八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 16 二次根式教案 （新版）新人教版 (3)
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第十六章 二次根式 1.理解二次根式的概念. 2.理解(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù),()2=a(a≥0),=a(a≥0). 3.掌握=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b≥0),= (a≥0,b>0), =(a≥0,b>0). 4.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念,并能靈活運(yùn)用其對(duì)二次根式進(jìn)行加減. 1.通過(guò)先提出問(wèn)題,讓學(xué)生探討、分析問(wèn)題,師生共同歸納得出概念,再對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析,得出幾個(gè)重要結(jié)論,并運(yùn)用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn). 2.讓學(xué)生用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律,采用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法法則,并運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算. 3.讓學(xué)生利用逆向思維,得出二次根式的乘(除)法法則的逆向等式,并運(yùn)用它們進(jìn)行化簡(jiǎn). 4.通過(guò)分析前面的計(jì)算和化簡(jiǎn)結(jié)果,抓住它們的共同特點(diǎn),給出最簡(jiǎn)二次根式的概念.利用最簡(jiǎn)二次根式的概念,讓學(xué)生對(duì)被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并,達(dá)到對(duì)二次根式進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)的目的. 1.培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的性質(zhì)和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算的能力,培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神. 2.經(jīng)過(guò)探索二次根式的重要結(jié)論和二次根式的乘除法法則,發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力. 二次根式是新課標(biāo)中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容,它是在前面平方根、立方根的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的,是對(duì)代數(shù)式及實(shí)數(shù)等內(nèi)容的延伸與補(bǔ)充.同時(shí),也是后繼學(xué)習(xí)勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的邊角關(guān)系等內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).因此,本章的相關(guān)知識(shí)對(duì)于整個(gè)初中階段學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)有著承前啟后的重要意義. 本章內(nèi)容分為三節(jié),第一節(jié)主要學(xué)習(xí)二次根式的概念和性質(zhì);第二節(jié)是二次根式的乘法和除法運(yùn)算,主要研究二次根式的乘除法運(yùn)算法則和二次根式的化簡(jiǎn);第三節(jié)是二次根式的加法和減法運(yùn)算,主要研究二次根式的加減法運(yùn)算法則和二次根式的化簡(jiǎn). 【重點(diǎn)】 1.對(duì)(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解和對(duì)()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及應(yīng)用. 2.二次根式乘除法的法則及其運(yùn)用. 3.最簡(jiǎn)二次根式的概念. 4.二次根式的加減運(yùn)算. 【難點(diǎn)】 1.對(duì)(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解和對(duì)等式()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及應(yīng)用. 2.二次根式的乘法、除法的條件限制. 3.利用最簡(jiǎn)二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式. 1.通過(guò)前面的學(xué)習(xí),我們已經(jīng)知道了平方根、立方根的概念和求法,實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算,對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)由有理數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍,并對(duì)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則有了初步的感受.