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理科第20周 立體幾何中的向量方法 核心知識 1．空間的角 (1)異面直線所成的角 如圖，已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b.則把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)． (2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．①直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；②直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0的角． (3)二面角的平面角 如圖在二面角αlβ的棱上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則∠AOB叫做二面角的平面角． 2．空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角θ滿足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)求二面角的大小 (ⅰ)如圖①，AB、CD是二面角αlβ的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉． (ⅱ)如圖②③，n1，n2分別是二面角αlβ的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉． 自我測評 1．如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1上的動點，則直線NO、AM的位置關(guān)系是(　　)． A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直 解析　建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為2， 則A(2,0,0)，M(0,0,1)， O(1,1,0)，N(2，t,2)，＝(－1,1－t，－2)， ＝(－2,0,1)，＝0，則直線NO、AM的 位置關(guān)系是異面垂直． 答案　C 2．如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么，這條斜線與平面所成的角是_______． 解析　∵cos〈a，b〉＝＝， 又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝60. 3．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為_______． 解析　cos〈m，n〉＝＝＝， 即〈m，n〉＝45，其補角為135， ∴兩平面所成的二面角為45或135.