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南昌航空大學(xué)科技學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 基于斯托克斯的三維流動混合：再次討論分區(qū)管混合器問題 摘要——對速度場和所謂的分區(qū)管道混合器混合反應(yīng)進(jìn)行了研究。和以前使用的近似方案相比，一個從以前研究的具有相同物理模型入手的帶來更準(zhǔn)確的流量描述的精確分析方案正在發(fā)展中。另外，這些結(jié)果是根據(jù)更好的報道實驗數(shù)據(jù)得到的。 斯托克斯流動/層流分布混合/靜態(tài)混合器 朗讀 顯示對應(yīng)的拉丁字符的拼音 1.介紹 文章的目的是研究一個內(nèi)部無限長，被內(nèi)壁劃分成一個順序排列的半圓形管道的圓管的三維蠕動流。這樣一個系統(tǒng)，稱為'分區(qū)管混頻器（PPM），是由Khakhar等人引進(jìn)的。 [1]作為樣機(jī)模型廣泛使用在Kenics靜態(tài)混合器。 在Kenics混合器中每個元素是一個螺旋，扭曲180?的金屬板;元素排列在圓管的軸向上，使元素的領(lǐng)先優(yōu)勢相對前一個是沿直角的。流體動力學(xué)計算工具使這種三維流動數(shù)值模擬簡單可行（Avalosse，Crochet[3]，Hobbs和Muzzio[4]，Hobbs等人）。然而，這樣做需要大量的模擬計算資源，尤其是在研究不同的攪拌工藝參數(shù)的影響。因此，簡化分析模型，即給出了模擬的過程快的可能性（或模仿其功能密切就夠了），也仍然是有用的。. 這種本質(zhì)上的三維流PPM模式是高度理想化，但保留了正在研究流動的主要特征。在每一個半圓形軸向風(fēng)道，該模型包括兩個疊加，獨立，二維流場：一橫截面（旋轉(zhuǎn)）的速度場和一個全面發(fā)展的Poiseuille。在這里給了兩個獨立的二維邊界問題，而不是三維問題的。由Khakhar等人提出的解決方案。 [1]的橫截面速度場只是一個近似的。然而在一個封閉的形式下，存在一個'精確'分析解決方案。 在本論文中，我們利用這些精確的解決方案對這個三維混合機(jī)的混合性能就行審查。在一些混合模式下的重要區(qū)別已經(jīng)得到了，而且我們的結(jié)果更接近可用的Kusch和Ottino[6]的 實驗結(jié)果。 2.PPM的速度領(lǐng)域 考慮一個0≤ r ≤a, 0≤θ≤2π, |z| < ∞內(nèi)部的無限缸體，，這里面包含一個 剛性矩形板的長度為L的序列（見，例如,Ottino [7] 圖6.2）。鄰近板塊相互正交放置，即0 ≤r ≤a,，θ= 0，π，2kL ≤ z ≤（2k+ 1）L和0≤r≤a, θ =π/2,3π/2,(2k+1)L≤z≤(2k+2)L,其中k = 0，± 1，± 2，。 所有半圓形管道流動是由一個恒定的壓力梯度?p /?z和圓柱墻? =一內(nèi)壁保持不變恒定速度V的勻速轉(zhuǎn)動 感應(yīng)得到的。遵循Khakhar [1]，我們假設(shè)在每一個橫截面軸向速度是充分發(fā)展的（忽略兩個板塊之間的過渡效果）并且橫截面速度vr和V，正如他們將一個無限長的半圓形管道。在斯托克斯近似零組件虛擬現(xiàn)實穩(wěn)定的速度場vr , V，和vz，是從兩個解耦合的獨立的兩維問題定義的 在每個半圓形每一個領(lǐng)域。在這里，△代表拉普拉斯算子站極坐標(biāo)，μ代表流體粘度，而ψ（r，θ）代表相關(guān)的截面流流功能 我們認(rèn)為在下面的'基本'范圍 0≤r≤a, 0≤ θ≤π, 0 ≤z≤ L;其他領(lǐng)域的解決方案，可簡單的從這個基本之一獲得。就無滑移邊界條件而言，ψ和Vz是 并且 對于式（1）和（2），是各自（獨立）的。 雙諧波問題（1），（4）存在一個確切的解析解： 可通過以下方式獲得。 讓我們介紹下雙極坐標(biāo)系（ξ，η），這樣的坐標(biāo)的兩極都在位于x軸的點（± a，0）上： 三維Stokes流動混合 785 這樣 當(dāng)a/J =coshη-cosξ， 1 / J的數(shù)量在這個直角坐標(biāo)系是第一個不同的Lame參數(shù)。