因此,本章應(yīng)充分注意與已有經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系.同時(shí),本章內(nèi)容與整式也有著密切的聯(lián)系.由于數(shù)式通性,當(dāng)將二次根式中的實(shí)數(shù)看成字母時(shí),二次根式的運(yùn)算實(shí)際上就是整式的運(yùn)算,所以整式的運(yùn)算法則和公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用.因此本章強(qiáng)調(diào)了與整式相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系. 2.對(duì)于一些重要結(jié)論,要注意經(jīng)歷觀察、思考、討論等探究活動(dòng)歸納得出結(jié)論的過(guò)程.例如,對(duì)于二次根式的乘法法則,首先利用二次根式的概念和性質(zhì)進(jìn)行具體的計(jì)算,并觀察所得結(jié)果發(fā)現(xiàn)二次根式相乘與積的算術(shù)平方根之間的關(guān)系,并利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算,再歸納得出二次根式的乘法運(yùn)算法則.這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是反映了一個(gè)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程.要通過(guò)這樣的探究活動(dòng)來(lái)發(fā)展我們的思維能力,有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式. 3.熟練掌握二次根式的概念和運(yùn)算需要一定的訓(xùn)練,可以適當(dāng)增加練習(xí),以便較好地理解二次根式的意義,較好地掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算,為后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ). 16.1二次根式 2課時(shí) 16.2二次根式的乘除 2課時(shí) 16.3二次根式的加減 2課時(shí) 單元概括整合 1課時(shí) 16.1 二次根式 1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意義的條件. 2.掌握二次根式的性質(zhì),并能將二次根式的性質(zhì)運(yùn)用于化簡(jiǎn). 3.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念,會(huì)判斷一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式. 經(jīng)歷觀察、比較,總結(jié)二次根式概念和被開(kāi)方數(shù)取值范圍的過(guò)程,發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力. 經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng),感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿了探索性和創(chuàng)造性,體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂(lè),并提高應(yīng)用的意識(shí). 【重點(diǎn)】 會(huì)求二次根式中字母的取值范圍,理解和掌握二次根式的性質(zhì),熟練化簡(jiǎn)二次根式. 【難點(diǎn)】 運(yùn)用二次根式的雙重非負(fù)性解決問(wèn)題,二次根式性質(zhì)的綜合運(yùn)用. 第課時(shí) 使學(xué)生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍和二次根式的取值范圍. 經(jīng)歷觀察、比較,總結(jié)二次根式概念和被開(kāi)方數(shù)取值范圍的過(guò)程,發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力. 經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng),感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿了探索性和創(chuàng)造性,體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂(lè),并提高應(yīng)用的意識(shí). 【重點(diǎn)】 了解二次根式的概念,理解二次根式有意義的條件. 【難點(diǎn)】 會(huì)求二次根式中字母的取值范圍. 【教師準(zhǔn)備】 教學(xué)所需的習(xí)題資料. 【學(xué)生準(zhǔn)備】 復(fù)習(xí)平方根和立方根的有關(guān)知識(shí). 導(dǎo)入一: 唐僧師徒在萬(wàn)壽山五莊觀做客.豬八戒來(lái)到后花園,看見(jiàn)人參果樹(shù)上結(jié)滿了人參果,嘴饞得直流口水.正準(zhǔn)備伸手摘時(shí),突然一道金光,在同一個(gè)枝頭上一大一小的兩個(gè)果子同時(shí)掉了下來(lái),噗的一聲同時(shí)著地.有愛(ài)好數(shù)學(xué)的電視迷算了人參果下落的時(shí)間t與h之間的關(guān)系式為t=,你覺(jué)得他算的正確嗎? 要解決這個(gè)問(wèn)題,我們得從二次根式說(shuō)起. [設(shè)計(jì)意圖] 將數(shù)學(xué)問(wèn)題融入到學(xué)生喜愛(ài)的神話故事中,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,拉近了數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離,為探究本節(jié)課奠定了基礎(chǔ). 