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切線的性質(zhì)與判定 一 選擇題： 1.如圖，P是⊙O直徑AB延長線上的一點，PC與⊙O相切于點C，若∠P=20，則∠A的度數(shù)為（ ） A.40 B.35 C.30 D.25 2.如圖,△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,以點C為圓心的圓與AB相切，則⊙C的半徑為（　 ?。? A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6 3.如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上一點，∠CDB=20，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E，則∠E等于（　 ?。? A.40 B.50 C.60 D.70 4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30，BC=4cm，以點C為圓心，以2cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關系是( ) A.相離 B.相切 C.相交 D.相切或相交 5.如圖,PA,PB是⊙O的切線,A，B是切點,點C是劣弧AB上的一個點,若∠P=40,則∠ACB度數(shù)是(　 　) A．80 B．110 C．120 D．140 6.已知如圖, AB 是半圓 O 的直徑,弦. AD 、 BC 相交于點 P ,那么 等于∠ BPD 的（ ） A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不對 7.如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別是D、E、F，已知∠A=100，∠C=30，則∠DFE度數(shù)是（　?。? A．55 B．60 C．65 D．70 8.如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點．若PB切⊙O于點B，則PB的最小值是（　 ?。? A． B． C．3 D．2 9.如圖，△ABC中AB=AC=5，BC=6，點P在邊AB上，以P為圓心的⊙P分別與邊AC、BC相切于點E、F，則⊙P的半徑PE的長為( ) A． B．2 C． D． 10.已知AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上的一個動點，過P作⊙O的切線，切點為C，∠APC的平分線交AC于點D，若∠CPD=20，則∠CAP等于（ ） 　 A.30 B.20 C.45 D.25 11.把一張圓形紙片和一張含45角的扇形紙片如圖所示的方式分別剪得一個正方形，如果所剪得的兩個正方形邊長都是1，那么圓形紙片和扇形紙片的面積比是（　 ?。? A.4：5 B.2：5 C.：2 D.： 12.如圖，點A、B分別在x軸、y軸上（）,以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O,C是的中點，連結AC，BC．下列結論：①; ②若4,OB =2，則△ABC的面積等于5; ③若,則點C的坐標是（2，），其中正確的結論有（　 ） A.3個B.2個 C.1個 D.0個 13.一個直角三角形的斜邊長為8，內(nèi)切圓半徑為1，則這個三角形的周長等于 ( ) A．21 B．20 　 　C．19 D．18 14.如圖，A點在半徑為2的⊙O上，過線段OA上的一點P作直線l，與⊙O過A點的切線交于點B，且∠APB=60，設OP=x，則△PAB的面積y關于x的函數(shù)圖象大致是（　　） A. B. C. D. 15.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90，AC=4，BC=3，O是△ABC的內(nèi)心,以O為圓心,r為半徑的圓與線段AB有交點，則r的取值范圍是 （ ） A．r≥1 B．1≤r≤ C．1≤r≤ D．1≤r≤4 16.如下圖，已知⊙O的直徑為AB，AC⊥AB于點A，BC與⊙O相交于點D，在AC上取一點E，使得ED=EA.下面四個結論：①ED是⊙O的切線；②BC=2OE；③△BOD為等邊三角形；④△EOD∽△CAD.正確的是（　　 ） A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④ 17.