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Ⅱ.公式中的ａ、ｂ可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。 ④推廣： ?、?（ａ＋ｂ＋ｃ）2＝ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａc； 　Ⅱ.（ａ＋ｂ）3＝ａ3＋ｂ3＋３ａ2ｂ＋３ａｂ2； Ⅲ.（ａ－ｂ）3＝ａ3－ｂ3－３ａ2ｂ＋３ａｂ2。 第五節(jié)因式分解　 ⑴因式分解的意義： 把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，即多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積。 注意：①因式分解的要求： Ⅰ.結(jié)果一定是積的形式，分解的對象是多項(xiàng)式； Ⅱ.每個(gè)因式必須是整式； Ⅲ.各因式要分解到不能分解為止。 ②因式分解與整式乘法的關(guān)系： 是兩種不同的變形過程，即互逆關(guān)系。 9.13提取公因式法： ①提公因式法分解因式： ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），這個(gè)變形就是提公因式法分解因式。 這里的ｍ可以代表單項(xiàng)式，也可以代表多項(xiàng)式，ｍ稱為公因式。 確定公因式方法： 系數(shù)：取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。 字母（或多項(xiàng)式因式）：取各項(xiàng)都含有的字母（或多項(xiàng)式因式）的最低次冪。 9.14公式法 ②利用公式法分解因式： Ⅰ.平方差公式：ａ2－ｂ2＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。 Ⅱ.完全平方公式：ａ2＋ｂ2＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）2； 　　　　　　　　　 ?。?＋ｂ2－２ａｂ＝（ａ－ｂ）2。 Ⅲ.立方和與立方差公式：ａ3＋ｂ3＝（ａ＋ｂ）（ａ2－ａｂ＋ｂ2）； 　　　　　　　　　　　 ａ3－ｂ3＝（ａ－ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）。 注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。 （２） 選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式 應(yīng)考慮平方差或立方和、立方差公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可 考慮用完全平方公式。 9.15.十字相乘法：利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解 因式的方法叫做十字相乘法。 ｘ2＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。 9.16分組分解法： Ⅰ.將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆纸M后，組與組之間能提公因式或運(yùn)用公式分解。 Ⅱ.適用范圍：適合四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式的分解。 分組的標(biāo)準(zhǔn)為：分組后能提公因式或分組后能運(yùn)用公式。 ④其他方法： .求根公式法：若ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）的兩根是ｘ１、ｘ２， ａｘ2+ｂｘ+ｃ=ａ（ｘ-ｘ１）（ｘ-ｘ２）。 ⑶因式分解的一般步驟及注意問題： ①對多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先提供因式。 ②多項(xiàng)式各項(xiàng)沒有公因式時(shí)，如果是二項(xiàng)式就考慮是否符合平方差 公式；如果是三項(xiàng)式就考慮是否符合完全平方公式或二次三項(xiàng)式的 因式分解；如果是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，通常采用分組分解法。 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。 第6節(jié) 整式除法： 9.17同底數(shù)冪的除法 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。 任何不等于零的數(shù)的零次冪為1，既： 9.18單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式： 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則： 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。 注意：①兩個(gè)單項(xiàng)式相除，只要將系數(shù)及同底數(shù)冪分別相除即可。 ②只在被除式里含有的字母不不要漏掉。 9.19多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除： 多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則： 　 一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加， 即（ｍａ+ｍｂ+ｍｃ+ｄｍ）÷ｍ=ａｍ÷ｍ+ｂｍ÷ｍ+ｃｍ÷ｍ+ｄｍ÷ｍ。 　注意：這個(gè)法則的使用范圍必須是多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，反之，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不能這樣計(jì)算的。 ⑶整式的混合運(yùn)算： 　關(guān)鍵是注意運(yùn)算順序，先乘方，在乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，先做括號(hào)里的。 ※ 內(nèi)容整理 冪 的 運(yùn)算 am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn am÷an=am-n 單項(xiàng)式的乘法 乘法公式 因 式 分 解 提公因式法 公 式 法 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 多項(xiàng)式的乘法 單項(xiàng)式的除法 第十章 分 式 10.1、（1）、分式的意義 兩個(gè)整式A/B相除，即A÷B時(shí)，可以表示為A/B.如果B中含有字母，那么A/B叫做分式。