《八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 13 軸對(duì)稱教案 （新版）新人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 13 軸對(duì)稱教案 （新版）新人教版（113頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第十三章　軸對(duì)稱 1.通過(guò)讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)例欣賞,了解軸對(duì)稱、對(duì)稱軸以及軸對(duì)稱圖形的概念,體驗(yàn)軸對(duì)稱在現(xiàn)實(shí)生活中的運(yùn)用,掌握軸對(duì)稱的性質(zhì). 2.了解“線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”. 3.了解等腰三角形和等邊三角形的概念,掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定方法. 4.掌握“在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”. 1.在直觀感知、操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步學(xué)會(huì)說(shuō)理,掌握一定的演繹推理能力. 2.體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)無(wú)處不在,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情. 1.通過(guò)實(shí)例培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、思維能力、動(dòng)手能力、總結(jié)能力,體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,發(fā)展學(xué)生的空間觀念. 2.讓學(xué)生樹(shù)立挑戰(zhàn)困難的信心和勇氣,激發(fā)他們戰(zhàn)勝困難的信心和決心. 本章教材注重所學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系,強(qiáng)化觀察、操作等探索過(guò)程.在教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)上力求生動(dòng)有趣,貼近現(xiàn)實(shí)生活,對(duì)知識(shí)的陳述,不僅注重結(jié)果,而且盡量給學(xué)生提供一定的探索空間和手段,讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論,在探索的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的各種能力.本章主要內(nèi)容是圍繞等腰三角形展開(kāi)的,它是繼角和線段后接觸到的第三個(gè)軸對(duì)稱圖形,這部分內(nèi)容引入了較多的動(dòng)手操作和直觀感知,通過(guò)觀察、歸納等方法去探索和發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)和判定方法.與此同時(shí),采用適當(dāng)?shù)姆绞?進(jìn)行數(shù)學(xué)說(shuō)理,讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)證明的必要性,學(xué)會(huì)說(shuō)理,將合情推理和演繹推理兩者更好地有機(jī)結(jié)合.　　 【重點(diǎn)】 1.軸對(duì)稱的概念、性質(zhì)和判定. 2.等腰(或等邊)三角形的性質(zhì)和判定. 【難點(diǎn)】 1.利用軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行圖案設(shè)計(jì). 2.推理證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě). 1.在軸對(duì)稱這一節(jié)的認(rèn)識(shí)中,教師要注意通過(guò)大量的圖片,欣賞現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱圖形,體驗(yàn)軸對(duì)稱在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用,在探索中發(fā)現(xiàn)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì),讓學(xué)生體會(huì)軸對(duì)稱的思想和由特殊到一般的思想,要注意軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系. 2.畫(huà)軸對(duì)稱圖形這一節(jié)實(shí)質(zhì)上就是要利用軸對(duì)稱的性質(zhì),通過(guò)讓學(xué)生作軸對(duì)稱圖形,了解關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的特征,要注意讓學(xué)生動(dòng)手操作,觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律,形成能力.要注意給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)循序漸進(jìn)的探索過(guò)程. 3.等腰三角形這一節(jié)中,教師要注意讓學(xué)生動(dòng)手操作,通過(guò)等腰三角形的軸對(duì)稱變換得出等腰三角形的一些性質(zhì).對(duì)于等腰三角形“三線合一”的性質(zhì),學(xué)生不容易引起重視,但它的應(yīng)用很廣泛,教學(xué)中要適當(dāng)補(bǔ)充例題,讓學(xué)生鞏固對(duì)該性質(zhì)的掌握.對(duì)于等邊三角形的性質(zhì)和判定要讓學(xué)生結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和判定去考慮,要注重這些性質(zhì)和判定方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用. 4.本章的課題學(xué)習(xí),一定要讓學(xué)生多討論、多交流,總結(jié)規(guī)律,積累經(jīng)驗(yàn),掌握解題的思路和方法.教師一定要注意引導(dǎo),讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)最短路徑問(wèn)題的一般規(guī)律和特點(diǎn),從而形成能力. 13.1軸對(duì)稱 13.1.1軸對(duì)稱(1課時(shí)) 13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)(2課時(shí)) 3課時(shí) 13.2畫(huà)軸對(duì)稱圖形 2課時(shí) 13.3等腰三角形 13.3.1等腰三角形(2課時(shí)) 13.3.2等邊三角形(2課時(shí)) 4課時(shí) 13.4課題學(xué)習(xí)　最短路徑問(wèn)題 1課時(shí) 單元復(fù)習(xí) 1課時(shí) 13.1　軸對(duì)稱 1.理解和掌握軸對(duì)稱圖形和成軸對(duì)稱的定義. 2.通過(guò)學(xué)生的自主探究掌握線段的垂直平分線的性質(zhì). 3.能確定軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸,掌握畫(huà)對(duì)稱軸的方法. 1.在探索的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的觀察、操作的能力,發(fā)展學(xué)生的空間觀念. 2.通過(guò)對(duì)圖形的觀察、發(fā)現(xiàn),總結(jié)一些性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力. 1.在小組合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和積極性. 2.在動(dòng)手實(shí)踐中體會(huì)軸對(duì)稱在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用,感受數(shù)學(xué)美. 【重點(diǎn)】 1.軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì). 2.線段的垂直平分線的性質(zhì). 3.軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的確定. 【難點(diǎn)】 1.軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì). 2.線段垂直平分線的性質(zhì)的理解和應(yīng)用. 13.1.1　軸對(duì)稱 1.理解軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱的概念. 2.了解軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸,兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱的對(duì)稱軸、對(duì)稱點(diǎn). 3.掌握線段垂直平分線的概念. 4.理解和掌握軸對(duì)稱的性質(zhì). 1.通過(guò)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)幾何圖形的本質(zhì)特征. 2.通過(guò)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生抽象概括的能力. 3.