《八年級數(shù)學(xué)上冊 13 軸對稱教案 （新版）新人教版 (2)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《八年級數(shù)學(xué)上冊 13 軸對稱教案 （新版）新人教版 (2)（21頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第十三章　軸對稱 13．1　軸對稱 13．1.1　軸對稱 1．理解軸對稱圖形和兩個圖形關(guān)于某直線對稱的概念． 2．了解軸對稱圖形的對稱軸，兩個圖形關(guān)于某直線對稱的對稱軸、對應(yīng)點． 3．掌握線段垂直平分線的概念． 4．理解和掌握軸對稱的性質(zhì)． 重點 軸對稱圖形和兩個圖形關(guān)于某直線對稱的概念． 難點 軸對稱圖形和兩個圖形關(guān)于某直線對稱的區(qū)別和聯(lián)系． 一、作品展示 1．讓部分學(xué)生展示課前的剪紙作品． 2．小組活動： (1)在窗花的制作過程中，你是如何進行剪紙的？為什么要這樣？ (2)這些窗花(圖案)有什么共同的特點？ 二、概念形成 (一)軸對稱圖形 1．在學(xué)生充分交流的基礎(chǔ)上，教師提出“軸對稱圖形”的概念，并讓學(xué)生嘗試給它下定義，通過逐步地修正形成“軸對稱圖形”的定義，同時給出“對稱軸”． 2．結(jié)合教材圖13.1－1進一步分析軸對稱圖形的特點，以及對稱軸的位置． 3．學(xué)生舉例，試舉幾個在現(xiàn)實生活中你所見到的軸對稱例子． 4．概念應(yīng)用：(1)教材第60頁練習(xí)第1題． (2)補充：判斷下面的圖形是不是軸對稱圖形？如果是軸對稱圖形，它們的對稱軸是什么？ (二)兩個圖形關(guān)于某條直線對稱 1．觀察教材中的圖13.1－3，思考：圖中的每對圖形有什么共同的特點？ 2．兩個圖形成軸對稱的定義． 觀察右圖： 把△A′B′C′沿直線l對折后能與△ABC重合，則稱△A′B′C′與△ABC關(guān)于直線l對稱，簡稱“軸對稱”， 點A與點A′對應(yīng)，點B與B′對應(yīng)，點C與C′對應(yīng)，稱為對稱點，直線l叫做對稱軸． 3．舉例：你能舉出一些生活中兩個圖形成軸對稱的例子嗎？ 4．討論：軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區(qū)別． (三)軸對稱的性質(zhì) 觀察教材中圖13.1－4，線段AA′與直線MN有怎樣的位置關(guān)系？你能說明理由嗎？ 引導(dǎo)學(xué)生說出如下關(guān)系：PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90. 類似的，點B和點B′，點C和點C′是否有同樣的關(guān)系？你能用語言歸納上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？ 結(jié)合學(xué)生發(fā)表的觀點，教師總結(jié)并板書． 對稱軸經(jīng)過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段．在這個基礎(chǔ)上，教師給出線段的垂直平分線的概念，然而把上述規(guī)律概括成圖形軸對稱的性質(zhì)． 上述性質(zhì)是對兩個成軸對稱的圖形來說的，如果是一個軸對稱圖形，那么它的對應(yīng)點的連線與對稱軸之間是否也有同樣的關(guān)系？ 從而得出：類似的，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一個對應(yīng)點所連線段的垂直平分線． 三、歸納小結(jié) 主要圍繞下列幾個問題： (1)概念：軸對稱圖形，兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，對稱軸，對稱點； (2)找軸對稱圖形的對稱軸． 四、布置作業(yè) 教材習(xí)題13.1第1，2，3題． 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該選在牽一發(fā)而動全身的關(guān)鍵之處進行，軸對稱圖形的認(rèn)識的教學(xué)就是要抓住“對折”與“完全重合”兩個關(guān)鍵之處．不然就是隔靴搔癢. 當(dāng)“部分重合”與“完全重合”理解了，軸對稱圖形的概念也會在學(xué)生腦海中留下深刻的印象． 13．1.2　線段的垂直平分線的性質(zhì)(2課時) 第1課時　線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定 掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，能靈活運用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題． 重點 線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，能靈活運用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題． 難點 靈活運用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題． 一、問題導(dǎo)入 我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸．那么，線段的垂直平分線有什么性質(zhì)呢？這節(jié)課我們就來研究它． 二、探究新知 (一)線段的垂直平分線的性質(zhì) 教師出示教材第61頁探究，讓學(xué)生測量，思考有什么發(fā)現(xiàn)？ 