導(dǎo)入二: 1.教師出示復(fù)習(xí)題: (1)4的平方根是 ;0的平方根是 ;-16的平方根是 . (2)5的平方根是 ;5的算術(shù)平方根是 . 學(xué)生口答:(1)4的平方根是2;0的平方根是0;-16沒(méi)有平方根. (2)5的平方根是;5的算術(shù)平方根是. 2.教師出示教材第2頁(yè)“思考”題: 用帶有根號(hào)的式子填空,看看寫(xiě)出的結(jié)果有什么特點(diǎn): (1)面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為 ,面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為 . (2)一個(gè)長(zhǎng)方形的圍欄,長(zhǎng)是寬的2倍,面積為130 m2,則它的寬為 m. (3)一個(gè)物體從高處自由落下,落到地面所用的時(shí)間t(單位:s)與開(kāi)始落下時(shí)離地面的高度h(單位:m)滿足關(guān)系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t為 . 學(xué)生思考后回答,教師補(bǔ)充得出答案:(1),;(2);(3) . [設(shè)計(jì)意圖] 以回顧練習(xí)和思考的形式引導(dǎo)學(xué)生回憶,鞏固所學(xué)知識(shí),并引入新課. 1.二次根式的概念 思路一 [過(guò)渡語(yǔ)] (針對(duì)導(dǎo)入二)讓我們一起來(lái)看下面的問(wèn)題:上面得到的式子,,, 分別表示什么意義?它們有什么共同特征? 教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出各式的意義,概括它們的共同特征:都表示一個(gè)非負(fù)數(shù)(包括字母或式子表示的非負(fù)數(shù))的算術(shù)平方根. 討論:你能用一個(gè)式子表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根嗎? 學(xué)生小組討論,全班交流.教師由此給出二次根式的定義: 一般地,我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”稱為二次根號(hào). 追問(wèn):在二次根式的概念中,為什么要強(qiáng)調(diào)“a≥0”? 教師引導(dǎo)學(xué)生舉出例子說(shuō)明,經(jīng)過(guò)討論知道二次根式被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù). [設(shè)計(jì)意圖] 讓學(xué)生在填空過(guò)程中初步感知二次根式與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系,體會(huì)研究二次根式的必要性,再讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的概括能力,最后通過(guò)討論二次根式中被開(kāi)方數(shù)a≥0,進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)二次根式被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理解. 思路二 像,,, 這樣的式子有什么共同特點(diǎn)呢? 學(xué)生觀察,交流發(fā)現(xiàn):一是從形式上看,都含有二次根號(hào);二是被開(kāi)方數(shù)的取值范圍有限制:被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù). 教師進(jìn)一步明確:形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)對(duì)二次根式的認(rèn)識(shí): (1)表示a的算術(shù)平方根;(2)a可以是數(shù),也可以是代數(shù)式;(3)從形式上看,含有二次根號(hào);(4)a≥0,≥0. [設(shè)計(jì)意圖] 加深對(duì)二次根式的理解,進(jìn)一步明確二次根式的非負(fù)性. 2.例題講解 [過(guò)渡語(yǔ)] 二次根式的定義怎樣理解?讓我們一起來(lái)學(xué)習(xí)幾個(gè)例題. 下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被開(kāi)方數(shù). ,,,(x≥3),(y>-1),,, (xy>0). 引導(dǎo)學(xué)生觀察根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)分析發(fā)現(xiàn):顯然不是二次根式(因?yàn)樗母笖?shù)是4,含有四次根號(hào)),其余式子都含有二次根號(hào),關(guān)鍵看根號(hào)下的被開(kāi)方數(shù)是否為非負(fù)數(shù).若根號(hào)下是負(fù)數(shù),則二次根式?jīng)]有意義. 解:,(x≥3),, (xy>0)是二次根式.其中被開(kāi)方數(shù)依次是7,x-3,(x+1)2,. [解題策略] ①當(dāng)被開(kāi)方數(shù)形式是含有字母的代數(shù)式時(shí),可以把這個(gè)代數(shù)式看成一個(gè)整體.如的被開(kāi)方數(shù)是x2+2015.②當(dāng)被開(kāi)方數(shù)形式比較復(fù)雜時(shí),可以將這個(gè)被開(kāi)方數(shù)適當(dāng)化簡(jiǎn).如,因?yàn)?-3)2-7=9-7=2,所以它的被開(kāi)方數(shù)其實(shí)就是2. 【變式訓(xùn)練】 下列各式中,一定是二次根式的是 ( ) A. B. C. D.