似“”的錯(cuò)誤． 易混易錯(cuò) 不能運(yùn)用運(yùn)算律的，錯(cuò)用運(yùn)算律 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講在中考中重點(diǎn)考查二次根式的計(jì)算、化簡(jiǎn)與求值，題型有填空題、選擇題、解答題，還常與分式、一元二次方程、函數(shù)結(jié)合出綜合題，近幾年規(guī)律探究題的考查呈上升趨勢(shì)，應(yīng)予以關(guān)注． 中考試題 (一)二次根式的運(yùn)算 (二)二次根式的化簡(jiǎn)求值