如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3…是l上的點，分別量一量點P1，P2，P3…到點A與點B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 學(xué)生回答，教師小結(jié)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等． 性質(zhì)的證明： 教師講解題意并在黑板上繪出圖形：上述問題用數(shù)學(xué)語言可以這樣表示：如圖，設(shè)直線MN是線段AB的垂直平分線，點C是垂足，點P是直線MN上任意一點，連接PA，PB，我們要證明的是PA＝PB. 教師分析證明思路：圖中有兩個直角三角形，△APC和△BPC，只要證明這兩個三角形全等，便可證得PA＝PB. 教師要求學(xué)生自己寫已知，求證，自己證明． 學(xué)生證明完后教師板書證明過程供學(xué)生對照． 已知：MN⊥AB，垂足為點C，AC＝BC，點P是直線MN上任意一點．求證：PA＝PB. 證明：在△APC和△BPC中， ∵PC＝PC(公共邊)，∠PCB＝∠PCA(垂直定義)，AC＝BC(已知)， ∴△APC≌△BPC(SAS)． ∴PA＝PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等)． 因為點P是線段的垂直平分線上一點，于是就有：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等． (二)線段的垂直平分線的判定 你能寫出上面這個命題的逆命題嗎？它是真命題嗎？這個命題不是“如果…那么…”的形狀，要寫出它的逆命題，需分析命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成“如果…那么…”的形式，逆命題就容易寫出．鼓勵學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論． 原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”，結(jié)論是“這個點與這條線段兩個端點的距離相等”． 此時，逆命題就很容易寫出來．“如果有一個點與線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上．” 寫出逆命題后，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明．請同學(xué)們自行在練習(xí)冊上完成． 學(xué)生給出了如下的四種證法． 已知：線段AB，點P是平面內(nèi)一點，且PA＝PB. 求證：P點在AB的垂直平分線上． 證法一　過點P作已知線段AB的垂線PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P點在AB的垂直平分線上． 證法二　取AB的中點C，過P，C作直線．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)． ∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180，∴∠PCA＝∠PCB＝90，即PC⊥AB，∴P點在AB的垂直平分線上． 證法三　過P點作∠APB的平分線． ∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)． ∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180，∴∠PCA＝∠PCB＝90，∴P點在AB的垂直平分線上． 證法四　過P作線段AB的垂直平分線PC. ∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90，∴P在AB的垂直平分線上． 四種證法由學(xué)生表述后，有學(xué)生提問：“前三個同學(xué)的證明是正確的，而第四個同學(xué)的證明我有點弄不懂．” 師生共析：如圖(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如圖(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.這說明一般情況下，“過P作AB的垂直平分線”是不可能實現(xiàn)的，所以第四個同學(xué)的證法是錯誤的． 從同學(xué)們的推理證明過程可知線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆命題是真命題，我們把它稱為線段的垂直平分線的判定． 要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個與線段兩個端點距離相等的點，這樣才能確定已知線段的垂直平分線． 下面我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據(jù)． 例1　尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線． 已知：直線AB和AB外一點C.(如下圖) 求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C. 作法：(1)任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁． (2)以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和點E. (3)分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F. (4)作直線CF. 直線CF就是所求作的垂線． 師：根據(jù)上面作法中的步驟，想一想，為什么直線CF就是所求作的垂線？請與同伴進行交流． 