(其中a<0) 〔解析〕 的被開(kāi)方數(shù)-9<0,的被開(kāi)方數(shù)m-1可能是負(fù)數(shù),的根指數(shù)是3,所以選項(xiàng)A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根號(hào),并且無(wú)論a取什么負(fù)數(shù),被開(kāi)方數(shù)a2+8都是正數(shù),所以一定是二次根式.故選D. (教材例1)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義? 引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)進(jìn)行思考:二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù),則x-2≥0. 解:由x-2≥0,得x≥2. 當(dāng)x≥2時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義. 【變式訓(xùn)練】 若式子1+有意義,則x的取值范圍是 . 〔解析〕 根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知:x+1≥0,即x≥-1;又因?yàn)榉质降姆帜覆荒転?,所以x的取值范圍是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0. [易錯(cuò)分析] 容易產(chǎn)生只考慮到x+1≥0,而忽略了x≠0的錯(cuò)誤. [設(shè)計(jì)意圖] 通過(guò)變式訓(xùn)練,加深學(xué)生對(duì)二次根式被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)的理解,提高學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的遷移能力和應(yīng)用意識(shí). [知識(shí)拓展] (1)二次根式的定義是從代數(shù)式的結(jié)果和形式上界定的,必須含有二次根號(hào)“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被開(kāi)方數(shù)可以是具體的數(shù),也可以是含有字母的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b與的乘積,如3表示3,-表示-,但是不能寫(xiě)成3的形式.(4)當(dāng)a≥0時(shí),表示a的算術(shù)平方根.也就是說(shuō),有意義的條件是a≥0.(5)當(dāng)a是非負(fù)數(shù)時(shí),(其中a≥0)本身也是一個(gè)非負(fù)數(shù). 師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容: 知識(shí)要點(diǎn) 關(guān)鍵點(diǎn) 注意事項(xiàng) 二次根式的概念 形如≥0(a≥0)的式子叫做二次根式,其中被開(kāi)方數(shù)是a 被開(kāi)方數(shù)也可以是含有字母的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等 二次根式有意義的條件 被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù) 求解二次根式中字母的取值范圍,要注意根號(hào)下的式子整體不小于零 1.已知下列各式:,(a≥2),, ,其中二次根式的個(gè)數(shù)是 ( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 解析:的被開(kāi)方數(shù)不是非負(fù)數(shù),所以不是二次根式,其余3個(gè)都是二次根式.故選C. 2.(2014南通中考)若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠ 解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.則解得x>.故選C. 3.當(dāng)x= 時(shí),二次根式有最小值,其最小值是 . 解析:∵二次根式有意義,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3. 答案:-3 0 4.求下列各式中字母a的取值范圍: (1);(2) ;(3);(4). 解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范圍是大于或等于-1的實(shí)數(shù). (2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范圍是小于的實(shí)數(shù). (3)因?yàn)闊o(wú)論a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范圍是全體實(shí)數(shù). (4)因?yàn)闊o(wú)論a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范圍是全體實(shí)數(shù). 第1課時(shí) 1.二次根式的概念 2.例題講解 例1 例2 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第3頁(yè)練習(xí)第1,2題;教材第5頁(yè)習(xí)題16.1第1題. 【選做題】 教材第5頁(yè)習(xí)題16.1第7題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.若 是二次根式,則下列結(jié)論正確的是 ( ) A.x≥0,y≥0 B.x>0,y>0 C.x,y同號(hào) D.≥0 2.已知實(shí)數(shù)x,y,m滿足+=0,且y為負(fù)數(shù),則m的取值范圍是 ( ) A.m>6 B.m<6 C.m>-6 D.m<-6 3.