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高中數(shù)學(xué) 第三章 概率教案 北師大版必修3 教學(xué)分析　　　　　 本節(jié)是對(duì)第三章知識(shí)和方法的歸納與總結(jié)，從總體上把握本章，使學(xué)生的基本知識(shí)系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化，基本方法條理化，本章共有三部分內(nèi)容，是相互獨(dú)立的，隨機(jī)事件的概率是基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)了古典概型和幾何概型，要注意它們的區(qū)別和聯(lián)系，了解人類認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過程是逐步深入的，了解概率這門學(xué)科在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用． 三維目標(biāo)　　　　　 通過總結(jié)和歸納本章的知識(shí)，使學(xué)生進(jìn)一步了解隨機(jī)事件，了解概率的意義，掌握各種概率的計(jì)算公式，能夠用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)問題，培養(yǎng)學(xué)生分析、探究和思考問題的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓概率更好地為人類服務(wù)． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 概率的意義及求法，頻率與概率的關(guān)系，概率的主要性質(zhì)，古典概型的特征及概率公式的應(yīng)用，幾何概型意義的理解及會(huì)求簡(jiǎn)單的幾何概型問題． 課時(shí)安排　　　　　 1課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 思路1.同樣一張書桌有的整潔、有的凌亂，同樣一支球隊(duì)，在不同的教練帶領(lǐng)下戰(zhàn)斗力會(huì)有很大的不同，例如達(dá)拉斯小牛隊(duì)在“小將軍”約翰遜的帶領(lǐng)下攻防俱佳所向披靡，為什么呢？因?yàn)闀佬枰粩嗾恚蜿?duì)需要系統(tǒng)的訓(xùn)練、清晰的戰(zhàn)術(shù)、完整的攻防體系．我們學(xué)習(xí)也是一樣需要不斷歸納整理、系統(tǒng)總結(jié)、升華提高，現(xiàn)在我們就概率這一章進(jìn)行歸納復(fù)習(xí)，引出課題． 思路2.為了系統(tǒng)掌握本章的知識(shí)，我們復(fù)習(xí)本章內(nèi)容，教師直接點(diǎn)出課題． 推進(jìn)新課　　　　　 1．隨機(jī)事件的概率包括幾部分？ 2．古典概型包括幾部分？ 3．幾何概型包括幾部分？ 4．本章涉及的主要數(shù)學(xué)思想是什么？ 5．畫出本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖． 討論結(jié)果： 1．隨機(jī)事件的概率 隨機(jī)事件是本章的主要研究對(duì)象，基本事件是試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件． (1)概率的概念 在大量重復(fù)進(jìn)行的同一試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某一常數(shù)，且在它的附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)就是事件A的概率P(A)，概率是從數(shù)量上反映一個(gè)事件． 求某一隨機(jī)事件的概率的基本方法是：進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，用這個(gè)事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率． (2)概率的意義與性質(zhì) ①概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的度量，事件A的概率越大，其發(fā)生的可能性就越大；概率越小，事件A發(fā)生的可能性就越?。? ②由于事件的頻數(shù)總是小于或等于試驗(yàn)的次數(shù)，所以頻率在[0,1]之間，從而任何事件的概率在[0,1]之間，即0≤P(A)≤1. 概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (3)頻率與概率的關(guān)系與區(qū)別 頻率是概率的近似值．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近概率，頻率本身也是隨機(jī)的，兩次同樣的試驗(yàn)，會(huì)得到不同的結(jié)果；而概率是一個(gè)確定的數(shù)，與每次試驗(yàn)無關(guān)． 2．古典概型 (1)古典概型的概念 ①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；(有限性) ②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(等可能性) 我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型(classical models of probability)，簡(jiǎn)稱古典概型． (2)古典概型的概率計(jì)算公式為P(A)＝. 在使用古典概型的概率公式時(shí)，應(yīng)該注意： ①要判斷該概率模型是不是古典概型； ②要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)． 學(xué)習(xí)古典概型要通過實(shí)例理解古典概型的特點(diǎn)：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性．要學(xué)會(huì)把一些實(shí)際問題化為古典概型，不要把重點(diǎn)放在“如何計(jì)數(shù)”上． 3．幾何概型 (1)對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)．這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等．