如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心坐標是（3，a）（a＞3），半徑為3，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為，則a的值是（　 　） A.4 B. C. D. 18.如圖,在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過、，的半徑為2（ 為坐標原點），點是直線上的一動點，過點作的一條切線，為切點，則切線長最小值為( ) A. B.3 C. D. 19.如圖,在△ABC中,AB=10,AC =8,BC=6,經(jīng)過點C且與邊相切的動圓與CA,CB分別相交于點P,Q,則線段PQ長度的最小值是（ ） A. B. C. D． 20.如圖,在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點,頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA=2，OC=1，矩形對角線AC、OB相交于E，過點E的直線與邊OA、BC分別相交于點G、H，以O為圓心，OC為半徑的圓弧交OA于D，若直線GH與弧CD所在的圓相切于矩形內(nèi)一點F，則下列結論： ①AG=CH；②GH=；③直線GH的函數(shù)關系式； ④梯形ABHG的內(nèi)部有一點P，當⊙P與HG、GA、AB都相切時，⊙P的半徑為.其中正確的有（　 ?。? A．1個　　　　 　　B．2個　　　 　　　C．3個　　　 　　　D．4個 二 填空題: 21.如圖,點D為AC上一點,點O為AB上一點.AD=DO,以O為圓心,OD長為半徑作圓，交AC于另一點E,交AB于點F，G，連接EF，若∠BAC=220，則∠EFG的大小為 (度) 22.如圖，⊙O是以數(shù)軸原點O為圓心，半徑為3的圓，與坐標軸的正半軸分別交于A、C兩點，OB平分∠AOC，點P在數(shù)軸上運動，過點P且與OB平行的直線與⊙O有公共點，則線段OP的取值范圍是　　 ． 23.一個邊長為4cm的等邊三角形ABC與⊙O等高，如圖放置，⊙O與BC相切于點C，⊙O與AC相交于點E，則CE的長為　　　　　　cm． 24.如圖，直線y=x﹣2與x軸、y軸分別交于M、N兩點，現(xiàn)有半徑為1的動圓圓心位于原點處，并以每秒1個單位的速度向右作平移運動．已知動圓在移動過程中與直線MN有公共點產(chǎn)生，當?shù)谝淮纬霈F(xiàn)公共點到最后一次出現(xiàn)公共點，這樣一次過程中該動圓一共移動　　 秒． 25.如圖,在△ABC中,∠BAC=60,∠ABC=45,AB=2,D是線段BC上的一個動點,以AD為直徑畫⊙O分別交AB、AC于E、F,連接EF,則線段EF長度的最小值是 . 26.如圖，點P在雙曲線y=（x＞0）上，⊙P與兩坐標軸都相切，點E為y軸負半軸上的一點，過點P作PF⊥PE交x軸于點F，若OF-OE=8，則k的值是 ． 27.如圖，在正方形ABCD中，以AB為直徑作半圓，點P是CD中點，BP與半圓交于點Q，連結DQ．給出如下結論：①DQ與半圓O相切；②；③∠ADQ=2∠CBP；④cos∠CDQ=．其中正確的是　　?。ㄕ垖⒄_結論的序號填在橫線上）． 28.如圖，扇形OAB的半徑為4，∠AOB=90，P是半徑OB上一動點，Q是弧AB上的一動點． （1）當P是OB中點，且PQ∥OA時（如圖1），弧AQ的長為　　 ； （2）將扇形OAB沿PQ對折，使折疊后的弧QB′恰好與半徑OA相切于C點（如圖2）．若OP=3，則O到折痕PQ的距離為　　 ． 29.如圖，平面直角坐標系中，分別以點A（﹣2，3），B（3，4）為圓心，以1、2為半徑作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的動點，P為x軸上的動點，則PM+PN的最小值等于　　 ． 30.如圖,正方形ABCD的邊長為2，將長為2的線段QF的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時滑動.如果點Q從點A出發(fā)，沿圖中所示方向按A→B→C→D→A滑動到點A為止,同時點F從點B出發(fā),沿圖中所示方向按B→C→D→A→B滑動到點B為止，那么在這個過程中，線段QF的中點M所經(jīng)過路線圍成的圖形面積為 ． 三 簡答題: 31.如圖,在△ABC中,∠C=90,AD是∠BAC的平分線,O是AB上一點,以O為圓心,OA為半徑的⊙O經(jīng)過點D． （1）求證：BC是⊙O的切線； （2）若BD=5，DC=3，求AC的長． 32.