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單擺 皰丁巧解牛 知識(shí)巧學(xué) 一、單擺的回復(fù)力 1.單擺 用一根不可伸長(zhǎng)且不計(jì)質(zhì)量的細(xì)線，懸掛一直徑可忽略的小球所組成的裝置，叫做單擺. 要點(diǎn)提示 單擺是實(shí)際擺的理想化模型. 2.實(shí)際擺看作單擺的條件 （1）擺線的形變量與擺線長(zhǎng)度相比小得多，懸線的質(zhì)量與擺球質(zhì)量相比小得多，這時(shí)可把擺線看成是不可伸長(zhǎng)，且沒(méi)有質(zhì)量的細(xì)線. （2）擺球的直徑與擺線長(zhǎng)度相比小得多，這時(shí)可把擺球看成是沒(méi)有大小只有質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn). 學(xué)法一得 某一物理量是否可以略去不計(jì)，是相對(duì)而言的，為了滿足上述條件應(yīng)盡量減小空氣阻力對(duì)它的影響，我們組成單擺的擺球應(yīng)選擇質(zhì)量大而體積小的球，線應(yīng)選擇盡量細(xì)而輕且彈性小的線. 3.單擺的回復(fù)力 （1）單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切向的分力F=mgsinθ提供的. （2）單擺在擺角很小時(shí)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng). 如圖11-4-1所示，擺球受重力mg和繩子拉力F′兩個(gè)力作用，將重力按切線方向、徑向正交分解，則繩子的拉力F′與重力的徑向分量的合力提供了擺球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，而重力的切向分力F提供了擺球振動(dòng)所需的回復(fù)力F=mgsinθ. 圖11-4-1 設(shè)單擺的擺長(zhǎng)為l，在最大偏角θ很小的條件下，擺球?qū)點(diǎn)的位移x的大小，與θ角所對(duì)的弧長(zhǎng)，θ角所對(duì)的弦長(zhǎng)都近似相等，即x==OP. 若擺角θ用弧度表示，則由數(shù)學(xué)關(guān)系知：sinθ=≈ 所以重力沿切向分力F=mgsinθ≈mg 令k=，則F=kx 因?yàn)镕的方向可認(rèn)為與x方向相反，則F回=-kx 由此可見(jiàn)單擺在擺角很小條件下的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng). 誤區(qū)警示 單擺振動(dòng)的回復(fù)力是重力在切線方向的分力，或者說(shuō)是擺球所受合外力在切線方向的分力.擺球所受的合外力在擺線方向的分力作為擺球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.所以并不是合外力完全用來(lái)提供回復(fù)力的.因此擺球經(jīng)平衡位置時(shí)，只是回復(fù)力為零，而不是合外力為零.（此時(shí)合外力提供擺球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力） 4.單擺的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) （1）擺球以懸掛點(diǎn)為圓心在豎直平面內(nèi)沿圓弧做變速圓周運(yùn)動(dòng)，做圓周運(yùn)動(dòng)需要向心力，向心力由繩子的拉力與重力的徑向分量的合力提供. （2）擺球同時(shí)以最低點(diǎn)為平衡位置做振動(dòng)，做振動(dòng)需要回復(fù)力，由擺球重力的切向分力提供（或擺球所受合外力沿圓弧切向分力提供）. 二、單擺的周期 1.伽利略發(fā)現(xiàn)了單擺運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，惠更斯得出了單擺的周期公式，并發(fā)明了擺鐘. 2.單擺的周期公式：T=2π. （1）單擺的周期T=2π為單擺的固有周期，相應(yīng)地f=為單擺的固有頻率，即周期與振幅與擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)，只與擺長(zhǎng)l及單擺所在地的重力加速度有關(guān). （2）單擺的周期公式最大偏角很小時(shí)成立（達(dá)5時(shí)，與實(shí)際測(cè)量值的相對(duì)誤差為0.01%）. （3）單擺周期公式中的g應(yīng)為單擺所在處的重力加速度，l應(yīng)為單擺的擺長(zhǎng).因?yàn)閷?shí)際的單擺擺球不可能是質(zhì)點(diǎn)，所以擺長(zhǎng)是指從懸點(diǎn)到擺球重心的長(zhǎng)度.對(duì)于不規(guī)則的擺動(dòng)物體或復(fù)合物體，擺長(zhǎng)均為從懸點(diǎn)到擺動(dòng)物體重心的長(zhǎng)度.