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3.2　研究功與功率 學 習 目 標 知 識 脈 絡 1.理解功的概念，并會運用功的公式進行計算．(重點) 2．理解正功與負功的含義．(難點) 3．理解功率的概念，F(xiàn)與v的關系，并會處理相關問題．(重點) 4．通過對汽車功率的研究，體驗物理中學以致用的樂趣. 功 1．功的計算 (1)力和物體位移方向一致時：W＝Fs. (2)力與物體位移方向的夾角為α時：W＝Fscos α，即力對物體所做的功等于力的大小、位移的大小以及力和位移夾角的余弦這三者的乘積． (3)功的單位：焦耳，符號J,1 J＝1 Nm. (4)功是標量：只有大小，沒有方向． 2．正功和負功 由功的公式W＝Fscos α可知 夾角α的范圍 做功情況 物理意義 α＝ cos α＝0，W＝0，即力F對物體不做功 力不是阻力也不是動力 0≤α< cos α>0，W>0，即力F對物體做正功 力是動力 <α≤π cos α<0，W<0，即力F對物體做負功或者說物體克服力F做功 力是阻力 1．功有大小也有正負，因而功是矢量．() 2．作用在物體上的力越大，力對物體做功越多．() 3．摩擦力總是阻礙相對運動或相對運動趨勢，因而總是做負功．() 1．某同學提著一桶100 N的水，沿水平地面勻速運動了20 m，她對水桶的拉力做的功是多少？ 【提示】　該同學沿水平方向運動，豎直方向上沒有位移，故她對水桶的拉力不做功． 2．兩個力F1，F(xiàn)2做的功分別為10 J和－15 J，這兩個力哪個做功較多？ 【提示】　功是標量，它的正負不表示大小，所給兩力中F2做功較多． 如圖321所示，人拉著小車沿水平面勻速前進了一段距離． 圖321 探討1：人對小車做的功是否等于拉力和位移的乘積？ 【提示】　不等于．因為W＝Flcos α. 探討2：拉力F一般分解為哪兩個分力？F做的功與哪個分力做的功相同？ 【提示】　拉力可以分解為沿水平方向和豎直方向的兩個分力．F做的功與水平方向分力做的功相同． 1．功的公式W＝Fscos α (1)式中F是恒力，此公式只適用于恒力做功的計算． (2)s是物體在力F作用下發(fā)生的位移，即力的作用點對地的位移． (3)α是力F的方向與位移s方向的夾角． 2．恒力做功的計算式可作以下三種理解 力與位移以及它們間夾角的余弦的乘積(W＝Fscos α) 力與在其方向上的分位移的乘積(W＝Fscos α) 力在位移方向上的分力與位移的乘積(W＝Fcos αs) 3.合外力做功的兩種計算方法 (1)先求物體所受的合外力，再根據(jù)公式W合＝F合scos α求合外力的功． (2)先根據(jù)W＝Fscos α求每個分力做的功W1，W2，…Wn，再根據(jù)W合＝W1＋W2＋…＋Wn，求合力的功． 4．正、負功的含義 正功 負功 條件 0≤α＜ ＜α≤π 物理意義 表明力是動力，做功的效果會促進物體的運動 表明力是阻力，做功的效果會阻礙物體的運動 說明 ①功的正、負既不表示大小也不表示方向，只表示是動力做功還是阻力做功 ②一個力對物體做負功，往往說成物體克服這個力做了功(取絕對值)，即力F做負功Fs等效于物體克服力F做功Fs 5．功的正負判斷方法 (1)根據(jù)力和位移的方向的夾角判斷，常用于恒力做功的判斷． (2)根據(jù)力和瞬時速度方向的夾角判斷，夾角是銳角做正功，是鈍角做負功，是直角不做功． 6．幾個力的總功的求法 由合力與分力的等效替代關系知，合力與分力做功也是可以等效替代的，因此計算總功的方法有兩種： (1)先求物體所受的合力，再根據(jù)公式W合＝F合lcos α求合力的功． (2)先根據(jù)W＝Flcos α，求每個分力做的功W1、W2…Wn，再根據(jù)W合＝W1＋W2＋…＋Wn，求合力的功．