生：從作法的第(2)(3)步可知CD＝CE，DF＝EF， ∴C，F(xiàn)都在AB的垂直平分線上(線段的垂直平分線的判定)． ∴CF就是線段AB的垂直平分線(兩點確定一條直線)． 師：我們曾用刻度尺找線段的中點，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的作法時，一旦垂直平分線作出，線段與線段的垂直平分線的交點就是線段AB的中點，所以我們也用這種方法找線段的中點． 三、課堂練習(xí) 教材第62頁練習(xí)第1，2題． 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，并學(xué)會了用尺規(guī)作線段的垂直平分線． 五、布置作業(yè) 1．教材習(xí)題13.1第6題． 2．補充題： (1)下圖是某跨河大橋的斜拉索，圖中PA＝PB，PO⊥AB，則必有AO＝BO，為什么？ (2)如左下圖，△ABC中，AC＝16 cm，DE為AB的垂直平分線，△BCE的周長為26 cm.求BC的長． (3)有A，B，C三個村莊(如右上圖)，現(xiàn)準(zhǔn)備建一所學(xué)校，要求學(xué)校到三個村莊的距離相等，請你確定學(xué)校的位置． 本節(jié)證明了線段的中垂線的性質(zhì)定理及判定定理、用尺規(guī)作線段的中垂線．在課堂中，學(xué)生證明過程、作圖方法原理的理解及掌握都比較好，但要強調(diào)作業(yè)中不用三角板等工具而要用尺規(guī)來作圖，解決實際問題時可以直接用定理而不是借助于全等． 第2課時　畫對稱軸 會畫軸對稱圖形的對稱軸． 重點 軸對稱圖形的對稱軸的畫法． 難點 軸對稱圖形的對稱軸的畫法． 一、提出問題 如果兩個平面圖形成軸對稱，你能用什么辦法驗證？不經(jīng)過折疊，你能用什么方法畫出它的對稱軸？ 二、探究新知 我們已經(jīng)學(xué)過，如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線，所以我們只要找到兩個圖形的一對對應(yīng)點，然后畫出以對應(yīng)點為端點的線段的垂直平分線即可，如何作線段的垂直平分線呢？ 例1　如圖(1)，已知點A和點B關(guān)于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？ 分析：我們只要連接點A和點B，作出線段AB的垂直平分線，就可以得到點A和點B的對稱軸，為此作出到點A，B距離相等的兩點，即線段AB的垂直平分線上的兩點，從而作出線段AB的垂直平分線． 教師具體分析畫法、寫出畫法，根據(jù)畫法作出圖形． 學(xué)生模仿教師的畫法，邊寫畫法，邊畫圖． 作法：如圖(2)． (1)分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧(想一想，為什么)，兩弧相交于C，D兩點； (2)作直線CD. CD就是所求作的直線． 這個作法實際上就是線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖． 教師引導(dǎo)學(xué)生思考： (1)在作法中為什么有CA＝CB，DA＝DB? (2)可以用這種方法找線段的中點嗎？四等分點呢？ 三、舉例分析 例2　如圖(1)，△ABC和△A′B′C′是兩個成軸對稱的圖形，請畫出它的對稱軸． 教學(xué)方法：啟發(fā)學(xué)生把問題轉(zhuǎn)化為已解決問題，只要畫出點A、點A′連線的垂直平分線即可，如圖(2)． 例3　圖(1)是一個五角星，請畫出它的對稱軸． 教學(xué)方法：引導(dǎo)學(xué)生思考五角星有幾條對稱軸，點A可以和哪些點成對應(yīng)點？最后化歸到例2，由學(xué)生自己完成． 四、鞏固練習(xí) 教材第64頁練習(xí)第1，2，3題． 五、課堂小結(jié) 本節(jié)課你有什么收獲？還有哪些不懂的地方嗎？ 六、布置作業(yè) 教材習(xí)題13.1第7，8題． 通過前兩節(jié)的學(xué)習(xí)，這節(jié)畫對稱軸的習(xí)題課就可以全部交由學(xué)生自己完成．畫軸對稱圖形的對稱軸就是利用兩個對稱點找到對稱軸，即畫出這對對應(yīng)點連線的垂直平分線，讓學(xué)生用尺規(guī)作圖，獨立完成． 13．2　畫軸對稱圖形(2課時) 第1課時　作軸對稱圖形 通過實際操作，掌握作軸對稱圖形的方法． 重點 能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次對稱后的圖形． 難點 較復(fù)雜圖形的軸對稱圖形的畫法． 一、問題導(dǎo)入 我們前面學(xué)習(xí)了軸對稱圖形以及軸對稱圖形的一些相關(guān)的性質(zhì)．如果有一個圖形和一條直線，如何畫出這個圖形關(guān)于這條直線對稱的圖形呢？這節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)作軸對稱圖形的方法． 二、探究新知 [活動]　在一張半透明紙的左邊部分，畫一只左腳印，把這張紙對折后描圖，打開對折的紙，就能得到相應(yīng)的右腳?。@時，右腳印和左腳印成軸對稱，折痕所在的直線就是它們的對稱軸，并且連接任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分．類似地，請你再將一個圖形做一做，看看能否得到同樣的結(jié)論． 認(rèn)真觀察，左腳印和右腳印有什么關(guān)系？(成軸對稱) 對稱軸是折痕所在的直線，即直線l，它與圖中的線段PP′是什么關(guān)系？(直線l垂直平分線段PP′) [思考1]　如何畫一個點的對稱圖形？ 例1　畫出點A關(guān)于直線l的對稱點A′. 畫法：(1)過點A作對稱軸l的垂線，垂足為B； (2)延長AB到A′，使得BA′＝AB.點A′就是點A關(guān)于直線l的對稱點． [思考2]　如何畫一條直線的對稱圖形？ 例2　已知線段AB，畫出AB關(guān)于直線l的對稱線段． 