如果式子+有意義,那么在直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A(a,b)的位置在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(2015遵義中考)使二次根式有意義的x的取值范圍是 . 【能力提升】 5.當(dāng)x 時(shí),+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義. 6.(2015攀枝花中考)若y=++2,則xy= . 7.已知x,y為實(shí)數(shù),且滿足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值. 8.已知實(shí)數(shù)a滿足+=a,求a-20142的值. 【拓展探究】 9.若x,y,n滿足關(guān)系式+=,試確定m的值. 【答案與解析】 1.D(解析:依題意得≥0,即≥0.故選D.) 2.A(解析:根據(jù)題意,結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì),得=0,=0,所以解得因?yàn)閥是負(fù)數(shù),所以6-m<0.解得m>6.故選A.) 3.A(解析:根據(jù)二次根式有意義的條件,易得a>0,b>0.故選A.) 4.x≥(解析:要使二次根式有意義,則需滿足5x-2≥0,∴x≥.) 5.≥-且x≠-1(解析:要使+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時(shí)滿足的被開(kāi)方數(shù)2x+3≥0和的分母x+1≠0,即 由①得x≥-,由②得x≠-1.∴當(dāng)x≥-且x≠-1時(shí),+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.) 6.9(解析:由題意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴xy=9.) 7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0. 8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化為a-2014+=a.∴=2014.兩邊平方并整理,得a-20142=2015. 9.解:由等式的右邊,根據(jù)二次根式有意義的條件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,兩式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015. 我們經(jīng)常說(shuō)過(guò)程比結(jié)果更重要.我對(duì)整節(jié)課的設(shè)計(jì)力求符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)生動(dòng)活潑的教學(xué)情境,使學(xué)生始終處在好奇、好學(xué)的高亢的學(xué)習(xí)情緒當(dāng)中,同時(shí),整節(jié)課努力做到先有框架,中有深化,后有突破.學(xué)生學(xué)有情趣,學(xué)有所獲,并由衷感到:學(xué)習(xí)是快樂(lè)的事,學(xué)會(huì)了更是幸福的事. 在教學(xué)中,我適當(dāng)增加了有拓展性的練習(xí),層層遞進(jìn),想使不同的學(xué)生得到不同程度的發(fā)展和提高,但受到教材中練習(xí)題的局限,就當(dāng)a是非負(fù)數(shù)時(shí),本身也是一個(gè)非負(fù)數(shù)的練習(xí)沒(méi)有落實(shí)到位. 根據(jù)教學(xué)時(shí)間多少調(diào)整例題教學(xué),適當(dāng)增加對(duì)二次根式非負(fù)性的例題的講解,注重變式練習(xí),以加深對(duì)二次根式具有雙重非負(fù)性的理解. 練習(xí)(教材第3頁(yè)) 1.解:設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為3a cm,2a cm.由題意,得3a2a=18,∴a2=3,a=(舍去a=-),∴3a=3,2a=2.故長(zhǎng)方形的長(zhǎng)取3 cm,寬取2 cm. 2.解:(1)當(dāng)a-1≥0,即a≥1時(shí),有意義. (2)當(dāng)2a+3≥0,即a≥-時(shí),有意義. (3)當(dāng)-a≥0,即a≤0時(shí),有意義. (4)當(dāng)5-a≥0時(shí),即a≤5時(shí),有意義. 若x,y為實(shí)數(shù),且滿足y=+-3,求x+2y的值. 〔解析〕 根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)不小于0,求得x,y的值,然后將其代入所求的代數(shù)式并計(jì)算. 解:由二次根式有意義的條件得即x2-4=0,所以x=2. 當(dāng)x=2時(shí),y=-3. ①當(dāng)x=2,y=-3時(shí),x+2y=2+2(-3)=-4; ?、诋?dāng)x=-2,y=-3時(shí),x+2y=-2+2(-3)=-8. 所以x+2y的值是-4或-8. [解題策略] 根據(jù)已知得出并得到x=2是解決本題的關(guān)鍵. 已知(3a-6)2+=0,求ba的值. 〔解析〕 根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì):若兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)的值都為0,解出a,b的值,再代入原式中計(jì)算. 解:因?yàn)?3a-6)2與都是非負(fù)數(shù),且它們的和為0, 所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3. 此時(shí)ba=32=9. [解題策略] 本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì),初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù):(1)絕對(duì)值;(2)偶次方;(3)二次根式(算術(shù)平方根).