A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 如果一個(gè)分式的分母為零，那么這個(gè)分式無意義。 10.2（2）、分式的基本性質(zhì) 整式 整式和分式統(tǒng)稱為有理式：：即有理式 分式 分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為0的整式， 分式的值不變。用式子表示為：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C （A,B,C為整式，且B、C≠0） 　　 ①約分:把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去,這種變形稱為分式 的約分． 　　 ②分式的約分步驟： (1)如果分式的分子和分母都是或者是幾個(gè)乘積的形式,將它們的 公因式約去 (2）分式的分子和分母都是將分子和分母分別,再將公因式約去. 　 注:公因式的提取方法:取分子和分母系數(shù)的,字母取分子和分 母共有的字母,指數(shù)取公共字母的最小指數(shù),即為它們的公因式. 　 ③一個(gè)分式的分子和分母沒有公因式時(shí),這個(gè)分式稱為最簡分式.約分 時(shí)，一般將一個(gè)分式化為最簡分式。 ④通分：把幾個(gè)異分母分式分別化為與原分式值相等的同分母分式, 叫做分式的通分。 ⑤分式的通分步驟:先求出所有分式分母的最簡公分母,再將所有分式的分母變?yōu)樽詈喒帜?同時(shí)各分式按照分母所擴(kuò)大的倍數(shù),相應(yīng)擴(kuò)大各自的分子. 　　 注:最簡公分母的確定方法:系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù),相同字母的及單獨(dú)字母的冪的乘積。 注:(1)約分和通分的依據(jù)都是分式的基本性質(zhì)。 (2)分式的約分和通分都是互逆運(yùn)算過程。 10.3、分式的運(yùn)算：　　 ①分式的乘法法則:兩個(gè)分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母.用字母表示為：a/b * c/d=ac/bd 　　 ②分式的除法法則: Ⅰ.兩個(gè)分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘 ：a/b÷c/d=ad/bc Ⅱ.除以一個(gè)分式，等于乘以這個(gè)分式的倒數(shù):a/b÷c/d=a/b*d/c異分母分式通分時(shí)，關(guān)鍵是確定公分母，通常取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。 10.4分式的加減 ③同分母分式加減法則:同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減.用字母表示為：a/c±b/c=a±b/c 　　 ④異分母分式加減法則:異分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,然后再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算.用字母表示為： a/b±c/d=ad±cb/bd 　　 10.5分式方程： ①分式方程的意義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程. 　　 ②分式方程的解法: Ⅰ.去分母(方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方 程); Ⅱ.按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值; Ⅲ.驗(yàn)根(求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根,因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中,擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍,可能產(chǎn)生增根). 10.6整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算 ※ 內(nèi)容整理 分 式 分式的性質(zhì) 分式運(yùn)算 分式方程 約分 通分 乘除法 加減法 第十一章 圖形的運(yùn)動(dòng) 1、平移定義和規(guī)律 （1）平移的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移（Translation）。平移后各對應(yīng)點(diǎn)之間的距離叫做圖形平移的距離。 關(guān)鍵：a. 平移不改變圖形的形狀和大?。ㄒ膊粫?huì)改變圖形的方向，但改變圖形的位置）。 b. 圖形平移三要素：原位置、平移方向、平移距離。 （2）平移的規(guī)律(性質(zhì))：經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等、對應(yīng)角相等。 注意：平移后，原圖形與平移后的圖形全等。 （3）簡單的平移作圖： 平移作圖要注意：①方向；②距離。整個(gè)平移作圖，就是把整個(gè)圖案的每一個(gè)特征點(diǎn)按一定方向和一定的距離平行移動(dòng)。 2、旋轉(zhuǎn)的定義和規(guī)律 （1）旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形饒一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)（Circumrotate）。這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心；轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。 關(guān)鍵：a. 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小（但會(huì)改變圖形的方向，也改變圖形的位置）。 b. 圖形旋轉(zhuǎn)四要素：原位置、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角。 （2）旋轉(zhuǎn)的規(guī)律(性質(zhì))： 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。(旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。) 注意：旋轉(zhuǎn)后，原圖形與旋轉(zhuǎn)后的圖形全等。 （3）簡單的旋轉(zhuǎn)作圖： 旋轉(zhuǎn)作圖要注意：①旋轉(zhuǎn)方向；②旋轉(zhuǎn)角度。整個(gè)旋轉(zhuǎn)作圖，就是把整個(gè)圖案的每一個(gè)特征點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)中心按一定的旋轉(zhuǎn)方向和一定的旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)移動(dòng)。 