《中考數學 知識點聚焦 第十一章 函數基礎知識、一次函數及反比例函數》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《中考數學 知識點聚焦 第十一章 函數基礎知識、一次函數及反比例函數（11頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

專題四 圖形與坐標、函數及圖象 第十一章函數基礎知識、一次函數及反比例函數 考勤分析 高頻考點 考查頻率 所占分值 1.點的坐標特點 2.函數自變量的取值范圍 3.由函數圖象獲取信息 4.一次函數的圖象與性質 5.待定系數法求一次函數解析式 6.一次函數與方程、不等式之間的關系 7.反比例函數的圖象與性質 8.反比例函數中比例系數的幾何意義 9.反比例函數與一次函數的綜合 10.反比例函數的應用 ★ ★★ ★★ ★ ★★★ ★ ★ ★★★ ★ ★★ 7~10分 知能圖譜 第23講 函數基礎知識 知識能力解讀 知能解讀(一)有序數對 我們把有順序的兩個數與組成的數對，叫作有序數對，記作. 注意 對“有序”要理解準確，即兩個數的位置不能隨意交換，與中字母順序不同，含義就不同，表示的位置也就不同. 知能解讀(二)平面直角坐標系 (1)如圖所示，在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系.水平的數軸稱為橫軸或軸，習慣上取向右方向為正方向；豎直的數軸稱為縱軸或軸，取向上方向為正方向.兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點. (2)建立了平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分成四個部分，每個部分稱為象限，按逆時針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如圖1-23-1所示. 注意 (1)兩條坐標軸上的點不屬于任何一個象限. (2)如果平面直角坐標系具有實際意義，那么要在表示橫軸、縱軸的字母后附上單位. 知能解讀(三)點的坐標 如圖所示，在平面直角坐標系中，從點分別向軸和軸作垂線，垂足分別為點和點.這時，點在軸上對應的數為3，稱為點的橫坐標；點在軸上對應的數為2，稱為點的縱坐標，依次寫出點的橫坐標和縱坐標得到一對有序實數對，該有序實數對稱為點的坐標，這時點可記作. 注意 (1)在建立了平面直角坐標系后，平面內的點便可與有序實數對—對應.也就是說，對于坐標平面內的一個點，總能找到一個有序實數對與之對應；反之，對于任意一個有序實數對，總可以在坐標平面內找出一個點與之對應. (2)在表示點的坐標時，橫坐標應寫在縱坐標的前面，中間用逗號隔開，橫、縱坐標的順序不能顛倒，如與是兩個不同點的坐標. 知能解讀(四)不同位置的點的坐標特征 1各象限內點的坐標的符號特征 坐標 象限 橫坐標 縱坐標 第一象限 + + 第二象限 - + 第三象限 - - 第四象限 + - 2坐標軸上點的坐標特征 (1)點在軸上，則點的縱坐標為0，橫坐標為任意實數； (2)點在軸上，則點的橫坐標為0，縱坐標為任意實數. 3象限角的平分線上的點的坐標特征 設為象限角的平分線上一點，則當點在第一、三象限角平分線上時，；當點在第二、四象限角平分線上時，. 4與坐標軸平行的直線上點的坐標特征 平行于軸的直線上的各點的縱坐標相同；平行于軸的直線上的各點的橫坐標相同. 5關于軸，軸、原點對稱的點的坐標特征 一般地，若點與點關于軸(橫軸)對稱，則橫坐標相同，縱坐標互為相反數；若點與點關于軸(縱軸)對稱，則縱坐標相同，橫坐標互為相反數；若點與點關于原點對稱，則橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數.簡單記為“關于誰誰不變，關于原點都改變”. 知能解讀(五)平面直角坐標系內的點到軸、軸、原點的距離(拓展) 如圖所示，(1)點到軸的距離為，到軸的距離為，到原點的距離為；(2)同一坐標軸上的兩點之間的距離為；(3)在不同坐標軸上的兩點之間的距離為 . 知能解讀(六)函數的相關概念 1變量與常量 在一個變化過程中，我們稱數值發(fā)生變化的量為變量，數值始終不變的量為常量. 