用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型． 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型(geometric models of probability)，簡(jiǎn)稱幾何概型． (2)幾何概型的基本特點(diǎn)：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等． (3)幾何概型的概率公式：P(A)＝. 幾何概型研究的是隨機(jī)事件的結(jié)果有無限多個(gè)，且事件的發(fā)生只與區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例的概率問題． (4)隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，可以利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來做模擬試驗(yàn)，估計(jì)概率，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)盡可能利用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)來處理數(shù)據(jù)，進(jìn)行模擬活動(dòng)，從而更好地體會(huì)概率的意義． 4．本章涉及的主要思想是化歸與轉(zhuǎn)化思想 (1)古典概型要求我們從不同的背景材料中抽象出兩個(gè)問題：一是所有基本事件的個(gè)數(shù)即總結(jié)果數(shù)n，二是事件A所包含的結(jié)果數(shù)m，最后化歸為公式P(A)＝. (2)幾何概型中，要首先求出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度和構(gòu)成事件的區(qū)域長(zhǎng)度，最后化歸為幾何概型的概率公式求解． 5．如圖1. 圖1 思路1 例1 每次拋擲一枚骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6)． (1)連續(xù)拋擲2次，求向上的數(shù)不同的概率； (2)連續(xù)拋擲2次，求向上的數(shù)之和為6的概率． 活動(dòng)：本小題主要考查概率的基本知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力． 解：(1)設(shè)A表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)不同”，則P(A)＝＝. 拋擲2次，向上的數(shù)不同的概率為. (2)設(shè)B表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)之和為6”．∵向上的數(shù)之和為6的結(jié)果有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5種，∴P(B)＝＝.拋擲2次，向上的數(shù)之和為6的概率為. 例2 甲盒中有紅、黑、白三種顏色的球各3個(gè)，乙盒子中有黃、黑、白三種顏色的球各2個(gè)，從兩個(gè)盒子中各取1個(gè)球． (1)求取出的兩個(gè)球是不同顏色的概率； (2)請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種隨機(jī)模擬的方法，來近似計(jì)算(1)中取出的兩個(gè)球是不同顏色的概率(寫出模擬的步驟)． 活動(dòng)：學(xué)生思考交流，教師引導(dǎo)，各種顏色的球被取到的可能性相同，屬于古典概型，可以利用古典概型的知識(shí)解決． 解：(1)設(shè)A為“取出的兩球是相同顏色”，B為“取出的兩球是不同顏色”，則事件A的概率為P(A)＝＝.由于事件A與事件B是對(duì)立事件，所以事件B的概率為P(B)＝1－P(A)＝1－＝. (2)隨機(jī)模擬的步驟：第1步：利用抓鬮法或計(jì)算機(jī)(計(jì)算器)產(chǎn)生1～3和2～4兩組取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，每組各有N個(gè)隨機(jī)數(shù)．用“1”表示取到紅球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黃球．第2步：統(tǒng)計(jì)兩組對(duì)應(yīng)的N對(duì)隨機(jī)數(shù)中，每對(duì)中的兩個(gè)數(shù)字不同的對(duì)數(shù)n.第3步：計(jì)算的值，則就是取出的兩個(gè)球是不同顏色的概率的近似值． 思路2 例1 已知單位正方形ABCD，在正方形內(nèi)(包括邊界)任取一點(diǎn)M，求： (1)△AMB面積大于等于的概率； (2)AM的長(zhǎng)度不小于1的概率． 解：(1)如圖2，取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，當(dāng)M在矩形CEFD內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABM的面積大于等于，由幾何概型知，P＝＝. (2)如圖3，以AB為半徑作圓弧，M在陰影部分時(shí)，AM的長(zhǎng)度大于等于1, 由幾何概型知，P＝＝1－π12＝1－. 圖2　 　　圖3 例2 如圖4，在墻上掛著一塊邊長(zhǎng)為16 cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個(gè)同心圓，半徑分別為2 cm,4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此板投鏢，設(shè)投鏢擊中線上或沒有投中木板時(shí)都不算(可重投)，問： 圖4 (1)投中大圓內(nèi)的概率是多少？ (2)投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少？ (3)投中大圓之外的概率是多少？ 解：整個(gè)正方形木板的面積，即基本事件所占的區(qū)域總面積為μΩ＝1616＝256(cm2)． 記“投中大圓內(nèi)”為事件A，“投中小圓與中圓形成的圓環(huán)”為事件B，“投中大圓之外”為事件C，則事件A所占區(qū)域面積為μA＝π62＝36π(cm2)；事件B所占區(qū)域面積為μB＝π42－π22＝12π(cm2)；事件C所占區(qū)域面積為μC＝(256－36π) cm2.