畫法：(1)畫出點A關(guān)于直線l的對稱點A′. (2)畫出點B關(guān)于直線l的對稱點B′. (3)連接點A′和點B′成線段A′B′.線段A′B′即為所求． [思考3]　如果有一個圖形和一條直線，如何畫出與這個圖形關(guān)于這條直線對稱的圖形呢？ 例3　如圖，已知△ABC和直線l，畫出與△ABC關(guān)于直線l對稱的圖形． 畫法：(1)過點A畫直線l的垂線，垂足為O，在垂線上截取OA′＝OA，A′就是點A關(guān)于直線l的對稱點． (2)同理，分別畫出點B，C關(guān)于直線l的對稱點B′，C′. (3)連接A′B′，B′C′，C′A′，則△A′B′C′即為所求． 三、課堂練習(xí) 1．教材第68頁練習(xí)第1，2題 2．下列圖形中，點P與P′關(guān)于直線MN對稱的圖形是(　　) 四、小結(jié)與作業(yè) 1．歸納：幾何圖形都可以看成由點組成，對于某些圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點(如線段的端點)，連接這些對稱點，就可以得到圖形的對稱圖形． 2．作業(yè)：教材習(xí)題13.2第1題． 幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點，再連接這些對應(yīng)點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(如線段端點)的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形． 第2課時　用坐標(biāo)表示軸對稱 1．能在直角坐標(biāo)系中畫點關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點． 2．能表示點關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)，表示關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線的對稱點的坐標(biāo)． 重點 用坐標(biāo)表示點關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)． 難點 找對稱點的坐標(biāo)之間的關(guān)系． 一、問題導(dǎo)入 教材圖13.2－3是一張老北京城的示意圖，其中西直門和東直門是關(guān)于中軸線對稱的，如果以天安門為原點，分別以長安街和中軸線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)如圖所示的東直門的坐標(biāo)，你能說出西直門的坐標(biāo)嗎？ 二、探究新知 【探究1】　(1)在直角坐標(biāo)系中畫出下列已知點A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(3，5)，E(4，0)，F(xiàn)(0，－3)； (2)畫出這些點分別關(guān)于x軸、y軸對稱的點，并填寫表格； (3)請你仔細(xì)觀察點的坐標(biāo)，你能發(fā)現(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)有什么規(guī)律嗎？ (4)請你想辦法檢驗?zāi)闼l(fā)現(xiàn)的規(guī)律的正確性，說說你是如何檢驗的． 已知點 A(2，－3) B(－1，2) C(－6，－5) D(3，5) E(4，0) F(0，－3) 關(guān)于x軸 的對稱點 關(guān)于y軸 的對稱點 　　【歸納】　關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)規(guī)律是：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)． 【探究2】　在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出以上各點關(guān)于y軸的對稱點并寫出坐標(biāo)，觀察關(guān)于y軸對稱的兩個點的坐標(biāo)有什么規(guī)律？ 【歸納】　關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)規(guī)律是：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)． 【探究3】　按以上規(guī)律，說出點P(x，y)關(guān)于x軸的對稱點P1的坐標(biāo)，再說出P1關(guān)于y軸的對稱點P2坐標(biāo)． 觀察點P經(jīng)過兩次軸對稱所得點P2的坐標(biāo)有什么規(guī)律？ 【歸納】　一個點經(jīng)歷關(guān)于x軸、y軸兩次軸對稱得到的對稱點坐標(biāo)規(guī)律是：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)．在以后學(xué)了“中心對稱”后，兩點被稱為關(guān)于原點對稱． 三、舉例分析 【例1】　已知A(2，a)，B(－b，4)，分別根據(jù)下列條件求a，b的值． (1)A，B關(guān)于y軸對稱； (2)A，B關(guān)于x軸對稱； (3)A，C關(guān)于x軸對稱，B，C關(guān)于y軸對稱． 【解析】　(1)A，B關(guān)于y軸對稱，說明縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)相反，a＝4，b＝2； (2)A，B關(guān)于x軸對稱，說明橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)相反，a＝－4，b＝－2； (3)A，C關(guān)于x軸對稱，B，C關(guān)于y軸對稱，說明A，B經(jīng)過x軸、y軸兩次對稱變換，即關(guān)于原點對稱，橫、縱坐標(biāo)各互為相反數(shù)，a＝－4，b＝2. 