注意 常量與變量不是絕對的，而是對“某一變化過程”而言的，同一個量在某一個變化過程中是常量，而在另一個變化過程中可能是變量.如在汽車：行駛的過程中，有路程、行駛時間、速度三個量，當速度—定時，路程與時間是變量，速度是常量；當汽車行駛的時間一定時，路程與速度是變量，時間為常量；當路程—定時，速度與時間是變量，路程為常量. 2自變量與函數 一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說是自變量，是的函數. 注意 函數體現的是一個變化的過程，在這一變化過程中，要著重把握以下兩點： (1)只能有兩個變量；(2)對于自變量的每一個確定的值，都有唯一的函數值與之對應. 知能解讀(七)函數的解析式 像這樣，用關于自變量的數學式子表示函數與自變量之間的關系，是描述函數的常用方法，這種式子叫作函數的解析式. 知能解讀(八)函數自變量的取值范圍及函數值 函數自變量的取值范圍是指使函數有意義的自變量的取值的全體.求自變量的取值范圍通常從兩個方面考慮:一是要使函數的解析式有意義；二是要符合客觀實際.下面給出一些簡單函數解析式中自變量取值范圍的確定方法： (1)當函數的解析式是整式時，自變量取任意實數(即全體實數)； (2)當函數的解析式是分式時，自變量取值是使分母不為零的任意實數； (3)當函數的解析式是二次根式時，自變量取值是使被開方式為非負數； (4)當函數解析式中自變量出現在零次冪或負整數次幕的底數中時，自變量取值是使底數不為零的實數 對于自變量在取值范圍內的每一個值，如當時，函數有唯一確定的值與之對應，這個值就是當時的函數值. 知能解讀(九)函數的圖象 一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象. 描點法畫函數圖象的一般步驟如下： 第一步，列表——在表中給出一些自變量的值及其對應的函數值； 第二步，描點——在平面直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表中數值對應的各點； 第三步，連線——按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來. 知能解讀(十)函數的表示方法 寫函數解析式、列表格、畫函數圖象，都可以表示具體的函數.這三種表示函數的方法，分別稱為解析式法、列表法和圖象法. 表示方法 優(yōu)點 缺點 總結 解析式法 簡單明了，能準確反映整個變化過程中自變量與函數的關系 不直觀，有些函數關系不一定能用解析式法表示出來 表示函數時，要根據具體情況選擇適當的方法，有時為解決問題，需要同時使用幾種方法 列表法 一目了然，使用方便 對應值不限，不易看出自變量與函數的對應規(guī)律 圖象法 形象直觀，能明顯表示變化趨勢 不易看出自變量和函數的對應值 方法技巧歸納 方法技巧(一)利用平面直角坐標系相關知識解決問題的方法 1由點的位置確定點的坐標，由點的坐標確定點的位置 根據平面直角坐標系內點的坐標與點的位置的關系，我們可以根據點的坐標確定點的位置，反過來，也可以根據點的位置確定點的坐標. 2建立適當的平面直角坐標系，解決數學問題 根據已知條件，建立適當的平面直角坐標系，是確定點的位置的必經過程，在建立平面直角坐標系時，我們一般以圖形的某邊所在直線為坐標軸，或使圖形的頂點大部分在坐標軸上. 方法技巧(二)求函數自變量的取值范圍的方法 函數自變量的取值范圍首先要使函數解析式有意義，當函數解析式表示實際問題或幾何問題時，自變量的取值范圍還必須符合實際意義或幾何意義. 方法技巧(三)列函數解析式(建立函數模型)的方法 1求幾何圖形問題中的函數解析式 2求實際問題中的函數解析式 方法技巧(四)用圖象法表示函數關系的方法 1實際問題的函數圖象 2動點問題的函數圖象 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.由點到坐標軸的距離確定點的坐標時，因考慮不周而出錯. 由點求坐標時，容易將橫、縱坐標的位置弄錯，還容易忽略坐標的符號而出現漏解的情況，如點到軸的距離是4，到軸的距離是3，此時點的坐標不只是一種情況，求解時考慮問題要全面. 2.由實際問題的函數解析式畫圖象時，易忽視自變量的取值范圍而導致圖象錯誤. 實際問題中自變量的取值范圍大部分都是非負數，畫圖象時應加以注意. 