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2015-2016學(xué)年湖北省武漢一中九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份） 一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中均有四個備選答案，其中有且只有一個是正確的，請在答題卡上將正確答案的代號涂黑． 1．將一元二次方程3x2﹣1=x化成一般形式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為（　?。? A．3，0 B．3，1 C．3，﹣1 D．3x2，﹣x 2．對于拋物線y=﹣2（x+5）2+3，下列說法正確的是（　　） A．開口向下，頂點坐標(biāo)（5，3） B．開口向上，頂點坐標(biāo)（5，3） C．開口向下，頂點坐標(biāo)（﹣5，3） D．開口向上，頂點坐標(biāo)（﹣5，3） 3．如果2是方程x2+c=0的一個根，那么c的值是（　?。? A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 4．對稱軸是x=﹣2的拋物線的是（　?。? A．y=﹣2x2﹣2 B．y=2x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=2（x﹣2）2 5．方程x2+3=2x的根的情況為（　?。? A．沒有實數(shù)根 B．只有一個實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不等的實數(shù)根 6．把拋物線y=x2+bx+c向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線y=x2﹣3x+5，則有（　?。? A．b=3，c=7 B．b=﹣9，c=﹣15 C．b=3，c=3 D．b=﹣9，c=21 7．二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象如圖所示：若點A（x1，y1），B（x2，y2）在此函數(shù)圖象上，x1＜x2＜1，y1與y2的大小關(guān)系是（　?。? A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2 8．在某次投籃中，球從出手到投中籃圈中心的運動路徑是拋物線y=﹣x2+3.5的一部分（如圖），則他與籃底的水平距離l（如圖）是（　　） A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 9．設(shè)拋物線y=ax2（a＞0）與直線y=kx+b相交于兩點，它們的橫坐標(biāo)為x1，x2，而x3是直線與x軸交點的橫坐標(biāo)，那么x1、x2、x3的關(guān)系是（　?。? A．x3=x1+x2 B．x3=+ C．x1x2=x2x3+x3x1 D．x1x3=x2x3+x1x2 10．如圖，已知拋物線y1=x2﹣2x，直線y2=﹣2x+b相交于A、B兩點，其中點A的橫坐標(biāo)為2，當(dāng)x任取一值時，x對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2，取m=（|y1﹣y2|+y1+y2）則（　?。? A．點B的坐標(biāo)隨b的值的變化而變化 B．m隨x的增大而減小 C．當(dāng)m=2時，x=0 D．m≥﹣2 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分） 11．方程2x2﹣8=0的解是　?。? 12．某校準(zhǔn)備組織一次排球比賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，共有多少個隊參加？設(shè)有x個隊參賽，則所列方程為　　． 13．一個直角三角形的兩條直角邊相差5cm，面積是7cm2，則斜邊的長是　　cm． 14．已知拋物線y=（m2﹣2）x2﹣4mx+n的對稱軸是x=2，且它的最高點在直線上，則它的頂點為　　，n=　?。? 15．如圖，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，左右兩個拋物線形是全等的．正常水位時，大孔水面寬度為20m，頂點距水面6m，小孔頂點距水面4.5m．當(dāng)水位上漲剛好淹沒小孔時，大孔的水面寬度為　　m． 16．如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點B的坐標(biāo)為（2，0），若拋物線y=x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是　?。? 　 三、解答題（共8小題，共72分） 17．解方程：4x2﹣x﹣9=0． 18．已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+3 （1）直接寫出函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)、與x軸交點的坐標(biāo)； （2）在網(wǎng)格中建立坐標(biāo)系，畫函數(shù)的圖象； （3）將圖象先向左平移2個單位，再向下平移2個單位，得到新的函數(shù)圖象，直接寫出平移后的圖象與y軸交點的坐標(biāo)． 19．用一條長40cm的繩子能否圍成一個面積為101cm2的矩形？請說明理由． 20．如圖，某旅游景點要在長、寬分別為40m、24m的矩形水池的正中央建立一個與矩形的各邊互相平行的正方形觀賞亭，觀賞亭的四邊連接四條與矩形的邊互相平行且寬度相等的道路，已知道路的寬為正方形邊長的，若道路與觀賞亭的面積之和是矩形水池面積的，求道路的寬． 21．