高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯分析5 立體幾何練習 理
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5．立體幾何 1．幾何體的三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正(主)視圖下面，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖右面，“長對正，高平齊，寬相等．” 由幾何體的三視圖確定幾何體時，要注意以下幾點： (1)還原后的幾何體一般為較熟悉的柱、錐、臺、球的組合體． (2)注意圖中實、虛線，實際是原幾何體中的可視線與被遮擋線． (3)想象原形，并畫出草圖后進行三視圖還原，把握三視圖和幾何體之間的關系，與所給三視圖比較，通過調(diào)整準確畫出原幾何體． [問題1] 如圖，若一個幾何體的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖均為面積等于2的等腰直角三角形，則該幾何體的體積為________． 答案 2．空間幾何體表面積和體積的求法 幾何體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積應注意重合部分的處理，求幾何體的體積常用公式法、割補法、等積變換法． [問題2] 如圖所示，一個空間幾何體的正(主)視圖和俯視圖都是邊長為1的正方形，側(cè)(左)視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為( ) A．4π B．3π C．2π D.π 答案 D 3．空間平行問題的轉(zhuǎn)化關系 平行問題的核心是線線平行，證明線線平行的常用方法有：三角形的中位線、平行線分線段成比例(三角形相似)、平行四邊形等． [問題3] 判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”號，錯誤的畫“”號． (1)如果a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面．( ) (2)如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行．( ) (3)如果直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b.( ) (4)如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α.( ) 答案 (1) (2) (3) (4)√ 4．空間垂直問題的轉(zhuǎn)化關系 垂直問題的核心是線線垂直，證明線線垂直的常用方法有： 等腰三角形底邊上的中線、勾股定理、平面幾何方法等． [問題4] 已知兩個平面垂直，下列命題 ①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線； ②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線； ③一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面； ④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面． 其中正確命題的個數(shù)是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 答案 C 5．多面體與球接、切問題的求解策略 (1)涉及球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內(nèi)接、外切的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解． (2)若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，則4R2＝a2＋b2＋c2求解． [問題5] 一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積是，那么這個三棱柱的體積是( ) A．96 B．16 C．24 D．48 答案 D 解析 如圖，設球的半徑為R，由πR3＝，得R＝2. 所以正三棱柱的高h＝4. 設其底面邊長為a， 則a＝2， 所以a＝4， 所以V＝(4)24＝48. 6．求平面的法向量的方法 (1)性質(zhì)法：根據(jù)線面垂直的判定找出與平面垂直的直線，則此直線的方向向量就是平面的法向量． (2)賦值法：在平面內(nèi)取兩個不共線向量，設出平面的法向量建立方程組，通過賦值求出其中的一個法向量． 7．“轉(zhuǎn)化法”求空間角 (1)設兩條異面直線a，b所成的角為θ，兩條直線的方向向量分別為a，b. 因為θ∈(0，]，故有cos θ＝|cos〈a，b〉|＝||. (2)設直線l和平面α所成的角為θ，l是斜線l的方向向量，n是平面α的法向量，則sin θ＝|cos〈l，n〉|＝||. (3)設二面角α—l—β的大小為θ，n1，n2是二面角α—l—β的兩個半平面的法向量，則|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，兩個角之間的關系需要根據(jù)二面角的取值范圍來確定． [問題6] 在三棱錐P—ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，點O，D分別是AC，PC的中點，OP⊥底面ABC，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值． 解 ∵OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC， ∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP. 以O為原點，射線OP為z軸正方向，OA為x軸正方向，OB為y軸正方向，建立空間直角坐標系Oxyz(如圖)． 設AB＝a，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)， 設OP＝h，則P(0,0，h)，由PA＝AB，則PA＝2a， 則P＝(0,0, a)，＝( a,0，－ a)． 可求得平面PBC的一個法向量為n＝(1，－1，－)， ∴cos〈，n〉＝＝， 設PA與平面PBC所成的角為θ， 則sin θ＝|cos〈，n〉|＝. 8．求點到平面的距離的方法 (1)“等積法”：求解點到面的距離常轉(zhuǎn)化為錐體的高，利用三棱錐體積公式求點到平面的距離． (2)“向量法”：如圖，設P在平面α外，n為平面α的法向量，在平面α內(nèi)任取一點Q，則點P到平面α的距離d＝. [問題7] 正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點O到平面ABC1D1的距離為________． 