高中數(shù)學(xué) 第2章 幾個(gè)重要的不等式 2.1 柯西不等式學(xué)案 北師大版選修4-5
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1 柯西不等式 1.1 簡(jiǎn)單形式的柯西不等式 1.2 一般形式的柯西不等式 1．認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同的形式，理解它們的幾何意義，能證明柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式．(重點(diǎn)、易混點(diǎn)) 2．理解用參數(shù)配方法討論柯西不等式一般情況的過(guò)程．(重點(diǎn)難點(diǎn)) 3．能利用柯西不等式求特定函數(shù)的最值和進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明．(難點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1 簡(jiǎn)單形式的柯西不等式 閱讀教材P27～P28，完成下列問(wèn)題． 1．定理1 對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)向量(a，b)與向量(c，d)共線時(shí)，等號(hào)成立． 2．柯西不等式的向量形式 設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則|αβ|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立． 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)不等式(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是柯西不等式．( ) (2)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2，是柯西不等式，其中a，b，c，d為正數(shù)．( ) (3)在柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2中，a，b，c，d是任意實(shí)數(shù)．( ) 【解析】 柯西不等式中，四個(gè)數(shù)的組合是有對(duì)應(yīng)順序的，故(1)不對(duì)，(2)中，a，b，c，d可分別寫成()2，()2，()2，()2，所以是正確的，(3)正確． 【答案】 (1) (2)√ (3)√ 教材整理2 一般形式的柯西不等式 閱讀教材P29～P30“練習(xí)”以上部分，完成下列問(wèn)題． 1．定理2 設(shè)a1，a2，…，an與b1，b2，…，bn是兩組實(shí)數(shù)，則有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2， 當(dāng)向量(a1，a2，…，an)與向量(b1，b2，…，bn)共線時(shí)，等號(hào)成立． 2．推論 設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3是兩組實(shí)數(shù)，則有 (a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2. 當(dāng)向量(a1，a2，a3)與向量(b1，b2，b3)共線時(shí)“＝”成立． 在一般形式的柯西不等式中，等號(hào)成立的條件記為ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以嗎？ 【解】 不可以．若bi＝0而ai≠0，則k不存在． [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： [小組合作型] 利用柯西不等式證明不等式 (1)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求證：|ax＋by|≤1； (2)設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：＋＋≥(a＋b＋c)． 【精彩點(diǎn)撥】 本題考查柯西不等式及證明不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力及代數(shù)式的變式能力．解答本題(1)可逆用柯西不等式，而解答題(2)需將，，增補(bǔ)，使其滿足柯西不等式左邊結(jié)構(gòu)方可應(yīng)用． 【自主解答】 (1)|ax＋by|＝≤＝1. (2)由柯西不等式得：≥a＋b， 即≥a＋b. 同理：≥b＋c，≥a＋c. 將上面三個(gè)同向不等式相加得： (＋＋)≥2(a＋b＋c)， 所以＋＋≥(a＋b＋c)． 利用二維柯西不等式的代數(shù)形式證題時(shí)，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)(c＋d)≥(\r(ac)＋\r(bd))2，其中a，b，c，d為正數(shù).找出待證不等式中相應(yīng)的兩組數(shù)，當(dāng)這兩組數(shù)不太容易找時(shí)，需分析，增補(bǔ)(特別是對(duì)數(shù)字的增補(bǔ)：如a＝1a)變形等. [再練一題] 1．設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. 【證明】 由柯西不等式 [()2＋()2＋()2] ≥. 于是(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2， 即＋＋≥a＋b＋c. 運(yùn)用柯西不等式求參數(shù)范圍 已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910029】 【精彩點(diǎn)撥】 “恒成立”問(wèn)題需求＋＋的最大值，設(shè)法應(yīng)用柯西不等式求最值． 【自主解答】?。埽? ＝ ≤＝. 故參數(shù)λ的取值范圍是. 此題也是通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化應(yīng)用柯西不等式，由此可見，應(yīng)用柯西不等式，首先要對(duì)不等式形式、條件熟練掌握，然后根據(jù)題目的特點(diǎn)“創(chuàng)造性”應(yīng)用定理. [再練一題] 2．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，試求a的取值范圍． 【解】 由柯西不等式得， (2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2， 即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由條件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得1≤a≤2， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,2]． [探究共研型] 利用柯西不等式求最值 探究1 柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2是如何證明的？ 【提示】 要證(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，只要證a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2， 即證b2c2＋a2d2≥2abcd， 只要證(bc－ad)2≥0. 