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題： （1）寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根； （2）寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍； （3）若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍． 22．某商品的進(jìn)價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元． （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍； （2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？ （3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？ 23．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別為矩形ABCD的四條邊上的動點，AE=DH=CG=FB，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE得到四邊形EFGH． （1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形； （2）如圖2，若AB=m，AD=n（m＞n），HM⊥FG，M為垂足，則GM的長是否為定值？若是，求其值；若不是，求其范圍； （3）若AB=25，AD=15，設(shè)AE=x，四邊形EFGH的面積為y，當(dāng)x為何值時，y最大？ 24．已知拋物線y=ax2+2（a+1）x+（a≠0）與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）兩點，與y軸交于C點．經(jīng)過第三象限中的定點D． （1）直接寫出C、D兩點的坐標(biāo)． （2）當(dāng)x=x0時，二次函數(shù)的值記住為y0，若存在點（x0，y0），使y0=x0成立，則稱點（x0，y0）為拋物線上的不動點，求證：拋物線y=ax2+2（a+1）x+存在兩個不動點． （3）當(dāng)△ABD的面積等于△CBD時，求a的值． 　  2015-2016學(xué)年湖北省武漢一中九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中均有四個備選答案，其中有且只有一個是正確的，請在答題卡上將正確答案的代號涂黑． 1．將一元二次方程3x2﹣1=x化成一般形式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為（　?。? A．3，0 B．3，1 C．3，﹣1 D．3x2，﹣x 【考點】一元二次方程的一般形式． 【分析】首先移項進(jìn)而利用二次項系數(shù)和一次項系數(shù)的定義得出答案． 【解答】解：整理得：3x2﹣x﹣1=0， 故二次項系數(shù)為：3，一次項系數(shù)為：﹣1． 故選：C． 　 2．對于拋物線y=﹣2（x+5）2+3，下列說法正確的是（　　） A．開口向下，頂點坐標(biāo)（5，3） B．開口向上，頂點坐標(biāo)（5，3） C．開口向下，頂點坐標(biāo)（﹣5，3） D．開口向上，頂點坐標(biāo)（﹣5，3） 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系及其頂點坐標(biāo)進(jìn)行解答即可． 【解答】解：∵拋物線y=﹣2（x+5）2+3中k=﹣2＜0， ∴此拋物線開口向下，頂點坐標(biāo)為：（﹣5，3）， 故選C． 　 3．如果2是方程x2+c=0的一個根，那么c的值是（　?。? A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【考點】一元二次方程的解． 【分析】把x=2代入方程即可求解． 【解答】解：∵x=2是方程的根，由一元二次方程的根的定義代入可得， 4+c=0， ∴c=﹣4． 故選：B． 　 4．對稱軸是x=﹣2的拋物線的是（　　） A．y=﹣2x2﹣2 B．y=2x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=2（x﹣2）2 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，對稱軸為直線x=﹣可對A、B進(jìn)行判斷；利用拋物線的頂點式y(tǒng)=a（x+）2+，其對稱軸為直線x=﹣可對C、D進(jìn)行判斷． 【解答】解：A、拋物線y=﹣2x2﹣2的對稱軸為直線x=0，所以A選項錯誤； B、拋物線y=2x2﹣2的對稱軸為直線x=0，所以B選項錯誤； C、拋物線y=（x+2）2的對稱軸為直線x=﹣2，所以C選項正確； D、拋物線y=2（x﹣2）2的對稱軸為直線x=2，所以D選項錯誤． 故選C． 　 5．方程x2+3=2x的根的情況為（　?。? A．沒有實數(shù)根 B．只有一個實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不等的實數(shù)根 【考點】根的判別式． 【分析】判斷方程的根的情況，只要看根的判別式△=b2﹣4ac的值的符號就可以了． 【解答】解：∵x2+3=2x， ∴x2﹣2x+3=0， ∵△=（﹣2）2﹣413=﹣8＜0， ∴方程沒有實數(shù)根． 故選：A． 　 6．把拋物線y=x2+bx+c向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線y=x2﹣3x+5，則有（　?。? A．b=3，c=7 B．b=﹣9，c=﹣15 C．b=3，c=3 D．