由幾何概型的概率公式，得(1)P(A)＝＝；(2)P(B)＝＝；(3)P(C)＝＝1－. 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于(3)的求解，也可以直接應(yīng)用對(duì)立事件的性質(zhì)P(A)＝1－P()求解． 1．下列說法正確的是(　　)． A．任何事件的概率總是在(0,1)之間 B．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān) C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來越接近概率 D．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定 答案：C 2．?dāng)S一枚骰子，則擲得奇數(shù)點(diǎn)的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：B 3．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A為“三件產(chǎn)品全不是次品”，B為“三件產(chǎn)品全是次品”，C為“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是(　　)． A．A與C互斥 B．B與C互斥 C．任何兩個(gè)均互斥 D．任何兩個(gè)均不互斥 答案：B 4．從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個(gè)，其質(zhì)量小于4.8 g的概率為0.3，質(zhì)量小于4.85 g的概率為0.32，那么質(zhì)量在[4.8 g,4.85 g]范圍內(nèi)的概率是(　　)． A．0.62 B．0.38 C．0.02 D．0.68 答案：C 5．同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：B 6．甲、乙兩人隨意入住兩間空房，則甲、乙兩人各住一間房的概率是(　　)． A. B. C. D．無法確定 答案：C 7．如圖5所示，隨機(jī)在圖中撒一把豆子，則它落到陰影部分的概率是(　　)． 圖5 A. B. C. D. 答案：C 8．任意投擲3枚硬幣， (1)寫出所有可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果；(2)寫出恰有一枚硬幣正面朝上的可能的結(jié)果；(3)求出現(xiàn)一正二反的概率． 解：(1)可能的結(jié)果有(上，上，上)，(上，上，下)，(上，下，上)，(下，上，上)，(上，下，下)，(下，上，下)，(下，下，上)，(下，下，下)8種可能．(2)其中恰有一枚硬幣正面朝上有(上，下，下)，(下，上，下)，(下，下，上)3種不同的結(jié)果．(3)概率為. 9．有兩組相同的牌，每組三張，它們的牌面數(shù)字分別是1,2,3，現(xiàn)從每組牌中各摸出一張牌，問： (1)兩張牌的牌面數(shù)字和為幾的概率最大？(2)兩張牌的牌面數(shù)字和等于4的概率是多少？(3)兩張牌的牌面數(shù)字和是奇數(shù)的概率是多少？ 解：(1)和為4的概率最大；(2)兩張牌的牌面數(shù)字和為4的概率為；(3)兩張牌的牌面數(shù)字和是奇數(shù)的概率是. 1．設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率． (2)若a是從區(qū)間[0,3]上任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率． 解：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”． 當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b. (1)基本事件共12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值， 事件A中包含9個(gè)基本事件，事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝. (2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率為＝＝. 2．如圖6，在邊長(zhǎng)為25 cm的正方形中挖去邊長(zhǎng)為23 cm的兩個(gè)等腰直角三角形，現(xiàn)有均勻的粒子散落在正方形中，問粒子落在中間帶形區(qū)域的概率是多少？ 圖6 活動(dòng)：學(xué)生讀題，教師引導(dǎo)提示，因?yàn)榫鶆虻牧Ｗ勇湓谡叫蝺?nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，所以符合幾何概型的條件． 解：設(shè)A為“粒子落在中間帶形區(qū)域”，則依題意得正方形面積為2525＝625(cm2)，兩個(gè)等腰直角三角形的面積的和為22323＝529(cm2)，帶形區(qū)域的面積為625－529＝96(cm2)，∴P(A)＝. 同統(tǒng)計(jì)一樣，概率也是一門實(shí)踐性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)分支，與日常生活聯(lián)系緊密．現(xiàn)實(shí)生活中存在大量的隨機(jī)事件，在一次試驗(yàn)中它的發(fā)生是隨機(jī)的，可是借助大量的重復(fù)試驗(yàn)就會(huì)發(fā)現(xiàn)它的發(fā)生又具有某種規(guī)律，體現(xiàn)了“隨機(jī)性中蘊(yùn)涵規(guī)律性，偶然性中蘊(yùn)涵著必然性”的唯物辯證法觀點(diǎn)，概率的意義及求法，頻率與概率的關(guān)系，概率的主要性質(zhì)，古典概型的特征及概率公式的應(yīng)用，幾何概型意義的理解及會(huì)求簡(jiǎn)單的幾何概型問題等都是要掌握的重點(diǎn)內(nèi)容，內(nèi)容涉及了今年的高考題，要切實(shí)注意，同時(shí)由于這部分內(nèi)容與其他內(nèi)容聯(lián)系較少，要多加練習(xí)，達(dá)到熟練的目的． 復(fù)習(xí)題三任選3題． 這章內(nèi)容與其他數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系較少，其解題方法獨(dú)特，對(duì)同學(xué)們的思維能力、分析及解決問題能力要求較高．