易混易錯(一)求自變量的取值范圍時，因考慮不周而出錯 易混易錯(二)由點到坐標軸的距離求點的坐標時出錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 函數自變量的取值范圍、函數的圖象及平面直角坐標系的應用、確定物體位置的方法是近幾年中考的常見考點.特別是根據提供的圖象解決實際問題的一類信息題因具有時代氣息、貼近生活，是中考熱點之一.題型有選擇題、填空題和解答題. 中考試題(一)確定點的位置 中考試題(二)確定點的坐標 中考試題(三)利用函數自變量的取值范圍解決問題 中考試題(四)根據情景描述函數圖象 中考試題(五)由函數圖象獲取信息 第24講 一次函數 知識能力解讀 知能解讀(一)正比例函數和一次函數的概念 (1)正比例函數:一般地，形如(是常數，)的函數，叫作正比例函數，其中叫作比例系數. (2)一次函數:一般地，形如(是常數，)的函數，叫作一次函數.當時，即，所以說正比例函數是一種特殊的一次函數. 注意 (1)一次函數的表達式是一個等式，其左邊是因變量，右邊是關于自變量的整式. (2)自變量的次數為1，且系數不等于0. (3)自變量的取值范圍：一般情況下，一次函數中自變量的取值范圍是全體實數. 知能解讀(二)正比例函數和一次函數的圖象 (1)一般地，正比例函數(是常數, )的圖象是一條經過原點的直線，我們稱它為直線，當時，直線經過第一、三象限，從左向右上升，即隨著的增大也增大；當時，直線經過第二、四象限，從左向右下降，即隨著的增大反而減小.一般地，過原點和點(是常數，)的直線，即正比例函數的圖象. (2)一次函數(是常數，)的圖象可以由直線平移個單位長度得到(當時，向上平移；當時，向下平移).一次函數(是常數，)的圖象也是一條直線，我們稱它為直線. —次函數具有如下性質:當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小. 點撥 為了方便，我們通常利用一次函數的圖象與坐標軸的交點和來畫圖象. 知能解讀(三)對一次函數中的系數的理解(拓展點) (1)直線中表示直線向上的方向與軸正方向夾角的大小程度，即直線的傾斜程度，是直線與軸交點的縱坐標.當時，直線與軸交于正半軸；當時，直線過原點；當時，直線與軸交于負半軸.如下表： 的符號 函數圖象 圖象的位置 性質 圖象過第一、二、三象限 隨的增大而增大 圖象過第一、三象限 圖象過第一、三、四象限 圖象過第一、二、四象限 隨的增大而減小 圖象過第二、四象限 圖象過第二、三、四象限 (2)兩直線與的位置關系： ①當時，兩直線平行； ②當時，兩直線重合； ③當時，兩直線交于軸上一點； ④(供參考)當時，兩直線垂直. 知能解讀(四)待定系數法 先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的系數，從而得出函數解析式的方法，叫作待定系數法. 用待定系數法求一次函數解析式的一般步驟： (1)設出含有待定系數的函數解析式(為常數，)； (2)把已知條件(自變量與對應的函數值)代入解析式，得到關于待定系數的方程； (3)解方程，求出待定系數； (4)將求出的待定系數的值代回所設的函數解析式，即得出所求的函數解析式. 知能解讀(五)一次函數與方程(組)、不等式之間的關系 1一次函數與一元一次方程 一般地，因為任何一個以為未知數的一元一次方程都可以變形為的形式，所以解一元一次方程相當于求與之對應的一次函數的函數值為0時，自變量的值. 點撥 求直線與軸的交點，可令得方程，解方程得是直線與軸交點的橫坐標.反之，由函數的圖象也能求出與之對應的一元一次方程的解. 2一次函數與二元一次方程(組) 一般地因為每個含有未知數和的二元一次方程，都可以變?yōu)椋ㄊ浅?，）的形式，所以每個這樣的方程都對應一個一次函數，于是也對應一條直線.這條直線上每個點的坐標都是這個二元一次方程的解. 由上可知，由含有未知數和的兩個二元一次方程組成的每個二元一次方程組，都對應兩個一次函數，于是也對應兩條直線.從“數”的角度看，解這樣的方程組，相當于求自變量為何值時相應的兩個函數值相等，以及這個函數值是多少；從“形”的角度看，解這樣的方程組，相當于確定兩條相應直線交點的坐標.因此，我們可以用畫一次函數圖象的方法得到方程組的解. 3—次函數與一元一次不等式 一般地，因為任何一個以為未知數的一元一次，不等式都可以變?yōu)榛虻男问?