如圖，已知AB是⊙的直徑，AC是弦，點P是BA延長線上一點，連接PC，BC．∠PCA=∠B （1）求證：PC是⊙O的切線； （2）若PC=6，PA=4，求直徑AB的長． 33.如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且CP=CB． （1）求證：BC是⊙O的切線； （2）若⊙O的半徑為，OP=1，求BC的長 34.如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90，以AB為直徑的⊙O交AC于E點，D為BC的中點． 求證：DE與⊙O相切． 35.如圖，AB切⊙O于點B，AD交⊙O于點C和點D，點E為的中點，連接OE交CD于點F，連接BE交CD于點G． （1）求證：AB=AG； （2）若DG=DE，求證：GB2=GC?GA； （3）在（2）的條件下，若tanD=，EG=，求⊙O的半徑． 36.如圖，在⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，在AB的延長線上有點E，且EF＝ED. (1)求證：DE是⊙O的切線； (2)若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半徑為3，求的值． 37.如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點D，過點B作BE垂直于PD，交PD的延長線于點C，連接AD并延長，交BE于點E． （1）求證：AB=BE； （2）若PA=2，cosB=，求⊙O半徑的長． 38.如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB． （1）求證：直線BF是⊙O的切線； （2）若點D，點E分別是弧AB的三等分點，當AD=5時，求BF的長和扇形DOE的面積； （3）填空：在（2）的條件下，如果以點C為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點到點O的距離為5，則r的取值范圍為． 39.如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點F，過點E作直線EP與CD的延長線交于點P，使∠PED=∠C． （1）求證：PE是⊙O的切線； （2）求證：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半徑為5，CF=2EF，求PD的長． 40.如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AC于點F． （1）試說明DF是⊙O的切線； （2）若AC=3AE，求tanC． 參考答案 1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 6.B 7.C． 8.B． 9.A【解答】解：連結CP，作AH⊥BC于H，如圖，設⊙P的半徑為r， ∵AB=AC=5，∴BH=CH=BC=3，∴AH==4， ∵以P為圓心的⊙P分別與邊AC、BC相切于點E、F，∴PE⊥BC，PF⊥AC， ∵S△ABC=S△PAC+S△PBC，∴BCAH=BCPE+ACPF，即64=6r+5r，∴r=．故選A． 10.D 11.C12.A 13.C 14.D 15.C 16.C 17.B解：作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連結PB，如圖， ∵⊙P的圓心坐標是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3， ∴D點坐標為（3，3），∴CD=3，∴△OCD為等腰直角三角形，∴△PED也為等腰直角三角形， ∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=4=2， 在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故選：B． 18.C 19.B 20.D．試題分析：①∵四邊形OABC是矩形，∴OE=BE，BC∥OA，OA=BC，∴∠HBE=∠GOE，∵在△BHE和△OGE中，∠HBE=∠GOE，OE=BE，∠HEB=∠GEO，∴△BHE≌△OGE（ASA），∴BH=OG，∴AG=CH． ④如圖2，連接BG，∵在△OCH和△BAG中，CH=AG，∠HCO=∠GAB，OC=AB，∴△OCH≌△BAG（SAS），∴∠CHO=∠AGB． ∵∠HCO=90，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，∴∠CHO=∠FHO=∠BGA． ∵△CHE≌△AGE，∴HE=GE． ∵在△HOE和△GBE中，HE=GE，∠HEO=∠GEB，OE=BE，∴△HOE≌△GBE（SAS），∴∠OHE=∠BGE． ∵∠CHO=∠FHO=∠BGA，∴∠BGA=∠BGE，即BG平分∠FGA． ∵⊙P與HG、GA、AB都相切，∴圓心P必在BG上． 