b=﹣9，c=21 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】先求出y=x2﹣3x+5的頂點坐標(biāo)，再根據(jù)“左加右減”求出平移前的拋物線的頂點坐標(biāo)，然后利用頂點式解析式寫出，整理成二次函數(shù)的一般形式，再根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等解答． 【解答】解：∵y=x2﹣3x+5=（x﹣）2+， ∴y=x2﹣3x+5的頂點坐標(biāo)為（，）， ∵向右平移3個單位，向下平移2個單位， ∴平移前的拋物線的頂點的橫坐標(biāo)為﹣3=﹣， 縱坐標(biāo)為+2=， ∴平移前的拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣，）， ∴平移前的拋物線為y=（x+）2+=x2+3x+7， ∴b=3，c=7． 故選：A． 　 7．二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象如圖所示：若點A（x1，y1），B（x2，y2）在此函數(shù)圖象上，x1＜x2＜1，y1與y2的大小關(guān)系是（　　） A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征． 【分析】對于二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c，根據(jù)a＜0，拋物線開口向下，在x＜1的分支上y隨x的增大而增大，故y1＜y2． 【解答】解：∵a＜0，x1＜x2＜1， ∴y隨x的增大而增大 ∴y1＜y2． 故選：B． 　 8．在某次投籃中，球從出手到投中籃圈中心的運動路徑是拋物線y=﹣x2+3.5的一部分（如圖），則他與籃底的水平距離l（如圖）是（　?。? A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】當(dāng)y=3.05時，求出對應(yīng)的橫坐標(biāo)，與2.5m相加即可． 【解答】解：把y=3.05代入y=﹣x2+3.5中得： x1=1.5，x2=﹣1.5（舍去）， ∴L=2.5+1.5=4米， 故選：B． 　 9．設(shè)拋物線y=ax2（a＞0）與直線y=kx+b相交于兩點，它們的橫坐標(biāo)為x1，x2，而x3是直線與x軸交點的橫坐標(biāo)，那么x1、x2、x3的關(guān)系是（　?。? A．x3=x1+x2 B．x3=+ C．x1x2=x2x3+x3x1 D．x1x3=x2x3+x1x2 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】先將直線y=kx+b與拋物線y=ax2聯(lián)立，構(gòu)成一元二次方程，求出兩根積與兩根和的表達(dá)式；然后將欲證等式的左邊通分，轉(zhuǎn)化為兩根積與兩根和的形式，將以上兩表達(dá)式代入得到等式左邊的值；再根據(jù)直線解析式求出與x軸的交點橫坐標(biāo)，即可得出答案． 【解答】解：由題意得x1和x2為方程kx+b=ax2的兩個根，即ax2﹣kx﹣b=0， ∴x1+x2=，x1x2=﹣； ∴+===﹣； ∵直線與x軸交點的橫坐標(biāo)為：x3=﹣， ∴=+． ∴x1x2=x2x3+x3x1． 故選C． 　 10．如圖，已知拋物線y1=x2﹣2x，直線y2=﹣2x+b相交于A、B兩點，其中點A的橫坐標(biāo)為2，當(dāng)x任取一值時，x對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2，取m=（|y1﹣y2|+y1+y2）則（　　） A．點B的坐標(biāo)隨b的值的變化而變化 B．m隨x的增大而減小 C．當(dāng)m=2時，x=0 D．m≥﹣2 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】將點A的橫坐標(biāo)代入y1=x2﹣2x求得y1=﹣2，將x=2，y=﹣2代入y2=﹣2x+b求得b=2，然后將y1=x2﹣2x與y2=﹣2x+2聯(lián)立求得點B的坐標(biāo)，然后根據(jù)函數(shù)圖形化簡絕對值，最后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求得m的范圍． 【解答】解：∵將x=2代入y1=x2﹣2x得y1=﹣2， ∴點A的坐標(biāo)為（2，﹣2）． ∵將x=2，y=﹣2代入y2=﹣2x+b得b=2， ∴y2=﹣2x+2． 將y1=x2﹣2x與y2=﹣2x+2聯(lián)立，解得：x1=2，y1=﹣2或x2=﹣2，y2=6． ∴點B的坐標(biāo)為（﹣2，6）． 故A錯誤； ∵當(dāng)x＜﹣2時，y1＞y2， ∴m=y1=x2﹣2x． ∴m＞6，且m隨x的增大而減?。? ∵當(dāng)﹣2≤x＜2時，y1＜y2 ∴m=y2=﹣2x+2． ∴﹣2＜m≤6且m隨x的增大而減小． 令m=0，求得x=0． ∵當(dāng)x≥2時，y1＞y2， ∴m=y1=x2﹣2x． ∴m≥﹣2，m隨x的增大而增大． 故B錯誤； 令m=2，求得：x=2+2． 故C錯誤． 綜上所述，m≥﹣2． 故選：D． 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分） 11．方程2x2﹣8=0的解是　x1=2，x2=﹣2?。? 【考點】解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】將方程的常數(shù)項移到方程右邊，兩邊同時除以2變形后，利用平方根的定義開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，即可得到原方程的解． 