3、圖案的分析與設(shè)計(jì) ① 首先找到基本圖案，然后分析其他圖案與它的關(guān)系，即由它作何種運(yùn)動(dòng)變換而形成。 ② 圖案設(shè)計(jì)的基本手段主要有：軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)三種方法。 4、 旋轉(zhuǎn)對稱圖形：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角α滿足0<α<360） 5、 中心對稱圖形：如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，與初始圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心。 6、 把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，與另一個(gè)圖形重合，那么叫做這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)對稱，也叫做這兩個(gè)圖形成中興對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心，這兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對稱點(diǎn)。 7、軸對稱知識(shí)回顧 （1）軸對稱圖形定義：如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形（Axially Symmetric Figure）。折痕所在的直線叫做對稱軸。 （2）兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對稱：如果把一個(gè)圖形沿某一條直線翻，能與另一個(gè)圖形重合，那么叫做這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，這條直線就是對稱軸，兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)。 （3）注意： ① 軸對稱是說兩個(gè)圖形的位置關(guān)系；而軸對稱圖形是說一個(gè)具有特殊形狀的圖形。 ② 成軸對稱的兩個(gè)圖形，必定是全等圖形。 （4）軸對稱的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分；對應(yīng)線段相等；對應(yīng)角相等。 （3）簡單的軸對稱作圖： 求作一個(gè)幾何圖形關(guān)于某條直線對稱的圖形，可以轉(zhuǎn)化為求作這個(gè)圖形上的特征點(diǎn)關(guān)于這條直線對稱的點(diǎn)。后依次連結(jié)各特征點(diǎn)即可。 圖形的平移 旋轉(zhuǎn)對稱圖形 中心對稱圖形 圖形的運(yùn)動(dòng) 圖形的旋轉(zhuǎn) 中心對稱 軸對稱圖形 圖形的翻折 軸對稱 軸對稱和軸對稱圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系： 軸 對 稱 軸對稱圖形 區(qū)別 ①指兩個(gè)圖形而言； ②指兩個(gè)圖形的一種形狀與位置關(guān)系。 ①對一個(gè)圖形而言； ②指一個(gè)圖形的特殊形狀。 聯(lián)系 ①都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合； ②把兩個(gè)成軸對稱的圖形看成一個(gè)整體，就是一個(gè)軸對稱圖形；反過來，把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，這兩部分關(guān)于這條直線成軸對稱。 軸對稱幾何圖形的對稱軸： 名稱 是否是軸對稱圖形 對稱軸有幾條 對稱軸的位置 線段 是 ２條 垂直平分線或線段所在的直線 角 是 １條 角平分線所在的直線 長方形 是 ２條 對邊中線所在的直線 正方形 是 ４條 對邊中線所在的直線和對角線所在的直線 圓 是 無數(shù)條 直徑所在的直線 平行四邊形 不是 ０條 第十二章 實(shí)數(shù) 第一節(jié)實(shí)數(shù)的概念 12.1實(shí)數(shù)的概念 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。 實(shí)數(shù)按如下方式分類： 正有理數(shù) 有理數(shù) 零 有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù) 負(fù)有理數(shù) 實(shí)數(shù) 正無理數(shù) 無理數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù) 負(fù)無理數(shù) 實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)實(shí)數(shù)。 正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。 兩個(gè)正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的數(shù)反而小。 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。 第二節(jié)數(shù)的開方 12.2平方根和開平方 如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也就做二次方根。 求一個(gè)數(shù)ɑ的平方跟的運(yùn)算叫做開平方，ɑ叫做被開方數(shù)。 一個(gè)正數(shù)a的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。 正數(shù)ɑ的兩個(gè)平方根可以用“±”表示，其中表示ɑ的正的平方根(又叫算術(shù)平方根)，讀作“根號(hào)a”；表示ɑ的負(fù)平方根，讀作“負(fù)根號(hào)ɑ”。 零的平方根記作√0，√0=0. （1） 當(dāng)a>0時(shí)，（）2=a，（）2=a. （2） 當(dāng)a≥0時(shí)， =a; 當(dāng)a≤0時(shí)， =－ɑ 12.3 立方根和開立方 如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根，用“”表示，讀作“三次根號(hào)ɑ”。中的ɑ叫做被開方數(shù)，“3”叫做根指數(shù)。 求一個(gè)數(shù)ɑ的立方根的運(yùn)算叫做開立方。 正數(shù)的立方是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方是一個(gè)負(fù)數(shù)，零的立方等于零，所以正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，零的立方根是零。 