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第十八章 平行四邊形 考情分析 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1.平行四邊形的定義及性質(zhì) ★★ 12～20分 2.平行四邊形的判定 ★★★ 3.平行線間的距離 ★ 4.三角形的中位線 ★★ 5.平行四邊形中的有關(guān)計算 ★★ 6.矩形、菱形、正方形的判定和性質(zhì) ★★★ 知能圖譜 第42講　平行四邊形 知識能力解讀 知能解讀（一）平行四邊形的概念 兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。 注意 （1）只有一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形。 （2）平行四邊形的概念具有性質(zhì)和判定的雙重作用。 知能解讀（二）平行四邊形的性質(zhì) 元素 性質(zhì) 邊 對邊平行且相等 角 對角相等，鄰角互補(bǔ) 對角線 對角線互相平分 對稱性 中心對稱圖形，對稱中心是對角的交點(diǎn) 知能解讀（三）平行四邊形的判定（識別） 元素 判定方法 邊 兩組對邊分別平行四邊形是平行四邊形（定義） 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 角 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 對角線 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 知能解讀（四）平行線的距離 （1）兩條平行線之間的任何兩條平行線段都相等. （2）兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫作這兩條平行線之間的距離. 知能解讀（五）三角形的中位線 （1）定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫作三角形的中位線. （2）定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半. 注意 與三角形的中位線有關(guān)的三個結(jié)論： （1）三條中位線組成一個三角形，其周末長為原三角形周長的一半，面積為原三角形面積的四分之一； （2）三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形； （3）三角形的一條中位線與第三條邊上的中線互相平分. 方法技巧歸納 方法技巧（一）平行四邊形的判定方法 平行四邊表的判定方法較多，在使用對關(guān)鍵是根據(jù)已知條件靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒?如果題目中邊的條件較多，就考慮使用邊的判定方法進(jìn)行判斷；如果已知條件主要是關(guān)于對角線的，可利用對角線互相平分進(jìn)行判斷；而如果已知條件是針對角的，應(yīng)想到利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判斷. 方法技巧（二）利用平行四邊形邊的性質(zhì)進(jìn)行計算 一般先根據(jù)平行四邊形的對邊相等找到周長與兩鄰邊長的關(guān)系，再結(jié)合已知線段求解。 點(diǎn)撥 （1）平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半. （2）平行四邊形被兩條對角線分成四個小三角形，相鄰兩個小三角形的周長之差等于鄰邊之差. 點(diǎn)撥 在平行四邊形中，只要知道一個角的度數(shù)或兩個角之間的和、差、倍、分關(guān)系，就可以利用平行四邊形鄰角互補(bǔ)、對角相等這一性質(zhì)來求出其他所有角的度數(shù). 方法技巧（三）平行四邊形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用 綜合應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)和判定時，一定要正確區(qū)分哪個地方用判定，哪個地方用性質(zhì)，不要混淆，在使用判定時，要根據(jù)題目條件選擇簡便的判定方法. 注意 結(jié)合已知條件選擇正確的判定方法是解題的關(guān)鍵.當(dāng)已知條件是對角線時，可首先考慮用“兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”判定上. 點(diǎn)撥 在選擇平行四邊形的判定方法時，根據(jù)條件選擇合適的方法，在已知對邊平行的前提下，證這組對邊相等或另一組對邊平行. 