【解答】解：方程2x2﹣8=0， 移項得：2x2=8，即x2=4， 可得x1=2，x2=﹣2． 故答案為：x1=2，x2=﹣2． 　 12．某校準(zhǔn)備組織一次排球比賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，共有多少個隊參加？設(shè)有x個隊參賽，則所列方程為　=28?。? 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x隊參賽，則每個隊參加（x﹣1）場比賽，則共有場比賽，可以列出一個一元二次方程． 【解答】解：∵賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽， ∴共74=28場比賽． 設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x隊參賽， 則由題意可列方程為： =28． 故答案為： =28． 　 13．一個直角三角形的兩條直角邊相差5cm，面積是7cm2，則斜邊的長是　　cm． 【考點】勾股定理． 【分析】設(shè)較短的直角邊長是xcm，較長的就是（x+5）cm，根據(jù)面積是7cm2，求出直角邊長，根據(jù)勾股定理求出斜邊長． 【解答】解：設(shè)較短的直角邊長是xcm，較長的就是（x+5）cm，則 x?（x+5）=7， 整理得：x2+5x﹣14=0， ∴（x+7）（x﹣2）=0， ∴x=2或x=﹣7（舍去）． ∴5+2=7（cm）， ∴由勾股定理，得=，即斜邊的長是cm． 故答案是：． 　 14．已知拋物線y=（m2﹣2）x2﹣4mx+n的對稱軸是x=2，且它的最高點在直線上，則它的頂點為　（2，2）　，n=　﹣2?。? 【考點】二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】由于拋物線y=（m2﹣2）x2﹣4mx+n的對稱軸是x=2，且它的最高點在直線上，則m2﹣2＜0，頂點坐標(biāo)為（2，2），由=2， =2求得m、n值． 【解答】解：拋物線y=（m2﹣2）x2﹣4mx+n的對稱軸是x=2，且它的最高點在直線上， 則最高點即為頂點，把x=2代入直線得：y=1+1=2，得頂點坐標(biāo)為（2，2），又m2﹣2＜0， 由=2， =2，代入求得：m=﹣1，n=﹣2． 　 15．如圖，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，左右兩個拋物線形是全等的．正常水位時，大孔水面寬度為20m，頂點距水面6m，小孔頂點距水面4.5m．當(dāng)水位上漲剛好淹沒小孔時，大孔的水面寬度為　10　m． 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可以得到A、B、M的坐標(biāo)，設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，待定系數(shù)求解函數(shù)式．根據(jù)NC的長度，得出函數(shù)的y坐標(biāo)，代入解析式，即可得出E、F的坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案． 【解答】解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意得，M點坐標(biāo)為（0，6），A點坐標(biāo)為（﹣10，0），B點坐標(biāo)為（10，0）， 設(shè)中間大拋物線的函數(shù)式為y=﹣ax2+bx+c， 代入三點的坐標(biāo)得到， 解得． ∴函數(shù)式為y=﹣x2+6． ∵NC=4.5米， ∴令y=4.5米， 代入解析式得x1=5，x2=﹣5， ∴可得EF=5﹣（﹣5）=10米． 故答案為：10． 　 16．如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點B的坐標(biāo)為（2，0），若拋物線y=x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是　﹣2＜k＜?。? 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)∠AOB=45求出直線OA的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求出有一個公共點時的k值，即為一個交點時的最大值，再求出拋物線經(jīng)過點B時的k的值，即為一個交點時的最小值，然后寫出k的取值范圍即可． 【解答】解：由圖可知，∠AOB=45， ∴直線OA的解析式為y=x， 聯(lián)立消掉y得， x2﹣2x+2k=0， △=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣412k=0， 即k=時，拋物線與OA有一個交點， 此交點的橫坐標(biāo)為1， ∵點B的坐標(biāo)為（2，0）， ∴OA=2， ∴點A的坐標(biāo)為（，）， ∴交點在線段AO上； 當(dāng)拋物線經(jīng)過點B（2，0）時，4+k=0， 解得k=﹣2， ∴要使拋物線y=x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，實數(shù)k的取值范圍是﹣2＜k＜． 故答案為：﹣2＜k＜． 　 三、解答題（共8小題，共72分） 17．解方程：4x2﹣x﹣9=0． 【考點】解一元二次方程-公式法． 【分析】先求出b2﹣4ac的值，最后代入公式求出即可． 【解答】解：4x2﹣x﹣9=0， b2﹣4ac=（﹣1）2﹣44（﹣9）=145， x=， x1=，x2=． 　 18．