《高考數(shù)學(xué)模擬試卷 文（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)模擬試卷 文（含解析）（20頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2016年廣西玉林、貴港、梧州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科） 　 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，則A∩B=（　?。? A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2} 2．復(fù)數(shù)z=的虛部為（　?。? A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．3 3．命題“若a2＜b，則﹣＜a＜”的逆否命題為（　?。? A．若a2≥b，則a≥或a≤﹣ B．若a2＞b，則a＞或a＜﹣ C．若a≥或a≤﹣，則a2≥b D．若a＞或a＜﹣，則a2＞b 4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，則tanα=（　?。? A． B． C． D．2 5．已知變量x，y之間的線性回歸方程為=﹣0.7x+10.3，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（　?。? x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．變量x，y之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系 B．m=4 C．可以預(yù)測，當(dāng)x=11時(shí)，y=2.6 D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點(diǎn)（9，4） 6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4則（　?。? A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c 7．已知函數(shù)y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，若將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長度后，所得圖象關(guān)于x=軸對稱，則f（x）的解析式為（　?。? A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+） C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+） 8．若不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)镈，則將D繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所得區(qū)域的面積為（　?。? A．30π B．28π C．26π D．25π 9．若數(shù)列{an}為各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S10=（　　） A．15 B．15 C．31 D．31 10．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。? A．（﹣，） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 11．網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，如圖畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（　?。? A．44 B．56 C．68 D．72 12．已知雙曲線C1：﹣y2=1，雙曲線C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C2一條漸近線上的某一點(diǎn)，且OM⊥MF2，若C1，C2的離心率相同，且S=16，則雙曲線C2的實(shí)軸長為（　?。? A．4 B．8 C．16 D．32 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上 13．已知平面向量，的夾角為，||=4，||=2，則|﹣2|=_______． 14．運(yùn)行如圖程序框圖若輸入的n的值為3，則輸出的n的值為_______． 15．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S8=8，a3=4．則的最小值為_______． 16．若函數(shù)f（x）=|ex+|在[0，1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______． 　 三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知acosB﹣c=． （1）求角A的大??； （2）若b﹣c=，a=3+，求BC邊上的高． 18．小明和小紅進(jìn)行一次答題比賽，共4局，每局10分，現(xiàn)將小明和小紅的各局得分統(tǒng)計(jì)如表： 小明 6 6 9 9 小紅 7 9 6 10 （1）求小明和小紅在本次比賽中的平均得分x1，x2及方差，； （2）從小明和小紅兩人的4局比賽中隨機(jī)各選取1局，并將小明和小紅的得分分別記為a，b，求a≥b的概率． 19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形． （1）若E為線段A1C1的中點(diǎn)，證明：BE⊥AC； （2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120，求三棱錐B﹣AD1C的體積． 20．已知橢圓C： +=1（a＞b＞0）的離心率為，且（4，0）在橢圓C上，圓M：x2+y2=r2與直線l：y=8x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1． （1）求橢圓C的方程與圓M的方程； （2）已知A（m，n）為圓M上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作橢圓C的兩條切線l1，l2．試探究直線l1，l2的位置關(guān)系，并說明理由． 21．已知函數(shù)f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx． （1）若a=2，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程； （2）當(dāng)a≤時(shí)，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 　 請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-1：幾何證明選講] 22．如圖，BC為圓O的直徑，A為圓O上一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與圓O相切，且與線段BC的延長線交于點(diǎn)D，E為線段AC延長線上的一點(diǎn)，且ED∥AB． （1）求證AC?AD=AB?CD； （2）若DE=4，DC=5，求AD的長． 　 [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 23．已知曲線C的參數(shù)方程為，（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2，）． （1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程，并求出曲線C在點(diǎn)（，1）處的切線l的極坐標(biāo)方程； （2）若過點(diǎn)A的直線m與曲線C相切，求直線m的斜率k的值． 　 [選修4-5：不等式選講] 24．已知m，n∈R+，且m＞n （1）若n＞1，比較m2+n與mn+m的大小關(guān)系，并說明理由； （2）若m+2n=1，求+的最小值． 　  2016年廣西玉林、貴港、梧州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，則A∩B=（　?。? A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2} 【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算． 【分析】直接根據(jù)交集的定義即可求出． 【解答】解：集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}， 則A∩B={0，1，2} 故選：D． 　 2．復(fù)數(shù)z=的虛部為（　?。? A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．3 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的基本概念． 【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡復(fù)數(shù)z，進(jìn)而得到數(shù)z的虛部． 【解答】解：z===﹣3﹣2i， 則復(fù)數(shù)z=的虛部為﹣2， 故選：A． 　 3．命題“若a2＜b，則﹣＜a＜”的逆否命題為（　?。? A．若a2≥b，則a≥或a≤﹣ B．若a2＞b，則a＞或a＜﹣ C．若a≥或a≤﹣，則a2≥b D．若a＞或a＜﹣，則a2＞b 【考點(diǎn)】四種命題間的逆否關(guān)系． 【分析】直接利用逆否命題與原命題的關(guān)系寫出結(jié)果即可． 【解答】解：命題“若a2＜b，則﹣＜a＜”的逆否命題為若a≥或a≤﹣，則a2≥b． 故選：C． 　 4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，則tanα=（　?。? A． B． C． D．2 【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值． 【分析】判斷角所在象限，求出余弦函數(shù)值，然后求解即可． 【解答】解：sin（π﹣α）=，可得sinα=，sin2α＞0， 所以cosα＞0，α是第一象限角， cosα==． ∴tanα==． 故選：B． 　 5．已知變量x，y之間的線性回歸方程為=﹣0.7x+10.3，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（　?。? x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．變量x，y之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系 B．m=4 C．可以預(yù)測，當(dāng)x=11時(shí)，y=2.6 D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點(diǎn)（9，4） 【考點(diǎn)】線性回歸方程． 【分析】求出，代入回歸方程解出，列方程解出m． 【解答】解： ==9，∴=﹣0.79+10.3=4． ∴，解得m=5． 故選B． 　 6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4則（　?。? A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c 【考點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較． 【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，即可得出． 【解答】解：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0， ∴c＞b＞a， 故選：C． 　 7．已知函數(shù)y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，若將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長度后，所得圖象關(guān)于x=軸對稱，則f（x）的解析式為（　?。? A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+） C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+） 【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 【分析】由周期求出ω，根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律、正弦函數(shù)的對稱性，求出φ的值，可得函數(shù)的解析式． 【解答】解：由題意知： =π，得ω=2，向左平移個(gè)單位長度后得f（x）=2sin（2x++φ）， 因?yàn)?，所得圖象關(guān)于x=軸對稱， 所以， ++φ=kπ+，k∈Z， 所以，φ=kπ﹣，k∈Z， 因?yàn)椋?＜φ＜π， 所以，φ=． 可得f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+）． 故選：B． 　 8．若不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)镈，則將D繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所得區(qū)域的面積為（　?。? A．30π B．28π C．26π D．25π 【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃． 【分析】由題意作出可行域D，可得將D繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所得區(qū)域?yàn)閳A環(huán)，求出大圓的半徑及小圓的半徑，則答案可求． 【解答】解：由約束條件作出平面區(qū)域D如圖， 聯(lián)立，解得B（5，3）； 聯(lián)立，解得C（3，5）； 又A（0，2）， ∴將D繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所得區(qū)域?yàn)閳A環(huán)，且大圓的半徑為，小圓的半徑為2． 則圓環(huán)的面積為34π﹣4π=30π． 故選：A． 　 9．