而從懸點(diǎn)到擺線與擺球連接點(diǎn)的長(zhǎng)度通常叫擺線長(zhǎng). 3.秒擺：周期為2 s的單擺，叫做秒擺. 三、用單擺測(cè)定重力加速度 1.原理 由單擺周期公式T=2π可得重力加速度g= 據(jù)此只要測(cè)出單擺擺長(zhǎng)l和周期T，即可計(jì)算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎? 2.器材 鐵架臺(tái)及鐵夾、金屬小球（最好上面有一個(gè)通過(guò)球心的小孔）、秒表、細(xì)線（1 m左右）、刻度尺（最小刻度為 mm）、游標(biāo)卡尺. 學(xué)法一得 選擇材料時(shí)應(yīng)選擇細(xì)而不易伸長(zhǎng)的線，比如用單根尼龍絲、絲線等，長(zhǎng)度一般不應(yīng)短于1 m，小球應(yīng)選用密度較大的金屬球直徑應(yīng)較小，最好不超過(guò)2 cm. 3.實(shí)驗(yàn)步驟 （1）讓細(xì)線穿過(guò)球上的小孔，在細(xì)線的一端打一個(gè)稍大一些的線結(jié)，制成一個(gè)單擺. （2）將小鐵夾固定在鐵架臺(tái)上端，鐵架臺(tái)放在實(shí)驗(yàn)桌邊，使鐵夾伸出桌面之外，然后把單擺上端固定在鐵夾上，使擺球自由下垂. 誤區(qū)提示 單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾桿上，應(yīng)夾緊在鐵夾中，以免擺動(dòng)時(shí)發(fā)生擺線下滑、擺長(zhǎng)改變的現(xiàn)象. （3）用刻度尺和游標(biāo)卡滅測(cè)量單擺的擺長(zhǎng)（擺線靜掛時(shí)從懸點(diǎn)到球心間的距離）. （4）把此單擺從平衡位置拉開(kāi)一個(gè)角度，并使這個(gè)角不大于10，再釋放小球，當(dāng)擺球擺動(dòng)穩(wěn)定以后，過(guò)最低位置時(shí)，用秒表開(kāi)始計(jì)時(shí)，測(cè)量單擺全振動(dòng)30次（或50次）的時(shí)間，求出一次全振動(dòng)的時(shí)間，即單擺的振動(dòng)周期. 學(xué)法一得 ①注意擺動(dòng)時(shí)控制擺線偏離豎直方向不超過(guò)10，可通過(guò)估算振幅的辦法掌握；②計(jì)算單擺的振動(dòng)次數(shù)時(shí)，應(yīng)以擺球通過(guò)最低位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，以后擺球應(yīng)從同一方向通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)計(jì)數(shù)，要多測(cè)幾次（如30次或50次）全振動(dòng)的時(shí)間，用取平均值的辦法求周期. 誤區(qū)警示 擺球擺動(dòng)時(shí)，要使之保持在同一個(gè)豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺. （5）改變擺長(zhǎng)，反復(fù)測(cè)量三次，算出對(duì)應(yīng)的周期T及測(cè)得的擺長(zhǎng)l代入公式g=，求出重力加速度的值，然后求g的平均值. 學(xué)法一得 數(shù)據(jù)處理既可以采用計(jì)算取平均值的方法，也可以作出T2-l的圖象，據(jù)圖象求解重力加速度. 由l=T2知，圖象應(yīng)該是一條過(guò)原點(diǎn)的直線，且斜率k=所以求出線的斜率k，可得重力加速度g=4π2k. 典題熱題 知識(shí)點(diǎn)一 單擺模型 例1單擺是為研究振動(dòng)而抽象出的理想化模型，其理想化條件是 …( ) A.擺線質(zhì)量不計(jì) B.擺線長(zhǎng)度不伸縮 C.擺球的直徑比擺線長(zhǎng)度短得多 D.主要是單擺的運(yùn)動(dòng)就是一種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 解析：?jiǎn)螖[由擺線和擺球組成，擺線只計(jì)長(zhǎng)度不計(jì)質(zhì)量，擺球只計(jì)質(zhì)量不計(jì)大小，且擺線不伸縮，A、B、C三項(xiàng)正確.但把單擺作為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來(lái)處理是有條件的，只有在擺角很小（θ＜10）的情況下才能視單擺運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng). 答案：ABC 例2下列關(guān)于單擺的說(shuō)法，正確的是( ) A.單擺擺球從平衡位置運(yùn)動(dòng)到正向最大位移處的位移為A（A為振幅），經(jīng)過(guò)正向最大位移處又運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)的位移為-A B.