因?yàn)樯鲜斤@然成立，故(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 探究2 根據(jù)柯西不等式，下列結(jié)論成立嗎？ (1)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d為非負(fù)實(shí)數(shù))； (2)≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)； (3)≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)． 【提示】 成立． 已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值． 【精彩點(diǎn)撥】 利用x2＋2y2＋3z2為定值，構(gòu)造柯西不等式形式，再利用公式得出范圍，求解最小值． 【自主解答】 (x2＋2y2＋3z2) ≥＝(3x＋2y＋z)2， ∴(3x＋2y＋z)2≤(x2＋2y2＋3z2)＝12. ∵－2≤3x＋2y＋z≤2， ∴3x＋2y＋z的最小值為－2. 利用柯西不等式求最值時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.同時(shí)，要保證取到等號(hào)成立的條件. [再練一題] 3．若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及最小值點(diǎn)． 【解】 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4， 所以x2＋y2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)“＝”成立，為求最小值點(diǎn)， 需解方程組∴ 因此，當(dāng)x＝，y＝時(shí)，x2＋y2取得最小值，最小值為，最小值點(diǎn)為. [構(gòu)建體系] 1．設(shè)x，y∈R，且2x＋3y＝13，則x2＋y2的最小值為( ) A. B．169 C．13 D．0 【解析】 (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. 【答案】 C 2．已知a，b，c大于0，且a＋b＋c＝1，則a2＋b2＋c2的最小值為( ) A．1 B．4 C. D． 【解析】 根據(jù)柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2＝1， ∴a2＋b2＋c2≥. 【答案】 C 3．已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，t＝ax＋by＋cz，則t的取值范圍是( ) A．(0,1) B．(－1,1) C．(－1,0) D．[－1,1] 【解析】 設(shè)α＝(a，b，c)，β＝(x，y，z)． ∵|α|＝＝1，|β|＝＝1， 由|α||β|≥|αβ|，得|t|≤1. ∴t的取值范圍是[－1,1]． 【答案】 D 4．已知x，y＞0，的最小值為4，則xy＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910030】 【解析】 ∵≥＝， ∴2＝4，又＞0， ∴＝1，∴xy＝1. 【答案】 1 5．已知3x2＋2y2≤6，求證：2x＋y≤. 【證明】 由柯西不等式得 (2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2] ＝(3x2＋2y2)≤6＝11. 于是2x＋y≤. 我還有這些不足： (1) (2) 我的課下提升方案： (1) (2) 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．已知a，b為正數(shù)，且a＋b＝1，則P＝(ax＋by)2與Q＝ax2＋by2的關(guān)系是( ) A．P≤Q B．P＜Q C．P≥Q D．P＞Q 【解析】 設(shè)m＝(x，y)，n＝(，)， 則|ax＋by|＝|mn|≤|m||n| ＝ ＝＝， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.即P≤Q. 【答案】 A 2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是( ) A. B． C. D． 【解析】 2x2＋3y2＝(2x2＋3y2) ≥＝(x＋y)2＝. 【答案】 B 3．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，則＋＋的最小值為( ) A．24 B．30 C．36 D．48 【解析】 (x＋y＋z) ≥＝36， ∴＋＋≥36. 【答案】 C 4．設(shè)x，y，m，n>0，且＋＝1，則u＝x＋y的最小值是( ) A．(＋)2 B． C. D．(m＋n)2 【解析】 根據(jù)柯西不等式，得x＋y＝(x＋y)≥＝(＋)2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，等號(hào)成立， 這時(shí)u取最小值為(＋)2. 【答案】 A 5．函數(shù)y＝＋2的最大值是( ) A. B． C．3 D．5 【解析】 根據(jù)柯西不等式，知y＝1＋2≤＝. 【答案】 B 二、填空題 6．函數(shù)y＝＋的最大值為__________． 【解析】 由，非負(fù)且()2＋()2＝3， 所以＋≤ ＝＝. 【答案】 7．設(shè)x，y為正數(shù)，且x＋2y＝8，則＋的最小值為__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910031】 【解析】 (x＋2y) ＝[()2＋()2] ≥＝25， 又x＋2y＝8， ∴＋≥. 【答案】 8．設(shè)a，b，c，x，y，z都是正數(shù)，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，則＝________. 【解析】 由柯西不等式， 得2536＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝＝k時(shí)取“＝”， 由k2(x2＋y2＋z2)2＝2536，解得k＝， 所以＝k＝. 【答案】 三、解答題 9．已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值． 【解】 由柯西不等式得 (x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2. ∵x＋2y＋z＝1， ∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝時(shí)等號(hào)成立． 故x2＋4y2＋z2的最小值為. 10．已知θ為銳角，a，b均為正數(shù)． 求證：(a＋b)2≤＋. 【證明】 設(shè)m＝， n＝(cos θ，sin θ)， 則|a＋b|＝ ＝|mn|≤|m||n| ＝ ＝ ， ∴(a＋b)2≤＋. [能力提升] 1．已知x，y為正數(shù)，且xy＝1，則的最小值為( ) A．4 B．2 C．1 D． 【解析】 ＝ ≥＝＝22＝4. 【答案】 A 2．設(shè)a1，a2，…，an為正數(shù)，P＝，Q＝，則P，Q間的大小關(guān)系為( ) A．P>Q B．P≥Q C．P下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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