即合力做的功等于各個力做功的代數(shù)和． 1．如圖322所示，下列過程中人對物體做了功的是(　　) 圖322 A．小華用力推石頭，但沒有推動 B．小明舉起杠鈴后，在空中停留3秒的過程中 C．小紅提著書包，隨電梯一起勻速上升的過程中 D．小陳將冰壺推出后，冰壺在水平冰面上滑行了5米的過程中 【解析】　A、B選項所述情景中，位移都為零，D中冰壺滑行時，不受人的推力，故人對物體不做功，只有C選項所述情景，人對物體做功． 【答案】　C 2．(2016煙臺高一檢測)如圖323所示，在平行于斜面向上的F＝50 N的拉力作用下，使質(zhì)量為m＝2 kg的物體沿著長為L＝2 m，傾角為α＝30的斜面從底端向上滑到頂端，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.2，分別求作用在物體上的各力對物體所做的功(g取10 m/s2)． 圖323 【解析】　(1)拉力F對物體所做的功為WF＝FLcos 0＝5021 J＝100 J 拉力F對物體做正功． (2)重力mg對物體所做的功為 WG＝mgLcos(90＋α)＝－mgLsin α＝－2102 J＝－20 J “負號”表示物體克服重力做功． (3)摩擦力f對物體做的功為 Wf＝fLcos 180＝－μmgLcos α＝－0.22102 J＝－4 J “負號”表示物體克服摩擦力做功，或說摩擦力是阻力． (4)支持力N對物體做的功為 WN＝NLcos 90＝0 J 表示支持力對物體不做功． 【答案】　拉力做功100 J　重力做功 －20 J 摩擦力做功 －4 J　支持力做功0 J 3．(2016德陽高一檢測)一個質(zhì)量m＝2 kg的物體，受到與水平方向成37角斜向上方的力F＝10 N作用，在水平地面上移動的距離l＝2 m，物體與地面間的滑動摩擦力Ff＝4.2 N，求外力對物體所做的總功．(cos 37＝0.8，sin 37＝0.6) 【導學號：02690033】 圖324 【解析】　解法一：先求各力做的功，再求總功 拉力F對物體所做的功為 W1＝Flcos 37＝1020.8 J＝16 J 摩擦力Ff對物體所做的功為： W2＝Fflcos 180＝－4.22 J＝－8.4 J 由于重力、支持力對物體不做功，故外力對物體所做的總功W等于W1和W2的代數(shù)和 所以：W＝W1＋W2＝7.6 J. 解法二：先求合力，再求總功 物體受到的合力為 F合＝Fcos 37－Ff＝100.8 N－4.2 N＝3.8 N 所以W＝F合l＝3.82 J＝7.6 J. 【答案】　7.6 J 靈活選擇求合力功的兩種方法 (1)如果物體處于平衡狀態(tài)或某一方向受力平衡(合力等于零)，或者物體在某一方向上做勻變速直線運動(合力等于ma)，先求合力再求功的方法更簡捷．先求合力的方法僅適用于幾個力同時作用于物體上，且它們均不發(fā)生變化的情況． (2)如果已知物體所受的力之中有的不做功，有的做功且方便求得該力的功(如重力功)時，選擇W合＝W1＋W2＋…＋Wn簡單方便．求各力做功的代數(shù)和的方法，不管是幾個力同時作用，還是作用時間有先后均適用． 功 率 1．定義：功W跟完成這些功所用時間t的比值叫做功率，用P表示功率． 2．定義式：P＝. 3．單位：在國際單位制中，功率的單位是瓦特，簡稱瓦，符號是W，且1 W＝1 J/s. 4．物理意義：功率是表示做功快慢的物理量，即表示做功過程中能量轉(zhuǎn)化的快慢． 2．