能準(zhǔn)確畫(huà)出一個(gè)圖形的對(duì)稱軸,能利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題. 通過(guò)對(duì)軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的學(xué)習(xí),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望,主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng). 【重點(diǎn)】　軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱的概念. 【難點(diǎn)】　軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系. 【教師準(zhǔn)備】　教材章頭圖及圖13.1 - 1,13.1 - 2,13.1 - 3,13.1 - 4,13.1 - 5的投影片. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　搜集軸對(duì)稱圖形. 導(dǎo)入一: 我們生活在一個(gè)充滿對(duì)稱的世界中,許多建筑物都設(shè)計(jì)成對(duì)稱形,藝術(shù)作品的創(chuàng)作往往也從對(duì)稱角度考慮,自然界的許多動(dòng)植物也按對(duì)稱形生長(zhǎng),中國(guó)的方塊字中有些也具有對(duì)稱性……對(duì)稱給我們帶來(lái)很多美的感受!初步掌握對(duì)稱的奧妙,不僅可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一些圖形的特征,還可以使我們感受到自然界的美與和諧. 　　軸對(duì)稱是對(duì)稱中重要的一種,從這節(jié)課開(kāi)始,我們來(lái)學(xué)習(xí)第十三章:軸對(duì)稱. 導(dǎo)入二: 出示圖片:青山倒映在水中.這是什么景象呢?(對(duì)稱) 同學(xué)們可以想象,當(dāng)你放學(xué)回家,落日、晚霞,還有遠(yuǎn)處的青山倒映在平靜的水中,這樣如詩(shī)如畫(huà)的景致怎能不令人難忘!自遠(yuǎn)古以來(lái),對(duì)稱形式被認(rèn)為是和諧美麗的,不論是在自然界中還是在建筑里,甚至最普通的日常生活中,對(duì)稱的形式隨處可見(jiàn).本節(jié)課我們就一起去探究軸對(duì)稱的奧秘吧. [設(shè)計(jì)意圖]　兩個(gè)導(dǎo)入都是以生活中的軸對(duì)稱為例,勾勒美好的畫(huà)面,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)中的美,體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系,自然地引入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)之中. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　對(duì)稱現(xiàn)象無(wú)處不在,從自然景觀到藝術(shù)作品,從建筑物到交通標(biāo)志,甚至日常生活用品中,人們都可以找到對(duì)稱的例子. 一、探究軸對(duì)稱 【活動(dòng)1】　 展示教材章頭圖以及圖13.1 - 1. 教師展示生活中的圖片,讓學(xué)生欣賞圖片,感知對(duì)稱圖形;學(xué)生列舉所見(jiàn)到的圖形. 活動(dòng)中,教師明確: (1)對(duì)稱的多樣性,而其中軸對(duì)稱是重要的一種; (2)本節(jié)要探究的內(nèi)容是軸對(duì)稱和軸對(duì)圖形. [設(shè)計(jì)意圖]　展示的圖片,包含自然景觀、分子結(jié)構(gòu)、建筑物、藝術(shù)作品、動(dòng)物、植物、生活用品等與生活實(shí)際相關(guān)的圖形,讓學(xué)生感知對(duì)稱圖形,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.通過(guò)展示學(xué)生自制的圖片,讓學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際,主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng),感知數(shù)學(xué)與生活的密切相關(guān). 【活動(dòng)2】　 問(wèn)題: (1)把一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折,剪出一個(gè)圖案,再打開(kāi),就剪出了美麗的窗花,你能剪出什么樣的窗花呢? (2)觀察剪出的窗花和圖13.1 - 2中的圖形,你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特征? (3)聯(lián)系實(shí)際,你能舉出一個(gè)軸對(duì)稱圖形的例子嗎? 【師生活動(dòng)】　教師先把長(zhǎng)方形紙片對(duì)折,用剪刀剪出一個(gè)圖案,再打開(kāi)這個(gè)圖案,讓學(xué)生觀賞,然后學(xué)生自己動(dòng)手按要求剪紙.學(xué)生在觀察、互相交流的基礎(chǔ)上描述圖形的特征,教師歸納軸對(duì)稱圖形及軸對(duì)稱的概念,并板書(shū)概念,然后讓學(xué)生舉例. [知識(shí)拓展]　軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的,是一種具有特殊性質(zhì)的圖形,被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí),互相重合;軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是一條,也可以是多條,甚至是無(wú)數(shù)條. [設(shè)計(jì)意圖]　教師演示剪紙過(guò)程起示范作用,學(xué)生動(dòng)手剪紙是讓學(xué)生參與到活動(dòng)中去,發(fā)展學(xué)生的動(dòng)手能力,通過(guò)觀察、思考,讓學(xué)生互相交流,增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)能力. 【活動(dòng)3】 問(wèn)題: (1)教材圖13.1 - 3中,每對(duì)圖形有什么共同特征? (2)聯(lián)系實(shí)際,你能舉出一些生活中兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的例子嗎? 【師生活動(dòng)】　學(xué)生觀察、舉例、討論交流,教師引導(dǎo)得出兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱及對(duì)稱軸、對(duì)稱點(diǎn)的概念,并板書(shū)概念. [設(shè)計(jì)意圖]　學(xué)生通過(guò)觀察、舉例、主動(dòng)思考,認(rèn)識(shí)兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱的本質(zhì)特征,鼓勵(lì)學(xué)生善于觀察、勇于發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)合作意識(shí). 【活動(dòng)4】 問(wèn)題: (1)結(jié)合教材圖13.1 - 2和13.1 - 3進(jìn)行比較,軸對(duì)稱圖形與兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱有什么區(qū)別? (2)如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形,那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱嗎?如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體,它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形嗎? 【師生活動(dòng)】　學(xué)生根據(jù)兩組圖形的比較觀察,討論交流(1),教師引導(dǎo)學(xué)生得出區(qū)別. 教師提出問(wèn)題后,讓學(xué)生思考(2),進(jìn)一步明確軸對(duì)稱圖形與兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱之間的聯(lián)系. [知識(shí)拓展]　軸對(duì)稱包含兩層含義:(1)有兩個(gè)圖形,且這兩個(gè)圖形能夠完全重合,即形狀、大小完全相同;(2)對(duì)重合的方式有限制,只能是把它們沿一條直線對(duì)折后能夠重合. [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)學(xué)生舉例,獨(dú)自練習(xí)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的本質(zhì).通過(guò)比較觀察、相互討論進(jìn)一步認(rèn)識(shí)兩種圖形的本質(zhì)特征.讓學(xué)生運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物,發(fā)展學(xué)生抽象思維能力. 【活動(dòng)5】　 問(wèn)題: (1)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等嗎?全等的兩個(gè)圖形一定成軸對(duì)稱嗎?為什么? (2)在教材圖13.1 - 3中,你能標(biāo)出A,B,C的對(duì)稱點(diǎn)嗎? 