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6線性變換的值域與核,一、值域與核的概念,二、值域與核的有關(guān)性質(zhì),一、值域與核的概念,定義1：設(shè)是線性空間V的一個(gè)線性變換，,集合,稱為線性變換的值域，也記作或,集合,稱為線性變換的核，也記作,注：皆為V的子空間.,事實(shí)上，且對,有,即對于V的加法與數(shù)量乘法封閉.,為V的子空間.,再看,首先，,又對有從而,即,故為V的子空間.,對于V的加法與數(shù)量乘法封閉.,定義2：線性變換的值域的維數(shù)稱為的秩；,的核的維數(shù)稱為的零度.,例1、在線性空間中，令,則,所以D的秩為n－1，D的零度為1.,1.(定理10)設(shè)是n維線性空間V的線性變換，,是V的一組基，在這組基下的矩陣是A，,則,1）的值域是由基象組生成的子空間，即,2）的秩＝A的秩.,二、有關(guān)性質(zhì),即,又對,證：1）設(shè),于是,有,因此，,的秩，又,∴秩＝秩,等于矩陣A的秩.,2）由1），的秩等于基象組,由第六章5的結(jié)論3知，的秩,2.設(shè)為n維線性空間V的線性變換，則,的秩＋的零度＝n,即,證明：設(shè)的零度等于r，在核中取一組基,并把它擴(kuò)充為V的一組基：,生成的.,由定理10，是由基象組,但,設(shè),則有,下證為的一組基，即證它們,即可被線性表出.,線性無關(guān).,設(shè),于是有,由于為V的基.,的秩＝n－r.,因此，的秩＋的零度＝n.,故線性無關(guān)，即它為的一組基.,雖然與的維數(shù)之和等于n，但是,未必等于V.,如在例1中,,注意：,ⅰ)是滿射,證明：ⅰ)顯然.,ⅱ)因?yàn)槿魹閱紊洌瑒t,3.設(shè)為n維線性空間V的線性變換，則,ⅱ)是單射,反之，若任取若,則,即,故是單射.,從而,是單射是滿射.,證明：是單射,4.設(shè)為n維線性空間V的線性變換，則,是滿射.,例2、設(shè)A是一個(gè)n階方陣，證明：A相似于,證：設(shè)A是n維線性空間V的一個(gè)線性變換在一,組基下的矩陣，即,一個(gè)對角矩陣,由知,任取設(shè),則,故有當(dāng)且僅當(dāng),因此有,又,所以有,從而是直和.,在中取一組基：,則就是V的一組基.,顯然有，,在中取一組基：,用矩陣表示即,所以，A相似于矩陣,線性變換在此基下的矩陣為,1)求及,2)在中選一組基，把它擴(kuò)充為V的一組基，,并求在這組基下的矩陣.,并求在這組基下的矩陣.,3)在中選一組基，把它擴(kuò)充為V的一組基，,例3、設(shè)是線性空間V的一組基，已知,解：1）先求設(shè)它在,下的坐標(biāo)為,故,由于有在下的坐標(biāo)為,解此齊次線性方程組，得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：,從而,是的一組基.,由于的零度為2，所以的秩為2，,又由矩陣A，有,即為2維的.,再求,2）因?yàn)?從而有,所以，線性無關(guān)，,就是的一組基.,而,可逆.,從而，線性無關(guān)，即為V的一組基.,在基下的矩陣為,3）因?yàn)?可逆.,而,從而線性無關(guān)，即為V的一組基.,在這組基下的矩陣為,作業(yè),P32616,