單擺擺球的回復(fù)力等于擺球所受的合力 C.單擺擺球的回復(fù)力是擺球重力沿運(yùn)動(dòng)軌跡切線方向的分力 D.單擺擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)加速度為零 解析：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的位移是以平衡位置作為起點(diǎn)，擺球在最大位移處時(shí)位移為A，在平衡位置時(shí)位移應(yīng)為零，擺球的回復(fù)力由合力沿圓弧切線方向的分力（等于重力沿圓弧切線方向的分力）提供，合力沿?cái)[線方向的分力提供向心力，擺球經(jīng)最低點(diǎn)（振動(dòng)的平衡位置）時(shí)回復(fù)力為零，但向心力不為零，所以加速度不為零（擺球到最高點(diǎn)時(shí)，向心力不為零，回復(fù)力最大，合力也不為零）. 答案：C 深化升華 做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在平衡位置處回復(fù)力為零，但合外力不一定為零，因此不能說(shuō)平衡位置就是受力平衡的位置.彈簧振子經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)所受合力為零，故加速度為零，但單擺經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)合力不為零，只是回復(fù)力為零.所以存在加速度，即向心加速度. 知識(shí)點(diǎn)二 單擺的周期公式 例3一個(gè)單擺，如果擺球的質(zhì)量增加為原來(lái)的4倍，擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)速度減為原來(lái)的一半，則單擺的( ) A.頻率不變，振幅不變 B.頻率不變，振幅改變 C.頻率改變，振幅不變 D.頻率改變，振幅不變 解析：決定單擺周期的是擺長(zhǎng)和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?，與質(zhì)量無(wú)關(guān)，與單擺的運(yùn)動(dòng)速度也無(wú)關(guān).當(dāng)然頻率也與質(zhì)量和速度無(wú)關(guān)，所以選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.決定振幅的是外來(lái)因素.反映在單擺的運(yùn)動(dòng)中，可以從能量去考慮，在平衡位置（即最低點(diǎn)）時(shí)的動(dòng)能.當(dāng)質(zhì)量增為原來(lái)的4倍，速度減為原來(lái)的一半時(shí)，動(dòng)能不變，最高點(diǎn)的重力勢(shì)能也不變.但是又因第二次擺球的質(zhì)量增大了（實(shí)際上單擺已經(jīng)變成另一個(gè)擺動(dòng)過(guò)程了），勢(shì)能不變，質(zhì)量變大了，擺動(dòng)的豎直高度就一定變小了，也就是說(shuō)，振幅變小了. 答案：B 方法歸納 本題的分析解答提醒我們：一是要考慮全面，本題中的質(zhì)量和速度兩因素的變化對(duì)確定的單擺振動(dòng)究竟會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響，要進(jìn)行全面分析；二是分析問(wèn)題時(shí)要有充分的理論依據(jù)，如本題中決定單擺振動(dòng)的頻率的因素應(yīng)以周期公式為依據(jù)，而不能以速度判定振動(dòng)的快慢，振幅應(yīng)以動(dòng)能和勢(shì)能之間的相互轉(zhuǎn)化為依據(jù). 例4有一單擺，其擺長(zhǎng)l=1.02 m，擺球的質(zhì)量m=0.10 kg，已知單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，單擺振動(dòng)30次用的時(shí)間t=60.8 s，試求： （1）當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣仁嵌啻螅? （2）如果將這個(gè)擺改為秒擺，擺長(zhǎng)應(yīng)怎樣改變？改變多少？ 解析：用振動(dòng)30次的時(shí)間，計(jì)算出周期，再利用單擺的周期公式變形后可解得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?要改為秒擺，需要改變擺長(zhǎng)，是周期變成2 s. 答案：（1）當(dāng)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，其周期公式 T=2π，由此可得g=4π 2l/T2，只要求出T值代入即可. 