力、速度跟功率的關系． (1)牽引力的功率：P＝Fv. (2)平均功率：P＝F，其中為平均速度． (3)瞬時功率：P＝Fv，其中v為瞬時速度． 1．力越大，做功越快．() 2．功率越大表示做的功越多．() 3．功率表示做功的快慢．(√) 去過泰山的同學會遇到挑山工，假設挑山工和纜車將相同的貨物運至山頂，兩者對貨物做的功相同嗎？做功的功率相同嗎？ 圖325 【提示】　兩者對貨物做的功都等于克服重力做的功，由于將相同的貨物運往相同高度的山頂，兩者做相同的功，而用纜車運送貨物所用時間遠小于挑山工的用時，根據(jù)功率定義知纜車的做功功率遠大于挑山工的做功功率． 如圖326是解放軍正用吊車將一臺坦克車從碼頭上吊起裝上艦船． 圖326 探討1：將質(zhì)量為m的坦克車勻速吊起，坦克車在t時間內(nèi)勻速上升h高度．怎樣計算吊車的功率？ 【提示】　吊車對坦克車做的功 W＝mgh.功率P＝＝. 探討2：若坦克車在相同的時間內(nèi)勻加速上升h的高度，吊車的功率是變大還是變??？ 【提示】　變大．勻加速吊起，拉力增大，吊車做的功增多，時間相同，功率變大． 1．定義式及其物理意義 (1)定義式：功率是功跟完成這些功所用時間的比值，即P＝，功率是用比值定義法定義的物理量，功率的大小用來表示，但功率與功、時間無關． (2)物理意義：表示在一段時間內(nèi)力做功的平均快慢． 2．額定功率與實際功率的比較 定義 特點 聯(lián)系 額定 功率 發(fā)動機正常條件下長時間工作時的最大輸出功率 不同機械的額定功率可能不同，同一機械的額定功率不變 為了機械的安全 P額≥P實 實際 功率 發(fā)動機實際工作時的輸出功率 同一機械的實際功率隨工作情況而變 4．在一次舉重比賽中，一名運動員將質(zhì)量為127.5 kg的杠鈴舉起歷時約2 s，該運動員在舉起杠鈴運動中的平均功率約為(　　) 圖327 A．幾十瓦左右　　　　 B．一千瓦左右 C．幾十千瓦左右 D．幾百千瓦左右 【解析】　設舉重運動員將杠鈴舉高1.7 m，則P＝＝＝1 083.75 W. 【答案】　B 5．(2016福州高一檢測)如圖328所示是甲、乙兩物體做功與所用時間的關系圖像，那么甲物體的功率P甲與乙物體的功率P乙相比(　　) 圖328 A．P甲＞P乙 B．P甲＜P乙 C．P甲＝P乙 D．無法判定 【解析】　根據(jù)功率的定義式P＝可知，在功與所用時間的關系圖像中，直線的斜率表示時刻的功率．因此，由圖線斜率可知P甲＜P乙，選項B正確． 【答案】　B 6．人的心臟每跳一次大約輸送810－5 m3的血液，正常人血壓(可看做心臟輸送血液的壓強)平均值約為1.5104 Pa，心跳約每分鐘70次，據(jù)此估測心臟工作的平均功率約為多少. 【導學號：02690034】 【解析】　設血壓為p，作用于橫截面積為S的一個直血管內(nèi)的流體上，在時間t內(nèi)流體因壓力的作用而移動了一定的距離l，如圖所示，則壓力做功為W＝pSl＝pΔV，ΔV指流體的體積．因此，心臟在每分鐘所做的功應為W＝npΔV＝701.5104810－5 J＝84 J 故心臟工作的平均功率為P＝＝ W＝1.4 W. 【答案】　1.4 W 求解功率時應該注意的問題 1．首先要明確是求哪個力的功率，是某個力的功率，還是物體所受合力的功率，汽車的功率是指汽車牽引力的功率，起重機的功率是指起重機鋼絲繩拉力的功率． 2．利用公式P＝求出的一般是平均功率，而在t→0時，可認為P是瞬時功率． 功 率 與 力、速 度 的 關 系 1．功率與速度的關系式 P＝Fv(F與v方向相同)． 2．推導 ―→P＝Fv 3．