【例2】　如下圖，四邊形ABCD的四個頂點的坐標(biāo)分別為A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分別畫出與四邊形ABCD關(guān)于y軸和x軸對稱的圖形． 學(xué)生獨立完成，教師用多媒體出示出正確答案并講評． 四、課堂鞏固 1．平面直角坐標(biāo)系中，點P(4，－5)關(guān)于x軸的對稱點在(　　) A．第一象限　　　　　　B．第二象限 C．第三象限　　　　　　D．第四象限 2．已知點P(－2，3)關(guān)于y軸對稱點為Q(a，b)，則a＋b的值為(　　) A．1　　　　B．－1　　　　C．5　　　　D．－5 3．點P(a，b)關(guān)于x軸對稱的點為P1，點P1關(guān)于y軸的對稱點為P2，則P2的坐標(biāo)為(　　) A．(a，b) B．(a，－b) C．(－a，b) D．(－a，－b) 4．若點(a，b)與點(m，n)滿足a＋m＝0，b－n＝0，則這兩點關(guān)于(　　)對稱． A．x軸 B．y軸 C．x軸或y軸 D．不確定 五、拓展思維 如圖，點A(1，4)，B(4，1)，l為第一、三象限角∠xOy的平分線． (1)求證：l垂直平分AB； (2)A，B關(guān)于l成軸對稱嗎？ (3)如果點A，B的坐標(biāo)分別為(6，8)和(8，6)，它們還關(guān)于l對稱嗎？ (4)如果你發(fā)現(xiàn)了對稱點的坐標(biāo)規(guī)律，寫出點P(m，n)關(guān)于第一、三象限角平分線的對稱點Q的坐標(biāo)． 六、小結(jié)與作業(yè) 小結(jié)：(1)點關(guān)于某條直線對稱的點的坐標(biāo)可以通過尋找線段之間的關(guān)系來求． (2)點(x，y)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(x，－y)，即橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；點(x，y)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為(－x，y)即橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等． 作業(yè)：教材習(xí)題13.2第3，4題． 本節(jié)課通過學(xué)生熟悉、向往的北京城內(nèi)天安門、長安街、東直門等的方位引入新課，能強烈地吸引學(xué)生的注意力，較好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．其中歸納規(guī)律后檢驗其正確性是科學(xué)研究問題的一個必不可少的步驟，并通過一系列的練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生思維的流暢性，也使學(xué)生特別是學(xué)有困難的學(xué)生都能達到基本的學(xué)習(xí)目標(biāo)． 13．3　等腰三角形 13．3.1　等腰三角形(2課時) 第1課時　等腰三角形的性質(zhì)和應(yīng)用 1．理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)． 2．運用等腰三角形的性質(zhì)進行證明和計算． 3．觀察等腰三角形的對稱性、發(fā)展形象思維． 重點 等腰三角形的性質(zhì)及應(yīng)用． 難點 等腰三角形的性質(zhì)的證明． 一、情境導(dǎo)入 【活動1】 教師預(yù)先做出各種幾何圖形，包括圓、長方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等邊三角形等． 讓同學(xué)們搶答哪些是軸對稱圖形，提問什么是軸對稱圖形，什么樣的三角形才是軸對稱圖形．引入今天所要講的課題——等腰三角形． 我們知道，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，下面我們利用軸對稱的知識來研究等腰三角形． 二、探究新知 如圖，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC有什么特點？ 學(xué)生活動：學(xué)生動手操作，從剪出的圖形觀察△ABC的特點，可以發(fā)現(xiàn)AB＝AC. 教師活動：讓學(xué)生回顧等腰三角形的概念： 有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．如下圖． 在△ABC中，若AB＝AC，則△ABC是等腰三角形，AB，AC是腰，BC是底邊，∠A是頂角，∠B和∠C是底角． 【活動2】 把活動1中剪出的△ABC沿折痕AD對折，找出其中重合的線段，填入下表： 重合的線段 重合的角 　　從上表中你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形具有什么性質(zhì)嗎？ 學(xué)生活動：學(xué)生經(jīng)過觀察，獨立完成上表，然后小組討論交流，從表中總結(jié)等腰三角形的性質(zhì)． 教師活動：引導(dǎo)學(xué)生歸納． 性質(zhì)1　等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)； 性質(zhì)2　等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”)． 【活動3】 你能用所學(xué)知識驗證上述性質(zhì)嗎？ 如圖，在△ABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C. 