過P做PN⊥GA，垂足為N，則△GPN∽△GBA，∴，設半徑為r，則，解得r=． 故選D． 21.330 22.0＜OP≤3 23.　3　cm． 24.2　 25.26.16 27.?、佗邸? 【解答】解：①如圖1 連接DO，OQ，在正方形ABCD中，AB∥CD，AB═CD， ∵P是CD中點，O是AB中點，∴DP∥OB，DP═OB，∴四邊形OBDP是平行四邊形， ∴OD∥BP，∴∠1=∠OBQ，∠2=∠3，又∵OQ=OB，∴∠3=∠OBQ，∴∠1=∠2， 在△AOD和△QOD中，，∴△AOD≌△QOD，∴∠OQD=∠A=90，∴DQ與半圓O相切，①正確； ②如圖2 連接AQ，可得：∠AQB=90，在正方形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABQ=∠BPC， 設正方形邊長為x，則CP=x，由勾股定理可求：BP=，∴cos∠BPC=，cos∠ABQ=， ∴=，又AB=x，可求，BQ=x，PQ=x，∴=，②不對； ③如圖3 連接AQ，OQ，由①知，∠OQD=90，又∠OAD=90，可求∠ADQ+∠AOQ=180， ∵∠3+∠AOQ=180，∴∠3=∠ADQ，由②知，∠1+∠4=90，又∠4+∠CBP=90，∴∠CBP=∠1， ∵OA=OQ，∴∠1=∠2，又∵∠3=∠1+∠2，∴∠3=2∠CBP，∴∠ADQ=2∠CBP，故③正確； ④如圖4， 過點Q作QH⊥CD，易證QH∥BC， 設正方形邊長為x，由②知：PQ=x，cos∠BPC=，可求：PH=x，HQ=x， ∴DH=DP+PH=x，由勾股定理可求：DQ=x，∴cos∠CDQ==，故④不正確． 綜上所述：正確的有①③． 28.（1） π??；（2） ?。? 【解答】解：（1）如圖1，連接OQ， ∵扇形OAB的半徑為4且P是OB中點，∴OP=2，OQ=4， ∵PQ∥OA，∴∠BPQ=∠AOB=90，∴∠1=30，∴∠2=∠1=30， 由弧AQ的長==π，故答案為：π； （2）如圖2，找點O關于PQ的對稱點O′，連接OO′、O′B、O′C、O′P， 則OM=O′M，OO′⊥PQ，O′P=OP=3，點O′是所在圓的圓心，∴O′C=OB=4， ∵折疊后的弧QB′恰好與半徑OA相切于C點，∴O′C⊥AO，∴O′C∥OB，∴四邊形OCO′B是矩形， 在Rt△O′BP中，O′B==2，在Rt△OBO′K，OO′==2， ∴OM=OO′=2=，即O到折痕PQ的距離為，故答案為：． 29.﹣3 30.4－π 31.（1）證明：連接OD； ∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠3．∵OA=OD，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3． ∴OD∥AC．∴∠ODB=∠ACB=90．∴OD⊥BC．∴BC是⊙O切線． （2）解：過點D作DE⊥AB， ∵AD是∠BAC的平分線，∴CD=DE=3． 在Rt△BDE中，∠BED=90，由勾股定理得：， 在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED ≌ Rt△ACD ∴AC=AE，設AC=x，則AE=x，AB=x+4，在Rt△ABC中 ， 即，解得x=6，∴AC=6． 32.1）證明：連接OC，如圖所示：∵AB是⊙的直徑，∴∠ACB=90，即∠1+∠2=90， ∵OB=OC，∴∠2=∠B，又∵∠PCA=∠B，∴∠PCA=∠2，∴∠1+∠PCA=90，即PC⊥OC，∴PC是⊙O的切線； （2）解：∵PC是⊙O的切線，∴PC2=PA?PB，∴62=4PB，解得：PB=9，∴AB=PB﹣PA=9﹣4=5． 33.1）證明略（3分） （2）BC=2 34【解答】解：連接OD，OE，∵O，D分別是AB，BC中點，∴OD∥AC，∴∠2=∠A，∠3=∠1， ∵OA=OE，∴∠A=∠3，∴∠1=∠2， 在△OED和△OBD中，，∴△OED≌△OBD，∴∠OED=∠ABC=90，∴DE⊥OE， ∵點D在⊙O上，∴DE與⊙O相切． 35.（1）證明：如圖，連接OB．