已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+3 （1）直接寫出函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)、與x軸交點的坐標(biāo)； （2）在網(wǎng)格中建立坐標(biāo)系，畫函數(shù)的圖象； （3）將圖象先向左平移2個單位，再向下平移2個單位，得到新的函數(shù)圖象，直接寫出平移后的圖象與y軸交點的坐標(biāo)． 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】（1）根據(jù)配方法，可得頂點式解析式，根據(jù)函數(shù)值為零，可得相應(yīng)自變量的值； （2）根據(jù)描點法，可得函數(shù)圖象； （3）根據(jù)圖象向左平移加，向右平移減，向上平移加，向下平移減，可得平移后的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的關(guān)系，可得答案． 【解答】解：（1）y=（x﹣2）2﹣1，頂點坐標(biāo)為（2，﹣1）， 當(dāng)y=0時，x2﹣4x+3=0，解得x=1或x=3， 即圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（1，0），（3，0）； （2）如圖： （3）圖象先向左平移2個單位，再向下平移2個單位，得 y=（x+2）2﹣4（x+2）+3﹣2， 化簡得y=x2﹣5， 當(dāng)x=0時，y=﹣5， 即平移后的圖象與y軸交點的坐標(biāo)（0，﹣5）． 　 19．用一條長40cm的繩子能否圍成一個面積為101cm2的矩形？請說明理由． 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】首先設(shè)矩形的長為xcm，則寬為（20﹣x）cm，再利用當(dāng)x（20﹣x）=101時，得出△的符號，進(jìn)而得出答案． 【解答】解：不能．理由如下： 設(shè)矩形的長為xcm，則寬為（20﹣x）cm， 當(dāng)x（20﹣x）=101時， x2﹣20x+101=0， △=b2﹣4ac=202﹣4101=﹣4＜0， 所以此一元二次方程無實數(shù)根． 故用一條長40cm的繩子不能圍成一個面積為101cm2的矩形． 　 20．如圖，某旅游景點要在長、寬分別為40m、24m的矩形水池的正中央建立一個與矩形的各邊互相平行的正方形觀賞亭，觀賞亭的四邊連接四條與矩形的邊互相平行且寬度相等的道路，已知道路的寬為正方形邊長的，若道路與觀賞亭的面積之和是矩形水池面積的，求道路的寬． 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】首先假設(shè)道路的寬為x米，根據(jù)道路的寬為正方形邊長的，得出正方形的邊長以及道路與正方形的面積進(jìn)而得出答案． 【解答】解：設(shè)道路的寬為x米， 則可列方程： x（24﹣4x）+x（40﹣4x）+16x2=4024， 即：x2+4x﹣5=0， 解得：x1=l，x2=﹣5（舍去）． 答：道路的寬為1米． 　 21．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題： （1）寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根； （2）寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍； （3）若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍． 【考點】拋物線與x軸的交點． 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，當(dāng)y=0時，函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)即為方程ax2+bx+c=0的兩個根； （2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，找到函數(shù)的對稱軸即可得到x的取值范圍； （3）方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根，即函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與y=k有兩個交點，據(jù)此即可直接求出k的取值范圍． 【解答】解：（1）當(dāng)y=0時，函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)即為方程ax2+bx+c=0的兩個根，由圖可知， 方程的兩個根為x1=1，x2=3． （2）根據(jù)函數(shù)圖象，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，此時，x＞2． （3）如圖： 方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根，即函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與y=k有兩個交點， 此時，k＜2． 　 22．某商品的進(jìn)價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元． （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍； （2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？ （3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？ 