這個支持二維雙調(diào)和方程式的系統(tǒng)首次采用在Joukowski[8];看到Joukowski和Chaplygin[9] 適用于 這個問題的偏心Stokes流動的精確解。 由極坐標(biāo)中的0≤r ≤a, 0≤θ≤π的半圓改變?yōu)殡p極坐標(biāo)的-∞≤η≤∞,π/2 ≤ξ≤π。雙調(diào)和方程式（1），必須符合在雙極坐標(biāo)中的流函數(shù)ψ，可寫為 對于輔助函數(shù) Ψ=ψ/J 通過等式的方法 （其中nξ是指直線ξ=常數(shù)的外部標(biāo)準(zhǔn)），我們可以根據(jù)Ψ用形式表示邊界條件（3）為 通過選擇等式9的解決方案 我們能滿足所有邊界條件（11），并且假設(shè)常量的A,B,C,D的值是 通過以下等式將（12）中的Ψ(ξ)代回到流函數(shù)ψ（r，θ） 經(jīng)過一番簡化，我們歸結(jié)到表達(dá)式（6）。 流函數(shù)ψ逼近點（a，0）的特征可以從等式6擴(kuò)張為現(xiàn)有的x =a-ρsinχ, y =ρcosχ的極坐標(biāo)（）中的泰勒級數(shù) 中獲得ρ的第一象限長度是 圖1。（a）的流線圖案（流函數(shù)輪廓圖）分析解決方案（6）并且把（b）叫做一個近似的解決方案（16）。輪廓線與在兩個平面圖中相同的階段是等距離的。在（b）中的虛線代表輪廓，而在（a）中是不存在的。 對于ρ>0，0≤χ≤π/2的水平平面（古德爾[10]，泰勒[11]），隨著不變的常量速度- V應(yīng)用在平面χ=0上，類似于刮的方案 圖1（a）顯示了流函數(shù)（6）外形的水平高度。截面流量在一個橢圓形停滯點（0.636a，π/ 2）處呈現(xiàn)出單渦旋細(xì)胞。 以往的研究（Khakhar等。[1]，Ottino[7]）暗示了近似一個條件的關(guān)于邊界問題（1），（4）的解決辦法： 已經(jīng)靠一個變分法獲得它。然而這個表達(dá)式（16）不能同時滿足支配性雙調(diào)和方程（1）在移動邊界無滑移條件！原來，在邊界r=a處的切向速度變化為（4 / 3）Vsin2θ,而不是恒定V。因此，在一些地區(qū)遠(yuǎn)離平面邊界，速度被高估了（高達(dá)33％，在圓形邊界），它是人為地平滑接近近角。根據(jù)一個長遠(yuǎn)的解決辦法（16），流函數(shù)輪廓的劃分圖呈現(xiàn)在圖1（b）中。 充分成熟的關(guān)于一個半圓導(dǎo)管的軸向流邊界問題（2），（5）顯示（Ottino[7]） 其中 是平均軸向速度。使用簡單的轉(zhuǎn)換和無窮總結(jié)表（Prudnikov等人 [12]），我們可以提出在一個封閉形式下的表達(dá)（17）： 這對于在平流過程的數(shù)值模擬可取。值得一提的是，被Khakhar等人使用的條款[1]的第一個（17）的三極限無窮求和以及Ottino[7]提供的最大只有幾個百分點的精度的誤差（相對于'精確'表達(dá)式（18））。 圖2。等高線圖的軸向速度的Vz：實線對應(yīng)的確切表達(dá)式（18），虛線對應(yīng)于表達(dá)式（17）三個方面的近似值 在圖2中由（18）定義的Vz的輪廓線，顯示為實線，而三極限（17）近似相同的輪廓由虛線繪制。盡管這種近似的輪廓形狀很相似，但是平均流速vz差異量高達(dá)7%，其中一個最大速度vz離角點不遠(yuǎn)，所以vz是被低估了?？梢栽黾樱?7）的項數(shù)至一百，降低相對誤差到小于0.005％，但是，像這樣模擬被動追蹤物的水平流動會花掉更多的計算機(jī)時間。 3。PPM混沌混合 由平流方程描述的一個被動的個體（拉格朗日）粒子的運動。 與右手邊由速度場（6）和（18）定義的（19）。當(dāng)t=0時初始條件為 r= R0的，θ=θ0和z=0。 這里定義變量φ顯然是 其中k=0，±1，±2，。 。 。 。 ? 系統(tǒng)（19）描述了沿每個流線區(qū)間的單個粒子穩(wěn)定的動作。