應用 由功率速度關系式知，汽車、火車等交通工具和各種起重機械，當發(fā)動機的功率P一定時，牽引力F與速度v成反比，要增大牽引力，就要減小速度． 1．一個力對物體做功的功率，等于這個力與受力物體運動速度的乘積．(√) 2．汽車的功率一定，汽車的速度越大，牽引力就越大．() 3．汽車在高速公路上行駛，功率的大小與速度的大小無關．() 在越野比賽中，汽車爬坡時，常常換用低速擋，這是為什么？ 圖329 【提示】　由P＝Fv可知，汽車在上坡時需要更大的牽引力，而發(fā)動機的額定功率是一定的，換用低速擋的目的是減小速度，從而增大牽引力． 汽車以不同方式啟動，一次以恒定功率啟動，一次勻加速啟動． 圖3210 探討1：用公式P＝Fv研究汽車啟動問題時，力F是什么力？ 【提示】　F是汽車的牽引力． 探討2：以恒定功率啟動時，汽車的加速度變化嗎？做什么運動？ 【提示】　汽車以恒定功率啟動，根據(jù)P＝Fv，v增大，F(xiàn)減小，加速度減小，故加速度變化，汽車做變加速運動． 1．P＝Fv中三個量的制約關系 定值 各量間的關系 應用 P一定 F與v成反比 汽車上坡時，要增大牽引力，應換擋減小速度 v一定 F與P成正比 汽車上坡時，要使速度不變，應加大油門，增大輸出功率，獲得較大牽引力 F一定 P與v成正比 汽車在高速路上，加大油門增大輸出功率，可以提高速度 2．機車的兩種啟動方式 兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動 Pt圖和v t圖 OA段 過程分析 v↑?F＝↓ ?a＝↓ a＝不變?F不變 P＝Fv↑直到P額＝Fv1 運動性質(zhì) 加速度減小的加速直線運動 勻加速直線運動、維持時間t0＝ AB段 過程分析 F＝F阻?a＝0?F阻＝ v↑?F＝↓ ?a＝↓ 運動性質(zhì) 以vm做勻速直線運動 加速度減小的加速運動 BC段 F＝F阻?a＝0?F阻＝， 以vm做勻速直線運動 7．質(zhì)量為m的汽車行駛在平直公路上，在運動中所受阻力不變，當汽車的加速度為a，速度為v時，發(fā)動機功率為P1；當功率為P2時，汽車行駛的最大速度為(　　) 【導學號：02690035】 A.　　　　　　　 B. C. D. 【解析】　由題意知F－f＝ma，P1＝Fv，由以上兩式得f＝.當功率為P2時，汽車行駛的最大速度vm＝＝，B正確． 【答案】　B 8．能源短缺和環(huán)境惡化已經(jīng)成為關系到人類社會能否持續(xù)發(fā)展的大問題．為緩解能源緊張壓力、減少環(huán)境污染，汽車制造商紛紛推出小排量經(jīng)濟實用型轎車．某公司研制開發(fā)了某型號小汽車，發(fā)動機的額定功率為24 kW，汽車連同駕乘人員總質(zhì)量為m＝2 000 kg，在水平路面上行駛時受到恒定的阻力是800 N，求： (1)汽車在額定功率下勻速行駛的速度； (2)汽車在額定功率下行駛，速度為20 m/s時的加速度． 【解析】　(1)由P＝Fv得v＝＝ m/s＝30 m/s. (2)F1＝＝ N＝1 200 N. a＝＝ m/s2＝0.2 m/s2. 【答案】　(1)30 m/s　(2)0.2 m/s2 關于機車起動問題的解題方法 (1)比較額定功率與實際功率的關系：該類問題多以機車做勻速運動為題設條件，解決這類問題的主要依據(jù)是勻速運動時牽引力F與阻力f相等． (2)對于機車勻加速起動問題：主要綜合應用牛頓運動定律和勻變速直線運動規(guī)律解題，解題過程注意分析各物理量如a、F、f、P、v之間的關系及它們的變化規(guī)律，關鍵要抓住不變的物理量． (3)求瞬時加速度：求瞬時加速度時，可由F＝求出此時的牽引力，再根據(jù)牛頓第二定律a＝求出瞬時加速度．