【師生活動(dòng)】　學(xué)生獨(dú)立思考后,再展開(kāi)討論,教師參與學(xué)生討論,及時(shí)指導(dǎo). [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)練習(xí)進(jìn)一步鞏固兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱和對(duì)稱點(diǎn)的概念. 二、垂直平分線 思路一 問(wèn)題: (1)觀察教材圖13.1 - 4,線段AA,BB,CC與直線MN有什么關(guān)系? (2)在圖13.1 - 5中,你能測(cè)量出線段AA,BB與直線l的夾角嗎?它們與直線l垂直嗎? 你能用刻度尺測(cè)量出點(diǎn)A與A到直線l的距離嗎?點(diǎn)B與B到直線l呢? 【師生活動(dòng)】　教師引導(dǎo)學(xué)生從位置上觀察三條線段與直線MN的關(guān)系,教師利用投影動(dòng)畫(huà)展示A與A等重合的情形,線段垂直平分線的定義揭示了線段與對(duì)稱軸MN的關(guān)系:一是垂直;二是平分.從而歸納出軸對(duì)稱的性質(zhì). [設(shè)計(jì)意圖]　利用動(dòng)畫(huà)演示,讓學(xué)生一目了然,便于接受,采用多種方法豐富學(xué)習(xí)渠道,加深了對(duì)知識(shí)的理解和掌握. 思路二 觀察教材中圖13.1 - 4,線段AA與直線MN有怎樣的位置關(guān)系?你能說(shuō)明理由嗎? 引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出如下關(guān)系:AP=PA,∠MPA=∠MPA=90. 類似地,點(diǎn)B與點(diǎn)B,點(diǎn)C與點(diǎn)C是否也有同樣的關(guān)系?你能用語(yǔ)言歸納上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎? 結(jié)合學(xué)生發(fā)表的觀點(diǎn),教師總結(jié)并板書(shū): 對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn),并且垂直于這條線段. 在這個(gè)基礎(chǔ)上,教師給出線段的垂直平分線的概念,然后把上述規(guī)律概括成圖形軸對(duì)稱的性質(zhì). 上述性質(zhì)是對(duì)兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形來(lái)說(shuō)的,如果是一個(gè)軸對(duì)稱圖形,那么它的對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸之間是否也有同樣的關(guān)系呢?(結(jié)合教材圖13.1 - 5讓學(xué)生說(shuō)明) 從而得出:類似地,軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸,是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線. [知識(shí)拓展]　平面鏡看到的影像,也可以理解為是一種對(duì)稱現(xiàn)象.例如: 一面鏡子MN豎直懸掛在墻壁上,人眼O的位置如圖所示,有三個(gè)物體A,B,C放在鏡子的前面,人眼能從鏡子中看見(jiàn)哪個(gè)物體? 這道題是軸對(duì)稱在實(shí)際中的應(yīng)用,關(guān)鍵是建立相應(yīng)的軸對(duì)稱圖形的數(shù)學(xué)模型,再利用軸對(duì)稱知識(shí)來(lái)解決.物體在鏡子里面所成的像就是數(shù)學(xué)問(wèn)題中的物體關(guān)于鏡面的對(duì)稱點(diǎn),人眼從鏡子里所能看見(jiàn)的物體關(guān)于鏡面的對(duì)稱點(diǎn),必須在人眼的視線范圍內(nèi),所以分別作A,B,C三點(diǎn)關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A,B,C.顯然人從鏡子里只能看見(jiàn)A,B兩個(gè)物體. 1.軸對(duì)稱圖形. 軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸折疊,兩旁的部分能夠互相重合. 軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)圖形的某直線,可能只有一條,也可能不止一條. 2.軸對(duì)稱圖形與兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱既有區(qū)別又有聯(lián)系. 區(qū)別:軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形的特征,成軸對(duì)稱是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系. 聯(lián)系:二者都有對(duì)稱軸,如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體,那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形;如果把軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸兩旁的部分看成兩個(gè)圖形,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱. 3.軸對(duì)稱的性質(zhì):對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段. 1.一名同學(xué)想用正方形和圓設(shè)計(jì)一個(gè)圖案,要求整個(gè)圖案關(guān)于正方形的某條對(duì)角線所在直線對(duì)稱,那么下列圖案中不符合要求的是 (　　) 答案:D 2.如圖所示,正方形地磚的圖案是軸對(duì)稱圖形,該圖形的對(duì)稱軸有 (　　) 　　A.1條 B.2條 C.4條 D.8條 解析:這是一個(gè)正八邊形,對(duì)稱軸有4條.故選C. 3.如圖所示的是經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換后所得的圖形,與原圖形相比 (　　) A.形狀沒(méi)有改變,大小沒(méi)有改變 B.形狀沒(méi)有改變,大小有改變 C.形狀有改變,大小沒(méi)有改變 D.形狀有改變,大小有改變 解析:∵軸對(duì)稱變換不改變圖形的形狀與大小,∴與原圖形相比,形狀沒(méi)有改變,大小沒(méi)有改變.故選A. 4.如圖所示,由4個(gè)大小相同的正方形組成的L形圖案. (1)請(qǐng)你改變1個(gè)正方形的位置,使它變成軸對(duì)稱圖形; (2)請(qǐng)你再添加一個(gè)小正方形,使它變成軸對(duì)稱圖形. 解:(1)(2)答案不唯一,如圖所示. 13.1.1　軸對(duì)稱 一、探究軸對(duì)稱 1.軸對(duì)稱圖形 2.軸對(duì)稱 二、垂直平分線 1.垂直平分線 2.軸對(duì)稱的性質(zhì) 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第60頁(yè)練習(xí)第1,2題. 【選做題】 教材第64頁(yè)習(xí)題13.1第1,2,3題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.下列圖案中,不是軸對(duì)稱圖形的是 (　　) 2.下面幾何圖形中,一定是軸對(duì)稱圖形的有 (　　) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 3.如圖所示,下面圖形中不是軸對(duì)稱圖形的是 (　　) 【能力提升】 4.如圖所示,在下面一組圖形符號(hào)中找出它們所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律,然后在橫線上的空白處填上恰當(dāng)?shù)膱D形. 5.如圖所示,在長(zhǎng)方形的臺(tái)球桌面上,選擇適當(dāng)?shù)慕嵌却驌舭浊?可以使白球經(jīng)過(guò)兩次反彈后將黑球直接撞入袋中,此時(shí)∠1=∠2,∠3=∠4,并且∠2+∠3=90,∠4+∠5=90.如果黑球與洞口的連線和臺(tái)球桌面邊緣的夾角∠5=30,那么∠1應(yīng)該等于多少度才能保證黑球準(zhǔn)確入袋?請(qǐng)說(shuō)明理由. 【拓展探究】 6.如圖所示,ΔABC與ΔDEF關(guān)于直線MN對(duì)稱,其中∠C=90,AC=8 cm,DE=10 cm,BC=6 cm. (1)線段AD與MN的關(guān)系是什么? (2)求∠F的度數(shù); (3)求ΔABC的周長(zhǎng)和ΔDEF的面積. 【答案與解析】 1.A 2.C(解析:圓弧、角、等腰梯形都是軸對(duì)稱圖形.故選C.) 3.B 4.(解析:從圖中可以發(fā)現(xiàn)所有的圖形都是軸對(duì)稱圖形,而且圖形從左到右分別是數(shù)字1,2,3,4,5,7,所以畫(huà)一個(gè)軸對(duì)稱圖形且數(shù)字為6即可.) 5.解:如圖所示,∵∠5=30,∴∠7=∠5=30, ∵∠3=∠4,∴∠7=∠6=30,∴∠2=∠6=30,∴∠1=∠2=30.答:∠1等于30度時(shí),才能保證 黑球能準(zhǔn)確入袋. 6.解:(1)∵ΔABC與ΔDEF關(guān)于直線MN對(duì)稱,∴MN垂直平分AD.　(2)由題意得ΔABC≌ΔDEF,∴∠F=∠C=90.　(3)∵AC=8 cm,DE=10 cm,BC=6 cm,∴DE=AB=10 cm,∴ΔABC的周長(zhǎng)=6+8+10=24(cm);ΔDEF的面積=68=24(cm2). 軸對(duì)稱圖形是一個(gè)較抽象的概念,教師在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn),設(shè)計(jì)了這堂課,在教學(xué)中始終以學(xué)生為主體,著力引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)操作、觀察、比較、思考、交流、討論等活動(dòng),主動(dòng)獲取知識(shí),掌握和理解軸對(duì)稱圖形的概念和基本特點(diǎn),并在自主探索中體會(huì)到探索之趣,成功之樂(lè),培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,更發(fā)展了學(xué)生的探索能力. 