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黃河科技學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（文獻(xiàn)翻譯） 第 14 頁(yè)
單齒齒輪傳動(dòng)中輪齒負(fù)載的動(dòng)力學(xué)研究
W.Nadolski，Warsaw
Archive of Mechanics 61(1991)523-531
摘要：此文中對(duì)單齒齒輪傳動(dòng)中輪齒負(fù)載的動(dòng)力學(xué)研究分析中提及了一種離散—連續(xù)的分析模型，在此模型中恒定的等效嚙合硬度和由轉(zhuǎn)矩引起的可估算的軸變形均被考慮到計(jì)算當(dāng)中。在分析討論中應(yīng)用到了波形圖法，即利用了運(yùn)動(dòng)方程式而得到的波形圖。數(shù)值計(jì)算都集中在確定輪齒上的動(dòng)力載荷波動(dòng)的波幅大小，計(jì)算時(shí)還要考慮到在第一第二共振區(qū)域外部激發(fā)作用下的頻率變化。
1 緒論
在參考文獻(xiàn)[1，2]中剛性齒單齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)研究是在離散—連續(xù)的模型中被執(zhí)行的，此文中也考慮應(yīng)用一種相似的模型，然而此處相嚙合齒的齒廓等效剛度可被假設(shè)為3到6的常數(shù)，在科技文獻(xiàn)中齒輪傳動(dòng)的研究大多依靠在一到多個(gè)自由度條件下進(jìn)行離散分析（見參考文獻(xiàn) [7,8]）。
此文中的離散—連續(xù)模型由兩個(gè)可測(cè)得軸和四個(gè)在考慮旋轉(zhuǎn)軸時(shí)質(zhì)量慣性矩為常數(shù)的剛體組成，這樣的齒輪傳動(dòng)都要考慮由于撓度作用消除支撐軸承的變形和軸系大體上的扭轉(zhuǎn)變形。系統(tǒng)中的剛體所受外力矩是被隨機(jī)加載的。阻尼的作用也被考慮在內(nèi)，主要依靠當(dāng)量的粘滯型外阻尼和當(dāng)量的福哥特型內(nèi)阻尼。本研究中還會(huì)運(yùn)用利用波形圖法來解運(yùn)動(dòng)方程式的方法，這種方法可以用來測(cè)定在齒輪齒的位移，張力和速度處于穩(wěn)定狀態(tài)或者瞬時(shí)狀態(tài)下，輪齒上動(dòng)載荷的變化。為了挑選描述單齒齒輪傳動(dòng)各種機(jī)械性能的參數(shù)而進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算，目標(biāo)主要集中在測(cè)定齒輪齒上動(dòng)載荷的振幅大小與處在第一第二共振區(qū)域的外部激發(fā)的頻率大小的關(guān)系。
2 假設(shè)和控制方程
圖1. 單齒齒輪傳動(dòng)模型
假設(shè)這個(gè)單齒齒輪傳動(dòng)的離散—連續(xù)模型有平行軸，圖1中齒輪軸1和2的性能用以下參數(shù)描述，剪切彈性模量G，極慣性矩Ii，密度和長(zhǎng)度（i=1,2），輪齒4,5和剛體3，6的質(zhì)量慣性矩分別為（i=3,4,5,6）。X軸平行于齒輪軸，而且它的原點(diǎn)在未受干擾前提下與齒輪軸1的左端點(diǎn)的位置一致。在t=0時(shí)齒輪軸橫截面的位移和速度可以假設(shè)等于0，這里分析時(shí)不包括一些細(xì)微因素的影響，例如制造加工時(shí)造成的齒形誤差，齒面磨損，離線的運(yùn)動(dòng)接觸，齒間潤(rùn)滑油的影響等，這些因素在齒輪傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)分析中通常被忽略不計(jì)。在這些假設(shè)下這個(gè)單齒齒輪傳動(dòng)的控制方程將會(huì)是線性的。
假設(shè)在運(yùn)動(dòng)過程中輪齒不分離，而且在橫截面x=L1處的軸位移滿足關(guān)系式（1）
（1）
其中R4、R5分別齒輪4和5的節(jié)圓半徑，θi（x，t）分別為齒輪軸1和2的角位移。
輪齒上的動(dòng)載荷可由下式表達(dá)
（2）
其中Km為等效嚙合剛度,Cm為嚙合阻尼系數(shù)，α為與節(jié)圓半徑R4、R5對(duì)應(yīng)的壓力角。需要指出的是在參考文獻(xiàn)[1，2]中（1）式等于0，描述無齒形誤差的動(dòng)載荷的公式（2）是從參考文獻(xiàn)[8]中得到的。
