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第五章 分式 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1．分式有無意義的條件 ★★ 2．分式的值為0的條件 ★ 3．分式的基本性質(zhì) ★★ 4．分工的約分、通分 ★ 5．分式的加減法 ★★ 3～10分 6．分式的乘除法 ★★ 7．分式的混合運(yùn)算 ★★★ 8．分式的化簡、求值 ★★★ 知能圖譜 分式的有關(guān)概念 通分 最簡公分母 分式的基本性質(zhì) 依據(jù)：分式的基本性質(zhì)，(是不等于0的整式) 關(guān)鍵：確定最簡公分母 分式 依據(jù)：分式的基本性質(zhì) 約分 方法：最簡分式或整式 關(guān)鍵：確定分子與分母的公因式 分式的加減 分式的運(yùn)算 分式的乘除 分式的混合運(yùn)算：結(jié)果化為最簡分式或整式 第11講 分式及其性質(zhì) 知識能力解讀 知能解讀 (一)分式的概念 一般地，如果，表示兩個(gè)整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式．分式會中叫作分子，叫作分母． 注意：(1)判斷一個(gè)式子是否為分式，關(guān)鍵是看分母中是否有字母． (2)分式與整式的根本區(qū)別：分式的分母中含有字母，如，是整式，而是分式． (3)分式有無意義的條件：①若，則分式有意義；②若，則分式無意義． (4)分式的值為零的條件：若，則分式的值為零，反之也成立． (二)分式的基本性質(zhì) 分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變． 用式子表示是：，，其中，，是整式． 注意：(1)分式的基本性質(zhì)可類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)去理解記憶．利用分式的基本性質(zhì)，可以在不改變分式的值的條件下，對分式作一系列的變形． (2)當(dāng)分式的分子(或分母)是多項(xiàng)式，運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要先把分式的分子(或分母)用括號括上．再將分子與分母同乘(或除以)相同的整式． (三)約分、最簡分式及通分的概念 (1)約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫作分式的約分． 說明：約分的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出分子與分母的公因式，找公因式的方法：(1)當(dāng)分子和分母都是單項(xiàng)式時(shí)，先找出它們系數(shù)的最大公約數(shù)，再確定相同字母的最低次冪，它們的乘積就是分子與分母的公因式．(2)當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，先將分子、分母因式分解，把分子、分母化為幾個(gè)因式的積后，再找出分子、分母的公因式． 約分應(yīng)注意一定要把公因式約盡，還應(yīng)注意分子、分母的整體都要除以同一個(gè)公因式．當(dāng)分子或分母是多項(xiàng)式時(shí)，要用分子、分母的公因式去除整個(gè)多項(xiàng)式，不能只除某一項(xiàng)，更不能減去某一項(xiàng)．例如是錯(cuò)誤的． (2)最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式叫作最簡分式．判斷一個(gè)分式是否為最簡分式，關(guān)鍵是確定其分子與分母是否有公因式(1除外)． 分式的約分，一般要約去分子和分母的所有公因式，使所得結(jié)果成為最簡分式或整式． 注意：(1)最簡分式與小學(xué)學(xué)過的最簡分?jǐn)?shù)類似． (2)最簡分式是對一個(gè)獨(dú)立的分式而言的，最大的特點(diǎn)是只有一條分?jǐn)?shù)線．形如，的分式都不是最簡分式． (3)通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡公分母． (4)最簡公分母：各分母所有因式的最高次冪的積，叫作最簡公分母． 注意：確定最簡公分母的一般方法： (1)如果各分母都是單項(xiàng)式，確定最簡公分母的方法是：①取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；②凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個(gè)因式；③同底數(shù)冪取次數(shù)最高的．這樣得到的積就是最簡公分母． (2)如果各分母都是多項(xiàng)式，就要把它們分解因式，再按照分母是單項(xiàng)式求最簡公分母的方法，從系數(shù)、相同因式、不同因式三個(gè)方面去求． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)應(yīng)用分式概念解題的規(guī)律 1．分式的判別方法 根據(jù)定義判定式子是否為分式要注意兩點(diǎn)：一是，都是整式，二是中含字母且．判斷一個(gè)代數(shù)式是否為分式，還應(yīng)注意不能把原式變形(如約分等)，而只能根據(jù)它的最初形式進(jìn)行判斷．如根據(jù)，判定不是分式，這是錯(cuò)誤的． 2．對分式有無意義或值為0的條件判斷 (二)分式基本性質(zhì)的應(yīng)用 分式的基本性質(zhì)是分式恒等變形和分式運(yùn)算的理論依據(jù)，正確理解和熟練掌握這一性質(zhì)是學(xué)好分式的關(guān)鍵．利用分式的基本性質(zhì)可將分式恒等變形，化簡分式，簡化計(jì)算等． 1．約分 2．通分 (三)分式值的特殊情況(拓展) 1．分式的值為1或的討論 若分成，則，反之也成立；若分式，則與互為相反數(shù)，反之也成立． 2．分式的值為正數(shù)的討論 分式的值為正數(shù)時(shí)，分式的分子與分母同號，利用這一關(guān)系構(gòu)造不等式組可求出待定字母的取值范圍． 3．分式的值為負(fù)數(shù)的討論 分式的值為負(fù)數(shù)時(shí)，分式的分子與分母異號，利用這一關(guān)系構(gòu)造不等式組可求出待定字母的取值范范圍． 4．分式的值為整數(shù)的討論 若分式的值為整數(shù)，則分母必為分子的約數(shù)，利用這一關(guān)系可對分母進(jìn)行討論． 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識 1．