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2.3 圓周運(yùn)動(dòng)的案例分析
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
知 識(shí) 脈 絡(luò)
1.通過向心力的實(shí)例分析，體會(huì)向心力的來源，并能結(jié)合具體情況求出相關(guān)的物理量．(重點(diǎn))
2．在豎直面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動(dòng)中，能用向心力和向心加速度的公式求最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的向心力和向心加速度．(重點(diǎn)、難點(diǎn))
3．通過對(duì)實(shí)例的分析，體會(huì)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律在實(shí)際問題中的應(yīng)用．(難點(diǎn))
過 山 車 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 分 析
1．向心力
如圖231所示，過山車到達(dá)軌道頂部A時(shí)，人與車作為一個(gè)整體，所受到的向心力是重力與軌道對(duì)車的彈力的合力，即F向＝mg＋N.
圖231
2．臨界速度
當(dāng)N＝0時(shí)，過山車通過圓形軌道頂部時(shí)的速度，稱為臨界速度，v臨界＝.
(1)當(dāng)v＝v臨界時(shí)，重力恰好等于過山車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，過山車不會(huì)脫離軌道．
(2)當(dāng)v
v臨界時(shí)，重力和軌道對(duì)車的彈力的合力提供向心力，過山車不會(huì)脫離軌道．
1．過山車在最高點(diǎn)時(shí)人只受重力作用．()
2．過山車在最低點(diǎn)時(shí)，因合力向上故人受支持力大于重力．(√)
3．要讓過山車安全通過最高點(diǎn)，速度應(yīng)大于臨界速度．(√)
過山車和乘客在軌道上的運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng)(如圖232甲、乙所示)．那么
甲 乙
圖232
過山車駛至軌道的頂部，車與乘客都在軌道的下方，為什么不會(huì)掉下來？
【提示】 過山車駛至軌道的頂部時(shí)，車所受的軌道的壓力和所受的重力的合力提供車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，只改變速度方向，而不使物體做自由落體運(yùn)動(dòng)．
過山車的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，過山車經(jīng)過軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度為v.
探討1：過山車能通過軌道最高點(diǎn)的臨界速度是多少？
【提示】 臨界條件為mg＝，故臨界速度v＝.
探討2：當(dāng)過山車通過軌道最高點(diǎn)的速度大于臨界速度時(shí)，過山車對(duì)軌道的壓力怎樣計(jì)算？
【提示】 根據(jù)FN＋mg＝，可得FN＝－mg.
1．過山車問題分析：設(shè)過山車與坐在上面的人的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，過山車經(jīng)過頂部時(shí)的速度為v，以人和車作為一個(gè)整體，在頂部時(shí)所受向心力是由重力和軌道對(duì)車的彈力的合力提供的。由牛頓第二定律得mg＋N＝m.人和車要不從頂部掉下來，必須滿足的條件是：N≥0.
當(dāng)N＝0時(shí)，過山車通過圓形軌道頂部的速度為臨界速度，此時(shí)重力恰好提供過山車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即mg＝m，臨界速度為v臨界＝，過山車能通過最高點(diǎn)的條件是v≥.
2．輕繩模型
如圖233所示，輕繩系的小球或在軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)的小球，在最高點(diǎn)時(shí)的臨界狀態(tài)為只受重力，由mg＝m，得v＝.
圖233
在最高點(diǎn)時(shí)：
(1)v＝時(shí)，拉力或壓力為零．
(2)v>時(shí)，物體受向下的拉力或壓力，并且隨速度的增大而增大．
(3)v<時(shí)，物體不能達(dá)到最高點(diǎn)．(實(shí)際上球未到最高點(diǎn)就脫離了軌道)
即繩類模型中小球在最高點(diǎn)的臨界速度為v臨＝.
3．輕桿模型
如圖234所示，在細(xì)輕桿上固定的小球或在管形軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的小球，由于桿和管能對(duì)小球產(chǎn)生向上的支持力，所以小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的條件是在最高點(diǎn)的速度大于或等于零，小球的受力情況為：
圖234
(1)v＝0時(shí)， 小球受向上的支持力N＝mg.
(2)0時(shí)，小球受向下的拉力或壓力，并且隨速度的增大而增大．
即桿類模型中小球在最高點(diǎn)的臨界速度為v臨＝0.