答案 解析 建立如圖所示的空間直角坐標系， 則A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O. 設平面ABC1D1的法向量為 n＝(x，y，z)，則 ∴ 令z＝1，得∴n＝(1,0,1)， 又＝， ∴O到平面ABC1D1的距離d＝＝＝. 易錯點1 三視圖識圖不準 例1 如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為________． 易錯分析 解本題易出現(xiàn)的錯誤有：(1)還原空間幾何體的形狀時出錯，不能正確判斷其對應的幾何體；(2)計算時不能準確把三視圖中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為對應幾何體中的線段長度，尤其側(cè)視圖中的數(shù)據(jù)處理很容易出錯． 解析 該幾何體為一個四棱錐，如圖所示． CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD， PA⊥AD，PA＝AD＝CD＝2，AB＝1. PC＝2，PB＝，BC＝. ∴S△PBC＝2＝. 該幾何體的表面積 S＝＋21＋22＋22＋＝6＋2＋. 答案 6＋2＋ 易錯點2 旋轉(zhuǎn)體辨識不清 例2 如圖所示(單位：cm)，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積． 易錯分析 注意這里是旋轉(zhuǎn)圖中的陰影部分，不是旋轉(zhuǎn)梯形ABCD.在旋轉(zhuǎn)的時候邊界形成一個圓臺，并在上面挖去了一個“半球”，其體積應是圓臺的體積減去半球的體積．解本題易出現(xiàn)的錯誤是誤以為旋轉(zhuǎn)的是梯形ABCD，在計算時沒有減掉半球的體積． 解 由題圖中數(shù)據(jù)，根據(jù)圓臺和球的體積公式，得 V圓臺＝π(22＋25＋52)4＝52π(cm3)， V半球＝π23＝π(cm3)． 所以旋轉(zhuǎn)體的體積為 V圓臺－V半球＝52π－π＝π(cm3)． 易錯點3 線面關系把握不準 例3 設a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，且a?α，a?β，則下列結(jié)論中不成立的是( ) A．若b?β，a∥b，則a∥β B．若a⊥β，α⊥β，則a∥α C．若a⊥b，b⊥α，則a∥α D．若α⊥β，a⊥β，b∥a，則b∥α 易錯分析 本題易出現(xiàn)的問題就是對空間點、線、面的位置關系把握不準，考慮問題不全面，不能準確把握題中的前提——a?α，a?β，對空間中的平行、垂直關系的判定和性質(zhì)定理中的條件把握不準導致判斷失誤．如A項中忽視已知條件中的a?β，誤以為該項錯誤等． 解析 對于選項A，若有b?β，a∥b，且已知a?β，所以根據(jù)線面平行的判定定理可得a∥β，故選項A正確；對于選項B，若a⊥β，α⊥β，則根據(jù)空間線面位置關系可知a?α或a∥α，而由已知可知a?α，所以有a∥α，故選項B正確；對于選項C，若a⊥b，b⊥α，所以a?α或a∥α，而由已知可得a?α，所以a∥α，故選項C正確；對于選項D，由a⊥β，b∥a可得b⊥β，又因為α⊥β，所以b?α或b∥α，故不能得到b∥α，所以選項D錯，故選D. 答案 D 易錯點4 線面關系論證不嚴謹 例4 在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點． (1)求證：EF∥平面ABC1D1； (2)求證：EF⊥B1C. 易錯分析 利用空間線面關系的判定或性質(zhì)定理證題時，推理論證一定要嚴格按照定理中的條件進行，否則出現(xiàn)證明過程不嚴謹?shù)膯栴}． 證明 (1)連接BD1，如圖所示． 在△DD1B中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點，則 ?EF∥平面ABC1D1. (2)ABCD—A1B1C1D1為正方體?AB⊥平面BCC1B1 ? ?EF⊥B1C. 易錯點5 混淆空間角與向量夾角 例5 如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E—BF—C的正弦值． 易錯分析 本題易錯點在于認為兩個平面法向量的夾角等于所求二面角的大小．根據(jù)向量計算出二面角的余弦值的絕對值后，其大小還要通過二面角的取值范圍確定． (1)證明 由題意，以B為坐標原點，在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系． 易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)， 因而E(0，，)，F(xiàn)(，，0)， 所以＝(，0，－)，＝(0,2,0)， 因此＝0. 從而⊥，所以EF⊥BC. (2)解 在圖中，平面BFC的一個法向量為n1＝(0,0,1)． 設平面BEF的法向量為n2＝(x，y，z)． 又＝(，，0)，＝(0，，)， 由得其中一個法向量n2＝(1，－，1)． 設二面角E—BF—C的大小為θ，且由題意知θ為銳角， 則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝||＝. 因此sin θ＝＝，即所求二面角的正弦值為. 1．已知m，n為空間中兩條不同的直線，α，β為空間中兩個不同的平面，下列命題中正確的是( ) A．若m∥α，m∥β，則α∥β B．若m⊥α，m⊥n，則n∥α C．若m∥α，m∥n，則n∥α D．若m⊥α，m∥β，則α⊥β 答案 D 解析 對于選項A，若m∥α，m∥β，則可能α，β相交，或者α∥β，所以選項A不正確；對于選項B，若m⊥α，m⊥n，則可能n?α，或n∥α，所以選項B不正確；對于選項C，若m∥α，m∥n，則n?α，或n∥α，所以選項C不正確；對于選項D，若m⊥α，m∥β，則由線面平行可得在平面β內(nèi)存在一條直線l，使得m∥l，然后由m⊥α可得l⊥α，進而得出α⊥β，故應選D. 2．(2015浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是( ) A．8 cm3 B．12 cm3 C. cm3 D. cm3 答案 C 解析 該幾何體是棱長為2 cm的正方體與一底面邊長為2 cm的正方形、高為2 cm的正四棱錐組成的組合體， V＝222＋222＝ cm3.故選C. 3．如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90，M為AB的中點，PM垂直于△ABC所在平面，那么( ) A．PA＝PB>PC B．PA＝PB
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