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第13天 雙曲線 【課標(biāo)導(dǎo)航】1.了解雙曲線的概念，2.了解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì). 一、選擇題 1．已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足,則動點(diǎn)的軌跡 （ ） A.橢圓 B.雙曲線 C.兩條射線 D.以上都不對 2．已知方程表示雙曲線,則的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 3．雙曲線方程為x2 －2y2=1，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 （ ） A.(,0) B. (,0) C. (,0) D.(,0) 4．以橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率的雙曲線方程是 （ ） A． B． C．或 D．或 5．雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則= ( ) A. 2 B.4 C.－2 D.－4 6．焦點(diǎn)為且與雙曲線有相同漸進(jìn)線的方程是 （ ） A. B. C. D. 7．已知,則雙曲線:與:的 （　 　） A．實(shí)軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 8．在△ABC中，已知，點(diǎn)M在邊BC上，且，那么過點(diǎn)C且以A，M兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的離心率為 （ ） A.2 B. 3 C. D. 二、填空題 9．設(shè)點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn), 、為它的焦點(diǎn), 如果,,則雙曲線的離心率是 10．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是,那么直線斜率的取值范圍是 . 11．已知曲線C的方程為，直線交曲線C與兩點(diǎn)，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），則直線的方程為 . 12．若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，那么的取值范圍是 . 三、解答題 13．設(shè)是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，求△的面積. 14．雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別是、,為雙曲線上的任 意一點(diǎn), 求證:、、 成等比數(shù)列. 15．已知雙曲線的離心率為，實(shí)軸長為2 （Ⅰ）求雙曲線的方程； （Ⅱ）設(shè)直線是圓上動點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩 點(diǎn)，證明的大小為定值. 16．已知點(diǎn)A（－2，0）、B（2，0），動點(diǎn)P滿足：∠APB=2， 且. （Ⅰ）求動點(diǎn)P的軌跡的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)B的直線與軌跡交于兩點(diǎn)M、N.試問軸上是否存在定點(diǎn)C，使為常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 【鏈接聯(lián)賽】（2010一試3）雙曲線的右半支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)（縱橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個數(shù)是 .  第13天 雙曲線 1--8;DA CCBBDA 9. 10. ; 11.4x－y－7 = 0. 12. 13. 14. 證明： 略 15. （1）. （2）點(diǎn)在圓上， 圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得. 由及得， ∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且， ∴，且， 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則， ∵，且， .∴ 的大小為. 16.（1）根據(jù)題意得：， 即=， 所以有， 所以動點(diǎn)P是以兩定點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線. 方程為. （2）假設(shè)存在定點(diǎn)C（m,0）,使為常數(shù). 1）當(dāng)直線不與軸垂直時，設(shè)直線的方程為，代人，整理得，由題知，。設(shè)、，則，，于是 ==，要使是與無關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時. 2）當(dāng)直線與軸垂直時，可得點(diǎn)M（2，）、N（2， -），當(dāng)時，。故在軸上存在定點(diǎn)C（1，0），使為常數(shù). 【鏈接聯(lián)賽】由對稱性知，只要先考慮軸上方的情況，設(shè)與雙曲線右半支于,交直線于，則線段內(nèi)部的整點(diǎn)的個數(shù)為，從而在軸上方區(qū)域內(nèi)部整點(diǎn)的個數(shù)為.又軸上有98個整點(diǎn)，所以所求整點(diǎn)的個數(shù)為.