，所以解一元一次不等式相當于求與之對應的一次函數的函數值大于0或小于0時，自變量的取值范圍. 注意 通常我們可用解方程組的方法求兩直線的交點坐標，也可以通過畫圖象，利用兩直線的交點坐標得出方程組的解，即:既可以用“數”的方法解決；“形”的問題，也可以用“形的方蜂解決“數”的問題，這種方法上的互通性體現了數形結合的思想. 方法技巧歸納 方法技巧(一)一次函數的判別方法 一次函數的判別依據有如下三點：(1)關于自變量的表達式是整式；(2)自變量的次數是1；(3)自變量的系數不為零.特別地，當常數項為零時，是正比例函數. 方法技巧(二)一次函數圖象位置的確定方法 的符號決定直線的傾斜方向：當時，直線自左向右上升；當是時，直線自左向右下降. 的符號決定直線與軸的交點位置：當時，直線與軸交于正半軸；當時，直線過原點；當時，直線與軸交于負半軸. 方法技巧(三)利用一次函數的性質解決問題的方法 一次函數的性質主要是指函數的增減性，即隨的變化情況，它只和的符號有關，與的符號無關.若，則隨的增大而增大；若，則隨的增大而減小，反之，若隨的增大而增大，則；若隨的增大而減小，則. 方法技巧(四)用待定系數法求一次函數解析式的方法 由于一次函數的解析式中有和兩個待定系數，因此用待定系數法時需要根據兩個條件列二元一次方程組(以和為未知數)，解方程組后便可求得這個一次函數的解析式. 方法技巧(五)利用一次函數求方程(組)的解、不等式(組)的解或解集的方法 一次函數的圖象與方程(組)、不等式(組)有著密切的聯系： (1)關于的一元一次方程的解是直線與軸交點的橫坐標. (2)關于的一元一次不等式的解集是以直線和軸的交點為分界點，軸上(下)方的圖象所對應的值的集合. (3)關于的二元一次方程組的解是直線和的交點坐標. 方法技巧(六)用一次函數解決實際問題的方法 在研究一個實際問題時，應首先從問題中抽象出特定的函數關系，將其轉化為“函數模型”，然后再利用函數的性質得出結論，最后把結論應用到實際問題中去，從而得到實際問題的研究結果. 易混易錯辨析 易混易錯知識 正比例函數和一次函數的區(qū)別. 正比例函數是一種特殊的一次函數，一次函數包括正比例函數.也就是說，如果一個函數是正比例函數，那么它一定是一次函數.但是，如果一個函數是一次函數，那么它不一定是正比例函數. 易混易錯(一)因忽視隱含條性而致錯 易混易錯(二)因考慮問題不全面而致錯 易混易錯(三)因對圖象表示的實際意義理解錯誤而致錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 一次函數解析式的確定，一次函數的圖象與性質，一次函數與方程、不等式的聯系，以及運用一次函數的知識解決實際問題都是近年來中考的熱點內容，特別是根據提供的圖象解決有關的實際問題更是中考的熱點.題型有選擇題、填空題、解答題. 中考試題(一)對一次函數的圖象和性質的理解 中考試題(二)用待定系數法求函數解析式 中考試題(三)一次函數與方程(組)、不等式的關系 中考試題(四)利用一次函數解決實際問題 中考試題(五)利用圖象獲取信息 第25講 反比例函數 知識能力解讀 知能解讀(一)反比例函數的定義 一般地，形如(是常數，)的函數叫作反比例函數，其中叫作比例系數. 注意 (1)反比例函數的左邊是函數，右邊是分母為自變量的分式.也就是說，分母不能是多項式，只能是的一次單項式.如等都是關于的反比例函數，但就不是關于的反比例函數. (2)反比例函數可以寫成或的形式. (3)反比例函數中，兩個變量成反比例關系. (4)反比例函數的自變量是不等于0的任意實數. 知能解讀(二)反比例函數的圖象 反比例函數的圖象是雙曲線. 注意 (1)反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，它的兩個分支是斷開的. (2)當時，兩個分支分別位于第一、三象限；當時，兩個分支分別位于第二、四象限. (3)反比例函數的圖象的兩個分支關于原點對稱. (4)反比例函數的圖象與軸、軸都沒有交點，即圖象的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交，這是因為. 