∵AB為⊙O切線，∴OB⊥AB，∴∠ABG+∠OBG=90， ∵點E為的中點，∴OE⊥CD，∴∠OEG+∠FGE=90，又∵OB=OE，∴∠OBG=∠OEG，∴∠ABG=∠FGE， ∵∠BGA=∠FGE，∴∠ABG=∠BGA，∴AB=AG； （2）證明：連接BC，∵DG=DE，∴∠DGE=∠DEG， 由（1）得∠ABG=∠BGA，又∵∠BGA=∠DGE，∴∠A=∠D， ∵∠GBC=∠D，∴∠GBC=∠A，∵∠BGC=∠AGB，∴△GBC∽△GAB，∴，∴GB2=GC?GA； （3）連接OD，在Rt△DEF中，tanD=，∴設EF=3x，則DF=4x，由勾股定理得DE=5x， ∵DG=DE，∴DG=5x，∴GF=DG﹣DF=x． 在Rt△EFG中，由勾股定理得GF2+EF2=EG2，即（3x）2+x2=（）2，解得x=1， 設⊙O半徑為r，在Rt△ODF中，OD=r，OF=r﹣3x=r﹣3，DF=4x=4， 由勾股定理得：OF2+FD2=OD2，即（r﹣3）2+（4）2=r2，解得r=，∴⊙O的半徑為． 36.解：(1)連接OD，∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF，∵∠EFD＝∠CFO，∴∠CFO＝∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF＋∠CFO＝90，而OC＝OD，∴∠OCF＝∠ODF，∴∠ODC＋∠EDF＝90，即∠ODE＝90，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線　(2)∵OF∶OB＝1∶3，∴OF＝1，BF＝2，設BE＝x，則DE＝EF＝x＋2，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90，∴∠ADO＝∠BDE，而∠ADO＝∠A，∴∠BDE＝∠A，又∠BED＝∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴＝＝，即＝＝，∴x＝2，∴＝＝ 37.（1）證明：連接OD，∵PD切⊙O于點D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠ADO=∠E， ∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE； （2）有（1）知，OD∥BE，∴∠POD=∠B，∴cos∠POD=cosB=，在Rt△POD中，cos∠POD=， ∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，∴,∴OA=3，∴⊙O半徑為3． 38.（1）證明見解析；（2），；（3）＜r＜． （1）∵∠CBF=∠CFB，∴CB=CF，又∵AC=CF，∴CB=AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABF=90，∴直線BF是⊙O的切線； （2）連接DO，EO，∵點D，點E分別是弧AB的三等分點，∴∠AOD=60，又∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠OAD=60，又∵∠ABF=90，AD=5，∴AB=10，∴BF=；扇形DOE的面積==； （3）連接OC，則圓心距OC=，由題意得，＜r＜，故答案為：＜r＜． 39.（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）． （2）∵AB、CD為⊙O的直徑，∴∠AEB=∠CED=90，∴∠3=∠4（同角的余角相等），又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，即ED平分∠BEP； （3）設EF=x，則CF=2x，∵⊙O的半徑為5，∴OF=2x﹣5，在RT△OEF中，，即，解得x=4，∴EF=4，∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90，∵AB=10，BE=8，∴AE=6，∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90，∴△AEB∽△EFP，∴，即，∴PF=，∴PD=PF﹣DF==． 40.（1）證明見試題解析；（2）． 試題解析：（1）連接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切線； （2）連接BE，∵AB是直徑，∴∠AEB=90，∵AB=AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE，∴BE==AE，在RT△BEC中，tanC==．