任意一個(gè)實(shí)數(shù)都有立方根，而且只有一個(gè)立方根。 12.4n次方根 如果一個(gè)數(shù)的n次方(n是大于1的整數(shù))等于ɑ，那么這個(gè)數(shù)叫做ɑ的n次方根，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為ɑ的奇次方根；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為ɑ的偶次方根 求一個(gè)數(shù)ɑ的n次方跟的運(yùn)算叫做開n次方，ɑ叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù)。 實(shí)數(shù)ɑ的奇次方根有且只有一個(gè)，用“”表示，其中被開方數(shù)ɑ是任意一個(gè)實(shí)數(shù),根指數(shù)n是大于1的奇數(shù)。 正數(shù)ɑ的偶次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，正n次方根用“”表示，負(fù)n次方根用“－”表示，其中被開方數(shù)ɑ>0，根指數(shù)n是正偶數(shù)（當(dāng)n=2時(shí)，在±中省略n) 負(fù)數(shù)的偶次方根不存在。 零的n次方根等于零，表示為=0 “”讀作“n次根號(hào)ɑ” 第三節(jié) 實(shí)數(shù)的運(yùn)算 12.5用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù) 有理數(shù)范圍內(nèi)絕對值、相反數(shù)意義： 一個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值。實(shí)數(shù)a的絕對值記作∣ɑ∣. 絕對值相等，符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)記作互為相反數(shù)； 零的相反數(shù)是零。非零實(shí)數(shù)ɑ的相反數(shù)是－ɑ。 實(shí)數(shù)大小的比較： 負(fù)數(shù)小于零；零小于正數(shù)。 兩個(gè)正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的數(shù)較小。 從數(shù)軸上看，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)大。 兩點(diǎn)間的距離： 在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A、點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)分別為ɑ、b，那么 A、B兩點(diǎn)的距離 AB=∣ɑ－b∣. 12.6 實(shí)數(shù)的運(yùn)算 設(shè)ɑ>0，b>0，可知（·）=（ ）2·（）2=ɑb。 根據(jù)平方根的意義，得=·。 同理：= 近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度即近似程度。對近似程度的要求，叫做精確度。 對于一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起，往右到末位數(shù)字為止的所有數(shù)字，叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字。 第四節(jié) 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 =（ɑ>0） = （ɑ>0） 其中m、n為正整數(shù)，n>1. 有理數(shù)指數(shù)冪有下列性質(zhì)： 設(shè)ɑ>b，b>0，P、q為有理數(shù)，那么 （1）·=， = （2）= （3） 本章小結(jié) 有理數(shù) 實(shí)數(shù)的分類 無理數(shù) 實(shí)數(shù) 用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù) 運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì) 實(shí)數(shù)的運(yùn)算 近似數(shù)及近似計(jì)算 數(shù)的開方 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 有理數(shù)指數(shù)冪 運(yùn)算性質(zhì) 第十三章 相交線、平行線 第1節(jié) 相交線 13.1鄰補(bǔ)角，對頂角 相交線的定義： 在同一平面內(nèi)，如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩條直線叫做相交線。 對頂角的定義： 一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，這兩個(gè)角叫做對頂角。 對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。 鄰補(bǔ)角的定義： 有公共頂點(diǎn)和一條公共邊，并且互補(bǔ)的兩個(gè)角稱為鄰補(bǔ)角。 鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)。 垂線的定義： 垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。 垂線的性質(zhì)： 性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。 性質(zhì)2：垂線段最短。 點(diǎn)到直線的距離： 直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。 同位角： 兩個(gè)角都在兩條被截線同側(cè)，并在截線的同旁，這樣的一對角叫做同位角。 內(nèi)錯(cuò)角： 兩個(gè)角都在兩條被截線之間，并且在截線的兩旁，這樣的一對角叫做內(nèi)錯(cuò)角。 同旁內(nèi)角： 兩個(gè)角都在兩條被截線之間，并且在截線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角。 平行線的概念 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。 平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。 平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直 線也平行。 13.2垂線 1.垂線與斜線 通過操作實(shí)踐，所得到的結(jié)果說明垂線有這樣的基本性質(zhì)： 在平面內(nèi)經(jīng)過直線上或直線外地一點(diǎn)作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條。 