方法技巧（四）三角形中位線的使用技巧 在題目中當(dāng)出現(xiàn)三角形兩邊中點(diǎn)時，往往利用三角形的中位線等于第三邊的一半來求線段之間數(shù)量關(guān)系. 點(diǎn)撥 本題涉及三角形中位線定理，平行四邊形的判定、性質(zhì)及勾股定理.利用三角形中位線定理找出DE與BC的關(guān)系是解題關(guān)鍵. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.對識別條件不理解，不能準(zhǔn)確地利用平行四邊形的判定方法. 在解題過程中，有時誤用條件而導(dǎo)致判斷出錯，憑主觀想象判斷一個四邊形是平行四邊形. 2.受思維定式影響，把題目中沒有的條件用在證明過程中. 對頂角是較熟的知識，但是若題目中沒有給出不能憑直覺直接當(dāng)已知條件使用. 易混易錯（一）對識別條件使用不當(dāng)而致誤 易混易錯（二）在證明過程中受思維定式影響忽視條件而致誤 中考試題研究 中考例題規(guī)律 本講主要考查借助于平行四邊形的性質(zhì)定理解決線段相等、角相等和求值問題及平行四邊形的判定和三角形中位線定理，題型有填空題、選擇題和解答題 中考試題（一）利用平行四邊形求解 中考試題（二）利用平行四邊形推理證明 點(diǎn)撥 （1）平行四邊形的判定方法有多種，根據(jù)條件靈活選擇；（2）對于折疊問題，注意折疊前后相等的線段、相等的角的應(yīng)用。 點(diǎn)撥 本題考查了平行四邊形的判定和三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題關(guān)鍵。 第43講　特殊的平行四邊形 知識能力解讀 知能解讀（一）矩形的概念、性質(zhì)及判定 1　矩形的概念 有一個角是直角的平行四邊形叫開矩形。 2　矩形的性質(zhì) （1）矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）矩形的四個角都是角直；（3）矩形的對角線相等；（4）矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸且都是過對邊中點(diǎn)的直線；（5）矩形是中心對稱圖形，其對角線的交點(diǎn)是對稱中心。 3　矩形的判定 （1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；（3）對角線相等的平行四邊形是矩形（或?qū)切位ハ嗥椒智蚁嗟鹊乃倪呅问蔷匦危? 注意 （1）若易證一個四邊形是平行四邊形，則再證一角為直角或?qū)蔷€相等，即可證得該四邊形是矩形； （2）對角線相等的四邊形不一定是矩形（如等腰梯形，對角線相等且互相平分的四邊形是矩形。） 知能解讀（二）直角三角形的性質(zhì) 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 知能解讀（三）菱形的概念、性質(zhì)及判定 1　菱形的概念 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形。 2　菱形的性質(zhì) （1）菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）菱形的四條邊都相等；（3）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（4）菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，對稱軸為對角線所在的直線；（5）菱形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點(diǎn)是對稱中心。 3　菱形的判定 （1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）四條邊相等的四邊形是菱形；（3）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或?qū)蔷€互相垂直平分的四邊形是菱形）。 4　菱形的面積公式 拓展 對角形相互垂直的四邊形的面積等于兩條對角線乘積和一半。 知能解讀（四）正方形的性質(zhì)與判定 （1）正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形和菱形，所以正方形具有它們的一切性質(zhì)，按邊、角、對角形分類，正方形的性質(zhì)有：①正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；②正方形的兩條對角形相等，并且互相垂直平分，每條對角形平分一組對角；③正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸，它們是兩條對角線所在的直線以及過邊中點(diǎn)的直線；④正方形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點(diǎn)為對稱中心。 （2）正方形的判定（拓展）。 ①定義：一組鄰邊相等的矩形是正方形；②有一個角是直角的菱形是正方形；三角線相等的菱形是正方形；④對角形互相垂直的矩形是正方形。 注意 （1）以菱形和矩形的判定為基礎(chǔ)，可以引申出更多正方形的判定方法，如對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，既是菱形又是矩形的四邊形是正方形等.解題時可以根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇. （2）證明正方形的一般步驟是：先證出四邊形是矩形或菱形，再根據(jù)以上判定方法證明是正方形. （3）矩形判定條件+菱形判定條件=正方形判定條件. 知能解讀（五）四邊形與特殊四邊形的關(guān)系 （1）利用圖理解四邊形與特殊四邊形的從屬關(guān)系. （2）如圖所示，是從特殊四邊形的定義揭示其聯(lián)系與區(qū)別. 知能解讀（六）中點(diǎn)四邊形（拓展） 常見四邊形的中點(diǎn)四邊形. 原四邊形 一般四邊形 矩形 菱形 正方形 圖示 順次連接 各邊中點(diǎn) 所得的四 邊形 平行四邊形 菱形 矩形 正方形 方法技巧歸納 方法技巧（一）利用矩形的性質(zhì)求線段長或角的度數(shù)的方法 在求線段長時主要考慮矩形的邊、對角線的性質(zhì)以及矩形被對角線所分成的三角形的特點(diǎn)，而求角的度數(shù)時應(yīng)使用矩形的四個角都是直角并與三角形內(nèi)角和定理相結(jié)合. 點(diǎn)撥 點(diǎn)撥 矩形的對角線相等且互相平分，由此可知對角線的交點(diǎn)把兩條對角線分成的四條線段都相等. 注意 矩形的一條對角線把線把矩形分成兩個直角三角形，兩條對角線相交后矩形被分成四個等腰三角形，這一特點(diǎn)在求線段長或角的度數(shù)時非常有用，應(yīng)注意把握. 方法技巧（二）利用菱形的性質(zhì)求線段長或角的度數(shù)的方法 利用菱形的性質(zhì)求線段的長主要是利用菱形的四條邊都相等的性質(zhì)，而求角的度數(shù)應(yīng)考慮每一條對角線平分一組對角這一特點(diǎn). 點(diǎn)撥 在菱形中證明或計算應(yīng)充分考慮菱形的性質(zhì)，如“菱形的四條邊相等，對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角”等，結(jié)合題意，選擇合適的性質(zhì)進(jìn)行說理或計算. 方法技巧（三）利用正方形的性質(zhì)求角的度數(shù)的方法 熟悉正方形性質(zhì)的特殊性對解計算題非常有用.如正方的對角線與邊的夾角為；正方形的一條對角線把正方形分成兩個完全一樣的等腰直角三角形；兩條對角線把正方形分成四個完全一樣的等腰直角三角形等. 方法技巧（四）特殊平行四邊形性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用 當(dāng)題目中出現(xiàn)多種特殊平行四邊形時，應(yīng)正確區(qū)分各種特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定，避免混淆. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.對矩形的性質(zhì)、判定理解不透致錯. 矩形的四個角都是直角，但有三個角是直角的四邊形就是矩形，判定一個四邊形是矩形要嚴(yán)格按判定方法，不要漏條件. 2.矩形、菱形、正方形的判定方法. 由于它們各自的判定方法都比較多，在使用時應(yīng)注意兩個方面問題：一是不是混淆三種圖形之間判定方法；二是每種圖形各自的判定方法的條件一定要把握好. 易混易錯（一）對矩形的性質(zhì)、判定理解不透致錯 易混易錯（二）混淆菱形的性質(zhì)、判定致錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講知識是中考重點(diǎn)考查內(nèi)容，是平行線與三角形兩部分內(nèi)容的應(yīng)用與深化，中考常考查與特殊平行四邊形有關(guān)的角、周長、面積、線段、折疊等問題，題型以填空題、選擇題為主，也有一部分綜合性較強(qiáng)的計算題、證明題.近年來又出現(xiàn)了一些與特殊四邊形有關(guān)的開放探索題、操作題等，應(yīng)予以關(guān)注. 中考試題（一）特珠平行四邊形的性質(zhì)和判定 中考試題（二）應(yīng)用特殊平行四邊形的性質(zhì)解題 點(diǎn)撥 菱形的面積等于底乘高，也等于兩條對角線乘積的一半. 中考試題（三）利用特殊平行四邊形進(jìn)行推理證明 點(diǎn)撥 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及菱形的判定等知識，得出是解題的關(guān)鍵.