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章末綜合測評(一) (時間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．如圖1，已知DE∥BC，EF∥AB，現(xiàn)得到下列式子： 圖1 ①＝；②＝；③＝；④＝. 其中正確式子的個數(shù)有(　　) A．4個　　　 B．3個 C．2個 D．1個 【解析】　由平行線分線段成比例定理知，①②④正確．故選B. 【答案】　B 2．如圖2，DE∥BC，S△ADE∶S四邊形DBCE＝1∶8，則AD∶DB的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07370024】 圖2 A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶5 【解析】　由S△ADE∶S四邊形DBCE＝1∶8，得S△ADE∶S△ABC＝1∶9， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∵2＝＝， ∴＝， ∴AD∶DB＝1∶2. 【答案】　C 3．如圖3所示，將△ABC的高AD三等分，過每一分點作底面平行線，這樣把三角形分成三部分，則這三部分的面積為S1，S2，S3，則S1∶S2∶S3等于(　　) 圖3 A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．1∶3∶5 D．3∶5∶7 【解析】　如圖所示，E，F(xiàn)分別為△ABC高AD的三等分點，過點E作BC的平行線交AB，AC于點M，N，過點F作BC的平行線交AB，AC于點G，H.△AMN∽△ABC，＝，∴S1＝S△ABC. 又△AGH∽△ABC，＝，S△AGH＝S1＋S2， ∴S1＋S2＝S△ABC， ∴S2＝S△ABC，∴S3＝S△ABC， ∴S1∶S2∶S3＝1∶3∶5，故選C. 【答案】　C 4．如圖4，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延長線上，BD＝3CE，DE交BC于F，則DF∶FE等于(　　) 圖4 A．5∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶1 【解析】　過D作DG∥AC，交 BC于G， 則DG＝DB＝3CE， 即CE∶DG＝1∶3. 易知△DFG∽△EFC， ∴DF∶FE＝DG∶CE， 所以DF∶FE＝3∶1. 【答案】　C 5．如圖5所示，梯形ABCD的對角線交于點O，則下列四個結(jié)論： 圖5 ①△AOB∽△COD； ②△AOD∽△ACB； ③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB； ④S△AOD＝S△BOC. 其中正確的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3　　　 D．4 【解析】　∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正確．由①知，＝.S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA＝CD∶AB，③正確． ∵S△ADC＝S△BCD， ∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD， ∴S△AOD＝S△BOC，④正確． 故①③④正確． 【答案】　C 6．如圖6所示，鐵道口的欄桿短臂長1 m，長臂長16 m，當(dāng)短臂端點下降0.5 m時，長臂端點升高(　　) 圖6 A．11.25 m B．6.6 m C．8 m D．10.5 m 【解析】　本題是一個實際問題，可抽象為如下數(shù)學(xué)問題：如圖，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1 m，OB＝16 m，高CE＝0.5 m，求高DF.由相似三角形的性質(zhì)可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝0.5∶DF，解得DF＝ 8 m. 【答案】　C 7．如圖7所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40 cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，則AE的長為(　　) 圖7 A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm 【解析】　∵∠BAD＝90，AE⊥BD， ∴△ABE∽△DBA. ∴S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2. ∵S△ABE∶S△DBA＝1∶5， ∴AB2∶DB2＝1∶5， ∴AB∶DB＝1∶. 設(shè)AB＝k，DB＝k，則AD＝2k. ∵S矩形＝40 cm2，∴k2k＝40， ∴k＝2， ∴BD＝k＝10，AD＝4， S△ABD＝BDAE＝20，即10AE＝20， ∴AE＝4 cm. 【答案】　A 8．