2.點(diǎn)到直線的距離 聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)得所有線段中，垂線段最短。簡單地說：垂線段最短。 直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離。 13．3同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角（三線八角） 第2節(jié) 平行線 13.4 平行線的判定 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（同位角相等，兩直線平行） 平行線具有以下基本性質(zhì)： 經(jīng)過直線外地一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行） 13.5 平行線的性質(zhì) 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。(兩直線平行，同 位角相等) 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。（兩直線平行，內(nèi) 錯(cuò)角相等） 兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。（兩直線平行， 同旁內(nèi)角互補(bǔ)） 如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平 行。（對于直線、、,如果，那么。被稱為平行 的傳遞性） 兩條平行線中，任意一條直線上的所有點(diǎn)到另一條直線的距離都 是一個(gè)定值，這個(gè)定值叫做這兩條平行線間的距離。 第十四章 三角形 第1節(jié) 三角形的有關(guān)概念與性質(zhì) 14.1 三角形的有關(guān)概念 1.三角形的有關(guān)線段 三角形的高，中線，角平分線 2.三角形的分類 銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，不等邊三角形，等腰三角形，等邊三角形 14.2 三角形的內(nèi)角和 三角形的內(nèi)角和等于。 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和； 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。 三角形的外角和等于。 第2節(jié) 全等三角形 14.3 全等三角形的概念與性質(zhì) 能夠重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。 兩個(gè)三角形是全等形，就說它們是全等三角形。兩個(gè)全等三角形，經(jīng)過運(yùn)動(dòng)后一定重合，相互重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)；相互重合的邊叫做對應(yīng)邊；相互重合的角叫做對應(yīng)角。 全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。 14.4 全等三角形的判定 判定方法1 在兩個(gè)三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡記為S.A.S）。 判定方法2 在兩個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角及它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡記為A.S.A）。 判定方法3 在兩個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角及其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡記為A.A.S）。 判定方法4 在兩個(gè)三角形中，如果有三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡記為S.S.S）。 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”和“HL”。 ＳＳＡ、ＡＡＡ不能識(shí)別兩個(gè)三角形全等，識(shí)別兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，如果有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角。三角形全等的證明思路 　　　　　　　　　找夾角——ＳＡＳ Ⅰ.已知兩邊　　找直角——ＨＬ 找另一邊——ＳＳＳ 　　　　　　　　　　　　　　　　　找邊的對角——ＡＡＳ Ⅱ.已知一邊一角　邊為角的鄰邊　找夾角的另一邊——ＳＡＳ 　　　　　　　　　　　　　　　　　找夾邊的另一角——ＡＳＡ 　　　　　　　　　　　 邊為角的對邊——找任意一角——ＡＡＳ Ⅲ.已知兩角　　找夾邊——ＡＳＡ 　　　　　　　　　找任意一邊——ＡＡＳ 第3節(jié) 等腰三角形 14.5 等腰三角形的性質(zhì) 等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對等角”）。 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱為“等腰三角形的三線合一”）。 等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角平分線所在的直線。 14.6 等腰三角形的判定 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等，這個(gè)三角形是等腰三角形（簡稱為“等角對等邊”）。 14.7 等邊三角形 等邊三角形是特殊的等腰三角形，它的三邊都相等。 等邊三角形的性質(zhì)： 等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于。 判定等邊三角形的方法： （1）三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。 （2）有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形。 ＳＳＡ、ＡＡＡ不能識(shí)別兩個(gè)三角形全等，識(shí)別兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，如果有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角。 1、線段的垂直平分線： 定理： ⑴線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端距離相等。 與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。 