誤認(rèn)為只要分子等于0，就能使分式的值為0． 2．利用分式基本性質(zhì)把分子、分母都乘(或除以)非零整式時(shí)，只乘(或除以)其中某些項(xiàng)，有漏乘(或漏除)的項(xiàng)． 3．分式變號時(shí)極易出錯(cuò)，易誤只將分子或分母的第一項(xiàng)改變符號． 易混易錯(cuò) (一)分式基本性質(zhì)的誤用 (二)忽視分式值為0的前提條件 (三)約分時(shí)易出現(xiàn)符號錯(cuò)誤 (四)確定最簡公分母出錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講考點(diǎn)是考查分式有無意義、分式的值為零條件的判斷，以及用分式基本性質(zhì)進(jìn)行變形；以填空題、選擇題及簡單的解答題的形式出現(xiàn)． 中考試題 (一)對分式概念的理解 (二)分式基本性質(zhì)的應(yīng)用 (三)確定最簡公分母 第12講 分式的運(yùn)算 知識能力解讀 知能解讀 (一)分式的乘除法 分式的乘除法與分?jǐn)?shù)的乘除法類似，法則如下： (1)乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，用式子表示是：． (2)除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，用式子表示是：． (3)分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分別乘方，用式子表示是：(是正整數(shù))． 注意：(1)法則中的字母，，，所代表的可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式． (2)運(yùn)算的結(jié)果必須是最簡分式或整式． (二)分式的加減法 1．同分母分式加減法的法則 與同分母的分?jǐn)?shù)加減法類似，同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減． 用式子表示是：． 注意：(1)“同分母分式相加減”是把各個(gè)分式的“分子的整體”相加減，即當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)將各分子加括號，括號不能省略， (2)運(yùn)算結(jié)果必須化為最簡分式或整式． 2．異分母分式加減法的法則 與異分母的分?jǐn)?shù)加減法類似，異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減． 用式子表示是：． (三)分式的混合運(yùn)算 分式的混合運(yùn)算的順序是：先乘方，再乘除，最后算加減；遇到括號，先算括號內(nèi)的；在同級運(yùn)算中，從左向右依次進(jìn)行． 注意：(1)實(shí)數(shù)的運(yùn)算律對分式同樣適用，注意靈活運(yùn)用，提高解題的質(zhì)量和速度． (2)結(jié)果必須化為最簡分式或整式． (3)分子或分母的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，要把“－”提到分?jǐn)?shù)線的前邊． (4)對于分式的乘除混合運(yùn)算，應(yīng)先將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，可先將分子、分母分解因式，再相乘． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)分式的乘除法及乘方運(yùn)算的解題技巧 1．分式的乘除法 分式的乘除運(yùn)算可以統(tǒng)一成乘法運(yùn)算，分式的乘法一般情況下是先約分再相乘，這樣做省時(shí)簡單易行，又不易出錯(cuò)；當(dāng)除式(或被除式)是整式時(shí)，可以看作分母是1的式子，然后再按分式的乘除法則計(jì)算． 2．分式的乘方 做分式乘方時(shí)，一是注意養(yǎng)成先確定結(jié)果的符號，再做其他運(yùn)算的良好習(xí)慣；二是注意運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，最后加減． (二)分式加減運(yùn)算的解題技巧 分式的加減法與分?jǐn)?shù)的加減法的運(yùn)算法則實(shí)質(zhì)是相同的，分為同分母加減法和異分母加減法，所不同的是分式的加減運(yùn)算比分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算要復(fù)雜得多，它是整式運(yùn)算、因式分解和分式運(yùn)算的綜合運(yùn)用．分式加減運(yùn)算需要運(yùn)用較多的基礎(chǔ)知識，運(yùn)算步驟增多，符號變換復(fù)雜，解題方法靈活多樣． (三)分式化簡、求值的解題技巧 分式的化簡、求值問題，一是化簡要求值的分式，只要能化簡就考慮化簡；二是化簡已知條件，化到最簡后，再考慮代入求值． (四)分式混合運(yùn)算的解題技巧 分式的混合運(yùn)算，除了掌握運(yùn)算順序外，在運(yùn)算過程中，可靈活運(yùn)用交換律、結(jié)合律、分配律使運(yùn)算簡化，值得提醒的是最后結(jié)果必須是最簡分式或整式． (五)分式通分的解題技巧 分式的加減運(yùn)算，分同分母分式相加減和異分母分式相加減，對于異分母分式的加減法，有時(shí)直接通分會很繁瑣，我們可以根據(jù)式子的特點(diǎn)，靈活的采用不同的方法通分，從而起到事半功倍的效果． 1．分組通分 2．逐項(xiàng)通分 3．公式的運(yùn)用 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識 在分式的乘除運(yùn)算或混合運(yùn)算中，運(yùn)算順序易出錯(cuò)． 在分式的混合運(yùn)算中，若有括號，先算括號里面的，同級運(yùn)算應(yīng)按從左到右的順序依次進(jìn)行． 易混易錯(cuò) (一)運(yùn)算順序有誤 (二)分子符號出錯(cuò) (三)運(yùn)算結(jié)果不是最簡分式 (四)錯(cuò)用運(yùn)算律 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講考查的知識面廣，綜合性強(qiáng)．中考熱點(diǎn)是分式的運(yùn)算及分式的化簡、求值，常與二次根式、三角函數(shù)等知識結(jié)合起來命題，題型以解答題為主，也出現(xiàn)填空題．近幾年又出現(xiàn)了開放式的新題型，應(yīng)給予關(guān)注． 中考試題 (一)分式的加減 (二)分式的乘除 (三)分式的混合運(yùn)算 (四)分式的化簡求值