當(dāng)它們的和為0時(shí),必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0.根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求解這類問(wèn)題. 第課時(shí) 1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn). 2.用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),會(huì)用這個(gè)結(jié)論解決具體問(wèn)題. 3.了解代數(shù)式的概念. 在明確()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的過(guò)程中,感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性. 通過(guò)運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)的相關(guān)計(jì)算,解決一些實(shí)際問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力. 【重點(diǎn)】 掌握二次根式的性質(zhì),并能將二次根式的性質(zhì)運(yùn)用于化簡(jiǎn). 【難點(diǎn)】 能運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn). 【教師準(zhǔn)備】 教學(xué)所需的習(xí)題資料. 【學(xué)生準(zhǔn)備】 自學(xué)教材第3~4頁(yè)的內(nèi)容. 導(dǎo)入一: 教師出示問(wèn)題: 先化簡(jiǎn)再求值:當(dāng)a=9時(shí),求a+值,甲、乙兩人的解答如下: 甲的解答為:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答為:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.兩種解答中,誰(shuí)的解答是錯(cuò)誤的呢? 本節(jié)課,我們一起來(lái)學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì),然后就可以解決上面的問(wèn)題了. [設(shè)計(jì)意圖] 以問(wèn)題設(shè)疑,發(fā)揮問(wèn)題導(dǎo)向作用,激發(fā)學(xué)生的求知欲,為本節(jié)課學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ). 導(dǎo)入二: 1.什么叫二次根式? 2.當(dāng)a≥0時(shí),叫什么?當(dāng)a<0時(shí),有意義嗎? 學(xué)生口答,老師點(diǎn)評(píng). 通過(guò)前面的學(xué)習(xí),我們知道了二次根式具有雙重非負(fù)性.今天我們主要學(xué)習(xí)一些二次根式的其他性質(zhì). [設(shè)計(jì)意圖] 復(fù)習(xí)舊知導(dǎo)入新知,讓本節(jié)課自然過(guò)渡,為本節(jié)課學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ). 思路一 1.二次根式的性質(zhì)1:()2=a(a≥0) [過(guò)渡語(yǔ)] 我們先來(lái)探究性質(zhì)1:()2=a(a≥0). 提問(wèn):你能解釋下列式子的含義嗎? ()2,()2,,()2. 學(xué)生口述,教師根據(jù)情況評(píng)價(jià). ()2表示4的算術(shù)平方根的平方;()2表示2的算術(shù)平方根的平方;表示的算術(shù)平方根的平方;()2表示0的算術(shù)平方根的平方. 追問(wèn):根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空,并說(shuō)出得到結(jié)論的依據(jù). ()2= ;()2= ;= ;()2= . 學(xué)生獨(dú)立完成填空后,讓學(xué)生展示其思維過(guò)程,說(shuō)出得到結(jié)論的依據(jù). 教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出每一個(gè)式子的含義. 是4的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù),因此有()2=4.是2的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個(gè)平方等于2的非負(fù)數(shù),因此有()2=2. 是的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義, 是一個(gè)平方等于的非負(fù)數(shù),因此有=.表示0的算術(shù)平方根,因此有()2=0. 討論:從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用一個(gè)式子表示這個(gè)規(guī)律嗎? 引導(dǎo)學(xué)生歸納得出二次根式的性質(zhì):一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù),即()2=a(a≥0). (教材例2)計(jì)算: (1)()2;(2)(2)2. 學(xué)生獨(dú)立完成,兩名學(xué)生板演,再集體訂正. 〔解析〕 (1)直接運(yùn)用()2=a(a≥0)化簡(jiǎn)即可.(2)運(yùn)用冪的性質(zhì)(ab)2=a2b2. 解:(1)()2=1.5. (2)(2)2=22()2=45=20. [解題策略] 把底數(shù)看成根號(hào)外因數(shù)與二次根式的積,按照積的乘方計(jì)算即可. 