然而，由于流動是三維和空間周期性的，它可以表現(xiàn)為混亂行為（Aref【5.4部分的13】）。在Khakhar[1]以及其他人中，單個無量綱參數(shù)，混合強(qiáng)度， 混合強(qiáng)度被提出給了完整描述這樣一個表現(xiàn)的系統(tǒng)。雖然參數(shù)γ沒有精確解（6）的特殊意義，但是β值是用來比較我們包含那些文獻(xiàn)的結(jié)果。 龐加萊映射是應(yīng)用于揭示規(guī)則與混沌運動區(qū)域的。龐加萊映射是通過采取在水平面Z = 0的初始點（r0，0）并記錄交叉坐標(biāo)常角軌道Zn= 2nL，n = 0，± 1，± 2。 。 。 。 幾個值為β的龐加萊映射是同時使用近似精確解計算和分析的。在這里，我們介紹的一個單一出發(fā)點的龐加萊映射被選在了混亂的區(qū)域（圖3）選擇的地圖。在平面圖的白色區(qū)域?qū)?yīng)于島狀物。這些島狀物的邊界是用細(xì)實線繪制的。 龐加萊映射島狀物相應(yīng)于流動的Kolmogorov–Arnold–Moser (KAM) 管。在這樣一個管里捕獲的流體將只能在里面移動，不與外管中的其余流體混合。這個混KAM管的影響，相比混合器的總流量，可以描繪為通過軟管的相對流量。因此，對于兩個島狀物的通過KAM管搬運的面積和流量是可進(jìn)行評估的。流量可以計算看做在島狀物面積上v2的積分，或者作為一個島狀物的輪廓邊界通過斯托克斯定理積分。 圖3（a）和3（b）呈現(xiàn)了β= 4龐加萊映射。對于近似解的八個最大的島嶼是清晰可見（圖3（a））。他們占據(jù)了約49％橫截面積并且包含約55％的總流量。確切的解決方案提供了一個完全不同的群島系統(tǒng)（圖3（b））。他們的影響是相當(dāng)?shù)偷模驗樗鼈冎徽技s13％的面積，并承擔(dān)總流量的18％。 對于混合強(qiáng)度為β的大量實用性的不同就開始變得更強(qiáng)了。圖3（c）和3（d）代表β= 8時的情況。該近似解提供了兩個占據(jù)約13%截面（見圖3（c）），承擔(dān)總流量的18％的島狀物，同時群島的精確解（圖3（d））揭示了只占約0.7％的斷面面積。通過KAM管總數(shù),在這種情況下的相對流量約只有1％的總流量。 在這兩個例子中介紹了KAM管橫截面總面積明顯較小時使用的精確解。由于兩個近似和精確的解是以相同的簡化模型的PPM為基礎(chǔ)，i.e.忽略了在混和器元素的結(jié)合處的過渡影響，計算出的KAM管的形狀，應(yīng)持一點保留態(tài)度。通過這些管道的相對的截面和相對流量是非常適當(dāng)?shù)?，并且他們可以給出一個實用的實際流動價值標(biāo)準(zhǔn)的估計值。 條紋線可作為一種表征混合和可視化基礎(chǔ)的混合機(jī)械裝置的工具。Kusch和Ottino [6]指出，從創(chuàng)始的KAM管的橫截面計算條紋線，遠(yuǎn)比實驗觀察得到的不同。對計算的β= 8.0的條紋線和實驗獲得的β=10.0 ± 0.3結(jié)果進(jìn)行了比較至少有些相似。他們指出，PPM模式難以接近地模仿實驗結(jié)果（由于劃分的板塊比小半徑管長度要短）。然而，采用修正速度場進(jìn)行的數(shù)值模擬的結(jié)果（6），（18）和β值給出一個更好的一致。圖3（e）和3（f）顯示了β= 10的同時使用解決方案的龐加萊映射。在圖3（f）中周期2的兩島狀物的大致輪廓是用實線繪制的。這些輪廓被用來揭示相應(yīng)的KAM管的形狀（參見圖4（c））。封閉多邊形描繪的輪廓和通過4個混合元素的數(shù)字追蹤而來的這些多邊形的至高點，顯示了KAM管外邊界。另外兩張在圖4中的圖像代表圖像的數(shù)值（a）和實驗（b）分別來自于Kusch和Ottino [6]的成果。對于實驗結(jié)果的實際混合強(qiáng)度的值，是β= 10.0 ± 0.3，我們計算了KAM管 圖3。龐加萊映射分別地作為4種不同攪拌強(qiáng)度，β值=（（a）和（b）），β= 8（（c）和（d）段），β= 10（（e）和（f）段）的結(jié)果。圖片中左邊的列（（a），（c），（e）段）通過方案（16），（17） 采用近似解獲得，而在右列的通過精確的方案（6），（18）獲得。 