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學(xué)業(yè)分層測評(十) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達標(biāo)] 一、填空題 1．下列有四個結(jié)論，其中正確的是________． (1)各個側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐； (2)三條側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐； (3)底面是正三角形的棱錐是正三棱錐； (4)頂點在底面上的射影既是底面多邊形的內(nèi)心，又是外心的棱錐必是正棱錐． 【解析】　(1)不正確，正棱錐必備兩點，一是底面為正多邊形，二是頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心；(2)缺少第一個條件；(3)缺少第二個條件；而(4)可推出以上兩個條件，故正確． 【答案】　(4) 2．一個正四棱柱的對角線的長是9 cm，全面積等于144 cm2，則這個棱柱的側(cè)面積為________ cm2. 【解析】　設(shè)底面邊長，側(cè)棱長分別為a cm，l cm， ∴∴S側(cè)＝447＝112 cm2. 【答案】　112 3．斜三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，側(cè)棱與底面兩邊所成角都是60，那么這個斜三棱柱的側(cè)面積是________. 【導(dǎo)學(xué)號：60420037】 【解析】　由題意可知S側(cè)＝252＋54＝20＋20. 【答案】　20＋20 4．一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32π，則母線長為________． 【解析】　∵l＝，∴S側(cè)＝π(R＋r)l＝2πl(wèi)2＝32π，∴l(xiāng)＝4. 【答案】　4 5．已知正三棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為，則正三棱臺的側(cè)面積S1與底面積之和S2的大小關(guān)系為__________． 【解析】　斜高h′ ＝＝， S1＝(32＋34)＝9，S2＝22＋42＝5， ∴S1>S2. 【答案】　S1>S2 6．圓錐側(cè)面展開圖的扇形周長為2m，則全面積的最大值為________． 【解析】　設(shè)圓錐底面半徑為r，母線為l，則有2l＋2πr＝2m. ∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr(m－πr)＝(π－π2)r2＋πmr. ∴當(dāng)r＝＝時，S全有最大值. 【答案】　 7．正六棱柱的高為5，最長的對角線為13，則它的側(cè)面積為__________． 【解析】　如圖，連結(jié)A1D1，AD1，則易知AD1為正六邊形最長的對角線， 由棱柱的性質(zhì)，得AA1⊥A1D1， 在Rt△AA1D1中，AD1＝13，AA1＝5，A1D1＝＝12，由正六棱柱的性質(zhì)A1B1＝A1D1＝6， S棱柱側(cè)面積＝665＝180. 【答案】　180 8．如圖132，在正方體ABCDA1B1C1D1中，三棱錐D1AB1C的表面積與正方體的表面積的比為________． 圖132 【解析】　設(shè)正方體棱長為1，則其表面積為6，三棱錐D1AB1C為四面體，每個面都是邊長為的正三角形，其表面積為4＝2，所以三棱錐D1AB1C的表面積與正方體的表面積的比為1∶. 【答案】　1∶ 二、解答題 9.如圖133所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺OO′和較小的棱錐PO′. 圖133 (1)求大棱錐、小棱錐、棱臺的側(cè)面積之比； (2)若大棱錐PO的側(cè)棱為12 cm，小棱錐底面邊長為4 cm，求截得棱臺的側(cè)面積和全面積． 【解】　(1)設(shè)正六棱錐的底面邊長為a，側(cè)棱長為b，則截面的邊長為， ∴S大棱錐側(cè)＝c1h1＝6a ＝3a ， S小棱錐側(cè)＝c2h2＝3a ＝a ， S棱臺側(cè)＝(c1＋c2)(h1－h(huán)2)＝(6a＋3a) ＝a ，∴S大棱錐側(cè)∶S小棱錐側(cè)∶S棱臺側(cè)＝4∶1∶3. (2)S側(cè)＝(c1＋c2)(h1－h(huán)2)＝144(cm2)， S上＝644sin 60＝24(cm2)， S下＝688sin 60＝96(cm2)， ∴S全＝S側(cè)＋S上＋S下 ＝144＋120(cm2)． 10．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積為392 cm2，母線與軸的夾角為45，求這個圓臺的高、母線長和底面半徑． 【解】　法一：圓臺的軸截面如圖所示，根據(jù)題意可設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為x cm和3x cm.即A′O′＝x cm，AO＝3x cm(O′，O分別為上、下底面圓心)，過A′作AB的垂線，垂足為點D. 在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45，AD＝AO－A′O′＝2x cm，所以A′D＝AD＝2x cm，又S軸截面＝(A′B′＋AB)A′D＝(2x＋6x)2x＝392(cm2)，所以x＝7. 綜上，圓臺的高OO′＝14 cm，母線長AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半徑分別為7 cm和21 cm. 法二：圓臺的軸截面如圖所示，根據(jù)題意可設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為x cm和3x cm，延長AA′，BB′交OO′的延長線于點S(O′，O分別為上、下底面圓心)． 在Rt△SOA中，∠ASO＝45，所以SO＝AO＝3x cm， 又SO′＝A′O′＝x cm，所以O(shè)O′＝2x cm. 又S軸截面＝(2x＋6x)2x＝392(cm2)，所以x＝7. 綜上，圓臺的高OO′＝14 cm，母線長AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半徑分別為7 cm，21 cm. [能力提升] 1．用長、寬分別是3π和π的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則圓柱的表面積是________． 【解析】　S＝3π2＋2π2＝3π2＋π或S＝3π2＋2π2＝3π2＋π. 【答案】　3π2＋π或3π2＋π 2．如圖134，三棱錐SABC中底面△ABC為正三角形，邊長為a，側(cè)面SAC也是正三角形，且側(cè)面SAC⊥底面ABC，則三棱錐的側(cè)面積為________. 【導(dǎo)學(xué)號：60420038】 圖134 【解析】　取AC的中點M，連結(jié)SM，MB. ∵△SAC，△ABC為全等正三角形， ∴SM⊥AC，BM⊥AC， 且SM＝BM＝a，△SAB≌△SCB. 又∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC. SM?平面SAC，∴SM⊥平面ABC. 過M作ME⊥BC于點E，連結(jié)SE，則SE⊥BC. 在Rt△BMC中，MEBC＝MBMC， ∴ME＝a，可求SE＝＝a. ∴S△SBC＝BCSE＝a2， ∴S側(cè)＝S△SAC＋2S△SBC＝a2. 【答案】　a2 3．一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等，設(shè)四棱錐，三棱錐，三棱柱的高分別為h1，h2，h，則h1∶h2∶h＝__________. 【解析】　由題意可把三棱錐A1ABC與四棱錐A1BCC1B1拼成如圖所示的三棱柱ABCA1B1C1.不妨設(shè)棱長均為1，則三棱錐與三棱柱的高均為.而四棱錐A1BCC1B1的高為，則h1∶h2∶h＝∶∶＝∶2∶2. 【答案】　∶2∶2 4．如圖135所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6 m鐵絲，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面)．當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01 m2)． 圖135 【解】　由題意可知矩形的高即圓柱的母線長為＝1.2－2r，∴塑料片面積S＝πr2＋2πr(1.2－2r)＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.∴當(dāng)r＝0.4時，S有最大值0.48π，約為1.51平方米．