學(xué)生活動：學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上進行討論，尋找解決問題的辦法，若證∠B＝∠C，根據(jù)全等三角形的知識可以知道，只需要證明這兩個角所在的三角形全等即可． 于是可以作輔助線構(gòu)造兩個三角形，作BC邊上的中線AD，證明△ABD和△ACD全等即可，根據(jù)條件利用“邊邊邊”可以證明． 教師活動：讓學(xué)生充分討論，根據(jù)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識利用邏輯推理的方式進行證明，證明過程中注意學(xué)生表述的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性． 證明：作BC邊上的中線AD，如圖． 在△ABD和△ACD中， 所以△ABD≌△ACD(SSS)，所以∠B＝∠C. 這樣，就證明了性質(zhì)1. 類比性質(zhì)1的證明你能證明性質(zhì)2嗎？ 由△ABD≌△ACD，還可得出∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90. 從而AD⊥BC，這也就證明了等腰△ABC底邊上的中線平分頂角∠A并垂直于底邊BC. 添加輔助線的方法多樣，讓學(xué)生再去討論、交流，即用類似的方法可以證明性質(zhì)2. 三、應(yīng)用提高 例1　如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)． 學(xué)生活動：小組合作，分組討論、交流． 教師活動：引導(dǎo)學(xué)生分析圖形中關(guān)于角的數(shù)量關(guān)系．(三角形的內(nèi)角、外角，等腰三角形的底角) 發(fā)現(xiàn)：(1)∠ABC＝∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD； (2)∠A＝∠ABD； (3)∠A＋2∠C＝180. 若設(shè)∠A＝x，則有x＋4x＝180，得到x＝36，進一步得到兩個底角的度數(shù)． 四、小結(jié)與作業(yè) 請同學(xué)們回顧本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，有哪些收獲？ 師生活動：學(xué)生思考后，用自己的語言歸納，教師適時點評，并關(guān)注以下幾個問題： 小結(jié)：(1)等邊對等角；(2)等腰三角形的三線合一；(3)等腰三角形常用輔助線作法(作底邊上的高、作底邊上的中線、作頂角的平分線)． 作業(yè)：教材習(xí)題13.3第1，3，7題． 本節(jié)課重點要讓學(xué)生通過動手翻折等腰三角形紙片得出等腰三角形“兩個底角相等”、“三線合一”的性質(zhì)．設(shè)計理念是讓學(xué)生通過感官認(rèn)識、折紙、猜想、驗證等腰三角形的性質(zhì)，然后運用全等三角形的知識加以論證，使學(xué)生思維由形象直觀過渡到抽象的邏輯演繹，層層展開，步步深入，從而實現(xiàn)教學(xué)目的． 第2課時　等腰三角形的判定 1．理解并掌握等腰三角形的判定方法． 2．運用等腰三角形的判定進行證明和計算． 重點 等腰三角形的判定方法． 難點 等腰三角形的判定方法的證明． 一、提出問題 出示教材第77頁“思考”． 學(xué)生思考，回答后教師提問： 在一般三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊有什么關(guān)系？ 學(xué)生猜想它們所對的邊相等． 即如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等． 如何證明？ 二、解決問題 教師引導(dǎo)提示，學(xué)生根據(jù)提示畫出圖形，并寫出已知、求證． 已知：在△ABC中，∠B＝∠C. 求證：AB＝AC. 與學(xué)生一起回顧等腰三角形中常添加的輔助線：高、頂角平分線、底邊上的中線．讓學(xué)生逐一嘗試，發(fā)現(xiàn)可以作AD⊥BC，或AD平分∠BAC，但不能作BC邊上的中線． 學(xué)生口頭證明后，選一種方法寫出證明過程． 如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，作△ABC的角平分線AD. 在△BAD和△CAD中， ∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC. 歸納等腰三角形的判定方法： 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，簡稱：“等角對等邊”． 三、應(yīng)用舉例 1．出示教材例2. 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)命題畫出圖形，利用角平分線的性質(zhì)及“等邊對等角”來證明． 學(xué)生討論后，自己完成證明過程． 例2　求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形． 已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.(如圖所示) 求證：AB＝AC. 分析：要證明AB＝AC.可先證明∠B＝∠C.因為∠1＝∠2，所以可以設(shè)法找出∠B，∠C與∠1，∠2的關(guān)系． 證明：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠B(______________________)， ∠2＝∠C(______________________)． 而已知∠1＝∠2，所以 ∠B＝∠C. ∴AB＝AC(______________)． 2．出示教材例3. 