1.學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的概念容易混淆,教師分析的不到位. 2.對(duì)于軸對(duì)稱和軸對(duì)稱的性質(zhì)教師還可以適當(dāng)?shù)募右匝由? 3.對(duì)于知識(shí)的歸納和總結(jié)教師說(shuō)得多,學(xué)生說(shuō)得少. 對(duì)于軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱這兩個(gè)概念要指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地加以區(qū)分,可以從兩方面考慮:一是概念;二是它們的區(qū)別和聯(lián)系,要讓學(xué)生明確成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形如果看成一個(gè)整體,它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.對(duì)于它們的性質(zhì),一定要讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、歸納,在不足的情況下,讓學(xué)生互相補(bǔ)充,能讓學(xué)生說(shuō)出來(lái)的,教師絕不包辦代替,給學(xué)生自由思考和交流的空間,讓他們自主探索,全面發(fā)展. 練習(xí)(教材第60頁(yè)) 1.解:(1)(2)(3)(5)是軸對(duì)稱圖形,(1)(2)(3)有一條對(duì)稱軸;(5)有四條對(duì)稱軸. 2.解:(1)(3)兩個(gè)圖案是軸對(duì)稱的,對(duì)稱軸各有一條,對(duì)稱點(diǎn)略. 　　　(2014泉州中考)正方形的對(duì)稱軸的條數(shù)為 (　　) 　　A.1 B.2 C.3 D.4 　　〔答案〕　D 　(2014蘭州中考)在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中,是軸對(duì)稱圖形的是 (　　) 〔答案〕　A 　　　(2014泰安中考)下列四個(gè)圖形,其中是軸對(duì)稱圖形,且對(duì)稱軸的條數(shù)為2的圖形的個(gè)數(shù)是 (　　) A.1 B.2　 C.3 D.4 　　〔答案〕　C 　(2014南寧中考)下列圖形中,是軸對(duì)稱圖形的是 (　　) 〔答案〕　D 13.1.2　線段的垂直平分線的性質(zhì) 1.理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定方法. 2.能利用軸對(duì)稱的性質(zhì)作出一個(gè)圖形的對(duì)稱軸. 1.在觀察、操作、思考的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和判定方法. 2.掌握作軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸的方法. 增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心. 【重點(diǎn)】 1.線段垂直平分線的性質(zhì)和判定方法. 2.軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的確定. 【難點(diǎn)】　線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定方法的應(yīng)用. 第課時(shí)　 1.掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定. 2.能靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題. 通過(guò)經(jīng)歷線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定的證明過(guò)程,體驗(yàn)邏輯推理的數(shù)學(xué)方法. 通過(guò)認(rèn)識(shí)上的升華,使學(xué)生加深對(duì)命題證明的認(rèn)識(shí). 【重點(diǎn)】 1.線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定. 2.能靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題. 【難點(diǎn)】　靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題. 【教師準(zhǔn)備】　三角尺、圓規(guī)、直尺. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　三角尺、圓規(guī)、直尺. 導(dǎo)入一: 我們已經(jīng)知道了線段是軸對(duì)稱圖形,線段的垂直平分線就是它的對(duì)稱軸.那么線段的垂直平分線有什么性質(zhì)呢?這節(jié)課我們就來(lái)研究它. 導(dǎo)入二: 為方便居民的出行,準(zhǔn)備在小河上修建一座橋.為了讓A和B兩個(gè)社區(qū)的居民到橋的距離都相等,建橋的位置應(yīng)該選在哪?　　 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　已知線段a,以a為底邊的等腰三角形有幾個(gè)?如果用三角尺和刻度尺,你能畫(huà)出至少三個(gè)嗎? 利用三角尺、刻度尺作出線段的垂直平分線,在垂直平分線上取點(diǎn),連接可得滿足條件的等腰三角形. 在這里,我們利用了線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 那么這條性質(zhì)又是怎么證明的呢?下面我們一起來(lái)研究. 線段垂直平分線的性質(zhì) 思路一 1.整體感知 請(qǐng)同學(xué)們先根據(jù)這個(gè)命題畫(huà)出圖形(如圖所示),寫(xiě)出已知、求證. 2.師生互動(dòng) 【互動(dòng)1】 【師】　這是證明線段相等的命題,回憶以前證明角的平分線的性質(zhì)的方法,會(huì)得到什么啟發(fā)? 【生】　可以利用“SAS”證明ΔPAC≌ΔPBC,從而得到PA=PB. 【師】　很好,這樣就得到了線段的垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. [知識(shí)拓展]　(1)線段垂直平分線的性質(zhì)是線段垂直平分線上所有點(diǎn)都具有的共同特征,即線段垂直平分線上的每一個(gè)點(diǎn)到線段兩端的距離都相等. (2)由性質(zhì)定理的證明可知,要證明一個(gè)圖形上每一個(gè)點(diǎn)都具有這種性質(zhì),只需要在圖形上任取一點(diǎn)作代表即可. (3)這個(gè)定理向我們提供了一個(gè)證明線段相等的方法. 說(shuō)明:今后我們可以直接利用這個(gè)性質(zhì)得到有關(guān)線段相等,同時(shí)這也可以當(dāng)作等腰三角形的一種判定方法. 【互動(dòng)2】 【師】　反過(guò)來(lái),與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是否一定在這條線段的垂直平分線上呢?我們也可以通過(guò)“證明”來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題. 【生】　畫(huà)出圖形(如圖所示),寫(xiě)出已知,求證. 【師】　為了證明Q點(diǎn)在AB的垂直平分線上,可以過(guò)Q作輔助線,先構(gòu)造“垂直或平分”中的一個(gè)關(guān)系,去證明另一個(gè).特別要注意防止“過(guò)Q作線段AB的垂直平分線”這種錯(cuò)誤.你能根據(jù)提示,說(shuō)出證明過(guò)程嗎? 【生】　…… 【師】　在證明過(guò)程中,我們又得到了線段垂直平分線的判定方法:與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上. 【生】　判定方法只能判定點(diǎn)在線段的垂直平分線上,那么怎么才能判定這條直線就是線段的垂直平分線呢? 【師】　這個(gè)問(wèn)題提得很好,大家想一想,幾點(diǎn)確定一條直線? 【生】　兩點(diǎn). 【師】　所以,只要我們能證明一條直線上有兩點(diǎn)滿足判定方法的條件,那么這條直線就一定是線段的垂直平分線. [知識(shí)拓展]　(1)要證明某條直線是某條線段的垂直平分線,有兩種證明方法:一是根據(jù)定義去證明;二是根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”,證明直線上的兩個(gè)點(diǎn)都在這條線段的垂直平分線上. (2)根據(jù)線段垂直平分線的判定定理可以作線段的垂直平分線. 【互動(dòng)3】 【師】　(出示例1)尺規(guī)作圖:經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線. 已知:直線AB和AB外一點(diǎn)C. 求作:AB的垂線,使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C. 【師】　指導(dǎo)作法,師生共同完成,讓學(xué)生思考:為什么直線CF就是所求作的垂線? 【生】　討論,小組代表發(fā)言. 思路二 1.線段的垂直平分線的性質(zhì) (教師出示教材第61頁(yè)探究,讓學(xué)生測(cè)量,思考有什么發(fā)現(xiàn)?) 如圖所示,直線l垂直平分線段AB,P1,P2,P3,…是l上的點(diǎn),分別量一量點(diǎn)P1,P2,P3,…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離,你有什么發(fā)現(xiàn)? 