鉆研課本，理解概念，弄清公式的“來龍去脈”，尤其是公式中字母的內(nèi)涵．在此基礎(chǔ)上，適當(dāng)?shù)刈鲆恍┚毩?xí)，并及時(shí)歸納解題方法，不斷反思及加深自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)(概念、公式等)的理解． 備選習(xí)題 1．從五件正品一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的兩件產(chǎn)品中恰好是一件正品、一件次品的概率是(　　)． A．1 B. C. D. 答案：C 2．一個(gè)袋中裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，則取出的兩個(gè)球同色的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：A 3．現(xiàn)有5個(gè)球分別記為A，C，J，K，S，隨機(jī)放進(jìn)3個(gè)盒子，每個(gè)盒子只能放一個(gè)球，則K或S在盒中的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：D 4．對(duì)某種產(chǎn)品的5件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行檢測(cè)，直到區(qū)分出所有次品為止．若所有次品恰好經(jīng)過五次檢測(cè)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的檢測(cè)方法有(　　)． A．20種 B．96種 C．480種 D．600種 答案：C 5．若連擲兩次骰子，分別得到的點(diǎn)數(shù)是m，n，將m，n作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，則點(diǎn)P落在區(qū)域|x－2|＋|y－2|≤2內(nèi)的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：A 6．要從10名男生和5名女生中選出6人組成啦啦隊(duì)，若按性別依比例分層抽樣且某男生擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)，則不同的抽樣方法數(shù)是(　　)． A．CC B．CC C．AA D．CC 答案：A 7．兩個(gè)事件互斥是兩個(gè)事件對(duì)立的________條件．(　　)． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 答案：B 8．下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是(　　)． ①如果a，b是實(shí)數(shù)，那么b＋a＝a＋b　②某地1月1日刮西北風(fēng)?、郛?dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí)，x2≥0?、芤粋€(gè)電影院某天的上座率超過50% A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 9．從甲、乙、丙、丁4人中選3人當(dāng)代表，則甲被選中的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：D 10．一箱內(nèi)有10張標(biāo)有0到9的卡片，從中任選一張，則取到卡片上的數(shù)字不小于6的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：C 11．盒中有10個(gè)大小、形狀完全相同的小球，其中8個(gè)白球、2個(gè)紅球，則從中任取2球，至少有1個(gè)白球的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：A 12．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是30%，兩人下成和棋的概率為50%，則甲不輸?shù)母怕适?　　)． A．30% B．20% C．80% D．以上都不對(duì) 答案：C 13．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：B 14．若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m，n作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，則點(diǎn)P落在圓x2＋y2＝25外的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：B 15．從1,2,3,4,5,6這6個(gè)數(shù)字中，不放回地任取兩數(shù)，兩數(shù)都是偶數(shù)的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：D 16．同時(shí)擲3枚硬幣，那么互為對(duì)立事件的是(　　)． A．至少有1枚正面和最多有1枚正面 B．最多1枚正面和恰有2枚正面 C．至多1枚正面和至少有2枚正面 D．至少有2枚正面和恰有1枚正面 答案：C 17．某人向圖7的靶子上射箭，假設(shè)能中靶，且箭頭落在任何位置都是等可能的，最容易射中陰影區(qū)的是(　　)． 圖7 答案：B 18．袋子中有紅、黃、白3種顏色的球各1個(gè)，從中每次任取1個(gè)，有放回地抽取3次．求： (1)3個(gè)全是紅球的概率；(2)3個(gè)顏色全相同的概率；(3)3個(gè)顏色不全相同的概率；(4)3個(gè)顏色全不相同的概率． 解：(1)3個(gè)全是紅球的概率為；(2)3個(gè)顏色全相同的概率為＝； (3)“3個(gè)顏色不全相同”的概率為1－＝；(4)“3個(gè)顏色全不相同”的概率為. 19．小張去南京出差，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)去的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4，求： (1)他乘火車或乘飛機(jī)去的概率；(2)他不乘輪船去的概率；(3)如果他去的概率為0.5，請(qǐng)問他有可能乘哪種交通工具去？ 答案：(1)0.7；(2)0.8；(3)可能乘火車或輪船去，也可能乘汽車或飛機(jī)去．