因?yàn)門(mén)== s=2.027 s， 所以g=4π2l/T2=(43.1421.02)/2.0272 m/s2=9.79 m/s2. （2）秒擺的周期是2 s，設(shè)其擺長(zhǎng)為l0，由于在同一地點(diǎn)重力加速度是不變的，根據(jù)單擺的振動(dòng)規(guī)律有：=， 故有：l0==m=0.993 m. 其擺長(zhǎng)要縮短Δl=l-l0=1.02 m-0.993 m=0.027 m. 方法歸納 單擺的周期公式T=2π是在當(dāng)單擺的最大偏角小于10，單擺的振動(dòng)是在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件下才適用的。改變單擺的擺長(zhǎng)能改變單擺的周期，同一單擺在重力加速度不同的兩地周期也不相同，單擺的周期與單擺的振幅無(wú)關(guān)，與擺球的質(zhì)量也無(wú)關(guān)，另外根據(jù)周期公式的變形式g=還可以測(cè)重力加速度. 知識(shí)點(diǎn)三 單擺周期公式與勻變速直線運(yùn)動(dòng)結(jié)合 例5將一水平木板從一沙擺（可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺）下面以a=0.2 m/s2的加速度勻加速地水平抽出，板上留下的沙跡如圖11-4-2所示，量得=4 cm,=9 cm,=14 cm，試求沙擺的振動(dòng)周期和擺長(zhǎng).（g=10 m/s2） 圖11-4-2 解析：根據(jù)單擺振動(dòng)的等時(shí)性得到、、三段位移所用的時(shí)間相同，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律Δs=aT2計(jì)算可得. 答案：由Δs=aT2 T==s=0.5 s 振動(dòng)周期T′=2T=1 s 由單擺公式T=2π得 L==0.25 m. 知識(shí)點(diǎn)四 等效重力加速度 例6試確定下列幾個(gè)擺球在平衡位置附近來(lái)回振動(dòng)的周期. （1）如圖11-4-3甲所示.懸掛在水平橫梁上的雙線擺球.擺線長(zhǎng)為l，擺線與水平橫梁夾角θ； （2）如圖11-4-3乙所示.光滑斜面上的擺球.斜面傾角為θ，擺線長(zhǎng)為l； （3）如圖11-4-3丙所示.懸掛在升降機(jī)中的單擺，擺長(zhǎng)為l，升降機(jī)以加速度a豎直向上做勻加速運(yùn)動(dòng). 圖11-4-3 解析：（1）雙線擺在垂直于紙面的豎直面里做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，等效擺長(zhǎng)為lsinθ，故振動(dòng)周期為T(mén)=2π； （2）擺球在光滑的斜面上來(lái)回振動(dòng)，回復(fù)力由小球重力沿斜面向下的分力mgsinθ決定，等效重力加速度為gsinθ，其振動(dòng)周期為T(mén)=2π； （3）升降機(jī)豎直向上做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺球“超重”，回復(fù)力由m(g+a)決定，等效重力加速度為g+a，擺球振動(dòng)周期為T(mén)=2π. 答案：（1）T=2π （2）T=2π （3）T=2π 方法歸納 當(dāng)實(shí)際擺不是理想單擺時(shí)，可以通過(guò)等效變換將其轉(zhuǎn)換為理想單擺，在利用公式T=2π計(jì)算周期時(shí)，l對(duì)應(yīng)等效擺長(zhǎng)，ｇ對(duì)應(yīng)等效重力加速度.等效重力加速度的求法是：假設(shè)擺球不振動(dòng)，靜止時(shí)繩子的拉力對(duì)應(yīng)等效重力，其對(duì)應(yīng)的加速度即為等效重力加速度. 知識(shí)點(diǎn)五 類(lèi)單擺問(wèn)題 例7 如圖11-4-4所示，光滑的半球殼半徑為R,O點(diǎn)在球心的正下方，一小球由距O點(diǎn)很近的A點(diǎn)由靜止放開(kāi)，同時(shí)在O點(diǎn)正上方有一小球自由落下，若運(yùn)動(dòng)中阻力不計(jì)，為使兩球在O點(diǎn)相碰，小球由多高處自由落下（＜＜）. 圖11-4-4 解析：球由點(diǎn)開(kāi)始沿球內(nèi)表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受重力和支持力作用，等效為單擺的運(yùn)動(dòng)，因?yàn)镺A＜＜R,所以球自A點(diǎn)釋放后做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，要使兩球在O點(diǎn)相碰，兩者到O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等. 