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2016-2017學年高中數(shù)學 第二章 幾個重要的不等式 2.1.1 簡單形式的柯西不等式 2.1.2 一般形式的柯西不等式課后練習 北師大版選修4-5 一、選擇題 1．已知3x＋y＝10，則x2＋y2的最小值為(　　) A．　　　　　　　　　 B．1 C．10 D．100 答案：　C 2．設(shè)實數(shù)x，y滿足3x2＋2y2≤6，則2x＋y的最大值為(　　) A． B．4 C．2 D． 解析：　由柯西不等式知 (2x＋y)2≤(＋)(3x2＋2y2)≤6＝11， ∴2x＋y≤. 答案：　A 3．已知a，b，c，d，e是滿足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16的實數(shù)，則e的最大值為(　　) A．3 B．4 C．5 D． 解析：　∵(a＋b＋c＋d)2≤4(a2＋b2＋c2＋d2)， ∴(8－e)2≤4(16－e2)， ∴0≤e≤. 答案：　D 4．下面幾個不等式正確的個數(shù)是(　　) (1)a，b，c，d∈R，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2； (2)a2＋b2＋c2＋d2≥ab＋bc＋cd＋da(a，b，c，d∈R)； (3)若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，則a2＋b2＋c2≥； (4)若a，b∈(0，＋∞)，則(a＋b)(＋)≥4. A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 答案：　D 二、填空題 5．方程＋2＝的解為________． 解析：　將原方程變形為： 15＝2 ≤[()2＋22]＝15， 其中等號成立的充要條件是 ＝，解得x＝－. 答案：　x＝－ 6．已知a∈R，若關(guān)于x的方程x2＋x＋|a－|＋|a|＝0有實數(shù)，則a的取值范圍是________． 解析：　∵二次方程x2＋x＋|a－|＋|a|＝0有實根，則由 Δ＝1－4(|a－|＋|a|)≥0得|a－|＋|a|≤，由絕對值的幾何意義知，0≤a≤.故填0≤a≤. 答案：　0≤a≤ 三、解答題 7．設(shè)a，b，c為正實數(shù)， 求證：＋＋＋abc≥2. 證明：　因為a，b，c為正實數(shù)，由平均不等式可得 ＋＋≥3， 即＋＋≥. 所以＋＋＋abc≥＋abc. 而＋abc≥2＝2， 所以＋＋＋abc≥2. 8．設(shè)a，b，c，d為正數(shù)，a＋b＋c＋d＝1，求a2＋b2＋c2＋d2的最小值． 解析：　∵a，b，c，d為正數(shù)， ∴由柯西不等式得 (a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12) ≥(a＋b＋c＋d)2. ∵a＋b＋c＋d＝1， ∴4(a2＋b2＋c2＋d2)≥1， 即a2＋b2＋c2＋d2≥. ∴a2＋b2＋c2＋d2的最小值為. 9．已知：α、β、γ為空間向量．求證|α－β|＋|β－γ|≥|γ－α|. 證明：|α－β|＋|β－γ|≥|γ－α|. 證明：　設(shè)α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，γ＝(c1，c2，c3)，則α－β＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， β－γ＝(b1－c1，b2－c2，b3－c3)， γ－α＝(c1－a1，c2－a2，c3－a3)， 則|α－β|＝， |β－γ|＝， |γ－α|＝. 結(jié)合空間三角形三邊關(guān)系可得 |α－β|＋|β－γ|≥|γ－α|.