知能解讀(三)反比例函數的性質 反比例函數的性質如下表所示： 反比例函數 的符號 圖象 性質 當時，函數的圖象分別在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左到右下降，也就是在每個象限內隨的增大而減小 當時，函數的圖象在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左到右上升，也就是在每個象限內，隨的增大而增大 注意 (1)反比例函數圖象的位置和函數的增減性都是由比例系數的符號決定的，反過來，由雙曲：線所在的位置或函數的增減性也可以判斷出的符號. (2)反比例函數的增減性只能在其圖象所在的某個象限內討論.不能說當時，隨的增大而減??；當時，隨的增大而增大.) 知能解讀(四)反比例函數解析式的確定 因為在反比例函數的解析式中，只有一個系數，所以確定了的值，也就確定了反比例函數，因此只需利用一組的對應值或圖象上一點的坐標，利用待定系數法，即可確定反比例函數的解析式. 知能解讀(五)反比例函數中比例系數的幾何意義 反比例函數中比例系數的幾何意義：如圖所示，過雙曲線上任一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積即過雙曲線上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積均為.同時，的面積均為. 注意 (1)應用反比例函數 (為常數，)中的幾何意義，可把反比例函數與直角三角形、矩形聯系在一起_ (2)應用面積不變性可以解決一些實際問題，逆用其面積不變性還可以直接求出值，這樣可以簡化反比例函數解析式的求法. 知能解讀(六)反比例函數在實際生活中的應用 反比例函數模型是實際生活和生產中的一類問題的數學模型，解決這類問題時，需要先列出符合題意的函數解析式，再利用反比例函數的性質、方程、方程組、不等式等相關知識求解. 根據實際問題，利用反比例函數模型來刻畫某些實際問題中變量之間的關系式或利用數形結合來分析實際問題時，要特別注意以下幾點： ⑴在實際問題的函數解析式中，因變量和自變量都有自己代表的實際意義，不僅要學會利用變量的實際意義解答問題，還要學會把從實際中得到的數據轉化為解析式中所需的數據； (2)實際問題中函數圖象上的每一點都有自己所代表的實際意義； (3)作實際問題的圖象時，要注意兩個變量的取值范圍； (4)在解決實際問題時，經常要應用數形結合思想. 方法技巧歸納 方法技巧(一)反比例函數概念的應用 根據反比例函數的定義:反比例函數的形式主要有. 方法技巧(二)反比例函數的圖象與性質的應用 反比例函數的圖象位置可根據的符號來確定，當時，同號，圖象的兩個分支分別位于第一、三象限，在每一個象限內，隨的增大而減?。划敃r，異號，圖象的兩個分支分別位于；第二、四象限，在每一個象限內，隨的增大而增大. 方法技巧(三)反比例函數中比例系數的幾何意義的應用 利用反比例函數中比例系數的幾何意義解答即可. 方法技巧(四)反比例函數與一次函數的綜合應用 一次函數圖象與反比例函數圖象的交點的坐標，既適合一次函數的解析式，也適合反比例函數的解析式，可以利用一次函數、反比例函數的圖象與性質的綜合應用解決一些問題. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.對反比例函數的定義理解不透. 在識別反比例函數時，(1)容易忽略條件導致出錯；(2)易忽視等號右邊的關于的分式中分母是關于的單項式而出錯，例如，認為是反比例函數. 2.對反比例函數的性質理解出錯. 反比例函數的性質：當時，在每一個象限內，隨的增大而減小.在理解時，易忽視“在每一個象限內”這個條件，而理解為時，隨的增大而減小. 易混易錯(一)因忽視反比例函數中的條件而致錯 易混易錯(二)因忽視題目圖象中的隱含信息而致錯. 易混易錯(三)研究反比例函數性質時，因忽視前提條件而致錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 反比例函數的定義、性質、解析式的確定方法及結合圖象對實際問題進行分析是中考必考點，而利用圖象及其性質解決問題是中考的熱點，題型設計較新穎，有反映時代特點的應用題、圖表信息題及與幾何面積有關的綜合題. 中考試題(一)反比例函數的解析式 中考試題(二)反比例函數的圖象與性質 中考試題(三)反比例函數中比例系數的幾何意義 中考試題(四)反比例函數與一次函數的圖象交點問題 中考試題(五)反比例函數的綜合應用