若數(shù)列{an}為各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S10=（　?。? A．15 B．15 C．31 D．31 【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式即可得出． 【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q＞0，∵a7=2a3+a5，∴=2+a5，化為：q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2，q=． ∵a2=2﹣=a1， 解得a1=﹣1． 則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S10==25﹣1=31， 故選：D． 　 10．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。? A．（﹣，） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性不等式f（a2﹣1）＜1等價(jià)為f（|a2﹣1|）＜f（2），利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得到結(jié)論． 【解答】解：由于函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在x≥0上為增函數(shù)，f（2）=1 ∴不等式f（a2﹣1）＜1等價(jià)為f（|a2﹣1|）＜f（2） 即|a2﹣1|＜2，由此解得﹣＜a＜， 故選：A． 　 11．網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，如圖畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（　?。? A．44 B．56 C．68 D．72 【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積． 【分析】由三視圖知該幾何體為一個(gè)長方體切掉一個(gè)三棱柱和一個(gè)棱錐得到的幾何體，由三視圖求出幾何元素的長度，由柱體、錐體體積公式求出幾何體的體積． 【解答】解：由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)長方體切掉一個(gè)三棱柱和一個(gè)棱錐得到的幾何體， 且長方體長、寬、高為4、4、6； 三棱柱的底面是直角邊分別為4、3的直角三角形，高為4； 三棱柱的底面是直角邊分別為2、4的直角三角形，高為3； ∴該幾何體的體積V=446﹣﹣=68， 故選：C． 　 12．已知雙曲線C1：﹣y2=1，雙曲線C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C2一條漸近線上的某一點(diǎn)，且OM⊥MF2，若C1，C2的離心率相同，且S=16，則雙曲線C2的實(shí)軸長為（　?。? A．4 B．8 C．16 D．32 【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】求得雙曲線C1的離心率，求得雙曲線C2一條漸近線方程為y=x，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理和三角形的面積公式，化簡整理解方程可得a=8，進(jìn)而得到雙曲線的實(shí)軸長． 【解答】解：雙曲線C1：﹣y2=1的離心率為， 設(shè)F2（c，0），雙曲線C2一條漸近線方程為y=x， 可得|F2M|===b， 即有|OM|==a， 由S=16，可得ab=16， 即ab=32，又a2+b2=c2，且=， 解得a=8，b=4，c=4， 即有雙曲線的實(shí)軸長為16． 故選：C． 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上 13．已知平面向量，的夾角為，||=4，||=2，則|﹣2|=　?。? 【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 【分析】由條件即可求出，且，從而進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出的值，從而便可得出的值． 【解答】解：根據(jù)條件：； ∴ =16+16+16 =163； ∴． 故答案為：． 　 14．運(yùn)行如圖程序框圖若輸入的n的值為3，則輸出的n的值為　1?。? 【考點(diǎn)】程序框圖． 【分析】計(jì)算循環(huán)中n與i的值，當(dāng)i=7時(shí)滿足判斷框的條件，退出循環(huán)，輸出結(jié)果即可． 【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得 i=0，n=3 執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件n為奇數(shù)，n=10，i=1 不滿足條件i≥7，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件n為奇數(shù)，n=5，i=2 不滿足條件i≥7，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件n為奇數(shù)，n=16，i=3 不滿足條件i≥7，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件n為奇數(shù)，n=8，i=4 不滿足條件i≥7，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件n為奇數(shù)，n=4，i=5 不滿足條件i≥7，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件n為奇數(shù)，n=2，i=6 不滿足條件i≥7，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件n為奇數(shù)，n=1，i=7 滿足條件i≥7，退出循環(huán)，輸出n的值為1． 故答案為：1． 　 15．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S8=8，a3=4．則的最小值為　﹣4?。? 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S8=8，a3=4．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式可得a1，d，進(jìn)而得到：an，Sn．代入=+n﹣15，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出． 【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S8=8，a3=4． ∴8a1+d=8，a1+2d=4， 解得a1=8，d=﹣2． ∴an=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n，Sn==9n﹣n2． 則==+n﹣15， 令f（x）=﹣15，（x≥1）． f′（x）=1﹣=，可知：當(dāng)x=時(shí)，f（x）取得最小值， 又f（5）=6+5﹣15=﹣4，f（6）=5+6﹣15=﹣4． ∴f（n）的最小值為﹣4． 故答案為：﹣4． 　 16．