圖4。對比（a）計算的（β= 8）和（b）實驗性的（β= 10.0 ± 0.3）庫施和Ottino [6]的實驗性的條紋線，計算PPM模式下的KAM管的混合強(qiáng)度參數(shù)β= 10.0（c）（圖像（a）及（b）是來自于許可轉(zhuǎn)載的劍橋大學(xué)出版社的論文圖9。） 以及形狀限制值β= 9.7，β= 10.3。鋼管的整體造型變化不大，混合強(qiáng)度的變化主要是管壁厚度的影響：它是較大的β參數(shù)，反之也一樣。 Kusch和Ottino [6]沒有明確指定條紋線可視化染料注射的位置。然而在KAM管外面注入染料一點點很容易發(fā)現(xiàn)，因為染料開始傳遍混合元素所以這是顯而易見的。為了說明這一點，島的幾何中心周圍繪制了圓（參見圖3（f））。標(biāo)記是均勻分布在每個圓邊界，并通過四要素混合的PPM（兩個空間時間）進(jìn)行跟蹤。在圖5（a）中圓的半徑為0.03a，因此所有的標(biāo)記都定位在KAM管里。在圖5（b）中圓（半徑0.062a）觸及到管邊界。這種條紋線可以稍微變形，但仍完全在管內(nèi)抓獲。在圖5（c）中最初的圓比在圖3（f）中的島狀物稍大，因而標(biāo)記包含在KAM管外?？梢郧宄乜吹剑灰卸潭趟膫€混合細(xì)胞，標(biāo)志物就可以在整個管道截面蔓延。 使用近似數(shù)值解（16），（17）指引Kusch和Ottino [6]得到一個偉大差異的對于10 <β<4的情況下的實驗結(jié)果：實驗顯示了非常穩(wěn)定KAM管，而計算顯示出了許多分支（比如，可見于他們的論文中的圖10（d））。但是使用相對簡單穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的精確方案（6），（18）卻被預(yù)測到了。例如，相對于一個比較大的β= 20混合強(qiáng)度，四個第一次序的KAM管被發(fā)現(xiàn)，但沒有發(fā)現(xiàn)2時期的KAM管。 圖5。這些標(biāo)記的痕跡，最初由規(guī)律地以時期2的到得幾何中心為中心空出不同半徑的圓。每個圓圈包含100個標(biāo)記。半徑是：（一）0.03a完全地再KAM管里面，（二）0.062a，觸摸到它的邊界，（三）0.08a – 劃定軟管邊界。 它們的管截面（并且因此，與他們相關(guān)的流量）相對較小。，不過這些周期性結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。 4。結(jié)論 雖然正在研究的流動僅僅是一個原型，但是它擁有廣泛使用的攪拌裝置流動的一些重要特征。在同一模型框架獲得一個近似的比較和精確解，顯示了某些數(shù)學(xué)簡化可能產(chǎn)生重大影響。這種簡化在預(yù)測系統(tǒng)的行為上可能造成很大的差異，特別是對于那些應(yīng)該表現(xiàn)出的混沌性系統(tǒng)。在這里，由于使用（在以前的研究）了人為平滑的橫截面速度場一個長期的近似解，在預(yù)測行為上就有差異。確切的解決方案顯示與已報道的實驗結(jié)果能很好地一致。 當(dāng)然，存在的一個重要問題就是在混合元件和忽視了這些過渡的發(fā)展流動之間，有了突然的轉(zhuǎn)變。事實上最近的數(shù)值模擬結(jié)果（霍布斯等人[5]）表明，對于帶有螺紋的有限厚度的螺旋板的Kenics混合攪拌機(jī)，在入口和出口流動的每個轉(zhuǎn)變元素都會強(qiáng)烈影響到一個以上元素長度的速度場，這是一個重要的假設(shè)。 然而，從結(jié)果中呈現(xiàn)的——準(zhǔn)確描述了在混合流動中哪怕是很小的變化也能顯著地改變系統(tǒng)整體混合反應(yīng)的速度區(qū)域的——重要性結(jié)論，仍然是適用真正的工業(yè)場合。 致謝 ? 筆者要感謝授予了編號為EWT44.3453的荷蘭科技基金（STW）的支持。我們也感謝其中一個發(fā)表“在閉塞或不了解情況下參數(shù)化的使用計算機(jī)從而產(chǎn)生一個荒謬結(jié)果”觀點的證明人。