1．(多選)如圖235所示，汽車以速度v通過一弧形的拱橋頂端時(shí)，關(guān)于汽車受力的說法中正確的是( )【導(dǎo)學(xué)號(hào)：02690020】
圖235
A．汽車的向心力就是它所受的重力
B．汽車的向心力是它所受的重力與支持力的合力，方向指向圓心
C．汽車受重力、支持力、牽引力、摩擦力和向心力的作用
D．汽車受到的支持力比重力小
【解析】 汽車以速度v通過一弧形的拱橋頂端時(shí)，汽車受重力、支持力、牽引力和摩擦力，重力與支持力的合力提供向心力，方向指向圓心，A、C錯(cuò)誤，B正確；汽車受到的支持力比重力小，D正確．
【答案】 BD
2．長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩，一端系一質(zhì)量為m的小球，另一端固定于某點(diǎn)，當(dāng)繩豎直時(shí)小球靜止，再給小球一水平初速度v0，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，并且剛好能過最高點(diǎn)，則下列說法中正確的是( )
A．球過最高點(diǎn)時(shí)，速度為零
B．球過最高點(diǎn)時(shí)，繩的拉力為mg
C．開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩的拉力為m
D．球過最高點(diǎn)時(shí)，速度大小為
【解析】 開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，由小球受的重力mg和繩的拉力F的合力提供向心力，即F－mg＝m，F(xiàn)＝m＋mg，可見C不正確；小球剛好過最高點(diǎn)時(shí)，繩拉力為0，mg＝m，v＝，A、B不正確．故選D.
【答案】 D
3．用長(zhǎng)L＝0.6 m的繩系著裝有m＝0.5 kg水的小桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，成為“水流星”．(g＝10 m/s2)求：
圖236
(1)在最高點(diǎn)水不流出的最小速度為多少？
(2)若過最高點(diǎn)時(shí)速度為3 m/s，此時(shí)水對(duì)桶底的壓力為多大？
【解析】 (1)水做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)水不流出的條件是：水的重力不大于水所需要的向心力．這時(shí)的最小速度即為過最高點(diǎn)的臨界速度v0.
以水為研究對(duì)象mg＝m
解得v0＝＝ m/s≈2.45 m/s.
(2)由前面v0的解答知v＝3 m/s＞v0，故重力不足以提供向心力，要由桶底對(duì)水向下的壓力補(bǔ)充，此時(shí)所需向心力由以上兩力的合力提供．v＝3 m/s＞v0，水不會(huì)流出．設(shè)桶底對(duì)水的壓力為F，則由牛頓第二定律有：
mg＋F＝m
解得F＝m－mg＝0.5(－10)N＝2.5 N.
根據(jù)牛頓第三定律知F′＝F
所以水對(duì)桶底的壓力為2.5 N.
【答案】 (1)2.45 m/s (2)2.5 N
轉(zhuǎn) 彎 問 題 分 析
1．自行車在水平路面轉(zhuǎn)彎，地面對(duì)車的作用力與重力的合力提供轉(zhuǎn)彎所需的向心力．
2．汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎，所受靜摩擦力提供轉(zhuǎn)彎所需的向心力．
3．火車轉(zhuǎn)彎時(shí)外軌高于內(nèi)軌，如圖237所示，向心力由支持力和重力的合力提供，F(xiàn)向＝mgtan θ.
圖237
1．火車轉(zhuǎn)彎時(shí)，內(nèi)軌、外軌在同一水平面上最安全．()
2．火車轉(zhuǎn)彎時(shí)，靠外軌對(duì)火車的彈力提供向心力．()
3．在轉(zhuǎn)彎半徑一定的情況下，汽車速度越大，需要的向心力越大．(√)
1．除了火車彎道具有內(nèi)低外高的特點(diǎn)外，你還了解哪些道路具有這樣的特點(diǎn)？
【提示】 有些道路具有外高內(nèi)低的特點(diǎn)是為了增加車輛做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，進(jìn)而提高了車輛的運(yùn)動(dòng)速度，因此一些賽車項(xiàng)目的賽道的彎道要做得外高內(nèi)低，比如汽車、摩托車、自行車賽道的彎道，高速公路的拐彎處等．
2．火車經(jīng)過彎道時(shí)，若彎道處軌道外高內(nèi)低，火車對(duì)軌道一定沒有側(cè)向壓力嗎？
【提示】 不一定．只有火車以規(guī)定的速度經(jīng)過彎道時(shí)，才對(duì)軌道無側(cè)向壓力．
火車在鐵軌上轉(zhuǎn)彎可以看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖238所示，請(qǐng)思考下列問題：
重力G與支持力FN的合力F是使火車轉(zhuǎn)變的向心力
圖238
探討1：火車轉(zhuǎn)彎處的鐵軌有什么特點(diǎn)？
【提示】 火車轉(zhuǎn)彎處，外軌高于內(nèi)軌．
探討2：火車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度過大或過小，會(huì)對(duì)哪側(cè)軌道有側(cè)壓力？
【提示】 火車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度過大會(huì)對(duì)軌道外側(cè)有壓力，速度過小會(huì)對(duì)軌道內(nèi)側(cè)有壓力．
1．軌道分析
火車在轉(zhuǎn)彎過程中，運(yùn)動(dòng)軌跡是一圓弧，由于火車轉(zhuǎn)彎過程中重心高度不變，故火車軌跡所在的平面是水平面，而不是斜面．火車的向心加速度和向心力均沿水平面指向圓心．
2．向心力的來源分析(如圖239所示)
圖239
火車速度合適時(shí)，火車受重力和支持力作用，火車轉(zhuǎn)彎所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mgtan θ.