若函數(shù)f（x）=|ex+|在[0，1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是?。ī仭?，﹣e2]∪[e2，+∞）?。? 【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)． 【分析】可看出，為去掉絕對值號，需討論a：（1）a＞0時(shí)，得出，求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意f′（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，從而得到a≥e2x在x∈[0，1]上恒成立，從而得出a≥e2；（2）a=0時(shí)，顯然不滿足題意；（3）a＜0時(shí)，可看出函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而由可解得，從而得出f（x）在上單調(diào)遞減，從而便可得出，這又可求出一個(gè)a的范圍，以上a的范圍求并集便是實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【解答】解：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，，； ∵f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減； ∴x∈[0，1]時(shí)，f′（x）≤0恒成立； 即x∈[0，1]時(shí)，a≥e2x恒成立； y=e2x在[0，1]上的最大值為e2； ∴a≥e2； （2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=ex，在[0，1]上單調(diào)遞增，不滿足[0，1]上單調(diào)遞減； ∴a≠0； （3）當(dāng)a＜0時(shí)，在R上單調(diào)遞增； 令得，； ∴f（x）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)； 又f（x）在[0，1]上為減函數(shù)； ∴； ∴a≤﹣e2； ∴綜上得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）． 故答案為：（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）． 　 三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知acosB﹣c=． （1）求角A的大?。? （2）若b﹣c=，a=3+，求BC邊上的高． 【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理． 【分析】（Ⅰ） 由正弦定理及三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可得cosAsinB=sinB，由sinB≠0，解得cosA，結(jié)合A的范圍即可得解． （Ⅱ）由余弦定理可解得：，設(shè)BC邊上的高為h，由，即可解得h的值． 【解答】（本題滿分為15分） 解：（Ⅰ）由及正弦定理可得：，… 因?yàn)閟inC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， 所以，… 因?yàn)閟inB≠0，所以，… 因?yàn)?＜A＜π，所以．… （Ⅱ）由余弦定理可知：，… 所以：， 解得：． … 設(shè)BC邊上的高為h，由，… 得：，… 解得：h=1． … 　 18．小明和小紅進(jìn)行一次答題比賽，共4局，每局10分，現(xiàn)將小明和小紅的各局得分統(tǒng)計(jì)如表： 小明 6 6 9 9 小紅 7 9 6 10 （1）求小明和小紅在本次比賽中的平均得分x1，x2及方差，； （2）從小明和小紅兩人的4局比賽中隨機(jī)各選取1局，并將小明和小紅的得分分別記為a，b，求a≥b的概率． 【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 【分析】（1）根據(jù)題意，利用定義計(jì)算平均數(shù)與方差即可； （2）利用列舉法計(jì)算基本事件數(shù)，求對應(yīng)的概率即可． 【解答】解：（1）根據(jù)題意，平均數(shù)x1==7.5， x2==8； =（1.524）=2.25， =（12+42）=2.5；… （2）記小明的4局比賽為A1，A2，A3，A4， 各局的得分分別是6，6，9，9； 小紅的4局比賽為B1，B2，B3，B4， 各局的得分分別是7，9，6，10； 則從小明和小紅的4局比賽中隨機(jī)各選取1局，所有可能的結(jié)果有16種， 它們是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）， （A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4）， （A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）；… 其中滿足條件的有： （A1，B3），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3）， （A4，B1），（A4，B2），（A4，B3）；… 故所求的概率為．… 　 19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形． （1）若E為線段A1C1的中點(diǎn)，證明：BE⊥AC； （2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120，求三棱錐B﹣AD1C的體積． 【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的性質(zhì)． 【分析】（1）連接BD，B1D1，通過證明AC⊥平面B1D1DB得出AC⊥BE； （2）利用菱形的性質(zhì)計(jì)算S△ABC，于是=S△ABC?AA1． 【解答】解：（1）連接BD，B1D1， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AA1⊥平面ABCD，BB1∥AA1， ∴BB1⊥平面ABCD，∵AC?平面ABCD， ∴BB1⊥AC， 又BB1?平面BB1D1D，BD?平面BB1D1D，BD∩BB1=B， ∴AC⊥平面BB1D1D， ∵E是A′C′的中點(diǎn)，四邊形A′B′C′D′是菱形， ∴E是B1D1的中點(diǎn)， ∴BE?平面BB1D1D， ∴AC⊥BE． （2）∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC=A1B1=2，∠ABC=∠ADC=120， ∴S△ABC===， ∴=S△ABC?AA1==． 　 20．已知橢圓C： +=1（a＞b＞0）的離心率為，且（4，0）在橢圓C上，圓M：x2+y2=r2與直線l：y=8x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1． （1）求橢圓C的方程與圓M的方程； （2）已知A（m，n）為圓M上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作橢圓C的兩條切線l1，l2．試探究直線l1，l2的位置關(guān)系，并說明理由． 