學(xué)生回答,教師小結(jié):線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 性質(zhì)的證明: (教師講解題意并在黑板上畫(huà)出圖形) 上述問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以這樣表示:如圖所示,設(shè)直線MN是線段AB的垂直平分線,點(diǎn)C是垂足,點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn),連接PA,PB,我們要證明的是PA=PB. 教師分析證明思路:圖中有兩個(gè)直角三角形,ΔAPC和ΔBPC,只要證明這兩個(gè)三角形全等,便可證得PA=PB. 教師要求學(xué)生自己寫(xiě)已知、求證,并證明. (學(xué)生證明完后教師板書(shū)證明過(guò)程供學(xué)生對(duì)照) 已知:MN⊥AB,垂足為點(diǎn)C,AC=BC,點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn). 求證:PA=PB. 證明:在ΔAPC和ΔBPC中, ∵PC=PC(公共邊), ∠PCB=∠PCA(垂直定義), AC=BC(已知), ∴ΔAPC≌ΔBPC(SAS). ∴PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等). 因?yàn)辄c(diǎn)P是線段的垂直平分線上一點(diǎn),于是就有:線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 2.線段的垂直平分線的判定 你能寫(xiě)出上面這個(gè)命題的逆命題嗎?它是真命題嗎?這個(gè)命題不是“如果……那么……”的形式,要寫(xiě)出它的逆命題,需分析原命題的條件和結(jié)論,將原命題寫(xiě)成“如果……那么……”的形式,逆命題就容易寫(xiě)出.鼓勵(lì)學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論. 原命題的條件是“有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)”,結(jié)論是“這個(gè)點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”. 此時(shí),逆命題就很容易寫(xiě)出來(lái),“如果有一個(gè)點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上”. 寫(xiě)出逆命題后,就想到判斷它的真假.如果真,那么需證明它;如果假,那么需用反例說(shuō)明.請(qǐng)同學(xué)們自行在練習(xí)本上完成. 學(xué)生給出了如下的四種證法. 已知:線段AB,點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn),且PA=PB. 求證:P點(diǎn)在AB的垂直平分線上. 證法1:過(guò)點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC,∵PA=PB,PC=PC,∴RtΔPAC≌RtΔPBC(HL).∴AC=BC,即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上. 證法2:取AB的中點(diǎn)C,過(guò)P,C作直線. ∵PA=PB,PC=PC,AC=CB, ∴ΔAPC≌ΔBPC(SSS). ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等). 又∵∠PCA+∠PCB=180, ∴∠PCA=∠PCB=90,即PC⊥AB, ∴P點(diǎn)在AB的垂直平分線上. 證法3:過(guò)P點(diǎn)作∠APB的平分線, ∵PA=PB,∠1=∠2,PC=PC, ∴ΔAPC≌ΔBPC(SAS). ∴AC=BC,∠PCA=∠PCB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等). 又∵∠PCA+∠PCB=180, ∴∠PCA=∠PCB=90, ∴P點(diǎn)在AB的垂直平分線上. 證法4:過(guò)P點(diǎn)作線段AB的垂直平分線PC. ∵AC=CB,∠PCA=∠PCB=90,∴P在AB的垂直平分線上, 四種證法由學(xué)生表述后,有學(xué)生提問(wèn):“前三個(gè)同學(xué)的證明是正確的,而第四個(gè)同學(xué)的證明我有點(diǎn)弄不懂.” 【師生共析】　如圖(1)所示,PD⊥AB,D是垂足,但D不平分AB;如圖(2)所示,PD平分AB,但PD不垂直于AB.這說(shuō)明一般情況下,“過(guò)P作AB的垂直平分線”是不可能實(shí)現(xiàn)的,所以第四個(gè)同學(xué)的證法是錯(cuò)誤的. 從同學(xué)們的推理證明過(guò)程可知線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆命題是真命題,我們把它稱為線段的垂直平分線的判定. 我們?cè)谜奂埖姆椒ㄕ鄢鲞^(guò)線段的垂直平分線,現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定,能否用尺規(guī)作圖的方法作出已知線段的垂直平分線呢? 要作出線段的垂直平分線,根據(jù)垂直平分線的判定:與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上,那么我們必須找到兩個(gè)與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),這樣才能確定已知線段的垂直平分線. 下面我們一同來(lái)寫(xiě)出已知、求作、作法,體會(huì)作法中每一步的依據(jù). 　尺規(guī)作圖:經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線. 已知:直線AB和AB外一點(diǎn)C(如圖所示). 求作:AB的垂線,使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C. 作法:(1)任意取一點(diǎn)K,使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁. (2)以點(diǎn)C為圓心,CK長(zhǎng)為半徑作弧,交AB于點(diǎn)D和E. (3)分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心,大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)F. (4)作直線CF. 直線CF就是所求作的垂線, 【師】　根據(jù)上面作法中的步驟,想一想,為什么直線CF就是所求作的垂線?請(qǐng)與同伴進(jìn)行交流. 【生】　從作法的第(2)(3)步可知CD=CE,DF=EF, ∴C,F都在AB的垂直平分線上(線段的垂直平分線的判定). ∴CF就是線段AB的垂直平分線(兩點(diǎn)確定一條直線). 【師】　我們?cè)每潭瘸哒揖€段的中點(diǎn),當(dāng)我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的作法后,一旦垂直平分線作出,線段與線段的垂直平分線的交點(diǎn)就是線段的中點(diǎn),所以我們也用這種方法找線段的中點(diǎn). 1.線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)互為逆命題. 2.線段的垂直平分線的集合定義包含兩個(gè)意思. (1)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)都在線段的垂直平分線上. (2)在線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 1.如圖所示,ΔABC中,DE是AC的垂直平分線,AE=4 cm,ΔABD的周長(zhǎng)為14 cm,則ΔABC的周長(zhǎng)為 (　　) 　　A.18 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm 解析:∵DE是AC的垂直平分線,∴AD=CD,∴ΔABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,∵AE=4 cm,∴AC=2AE=24=8(cm),∴ΔABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=14+8=22(cm).故選B. 第1題圖 第2題圖 　　2.如圖所示,四邊形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足為E,下列結(jié)論不一定成立的是 (　　) A.AB=AD B.CA平分∠BCD C.AB=BD D.ΔBEC≌ΔDEC 解析:∵AC垂直平分BD,∴AB=AD,BC=CD,EB=DE,在RtΔBCE和RtΔDCE中,∴RtΔBCE≌RtΔDCE(HL),∴∠BCE=∠DCE,∴CA平分∠BCD.故選C. 3.如圖所示,在ΔABC中,AB=AC,∠A=36,AB的垂直平分線DE交AC于D,交AB于E,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 (　　) A.BD平分∠ABC B.ΔBCD的周長(zhǎng)等于AB+BC C.AD=BD=BC D.點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn) 解析:∵在ΔABC中,AB=AC,∠A=36,∴∠ABC=∠C==72,∵AB的垂直平分線是DE,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=36,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72-36=36=∠ABD,∴BD平分∠ABC,故A正確;ΔBCD的周長(zhǎng)為BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故B正確;∵∠DBC=36,∠C=72,∴∠BDC=180-∠DBC-∠C=72,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴AD=BD=BC,故C正確;∵BD>CD,∴AD>CD,∴點(diǎn)D不是線段AC的中點(diǎn),故D錯(cuò)誤.