如圖8，把△ABC沿AB邊平移到△A′B′C′的位置，它們的重疊部分(即圖中的陰影部分)的面積是 △ABC的面積的一半，若AB＝，則此三角形移動的距離AA′是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07370025】 圖8 A.－1 B. C．1 D. 【解析】　由題意可知，陰影部分與△ABC相似，且等于△ABC面積的，∴A′B∶AB＝＝1∶. 又∵AB＝，∴A′B＝1， ∴AA′＝－1. 【答案】　A 9．如圖9所示，在Rt△ABC中，∠A＝30，∠C＝90，CD⊥AB于D，則BD∶AD＝(　　) 圖9 A.　　　　　 B. C. D. 【解析】　設(shè)CD＝，則AD＝3，BD＝1，∴＝. 【答案】　A 10．已知圓的直徑AB＝13，C為圓上一點，過C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，則AD的長為(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 【解析】　如圖，連接AC，CB. ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90. 設(shè)AD＝x，∵CD⊥AB于D， 由射影定理得CD2＝ADDB， 即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0， 解得x1＝4，x2＝9. ∵AD>BD，∴AD＝9. 【答案】　B 11.某社區(qū)計劃在一塊上、下底邊長分別是10米，20米的梯形空地上種植花木(如圖10所示)，他們想在△AMD和△BMC地帶種植單價為10元/米2的太陽花，當(dāng)△AMD地帶種滿花后，已經(jīng)花了500元，請你預(yù)算一下，若繼續(xù)在△BMC地帶種植同樣的太陽花，還需資金(　　) 圖10 A．500元 B．1 500元 C．1 800元 D．2 000元 【解析】　在梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AMD∽△BMC， AD＝10 m，BC＝20 m， ＝2＝， ∵S△AMD＝50010＝50(m2)，∴S△BMC＝200 m2， 則還需要資金20010＝2 000(元)． 【答案】　D 12．如圖11所示，將一個矩形紙片BADC沿AD和BC的中點連線EF對折，要使矩形AEFB與原矩形相似，則原矩形的長與寬的比應(yīng)為(　　) 圖11 A．1∶ B．1∶ C.∶1 D.∶1 【解析】　∵矩形AEFB∽矩形ABCD，∴BF∶AB＝AB∶AD. ∵BF＝AD，∴AB2＝AD2，∴AD∶AB＝∶1. 【答案】　C 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填在題中橫線上) 13．如圖12，已知DE∥BC，且BF∶EF＝4∶3，則AC∶AE＝________. 圖12 【解析】　∵DE∥BC， ∴＝， 同理＝， ∴＝＝＝. 【答案】　4∶3 14．如圖13，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB等于________米. 【導(dǎo)學(xué)號：07370026】 圖13 【解析】　如圖，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB. ∴△GCD∽△ABD，∴＝. 設(shè)BC＝x，則＝，同理，得＝. ∴＝，∴x＝3，∴＝， ∴AB＝6(米)． 【答案】　6 15．如圖14所示，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，BE是AC邊上的中線，且AD，BE交于點G，那么＝________. 圖14 【解析】　∵AD，BE是△ABC的中線，且AD交BE于G， ∴G是△ABC的重心，∴＝， ∴＝， 又∵D為BC的中點，∴＝，∴＝. 【答案】　 16．如圖15，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足為E，則DE＝________. 圖15 【解析】　法一：因為AB＝，BC＝3，所以AC＝＝2，tan ∠BAC＝＝，所以∠BAC＝.在Rt△BAE中，AE＝ABcos ＝，則CE＝2－＝.在△ECD中，DE2＝CE2＋CD2－2CECDcos ∠ECD＝2＋()2－2＝，故DE＝. 法二：如圖，作EM⊥AB交AB于點M，作EN⊥AD交AD于點N.因為AB＝，BC＝3，所以tan ∠BAC＝＝，則∠BAC＝，AE＝ABcos ＝，NE＝AM＝AEcos＝＝，AN＝ME＝AEsin ＝＝，ND＝3－＝.在Rt△DNE中，DE＝＝＝. 【答案】　 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)如圖16，點E是四邊形ABCD的對角線上一點，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE. 圖16 (1)求證：BEAD＝CDAE； (2)根據(jù)圖形的特點，猜想可能等于哪兩條線段的比(只寫出圖中一組比即可)？并證明你的猜想． 【解】　(1)證明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠DAC. ∵∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC， ∴△ABE∽△ACD，∴＝， 即BEAD＝CDAE. (2)猜想：＝. 