答案：小球由A點(diǎn)由靜止釋放運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間為（2n-1）,n=1,2,3，…，由于O點(diǎn)正上方自由落下的小球到O的時(shí)間也為(2n-1)時(shí)兩球才能在O點(diǎn)相碰，所以 h=gt2=g(2n-1)2=(n=1,2,3，…) 方法歸納 解此題關(guān)鍵在于沿光滑圓弧運(yùn)動(dòng)的小球運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，小球受重力、軌道支持力，此支持力類(lèi)似單擺中的擺線拉力，故此裝置可稱(chēng)為類(lèi)單擺，其周期為2π，R為等效擺長(zhǎng). 問(wèn)題探究 思維發(fā)散探究 問(wèn)題 如何理解公式T=2π中的“g”？ 探究過(guò)程：?jiǎn)螖[的周期公式T=2π是惠更斯從實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出來(lái)的，單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回復(fù)力越大，加速度（gsina）越大，由于擺球的軌跡是圓弧，所以除最高點(diǎn)外，擺球的回復(fù)力并不等于合外力，在有些振動(dòng)系統(tǒng)中l(wèi)不一定是繩長(zhǎng)，g也不一定為9.8 m/s2，因此出現(xiàn)了等效擺長(zhǎng)和等效重力加速度的問(wèn)題. 1.公式中的g由單擺所在的空間位置決定. 由G=g知，g隨地球表面不同位置、不同高度而變化，在不同星球上也不相同，因此應(yīng)求出單擺所在處的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2. 2.g還由單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定，如果擺處在向上加速發(fā)射的航天飛機(jī)內(nèi)，設(shè)加速度為a，此時(shí)擺球處于超重狀態(tài)，沿圓弧切線方向的回復(fù)力變大，擺球質(zhì)量不變，則重力加速度的等效值g′=g+a；再如，單擺若在軌道上運(yùn)動(dòng)的航天飛機(jī)內(nèi)，擺球完全失重，回復(fù)力為零，則等效值g′=0，所以周期為無(wú)窮大，即單擺不擺動(dòng)了. 3.g還由單擺所處的物理環(huán)境決定.如帶電小球做成的單擺在豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，回復(fù)力應(yīng)是重力和豎直電場(chǎng)力的合力在圓弧切線方向的分力，所以也有-g′的問(wèn)題. 在均勻場(chǎng)中g(shù)′值等于擺球在平衡位置不擺動(dòng)時(shí)擺線的張力與擺球質(zhì)量的比值，由此找到等效重力加速度g′代入公式即可求得周期T. 探究結(jié)論:觀點(diǎn)一：公式中的g由單擺所在的空間位置決定. 觀點(diǎn)二：g還由單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定. 觀點(diǎn)三：g還由單擺所處的物理環(huán)境決定. 方案設(shè)計(jì)探究 問(wèn)題 探究單擺的周期跟哪些因素有關(guān)？ 探究過(guò)程：1.猜想：由于周期只與單擺系統(tǒng)本身的因素有關(guān)，所以猜想影響單擺周期的因素為：細(xì)線的長(zhǎng)度、小球的質(zhì)量、小球擺到最高位置時(shí)繩子與豎直方向的夾角（或振幅）. 2.方法：控制變量法. 3.過(guò)程:（1）擺長(zhǎng)、擺球質(zhì)量不變，改變擺球的偏角（偏角都很?。?，測(cè)出不同偏角時(shí)單擺的周期，設(shè)計(jì)表格并記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù). （2）擺長(zhǎng)、擺角不變，改變擺球質(zhì)量，測(cè)出不同質(zhì)量時(shí)單擺的周期，設(shè)計(jì)表格并記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù). （3）擺球質(zhì)量、擺角不變，改變擺長(zhǎng)，測(cè)出不同擺長(zhǎng)時(shí)單擺的周期，設(shè)計(jì)表格并記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù). 4.分析論證：分別以細(xì)繩的擺長(zhǎng)、小球的質(zhì)量、擺角為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的周期為縱坐標(biāo)作圖，總結(jié)三個(gè)因素對(duì)單擺周期的影響. 探究結(jié)論:單擺的周期跟擺長(zhǎng)有關(guān)，跟擺球質(zhì)量、擺角無(wú)關(guān).