故選D. 4.如圖所示,已知DE是AC的垂直平分線,AB=10 cm,BC=11 cm,求ΔABD的周長(zhǎng). 解析:先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=CD,故可得出BD+AD=BD+CD=BC,進(jìn)而可得出結(jié)論. 解:∵DE垂直平分AC, ∴AD=CD, ∴BD+AD=BD+CD=BC=11 cm, 又∵AB=10 cm, ∴ΔABD的周長(zhǎng)=AB+BC=10+11=21(cm). 線段垂直平分線的性質(zhì) 性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 判定:與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上. 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第62頁(yè)練習(xí)第1,2題. 【選做題】 教材第64頁(yè)習(xí)題13.1第6題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.如圖所示,直線CD是線段AB的垂直平分線,P為直線CD上的一點(diǎn),已知線段PA=5,則線段PB的長(zhǎng)度為 (　　) A.6 B.5 C.4 D.3 第1題圖 第2題圖 2.如圖所示,ΔABC的周長(zhǎng)為30 cm,把ΔABC的邊AC對(duì)折,使頂點(diǎn)C和點(diǎn)A重合,折痕交BC邊于點(diǎn)D,交AC邊于點(diǎn)E,連接AD,若AE=4 cm,則ΔABD的周長(zhǎng)是 (　　) A.22 cm B.20 cm C.18 cm D.15 cm 3.如圖所示,AC=AD,BC=BD,則有 (　　) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB與CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB 第3題圖 第4題圖 4.如圖所示,RtΔABC中,∠C=90,斜邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,AE平分∠BAC,那么下列關(guān)系式中不成立的是 (　　) A.∠B=∠CAE B.∠DEA=∠CEA C.∠B=∠BAE D.AC=2EC 5.某公園有海盜船、摩天輪、碰碰車三個(gè)娛樂(lè)項(xiàng)目,現(xiàn)要在公園內(nèi)建一個(gè)售票中心,使得三個(gè)娛樂(lè)項(xiàng)目所處位置到售票中心的距離相等,請(qǐng)?jiān)趫D中確定售票中心的位置. 【能力提升】 6.如圖所示,ΔABC中,AB=AC=5,AB的垂直平分線DE分別交AB,AC于E,D, (1)若ΔBCD的周長(zhǎng)為8,求BC的長(zhǎng); (2)若BC=4,求ΔBCD的周長(zhǎng). 第6題圖 第7題圖 7.如圖所示,在ΔABC中,AB=AC,AD垂直平分EF. (1)求證BE=CF; (2)將條件“AD垂直平分EF”換成另一個(gè)條件,使得結(jié)論BE=CF仍成立,請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)條件. 【拓展探究】 8.如圖所示,ΔABC的兩邊AB,AC的垂直平分線分別交BC于D,E,若∠BAC+∠DAE=150,求∠BAC的度數(shù). 【答案與解析】 1.B(解析:∵直線CD是線段AB的垂直平分線,P為直線CD上的一點(diǎn),∴PB=PA,而已知線段PA=5,∴PB=5.故選B.) 2.A(解析:由折疊知DE垂直平分AC,∴AE=CE=4 cm,AD=CD,∴ΔABD的周長(zhǎng)=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=30-8=22(cm).) 3.A(解析:∵AC=AD,BC=BD,∴點(diǎn)A,B在線段CD的垂直平分線上,∴AB垂直平分CD.故選A.) 4.D(解析:A.∵ED⊥AB,且BD=AD,∴∠B=∠DAE,又∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠DAE.故∠B=∠CAE,正確;B.在ΔADE與ΔACE中,∠CAE=∠DAE,∠C=∠ADE=90,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠DEA=∠CEA,正確;C.∵ED⊥AB,且BD=AD,∴∠B=∠BAE,正確;D.不一定成立.故選D.) 5.解:如圖所示,①連接AB,AC;②分別作線段AB,AC的垂直平分線,兩垂直平分線相交于點(diǎn)P,則P即為售票中心的位置. 6.解:(1)AB=AC=5,DE垂直平分AB,故BD=AD,∴BD+CD=AD+CD=5.∵ΔBCD的周長(zhǎng)為8,∴BC=3.　(2)∵BC=4,BD+CD=5,∴ΔBCD的周長(zhǎng)=BD+CD+BC=9. 7.(1)證明:∵AB=AC,AD垂直EF,根據(jù)直角三角形全等,得BD=CD.∵AD平分EF,∴DE=DF.∴BE=CF.　(2)解:換成條件AE=AF(答案不唯一). 8.解:∵ΔABC的兩邊AB,AC的垂直平分線分別交BC于D,E,∴DA=DB,EA=EC,∴∠B=∠DAB,∠C=∠EAC(等邊對(duì)等角,下節(jié)課會(huì)學(xué)到).∵∠BAC+∠DAE=150,①　∴∠B+∠C+2∠DAE=150.∵∠B+∠C+∠BAC=180,∴180-∠BAC+2∠DAE=150,即∠BAC-2∠DAE=30.②　由①②組成方程組 解得∠BAC=110. 在導(dǎo)入新課這一環(huán)節(jié)上教師先讓學(xué)生作一個(gè)以線段a為底的等腰三角形,直接說(shuō)明此舉是利用了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,然后引導(dǎo)學(xué)生證明.在這一過(guò)程中讓學(xué)生主動(dòng)積極地參與到教學(xué)中來(lái),使學(xué)生通過(guò)作圖、觀察、量一量得出結(jié)論.從而把知識(shí)的形成過(guò)程轉(zhuǎn)化為學(xué)生親自參與、發(fā)現(xiàn)、探索的過(guò)程.在教學(xué)時(shí),引導(dǎo)學(xué)生分析性質(zhì)定理的題設(shè)與結(jié)論,畫(huà)圖時(shí)寫(xiě)出已知、求證,通過(guò)分析由學(xué)生得出證明性質(zhì)定理的方法,這個(gè)過(guò)程既是探索過(guò)程也是調(diào)動(dòng)學(xué)生動(dòng)腦思考的過(guò)程,只有學(xué)生動(dòng)腦思考了,才能真正理解線段垂直平分線的性質(zhì)定理以及證明方法.在此基礎(chǔ)上再提出如果有兩點(diǎn)到線段的兩端點(diǎn)的距離相等,這樣的點(diǎn)應(yīng)在什么樣的直線上?由條件得出這樣的點(diǎn)在線段的垂直平分線上,從而引出性質(zhì)定理的逆定理,由上述兩個(gè)定理使學(xué)生進(jìn)一步知道線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.這樣可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)理論來(lái)源于實(shí)踐又服務(wù)于實(shí)踐的道理,也能提高他們學(xué)習(xí)的積極性,加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解. 在教學(xué)過(guò)程中,教師沒(méi)有設(shè)計(jì)相應(yīng)的習(xí)題,只注意對(duì)知識(shí)的講解,時(shí)間安排得過(guò)于緊湊,這樣整個(gè)教學(xué)過(guò)程是以講授新知為主,應(yīng)該邊進(jìn)邊練,講練結(jié)合,這樣才能提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握程度.講是一方面,更主要的是在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上加以鞏固和提升. 在教學(xué)過(guò)程中教師可針對(duì)線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的例題,對(duì)于尺規(guī)作圖的應(yīng)用,教師可設(shè)計(jì)生活中的實(shí)際問(wèn)題,讓學(xué)生確定位置或點(diǎn)的習(xí)題.另外要注重線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和逆定理的比較,讓學(xué)生加深印象,讓學(xué)生明確什么時(shí)候用性質(zhì)定理,什么時(shí)候用判定定理. 練習(xí)(教材第62頁(yè)) 1.解:AB=AC=CE,理由如下:因?yàn)锳D⊥BC,BD=DC,所以AD是線段BC的垂直平分線,所以AB=AC.又因?yàn)辄c(diǎn)C在AE的垂直平分線上,所以AC=CE,所以AB=AC=CE.AB+BD=DE,理由是:因?yàn)锽D=DC,AB=AC=CE,所以AB+BD=DC+CE=DE,即AB+BD=DE. 2.解:直線AM是線段BC的垂直平分線,理由如下:因?yàn)锳B=AC,所以點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上.因?yàn)镸B=MC,所以點(diǎn)M也在線段BC的垂直平分線上.又因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線,所以直線AM是線段BC的垂直平分線. 