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）根據(jù)題意可知y與x的函數(shù)關(guān)系式． （2）根據(jù)題意可知y=﹣10﹣（x﹣5.5）2+2402.5，當(dāng)x=5.5時y有最大值． （3）設(shè)y=2200，解得x的值．然后分情況討論解． 【解答】解：（1）由題意得：y=（50+x﹣40） =﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x為整數(shù)）； （2）由（1）中的y與x的解析式配方得：y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5． ∵a=﹣10＜0，∴當(dāng)x=5.5時，y有最大值2402.5． ∵0＜x≤15，且x為整數(shù)， 當(dāng)x=5時，50+x=55，y=2400（元），當(dāng)x=6時，50+x=56，y=2400（元） ∴當(dāng)售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元． （3）當(dāng)y=2200時，﹣10x2+110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10． ∴當(dāng)x=1時，50+x=51，當(dāng)x=10時，50+x=60． ∴當(dāng)售價定為每件51或60元，每個月的利潤為2200元． 當(dāng)售價不低于51或60元，每個月的利潤為2200元． 當(dāng)售價不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時，每個月的利潤不低于2200元（或當(dāng)售價分別為51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元時，每個月的利潤不低于2200元）． 　 23．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別為矩形ABCD的四條邊上的動點，AE=DH=CG=FB，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE得到四邊形EFGH． （1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形； （2）如圖2，若AB=m，AD=n（m＞n），HM⊥FG，M為垂足，則GM的長是否為定值？若是，求其值；若不是，求其范圍； （3）若AB=25，AD=15，設(shè)AE=x，四邊形EFGH的面積為y，當(dāng)x為何值時，y最大？ 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（1）只要證明△DEH≌△BFG，得到EH=FG，同理可證EF=HG，由此即可證明． （2）GM的長不是定值．取特殊位置解決問題，如圖1中，當(dāng)E與D重合時，B與G重合，得GM的最大值；如圖2中，當(dāng)E與A重合時，得GM的最小值． （3）構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠D=∠B=90，AB=CD，AD=BC， ∵AE=DH=CG=FB， ∴DH=BF，DE=BG， 在△DEH和△BFG中， ， ∴△DEH≌△BFG， ∴EH=FG，同理可證EF=HG， ∴四邊形EFGH是平行三角形． （2）解：GM的長不是定值． 如圖1中，當(dāng)E與D重合時，B與G重合，則四邊形HMBC是矩形，所以GM=HC=m﹣n， 如圖2中，當(dāng)E與A重合時，四邊形EFGH是矩形，M與G重合，MG=0， 綜上所述，0≤MG≤m﹣n． （3）解：如圖3中， ∵AE=DH=CG=BF=x，AD=BC=15，AB=CD=25， ∴DE=BG=15﹣x，CH=AF=25﹣x， ∴S=1525﹣2x（15﹣x）+2x（25﹣x）=2x2﹣40x+375=2（x﹣10）2=2（x﹣10）2+175． ∵2＞0， ∴x=10時，S有最大值，最大值為175． 　 24．已知拋物線y=ax2+2（a+1）x+（a≠0）與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）兩點，與y軸交于C點．經(jīng)過第三象限中的定點D． （1）直接寫出C、D兩點的坐標(biāo)． （2）當(dāng)x=x0時，二次函數(shù)的值記住為y0，若存在點（x0，y0），使y0=x0成立，則稱點（x0，y0）為拋物線上的不動點，求證：拋物線y=ax2+2（a+1）x+存在兩個不動點． （3）當(dāng)△ABD的面積等于△CBD時，求a的值． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）令x=0即可求出C點坐標(biāo)，由定點可知在解析式中含有字母a的單項式之和為0，即可求出對應(yīng)的x的值；進(jìn)而求出點D坐標(biāo)； （2）令x=y=x0，運用一元二次方程的根的判別式即可進(jìn)行證明； （3）表示三角形面積根據(jù)題意列方程求解即可． 【解答】解：（1）y=ax2+2（a+1）x+，令x=0，解得y=， ∴C（0，）， y=ax2+2（a+1）x+=， 由題意可得：ax2+2ax=0， 解得：x=﹣2，或x=0（舍去） 當(dāng)x=﹣2時，y=﹣， ∴D（﹣2，﹣）； （2）由題意可得： x0=， ， △==4＞0， 所以方程總有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線y=ax2+2（a+1）x+存在兩個不動點； （3）如圖1 連接AC，由△ABD的面積等于△CBD可知AC∥BD， y=ax2+2（a+1）x+（a≠0），令y=0，得 x=或x=， 可知A（，0），B（，0）， 又OC=，D（﹣2，﹣）， 由AC∥BD可得， =， 解得：a=﹣2．