【變式訓(xùn)練】 計(jì)算:(-2)2. 〔解析〕 把原式的底數(shù)看成是-2與的積,先利用(mn)2=m2n2,再根據(jù)()2=a(a≥0)化簡(jiǎn). 解:(-2)2=(-2)2()2=43=12. [知識(shí)拓展] 形如(x)2的關(guān)于二次根式的運(yùn)算可結(jié)合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a. [設(shè)計(jì)意圖] 讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程,概括出二次根式的性質(zhì)1,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力,并通過(guò)例題和變式訓(xùn)練及時(shí)鞏固二次根式的性質(zhì)1,學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用. 2.二次根式的性質(zhì)2:=a(a≥0) [過(guò)渡語(yǔ)] 我們?cè)賮?lái)探究一下性質(zhì)2:=a(a≥0). 提問(wèn):你能解釋下列式子的含義嗎? ,, ,. 教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出每一個(gè)式子的含義. 表示2的平方的算術(shù)平方根;表示0.1的平方的算術(shù)平方根; 表示的平方的算術(shù)平方根;表示0的平方的算術(shù)平方根. 追問(wèn):根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空,并說(shuō)出得到結(jié)論的依據(jù). = ;= ; = ;= . 學(xué)生獨(dú)立完成填空后,讓學(xué)生展示其思維過(guò)程,說(shuō)出得到結(jié)論的依據(jù). ∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴ =,因此 =;∵0=02,∴=0,因此=0. 討論:從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用一個(gè)式子表示這個(gè)規(guī)律嗎? 引導(dǎo)學(xué)生歸納得出:一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù).即=a(a≥0). (教材例3)化簡(jiǎn): (1); (2). 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)=a(a≥0)進(jìn)行分析:(1)因?yàn)?6=42,所以=,再計(jì)算即可得出結(jié)果.(2)因?yàn)?-5)2=52,所以=. 學(xué)生獨(dú)立完成,集體訂正. 解:(1)==4. (2)==5. [知識(shí)拓展] (1)中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù),即不論a取何值,一定有意義.(2)化簡(jiǎn)時(shí),一定要弄明白被開(kāi)方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù),若是正數(shù)或0,則等于a本身,即=a(a≥0);若a是負(fù)數(shù),則等于a的相反數(shù)-a,即=-a(a<0). 小組討論:()2和有什么關(guān)系? 學(xué)生自由討論,教師根據(jù)情況引導(dǎo)學(xué)生從式子的意義和結(jié)果兩個(gè)方面去分析,得出: ()2表示a的算術(shù)平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算術(shù)平方根,=|a|= [設(shè)計(jì)意圖] 讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程,概括出二次根式的性質(zhì)2,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力,并通過(guò)例題練習(xí)及時(shí)鞏固二次根式的性質(zhì)2. 思路二 請(qǐng)同學(xué)們閱讀和自學(xué)課本第3~4頁(yè)的內(nèi)容,并思考下面的問(wèn)題: 1.(1)填空:()2= ;()2= ;= ;()2= ;= ;()2= . (2)猜想當(dāng)a≥0時(shí),()2= . 2.(1)觀察下列各式的特點(diǎn),找出各式的共同規(guī)律,并用表達(dá)式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律. == ;== ;== ;== ;…. 通過(guò)觀察,你得到的結(jié)論是什么?試著說(shuō)一說(shuō). (2)發(fā)現(xiàn):當(dāng)a≥0時(shí),= ,當(dāng)a<0時(shí),= . 學(xué)生用充足的時(shí)間學(xué)習(xí)后,交流學(xué)習(xí)情況,教師分析并講解. 1.(1)根據(jù)算術(shù)平方根與乘方運(yùn)算的關(guān)系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16; =,所以==.根據(jù)以上規(guī)律,可以得出()2=2;=;()2=0. (2)從第(1)問(wèn)可以發(fā)現(xiàn),一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù),即()2=a(a≥0). 2.先計(jì)算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一個(gè)正數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù),一個(gè)負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù).于是當(dāng)a≥0時(shí),=a,當(dāng)a<0時(shí),=-a. 歸納并板書(shū): 二次根式的性質(zhì):1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0). 提問(wèn):()2和有什么關(guān)系? 學(xué)生自由討論,教師根據(jù)情況引導(dǎo)學(xué)生從式子的意義和結(jié)果兩個(gè)方面去分析,得出: ()2表示a的算術(shù)平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算術(shù)平方根,=|a|= [設(shè)計(jì)意圖] 在計(jì)算的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、歸納得出二次根式的兩個(gè)性質(zhì),并從式子的意義和結(jié)果進(jìn)行比較,得出二者之間的關(guān)系. 3.代數(shù)式 提問(wèn):回顧我們學(xué)過(guò)的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),這些式子有哪些共同特征? 學(xué)生概括式子的共同特征,得出代數(shù)式的概念. 這些式子都是用基本運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子,我們稱這樣的式子為代數(shù)式. 學(xué)生舉出一些例子,并書(shū)寫(xiě),教師針對(duì)學(xué)生書(shū)寫(xiě)出現(xiàn)問(wèn)題的地方進(jìn)行指導(dǎo). [設(shè)計(jì)意圖] 學(xué)生通過(guò)觀察式子的共同特征,形成代數(shù)式的概念,培養(yǎng)學(xué)生的概括能力. 4.例題講解 (補(bǔ)充)計(jì)算:(-5)2, ,- . 〔解析〕 利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化簡(jiǎn),注意被開(kāi)方數(shù)的符號(hào). 解:(-5)2=(-5)2()2=252=50. = =. - =- =-. (補(bǔ)充)比較2與3的大小. 〔解析〕 直接比較這兩個(gè)二次根式的大小不太容易,由于這兩個(gè)二次根式平方后得到兩個(gè)有理數(shù),因此可以通過(guò)比較這兩個(gè)二次根式平方的大小來(lái)比較它們的大小. 解:∵(2)2=22()2=44,(3)2=32()2=45, 又∵44<45,且2>0,3>0, ∴2<3. 師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容: 知識(shí)要點(diǎn) 關(guān)鍵點(diǎn) 注意事項(xiàng) ()2=a(a≥0) 任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方,其結(jié)果仍然是它本身 被開(kāi)方數(shù)a是非負(fù)數(shù) =|a|= 任何實(shí)數(shù)的平方的算術(shù)平方根是它的絕對(duì)值 底數(shù)a可以是任何實(shí)數(shù) 代數(shù)式 用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子叫代數(shù)式 ①式子中不能出現(xiàn)“=,≠,≥,≤,<,>”;②單個(gè)的數(shù)字或單個(gè)的字母也是代數(shù)式 1.計(jì)算的結(jié)果是 ( ) A.-3 B.3 C.-9 D.9 解析:==3.故選B. 2.下列各式:①m2-3;② (a>0);③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中代數(shù)式的個(gè)數(shù)是 ( ) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 解析:③a-1=6是方程,不是代數(shù)式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不是代數(shù)式;其余都是代數(shù)式.故選C. 3. + 的值是 . 解析: + =2+2=4.故填4. 4.(1)當(dāng)x 時(shí),=2-x成立; (2)計(jì)算= . 解析:(1)當(dāng)x-2≤0時(shí),=2-x,所以x≤2;(2)因?yàn)?<π,所以3-π<0,因此=π-3. 答案:(1)≤2 (2)π-3 5.計(jì)算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2. 解:(1)=0.9. (2)(2)2=22()2=12. (3)=(-2)2=2. (4)(-)2=(-1)2()2=15. 第2課時(shí) 1.二次根式的性質(zhì)1:()2=a(a≥0) 例1 2.二次根式的性質(zhì)2:=a(a≥0) 例2 3.代數(shù)式 4.例題講解 例3 例4 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第4頁(yè)練習(xí)第1,2題;教材第5頁(yè)習(xí)題16.1第2,3,4,5,6題. 【選做題】 教材第5頁(yè)習(xí)題16.1第7,8,9,10題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.已知二次根式的值為3,那么x的值是( ) A.3 B.9 C.-3 D.3或-3 2.若=1-2a,則 ( ) A.a< B.a≤ C.a> D.a≥ 3.(2015杭州中考)若k<下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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