注意：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 2、等腰三角形： 性質(zhì)： ①等腰三角形兩個(gè)底角相等，簡稱“等邊對等角”。 ②等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊 推論：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等，每一個(gè)內(nèi)角都等于60°。 定理： 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊相等，簡稱“等角對等邊”。 推論：①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。②有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。 定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 3、角的平分線： 定理： ①角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。 ②在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。 第十五章 平面直角坐標(biāo)系 第1節(jié) 平面直角坐標(biāo)系 15.1 平面直角坐標(biāo)系 在平面內(nèi)取一點(diǎn)，過點(diǎn)畫兩條互相垂直的數(shù)軸，且使它們以點(diǎn)為公共原點(diǎn)。這樣，就在平面內(nèi)建立了一個(gè)直角坐標(biāo)系。通常，所畫的兩條數(shù)軸中，有一條是水平放置的，它的正方向向右，這條數(shù)軸叫做橫軸（記作軸）；另一條是鉛直放置的，它的正方向向上，這條軸叫做縱軸（記作軸）。如圖所示，記作平面直角坐標(biāo)系；點(diǎn)叫做坐標(biāo)原點(diǎn)（簡稱原點(diǎn)），軸和軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸。 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P所對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對（ab)叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)，記作P（a,b)，其中ɑ叫做橫坐標(biāo)，b叫做縱坐標(biāo)。 象限的劃分： 經(jīng)過點(diǎn)A（a,b)且垂直于x軸的直線可以表示為直線x=ɑ,經(jīng)過點(diǎn)A(a,b)且垂直于y軸的直線可以表示為直線y=b. 第2節(jié)直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 15.2 直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)的坐標(biāo) 　　有了平面直角坐標(biāo)系，平面內(nèi)的點(diǎn)就可以用一個(gè)有序數(shù)對來表示，a點(diǎn)對應(yīng)x軸的數(shù)值為橫坐標(biāo)，b點(diǎn)對應(yīng)y軸的數(shù)值為縱坐標(biāo)，有序數(shù)對就叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作（a,b）。 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)， 平行于x軸的直線上的兩點(diǎn)A(,y)、B(,y)的距離 AB=∣－∣； 平行于y軸的直線上的兩點(diǎn)C(x,)、D(x,)的距離 CD=∣－∣. 點(diǎn)的平移 在平面直角坐標(biāo)系中，(m>0) 將點(diǎn)（x,y）向右平移m個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)（x＋m ，y）； 將點(diǎn)（x,y）向左平移m個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)（x－m，y）； 將點(diǎn)（x,y）向上平移m個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)（x，y＋m）； 將點(diǎn)（x,y）向下平移m個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)（x，y－m）。 坐標(biāo)平面圖 　　 坐標(biāo)平面圖是由兩條坐標(biāo)軸和四個(gè)象限構(gòu)成的，也可以說坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)可以分為 六個(gè)區(qū)域：x軸上，y軸上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在這六個(gè)區(qū)域中，除x軸與y軸的一個(gè)公共點(diǎn)（原點(diǎn)）之外，其他區(qū)域之間都沒有公共點(diǎn)。 建立了直角坐標(biāo)系的平面叫做直角坐標(biāo)平面（簡稱坐標(biāo)平面）。這樣，原來平面內(nèi)的點(diǎn)都可以用有序?qū)崝?shù)對來表示。 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)所對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對叫做點(diǎn)的坐標(biāo)，記作，其中叫做橫坐標(biāo)，叫做縱坐標(biāo)。 原點(diǎn)的坐標(biāo)是。的坐標(biāo)是，的坐標(biāo)是。 在平面直角坐標(biāo)系中對稱點(diǎn)的特點(diǎn)： ①關(guān)于x成軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。 （橫同縱反） 　 ②關(guān)于y成軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。 （橫反縱同） ③關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。（橫縱皆反） 一般地，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)M(x,y)關(guān)于X軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y);與點(diǎn)M(x,y)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,y). 一般地，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)M(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x,-y)。 35 .