證明：∵由(1)△ABE∽△ACD，∴＝， 又∵∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD， ∴＝. 18．(本小題滿分12分)如圖17，已知正方形ABCD的邊長為4，P為AB上的一點，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，試求PQ的長． 圖17 【解】　∵PQ⊥PC， ∴∠APQ＋∠BPC＝90， ∴∠APQ＝∠BCP， ∴Rt△APQ∽Rt△BCP. ∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3， ∴PB＝3，AP＝1，∴＝， 即AQ＝＝＝， ∴PQ＝＝ ＝. 19．(本小題滿分12分)在△ABC中，∠B＝25，AD是BC邊上的高，并且AD2＝BDDC，求∠BCA的度數(shù)． 【解】　(1)當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時，如圖(1)，由AD2＝BDDC，可得△ABD∽△CAD. ∴∠BCA＝∠BAD＝65； (2)當(dāng)AD在△ABC外部時，如圖(2)， 由AD2＝BDDC，得△ABD∽△CAD， ∴∠B＝∠CAD＝25， ∴∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25＋90＝115. 故∠BCA等于65或115. 20．(本小題滿分12分)如圖18所示，CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線，CE⊥CD，CE＝，連接DE交BC于點F，AC＝4，BC＝3.求證： 圖18 (1)△ABC∽△EDC； (2)DF＝EF. 【證明】　(1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，則AB＝5. ∵D為斜邊AB的中點， ∴AD＝BD＝CD＝AB＝2.5， ∴＝＝＝，∴△ABC∽△EDC. (2)由(1)知，∠B＝∠CDF， ∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF， ∴∠CDF＝∠DCF. ∴DF＝CF.① 由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90，∠ECF＋∠DCF＝90， ∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD. ∴∠ECF＝∠CEF， ∴CF＝EF.② 由①②，知DF＝EF. 21．(本小題滿分12分)已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直線MN是梯形的對稱軸，P是MN上的一點，直線BP交直線DC于F，交CE于E，且CE∥AB. (1)若點P在梯形內(nèi)部，如圖19(1)． 求證：BP2＝PEPF. (2)若點P在梯形的外部，如圖19(2)，那么(1)的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． (1)　　　　　　(2) 圖19 【解】　(1)證明：連接PC，因為MN是梯形ABCD的對稱軸，所以PB＝PC， ∠PBC＝∠PCB. 因為梯形ABCD是等腰梯形， 所以∠ABC＝∠DCB， 即∠ABP＋∠PBC＝∠PCB＋∠DCP， 所以∠ABP＝∠DCP. 又因為CE∥AB，所以∠E＝∠ABP＝∠DCP， 而∠CPE＝∠FPC，所以△CPE∽△FPC. 所以＝，即PC2＝PEPF， 又因為PC＝BP，所以BP2＝PEPF. (2)結(jié)論成立．證明如下： 連接PC， 由對稱性知PB＝PC， 所以∠PBC＝∠PCB. 因為梯形ABCD是等腰梯形， 所以∠ABC＝∠DCB， 所以∠ABC＋∠PBC＝∠DCB＋∠PCB， 即∠ABP＝∠DCP. 因為CE∥AB，所以∠ABP＋∠PEC＝180，而∠DCP＋∠PCF＝180， 所以∠PEC＝∠PCF.又因為∠EPC＝∠CPF，所以△EPC∽△CPF. 所以＝，即PC2＝PEPF， 所以BP2＝PEPF. 22．(本小題滿分12分)如圖20，在△ABC中，AC＝BC，F(xiàn)為底邊AB上的一點，＝(m，n>0)．取CF的中點D，連接AD并延長交BC于E. 圖20 (1)求的值； (2)如果BE＝2EC，那么CF所在的直線與邊AB有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論； (3)E點能否為BC中點？如果能，求出相應(yīng)的的值；如果不能，證明你的結(jié)論． 【導(dǎo)學(xué)號：07370027】 【解】　(1)如圖所示，作CG∥AB交AE的延長線于G. 在△GCD與△AFD中， ∠G＝∠FAD，∠CDG＝∠FDA，DC＝DF， ∴△GCD≌△AFD，∴GC＝AF. 在△ABE和△GCE中， ∠BAE＝∠G，∠AEB＝∠GEC， ∴△ABE∽△GCE.∵＝(m，n>0)， ∴＝＝＝＋1＝＋1. (2)∵BE＝2EC，∴＝2. 由(1)知＝＋1，∴＝1. ∴BF＝AF，F(xiàn)為AB的中點． ∵AC＝BC，∴CF⊥AB，∴CF所在的直線垂直平分邊AB. (3)不能．∵＝＋1，而>0，∴>1， ∴BE>EC. ∴E不能為BC的中點．