線段垂直平分線的性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 如果一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn),那么這個(gè)點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.D是線段AB垂直平分線上任意一點(diǎn),要證明垂直平分線上每一點(diǎn)都具有這樣的性質(zhì),只需要在圖形上任取一點(diǎn)作代表,這種證明的思想是我們所應(yīng)掌握的.這個(gè)結(jié)論的成立主要是通過(guò)證三角形全等,ΔAOD≌ΔBOD,所以DA=DB.隨著D在垂直平分線上的移動(dòng),兩個(gè)三角形的形狀在發(fā)生變化,但這兩個(gè)三角形始終是全等的(如圖所示). 符號(hào)語(yǔ)言: (1)∵D是線段AB垂直平分線上的點(diǎn), ∴DA=DB(線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等). (2)∵OD⊥AB,AO=BO, 　　∴DA=DB(線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等). 　某旅游景區(qū)內(nèi)有一塊三角形綠地ABC,如圖(1)所示,現(xiàn)要在道路AB的邊緣上建一個(gè)休息亭M,使它到A,C兩點(diǎn)的距離相等.在圖中確定休息亭M的位置. 〔解析〕　作AC的垂直平分線交AB于M,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到MA=MC,則點(diǎn)M滿足條件. (1) (2) 　　解:如圖(2)所示,作AC的垂直平分線交AB于M點(diǎn),則點(diǎn)M即為所求. 第課時(shí)　 會(huì)畫(huà)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸. 通過(guò)畫(huà)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱及軸對(duì)稱的性質(zhì). 通過(guò)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的畫(huà)法,進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造美好生活的熱情和愿望. 【重點(diǎn)】　軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的畫(huà)法. 【難點(diǎn)】　軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的畫(huà)法. 【教師準(zhǔn)備】　直尺和圓規(guī). 【學(xué)生準(zhǔn)備】　直尺和圓規(guī). 導(dǎo)入一: 提出問(wèn)題: (1)如果兩個(gè)平面圖形成軸對(duì)稱,你能用什么辦法可以驗(yàn)證? (2)不經(jīng)過(guò)折疊,你能用什么方法畫(huà)出它的對(duì)稱軸? [設(shè)計(jì)意圖]　讓學(xué)生說(shuō)出折疊法可以驗(yàn)證,加深對(duì)軸對(duì)稱的理解,接著又提出問(wèn)題,引起學(xué)生思考,從而引出新課. 導(dǎo)入二: 【問(wèn)題1】　什么是軸對(duì)稱?兩個(gè)圖形關(guān)于某直線成軸對(duì)稱一定能夠完全重合嗎? 【問(wèn)題2】　什么是對(duì)稱軸?請(qǐng)你舉出一個(gè)有兩條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形. 學(xué)生思考后回答,教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng). [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)復(fù)習(xí)提問(wèn),讓學(xué)生明確關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形與直線的關(guān)系;以及這兩個(gè)圖形的特征,明確對(duì)稱軸是一條直線,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備. 導(dǎo)入三: 下面的交通標(biāo)志是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是軸對(duì)稱圖形,你能找到它的對(duì)稱軸嗎? 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　我們掌握了軸對(duì)稱的性質(zhì),根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),我們就可以作出一個(gè)圖形的對(duì)稱軸. 活動(dòng):畫(huà)對(duì)稱軸 【說(shuō)明】　我們已經(jīng)學(xué)過(guò),如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線,所以我們只要找到兩個(gè)圖形的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn),然后畫(huà)出以對(duì)應(yīng)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線即可,如何作線段的垂直平分線呢? 　(教材例2)如圖(1)所示,已知點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱,你能作出這條直線嗎? 〔解析〕　我們只要連接點(diǎn)A和點(diǎn)B,作出線段AB的垂直平分線,就可以得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的對(duì)稱軸,為此作出到點(diǎn)A,B距離相等的兩點(diǎn),即線段AB的垂直平分線上的兩點(diǎn),從而作出線段AB的垂直平分線. 教師具體分析畫(huà)法、寫(xiě)出畫(huà)法,根據(jù)畫(huà)法作出圖形. 學(xué)生模仿教師的畫(huà)法,邊寫(xiě)畫(huà)法,邊畫(huà)圖. 作法:如圖(2)所示. (1)分別以點(diǎn)A,B為圓心,以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧(想一想為什么),兩弧相交于C,D兩點(diǎn); (2)作直線CD. CD就是所求作的直線. 這個(gè)作法實(shí)際上就是線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖. 教師引導(dǎo)學(xué)生思考: (1)在作法中為什么有CA=CB,DA=DB? (2)可以用這種方法找線段的中點(diǎn)嗎?四等分點(diǎn)呢? 　如圖(1)所示,ΔABC和ΔABC是兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形,請(qǐng)畫(huà)出它的對(duì)稱軸. 教學(xué)方法:啟發(fā)學(xué)生把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決問(wèn)題,只要畫(huà)出點(diǎn)A、點(diǎn)A連線的垂直平分線即可.同時(shí)提示學(xué)生思考還有其他作法嗎? 　圖(1)是一個(gè)五角星,請(qǐng)畫(huà)出它的對(duì)稱軸. 教學(xué)方法:引導(dǎo)學(xué)生思考五角星有幾條對(duì)稱軸,點(diǎn)A可以和哪些點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)?最后化歸到例2,由學(xué)生自己完成. [知識(shí)拓展]　畫(huà)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸,實(shí)際上就是應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì),找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線就是軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸.畫(huà)一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸時(shí),一定要將所有的對(duì)稱軸都畫(huà)出來(lái).在畫(huà)對(duì)稱軸時(shí),也可以取兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中點(diǎn),過(guò)這兩點(diǎn)的直線,即為對(duì)稱軸. 作對(duì)稱軸的前提是兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱或一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形,否則,不存在對(duì)稱軸,兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱時(shí),任找一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn),作出連接它們的線段的垂直平分線就是對(duì)稱軸.對(duì)于軸對(duì)稱圖形,由于對(duì)稱軸可能不是唯一的,因此,要注意選取不同類型的對(duì)應(yīng)點(diǎn),作出其所有的對(duì)稱軸. 1.正六邊形的對(duì)稱軸有 (　　) 　　A.3條 B.6條 C.9條 D.12條 解析:如圖所示,正六邊形的對(duì)稱軸有6條.故選B. 2.如圖所示的四角星圖形是軸對(duì)稱圖形,它共有對(duì)稱軸 (　　) A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 解析:如圖所示,共有4條對(duì)稱軸.