讓學(xué)生自學(xué)例3. 例3　已知等腰三角形底邊長為a，底邊上的高的長為h，求作這個等腰三角形． 作法：(1)作線段AB＝a. (2)作線段AB的垂直平分線MN，與AB相交于點D. (3)在MN上取一點C，使DC＝h. (4)連接AC，BC，則△ABC就是所求作的等腰三角形． 四、課堂小結(jié) 1．等腰三角形的判定方法是什么？ 2．等腰三角形的性質(zhì)與判定既有區(qū)別又有聯(lián)系，你能總結(jié)一下嗎？ 五、布置作業(yè) 教材習(xí)題13.3第2，8，10題． 學(xué)生剛剛學(xué)過等腰三角形的性質(zhì)，對等腰三角形已經(jīng)有了一定的了解和認(rèn)識．因此在課堂教學(xué)中先引出等腰三角形的判定定理及推論，并能夠靈活應(yīng)用它進行有關(guān)論證和計算．發(fā)展學(xué)生的動手、歸納猜想能力；發(fā)展學(xué)生證明用文字表述的幾何命題的能力；使它們進一步掌握歸納思維方法，領(lǐng)會數(shù)學(xué)分類思想、轉(zhuǎn)化思想． 13．3.2　等邊三角形(2課時) 第1課時　等邊三角形的性質(zhì)和判定 1．掌握等邊三角形的定義． 2．理解等邊三角形的性質(zhì)與判定． 重點 等邊三角形的性質(zhì)和判定． 難點 等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用． 一、問題引入 在等腰三角形中，如果底邊與腰相等，會得到什么結(jié)論？ 二、自主探究 1．等邊三角形的定義 底邊和腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形． 2．思考：把等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形，能得到什么結(jié)論？一個三角形的三個內(nèi)角滿足什么條件才是等邊三角形？ 邊：三條邊都相等． 角：三個角都相等，并且每一個角都等于60. 3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA嗎？為什么？ 你從中能得到什么結(jié)論？ 三個角都相等的三角形是等邊三角形． 4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60.(1)求證：△ABC是等邊三角形； (2)如果把∠A＝60改為∠B＝60或∠C＝60，那么結(jié)論還成立嗎？ (3)由上你可以得到什么結(jié)論？ 有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形． 三、應(yīng)用舉例 1．教材例4. 例4　如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E.求證：△ADE是等邊三角形． 證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等邊三角形． 2．歸納：在判定三角形是等邊三角形時： (1)若三角形是一般三角形，只要找三個角相等或三條邊相等； (2)若三角形是等腰三角形，一般是找一個角等于60. 四、鞏固練習(xí) 教材第80頁練習(xí)第1，2題． 補充題： 1．如圖，已知等邊△ABC，點D，E，F(xiàn)分別是各邊上的一點，且AD＝BE＝CF.求證：△DEF是等邊三角形． 2．如圖，已知等邊△ABC，點D是AC的中點，且CE＝CD，DF⊥BE.求證：BF＝EF. 　,第2題圖) 教師提出要求，補充題1，2可以讓學(xué)生板書過程． 五、總結(jié)提高 小結(jié)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你了解到了等邊三角形有哪些特點？ 怎樣判定一個三角形是等邊三角形？ 布置作業(yè)：教材習(xí)題13.3第12，14題． 教學(xué)中設(shè)計了兩個問題：把等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形，你能得到什么結(jié)論？類似地，你又能得到哪些等邊三角形的判定方法？讓學(xué)生先自主探索再合作交流，小組內(nèi)、小組間充分討論后概括所得結(jié)論．這既鞏固應(yīng)用等腰三角形的知識，又類比探索等邊三角形性質(zhì)定理和判定定理的方法，并使學(xué)生加深對等腰三角形與等邊三角形的聯(lián)系與區(qū)別的理解． 第2課時　含30角的直角三角形的性質(zhì) 掌握含30角的直角三角形的性質(zhì)與應(yīng)用． 重點 含30角的直角三角形的性質(zhì)． 難點 含30角的直角三角形性質(zhì)的推導(dǎo)． 一、情境導(dǎo)入 將兩個含30的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形，找出Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的關(guān)系嗎？ 二、探究新知 由題意可判定△ABD是等邊三角形，且AC為邊BD上的高，可得BC＝CD＝AB. 教師歸納： 在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 你能證明這一結(jié)論嗎？ 讓學(xué)生從以下兩個途徑探索： (1)△ABD是等邊三角形，AC⊥BD于點C，則∠BAD＝____度，BC＝____BD＝____AB. (2)在△ABC中，若AC⊥BC，∠A＝30，則∠B＝____度，延長BC到點D，使BD＝AB，連接AD，則△ABD是等邊三角形，BC＝____＝____． 以上結(jié)論是直角三角形的性質(zhì)之一，在以后的證明和計算中經(jīng)常用到． 