3．規(guī)定速度分析
若火車轉(zhuǎn)彎時(shí)只受重力和支持力作用，不受軌道壓力．則mgtan θ＝m，可得v0＝.(R為彎道半徑，θ為軌道所在平面與水平面的夾角，v0為轉(zhuǎn)彎處的規(guī)定速度)．
4．軌道壓力分析
4．賽車在傾斜的軌道上轉(zhuǎn)彎如圖2310所示，彎道的傾角為θ，半徑為r，則賽車完全不靠摩擦力轉(zhuǎn)彎的速率是(設(shè)轉(zhuǎn)彎半徑水平)( )
圖2310
A. B.
C. D.
【解析】 設(shè)賽車的質(zhì)量為m，賽車受力分析如圖所示，可見：F合＝mgtan θ，而F合＝m，故v＝.
【答案】 C
5．火車在某個(gè)彎道按規(guī)定運(yùn)行速度40 m/s轉(zhuǎn)彎時(shí)，內(nèi)、外軌對(duì)車輪皆無側(cè)壓力，若火車在該彎道實(shí)際運(yùn)行速度為30 m/s，則下列說法中正確的是 ( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：02690021】
A．僅內(nèi)軌對(duì)車輪有側(cè)壓力
B．僅外軌對(duì)車輪有側(cè)壓力
C．內(nèi)、外軌對(duì)車輪都有側(cè)壓力
D．內(nèi)、外軌對(duì)車輪均無側(cè)壓力
【解析】 火車在彎道按規(guī)定運(yùn)行速度轉(zhuǎn)彎時(shí)，重力和支持力的合力提供向心力，內(nèi)、外軌對(duì)車輪皆無側(cè)壓力。若火車的運(yùn)行速度小于規(guī)定運(yùn)行速度時(shí)，重力和支持力的合力大于火車需要的向心力，火車將做近心運(yùn)動(dòng)，內(nèi)軌對(duì)車輪產(chǎn)生側(cè)壓力，重力、支持力和內(nèi)軌的側(cè)壓力的合力提供火車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故A正確．
【答案】 A
6．某游樂場(chǎng)里的賽車場(chǎng)為圓形，半徑為100 m，一賽車和乘客的總質(zhì)量為100 kg，車輪與地面間的最大靜摩擦力為600 N．(g取10 m/s2)
(1)若賽車的速度達(dá)到72 km/h，這輛車在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)不會(huì)發(fā)生側(cè)移？
(2)若將場(chǎng)地建成外高內(nèi)低的圓形，且傾角為30，并假設(shè)車輪和地面之間的最大靜摩擦力不變，為保證賽車的行駛安全，賽車最大行駛速度應(yīng)為多大？
【解析】 (1)賽車在場(chǎng)地上做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由靜摩擦力提供，如圖甲所示．賽車做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力為F＝＝400 N＜600 N，所以賽車在運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)發(fā)生側(cè)移．
甲 乙
(2)若將場(chǎng)地建成外高內(nèi)低的圓形，則賽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力mg、支持力N和靜摩擦力的合力來提供，如圖乙所示為賽車做圓周運(yùn)動(dòng)的后視圖(賽車正垂直紙面向里運(yùn)動(dòng))．賽車以最大速度行駛時(shí)，地面對(duì)賽車的摩擦力為最大靜摩擦力．由牛頓第二定律得
水平方向：Nsin θ＋fmaxcos θ＝m
豎直方向：Ncos θ－fmaxsin θ－mg＝0
代入數(shù)據(jù)解得vmax＝≈35.6 m/s.
【答案】 (1)不會(huì) (2)35.6 m/s
火車轉(zhuǎn)彎問題的兩點(diǎn)注意
(1)合外力的方向：火車轉(zhuǎn)彎時(shí)，火車所受合外力沿水平方向指向圓心，而不是沿軌道斜面向下．因?yàn)椋疖囖D(zhuǎn)彎的圓周平面是水平面，不是斜面，所以火車的向心力即合外力應(yīng)沿水平面指向圓心．
(2)規(guī)定速度的唯一性：火車軌道轉(zhuǎn)彎處的規(guī)定速率一旦確定則是唯一的，火車只有按規(guī)定的速率轉(zhuǎn)彎，內(nèi)外軌才不受火車的擠壓作用．速率過大時(shí)，由重力、支持力及外軌對(duì)輪緣的擠壓力的合力提供向心力；速率過小時(shí)，由重力、支持力及內(nèi)軌對(duì)輪緣的擠壓力的合力提供向心力．
高中物理 第2章 研究圓周運(yùn)動(dòng) 2_3 圓周運(yùn)動(dòng)的案例分析教師用書 滬科版必修2
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