故選D. 3.下列圖形中,對(duì)稱軸條數(shù)最多的是 (　　) 解析:A.如圖(1)所示,該圖形的對(duì)稱軸有4條;B.如圖(2)所示,該圖形的對(duì)稱軸有6條;C.如圖(3)所示,該圖形的對(duì)稱軸有3條;D.如圖(4)所示,該圖形的對(duì)稱軸有5條.綜上所述,對(duì)稱軸條數(shù)最多的是B選項(xiàng).故選B. 4.如圖所示,作出它們的對(duì)稱軸. 解析:找對(duì)稱點(diǎn),作對(duì)稱點(diǎn)連線的垂直平分線即為對(duì)稱軸. 解:如圖所示. 第2課時(shí) 活動(dòng):畫(huà)對(duì)稱軸 步驟: 1.任意找一組對(duì)稱點(diǎn); 2.連接對(duì)稱點(diǎn); 3.畫(huà)出對(duì)稱點(diǎn)的垂直平分線,該垂直平分線即為該圖形的對(duì)稱軸. 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第64頁(yè)練習(xí)第1,2,3題. 【選做題】 教材第64頁(yè)習(xí)題13.1第8題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.下列四個(gè)圖形分別是等邊三角形、等腰梯形、正方形、圓,它們?nèi)禽S對(duì)稱圖形,其中對(duì)稱軸的條數(shù)最少的圖形是 (　　) 2.下列各圖中,為軸對(duì)稱圖形的是 (　　) 3.下列圖形中對(duì)稱軸最多的圖形是 (　　) 4.如圖所示的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(點(diǎn)A與點(diǎn)B是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)),畫(huà)出對(duì)稱軸. 【能力提升】 5.已知下列兩個(gè)圖形關(guān)于直線l成軸對(duì)稱,畫(huà)出對(duì)稱軸. 6.判斷下列圖形是否為軸對(duì)稱圖形,如果是,說(shuō)出各有幾條對(duì)稱軸. 【拓展探究】 7.請(qǐng)你用3種方法,將如圖(1)所示的四塊小正方形紙板拼成一個(gè)大的正方形,并且使拼成的大正方形是至少有兩條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖案. 【答案與解析】 1.B(解析:A.等邊三角形有3條對(duì)稱軸,為三條高線所在的直線;B.等腰梯形有1條對(duì)稱軸,是過(guò)兩底邊中點(diǎn)的直線;C.正方形有4條對(duì)稱軸,為過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線與兩對(duì)角線所在的直線;D.圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸,為過(guò)圓心的直線.故對(duì)稱軸的條數(shù)最少的圖形是等腰梯形.故選B.) 2.C(解析:A,B,D都不是軸對(duì)稱圖形,只有C是軸對(duì)稱圖形.故選C.) 3.C(解析:A.根據(jù)它的組合特點(diǎn),有4條對(duì)稱軸;B.有4條對(duì)稱軸;C.有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸;D.不是軸對(duì)稱圖形.故選C.) 4.解:如圖所示,直線l即為所求. 5.解:(1)(2)如圖所示. 6.解:根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念:如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形,可知(1)(3)(5)(6)(9)不是軸對(duì)稱圖形;(2)(4)(8)各有1條對(duì)稱軸;(7)有4條對(duì)稱軸;(10)有2條對(duì)稱軸. 7.解:如圖所示.(答案不唯一) 在教學(xué)過(guò)程中,通過(guò)探究?jī)?nèi)容與軸對(duì)稱圖形的定義及對(duì)稱軸作用的密切聯(lián)系,便于學(xué)生解決本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容,在探討圖形對(duì)稱軸的作法的過(guò)程中,體現(xiàn)了學(xué)生的主體性,教師倡導(dǎo)實(shí)踐操作,理論探討由淺入深,讓學(xué)生自然地進(jìn)行逐步思考、樂(lè)于探究,淡化教師的作用,避免教師的直接講解.在此過(guò)程中學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作,掌握了作軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的方法,即先找出對(duì)稱點(diǎn),再連接對(duì)稱點(diǎn),然后作出這條線段的垂直平分線,這條線就是軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸. 學(xué)生的作圖不太規(guī)范,有的學(xué)生直接用直尺作圖,而沒(méi)有用直尺和圓規(guī)作線段的垂直平分線,導(dǎo)致學(xué)生作圖上的誤差. 作線段的垂直平分線采用的方法就是尺規(guī)作圖,一定要規(guī)范作圖的方法和步驟,探討作圖的依據(jù).指導(dǎo)學(xué)生作圖一定要規(guī)范,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那髮W(xué)態(tài)度.另外,教師可再設(shè)計(jì)一些習(xí)題,以提高學(xué)生作圖的能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 練習(xí)(教材第64頁(yè)) 1.提示:這幾個(gè)圖形的對(duì)稱軸的數(shù)量依次為:2條,無(wú)數(shù)條,2條,1條,3條. 2.解:角是軸對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱軸是角平分線所在的直線,畫(huà)對(duì)稱軸略. 3.解:與圖形A成軸對(duì)稱的是圖形B,畫(huà)圖略. 習(xí)題13.1(教材第64頁(yè)) 1.提示:是軸對(duì)稱圖形.畫(huà)對(duì)稱軸略. 2.提示:第一、三、四、五、六個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形.畫(huà)對(duì)稱軸略. 3.解:圖中陰影的三角形與1和3成軸對(duì)稱,整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形,它共有2條對(duì)稱軸. 4.解:∵ΔABC和ΔABC關(guān)于直線l對(duì)稱,∴ΔABC≌ΔABC.∴∠ABC=∠ABC=90,AB=AB=6 cm. 5.解:若ΔABC和ΔABC關(guān)于直線l對(duì)稱,則ΔABC≌ΔABC;反過(guò)來(lái),若ΔABC≌ΔABC,則ΔABC和ΔABC不一定關(guān)于某直線對(duì)稱. 6.解:∵DE是AC的垂直平分線,∴DA=DC,AC=2AE=6 cm.又∵ΔABD的周長(zhǎng)為13 cm,∴AB+BD+DA=13 cm.∴AB+BC+AC=13+6=19(cm). 7.解:是,共有兩條對(duì)稱軸,如圖所示,a和b是對(duì)稱軸. 8.提示:d是圖形的對(duì)稱軸. 9.證明:在ΔAOB和ΔCOD中,∵ ∴ΔAOB≌ΔCOD,∴OB=OD.又∵EB=ED,∴OE垂直平分BD. 10.提示:欲使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長(zhǎng),則車站必在線段AB的垂直平分線上,又因?yàn)檐囌窘? 在公路邊,所以車站應(yīng)建在線段AB的垂直平分線與公路的交點(diǎn)上. 11.提示:對(duì)應(yīng)線段AB和AB所在的直線相交.對(duì)應(yīng)線段BC和BC所在的直線相交,且交點(diǎn)在對(duì)稱軸l上.對(duì)應(yīng)線段AC與AC所在的直線不相交,且這組對(duì)應(yīng)線段所在直線與對(duì)稱軸l平行,規(guī)律略. 12.提示:欲使發(fā)射塔到A,B的距離相等,則發(fā)射塔必在線段AB的垂直平分線上,同時(shí),發(fā)射塔到兩條高速公路m和n的距離也相等,則發(fā)射塔必在直線m,n相交所成的角的平分線上.因此,發(fā)射塔在線段AB的垂直平分線和直線m,n相交所成的角的平分線的交點(diǎn)上. 13.(1)證明:∵邊AB,BC的垂直平分線交于點(diǎn)P,∴PA=PB,PB=PC,∴PA=PB=PC.　(2)解:∵PA=PC,∴點(diǎn)P必在AC的垂直平分線上,從而得到的結(jié)論是:三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等. 畫(huà)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸實(shí)質(zhì)上是要更好地理解軸對(duì)稱圖形的性質(zhì),通過(guò)教學(xué)要讓學(xué)生學(xué)會(huì)畫(huà)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸,讓學(xué)生探索規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生知道:只要找到任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn),作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線,就可以得到此圖形的對(duì)稱軸.可將這個(gè)步驟簡(jiǎn)記為“一找點(diǎn)”“二連線”“三畫(huà)垂直平分線”. 　　　下列圖形中,哪些是軸對(duì)稱圖形?是軸 對(duì)稱圖形的,畫(huà)出它的所有對(duì)稱軸.