思考：逆命題：“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30”是否成立？ 課堂練習(xí) ①在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝30，CD⊥AB，AB＝4，則BC＝________，∠BCD＝________，BD＝________． ②小明沿傾斜角為30的山坡從山腳步行到山頂，共走了200 m，求山的高度． 三、舉例分析 出示教材例5. 例5　如圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30.立柱BC，DE要多長？ 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30， ∴BC＝AB，DE＝AD. ∴BC＝7.4＝3.7(m)． 又AD＝AB， ∴DE＝AD＝3.7＝1.85(m)． 答：立柱BC的長是3.7 m，DE的長是1.85 m. 教師引導(dǎo)學(xué)生尋找圖中含有30角的直角三角形，并選擇BC，DE所在直角三角形． 由學(xué)生口答后，找學(xué)生完成板書，其他同學(xué)對照． 四、課堂小結(jié) 學(xué)生小結(jié)，教師梳理本節(jié)課的知識點，強調(diào)含30的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用． 五、布置作業(yè) 教材習(xí)題13.3第15題． 補充練習(xí)： 1．如圖，已知Rt△ABC中，∠A＝30，∠ACB＝90，BD平分∠ABC，求證：AD＝2DC. 2．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30，AB⊥AD，AD＝2 cm，求BC的長． 本節(jié)課我采用從生活中創(chuàng)設(shè)情境來激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣，采用拼圖形的方法創(chuàng)設(shè)問題的情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究活動，培養(yǎng)學(xué)生用類比、猜想、論證的研究方法研究問題，培養(yǎng)學(xué)生善于動手、善于觀察、善于思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生在自主探索和合作交流中理解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容． 13．4　課題學(xué)習(xí)　最短路徑問題 通過對最短路徑問題的探索，進一步理解和掌握兩點之間線段最短和垂線段最短． 重點 應(yīng)用所學(xué)知識解決最短路徑問題． 難點 選擇合理的方法解決問題． 一、創(chuàng)設(shè)情境 多媒體展示：如圖，一個圓柱的底面周長為20 cm，高AB為4 cm，BC是底面的直徑，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路徑． 這是一個立體圖形，要求螞蟻爬行的最短路徑，就是要把圓柱的側(cè)面展開，利用“兩點之間，線段最短”求出最短路徑．那么怎樣求平面圖形中的最短路徑問題呢？ 二、自主探究 探究一：最短路徑問題的概念 1．多媒體出示圖①和圖②，提出問題： (1)圖①中從點A走到點B哪條路最短？(2)圖②中點C與直線AB上所有的連線中哪條線最短？ 2．教師總結(jié)：“兩點之間，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等問題，我們稱之為最短路徑問題． 探究二：河邊飲馬問題 多媒體出示問題1：牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人從河邊什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ 提出問題：如果點A和點B分別位于直線的兩側(cè)，如何在直線l上找到一點，使得這個點到點A和點B的距離的和最短？ 思考：如果點A和點B位于直線的同側(cè)，如何在直線l上找到一點，使得這個點到點A和點B的距離的和最短？ 教師引導(dǎo)學(xué)生討論，明確找點的方法． 讓學(xué)生對剛才的方法通過邏輯推理的方法加以證明． 教師巡視指導(dǎo)學(xué)生的做題情況，有針對性地進行點撥． 探究三：造橋選址問題 多媒體出示問題2.(教材第86頁) 提出問題： (1)根據(jù)問題1的探討你對這道題有什么思路和想法？ (2)這個問題有什么不同？ (3)要保證路徑AMNB最短，應(yīng)該怎樣選址？ 學(xué)生對這個三個問題展開討論，得出結(jié)論：要保證AMNB最短，就是要保證AM＋MN＋NB最?。? 嘗試選址作出圖形． 多媒體展示教材圖13.4－7，13.4－8，13.4－9，引導(dǎo)學(xué)生分析、觀察，讓學(xué)生根據(jù)剛才的分析，完成證明過程． 根據(jù)問題1和問題2，你有什么啟示？ 三、知識拓展 已知長方體的長為2 cm、寬為1 cm、高為4 cm，一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點爬到B′點，那么沿哪條路最近，最短的路程是多少？ [讓學(xué)生討論有幾種爬行的方法，計算出每種方案中的路程，再進行比較] 四、歸納總結(jié) 1．本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識？ 2．怎樣解決最短路徑問題？ 本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小的問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題．