【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】（1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求；求得直線和圓的交點(diǎn)（1，8），即可得到圓的方程； （2）當(dāng)過點(diǎn)A與橢圓C相切的一條切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=4，得到直線y=7恰好為過點(diǎn)A與橢圓相切的另一條切線，于是兩切線l1，l2互相垂直；當(dāng)過點(diǎn)A（m，n）與橢圓C相切的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y﹣n=k（x﹣m），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式等于0能推導(dǎo)出直線l1、l2始終相互垂直． 【解答】解：（1）由題意得b=4，e==， 又a2﹣c2=16， 解得a=7，b=4，c=． ∴橢圓C的方程為+=1； 由題意可得圓M：x2+y2=r2與直線l：y=8x的一個(gè)交點(diǎn)為（1，8）， 即有r2=65， 則圓M的方程：x2+y2=65； （2）如圖， ①當(dāng)過點(diǎn)A與橢圓C： +=1相切的一條切線的斜率不存在時(shí)， 此時(shí)切線方程為x=4， ∵點(diǎn)A在圓M：x2+y2=65上，則A（4，7）， ∴直線y=7恰好為過點(diǎn)A與橢圓相切的另一條切線，于是兩切線l1，l2互相垂直； ②當(dāng)過點(diǎn)A（m，n）與橢圓C相切的切線的斜率存在時(shí)， 設(shè)切線方程為y﹣n=k（x﹣m）， 由， 得（49+16k2）x2+32k（n﹣mk）x+16k2m2﹣32kmn+16n2﹣4916=0， 由于直線與橢圓相切， ∴△=1024k2（n﹣mk）2﹣4（49+16k2）（16k2m2﹣32kmn+16n2﹣4916）=0， 整理，得（16﹣m2）k2+2mnk+49﹣n2=0， ∴k1k2=， ∵P（m，n）在圓x2+y2=65上，∴m2+n2=65， ∴16﹣m2=n2﹣49， ∴k1k2=﹣1，則兩直線互相垂直． 綜上所述，直線l1、l2始終相互垂直． 　 21．已知函數(shù)f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx． （1）若a=2，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程； （2）當(dāng)a≤時(shí)，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，切線斜率，即可得到所求切線方程． （2）通過，對?x＞1恒成立；構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，即可推出a的范圍． 【解答】解：（1）依題意，， 故f（1）=﹣2，因?yàn)閒（1）=1，… 故所求切線方程為y﹣1=﹣2（x﹣1），得y=﹣2x+3；… （2）依題意，因?yàn)閤∈（1，+∞），故lnx＞0， 故，對?x＞1恒成立；… 令，則，令h（x）=0，得， 當(dāng)時(shí)，h（x）單調(diào)遞減；時(shí)，h（x）單調(diào)遞增… 所以當(dāng)時(shí)，h（x）取得最小值… ∴… 又∵，∴… 　 請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-1：幾何證明選講] 22．如圖，BC為圓O的直徑，A為圓O上一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與圓O相切，且與線段BC的延長線交于點(diǎn)D，E為線段AC延長線上的一點(diǎn)，且ED∥AB． （1）求證AC?AD=AB?CD； （2）若DE=4，DC=5，求AD的長． 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）證明△ABD∽△CAD，即可證明AC?AD=AB?CD； （2）若DE=4，DC=5，求出CE=3，利用三角函數(shù)求AD的長． 【解答】（1）證明：∵AD切圓O于點(diǎn)A， ∴∠B=∠CAD， ∵∠ADB=∠CDA， ∴△ABD∽△CAD， ∴=， ∴AC?AD=AB?CD； （2）解：∵BC是直徑， ∴∠BAC=90， ∵ED∥AB， ∴∠DEC=∠BAC=90，∠CDE=∠B， ∴∠CAD=∠CDE， ∵DE=4，DC=5， ∴CE=3， ∴sin∠CAD==sin∠CDE=， ∴AD=． 　 [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 23．已知曲線C的參數(shù)方程為，（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2，）． （1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程，并求出曲線C在點(diǎn)（，1）處的切線l的極坐標(biāo)方程； （2）若過點(diǎn)A的直線m與曲線C相切，求直線m的斜率k的值． 【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 【分析】（1）曲線C的參數(shù)方程為，（α為參數(shù)），利用cos2α+sin2α=1，即可得出直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而得出極坐標(biāo)方程．點(diǎn)（，1）在曲線C上，故切線的斜率=﹣=﹣，即可得出切線方程，進(jìn)而化為極坐標(biāo)方程． （2）點(diǎn)A的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)A，即A（2，2）．設(shè)過直線m的斜率為k，y=k（x﹣2）+2，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出． 【解答】解：（1）曲線C的參數(shù)方程為，（α為參數(shù)），∵cos2α+sin2α=1，∴x2+y2=3．可得極坐標(biāo)方程為：ρ2=3，即． ∵點(diǎn)（，1）在曲線C上，故切線的斜率k=﹣=﹣，故切線的方程為：y﹣1=（x﹣），可得： x+y=3．即cosθ+ρsinθ=3． （2）點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2，），化為直角坐標(biāo)A，即A（2，2）．設(shè)過直線m的斜率為k，y=k（x﹣2）+2， ∵直線與圓相切，∴=，∴k2﹣8k+1=0，解得k=4． 　 [選修4-5：不等式選講] 24．已知m，n∈R+，且m＞n （1）若n＞1，比較m2+n與mn+m的大小關(guān)系，并說明理由； （2）若m+2n=1，求+的最小值． 【考點(diǎn)】基本不等式． 【分析】（1）作差法比較即可；（2）“乘1法”結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出最小值即可． 【解答】解：（1）由題意得： m2+n﹣（mn+m） =m2﹣mn+n﹣m =（m﹣1）（m﹣n）， ∵n＞1，故m＞1， 故（m﹣1）（m﹣n）＞0， 即m2+n＞mn+m； （2）由題意得： +=（+）（m+2n）=2+++2≥8， 當(dāng)且僅當(dāng)m=2n=時(shí)“=”成立．