在以上假設(shè)條件下，測(cè)定公式（2）中出現(xiàn)的位移和速度的問題最終歸結(jié)為解下面這個(gè)經(jīng)典的波動(dòng)方程
（3）
初始條件為
（4）
邊界條件為
（5）
其中M(t)為加載在剛體3上的外激勵(lì)，（i=3,4,5,6）和（i=1,2）分別為外阻尼和內(nèi)阻尼系數(shù)，出自參考文獻(xiàn)[1，2]。
邊界條件（5）和參考文獻(xiàn)[1，2]中的參照條件是相似的，他們之間的區(qū)別是，在條件（5）中動(dòng)載荷依照（2）式得出，并依靠等效嚙合剛度和嚙合阻尼系數(shù)。如果（1）式等于0則文獻(xiàn)[1]中的邊界條件和此文中的邊界條件是相同的。
在緒論上的無量綱數(shù)為式（6）如下
關(guān)系式（3）—（5）為
（7）
（8）
其中θ0為一個(gè)等于常數(shù)的角位移，為方便分析此模型中的圍護(hù)邊界被省略。
式（7）的解代入到初始條件（8）中可以得到以下公式（10）
（10）
其中這些表示波形的未知因素和是由外部力矩M(t)引起是的，齒輪軸一和二間的傳動(dòng)方向一致并分別與x軸方向垂直。自變量和在計(jì)算中已被考慮在內(nèi)，第一次擾動(dòng)在齒輪軸1中出現(xiàn)在t=0時(shí)x=0處，在齒輪軸2中出現(xiàn)在t=1時(shí)x=1處。變量和是連續(xù)的而且對(duì)于負(fù)的自變量它們都等于0。
把式（10）代入邊界條件（9）可以得到對(duì)于和的微分方程。從式（10）的形式可知道它遵循的是在不同時(shí)刻的瞬時(shí)狀態(tài)和不等于0，在計(jì)算中為方便操作在所有函數(shù)中引入常規(guī)自變量z。在參考文獻(xiàn)[1，2]中對(duì)剛性齒齒輪傳動(dòng)的研究中，每個(gè)等式中從邊界條件獲得的最大的自變量也是用z表示，在這種情況下當(dāng)齒輪齒是柔性時(shí)，適用的方程式會(huì)稍微的更加復(fù)雜些，因?yàn)檫@些函數(shù)f2，g1與實(shí)變量z，z2=z+2都不是相互獨(dú)立的，這種情況下，把式（10）代入式（9），我們可以得到下式
其中
（12）
微分方程（11）可以依靠有限差分法求解，當(dāng)z≥0時(shí)可以從式（11）中求得函數(shù)f1，f2，g2的值，當(dāng)z2=z+2≥0可以從式（11）中求得時(shí)函數(shù)g1的值。對(duì)于負(fù)的自變量它們卻都等于0，所以從式(11)3可得它遵循的是當(dāng)z2=z+2<2時(shí)g1(z2)≡0.雖然函數(shù)f2(z)和g1(z+2)都不是相互獨(dú)立的，但是依靠恰當(dāng)函數(shù)已知的函數(shù)值，運(yùn)用有限差分法可以推導(dǎo)出這些函數(shù)的表達(dá)式。這些表達(dá)式將在附錄中給出。
3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果
在數(shù)值計(jì)算中下列單齒齒輪傳動(dòng)的參數(shù)都是假設(shè)的，假設(shè)如下：
量綱量
無量綱量
該文分析過程中包括以下無量綱量：當(dāng)齒高等于0.10m，嚙合阻尼系數(shù)Cm=Di1時(shí)，嚙合剛度=0.005 859，0.018528，0.0585（單位分別為）參見參考文獻(xiàn)[9—11]。
外部力矩M(t)是隨機(jī)得到的，它可以是規(guī)則的或不規(guī)則的，周期的或非周期的。此處假定有下式得出
（14）
其中， 是無量綱的外激勵(lì)頻率。
目前考慮的重點(diǎn)集中在，在考慮頻率處在第一第二共振區(qū)域穩(wěn)定狀態(tài)下的外激勵(lì)的作用下，如何測(cè)定齒輪齒上的動(dòng)載荷的振幅。
由（2）式給出的動(dòng)載荷的表達(dá)式，是依靠等效嚙合剛度Km, 嚙合阻尼系數(shù)Cm和相對(duì)位移，及相對(duì)速度而得到的。阻尼對(duì)，的影響，Km、 Cm對(duì)動(dòng)載荷的影響，分別在圖2，3，4中顯示出來。
圖2.振幅—頻率對(duì)，的影響曲線
圖2所示振幅—頻率對(duì)相對(duì)位移的影響曲線是連續(xù)曲線，對(duì)相對(duì)速度的影響曲線點(diǎn)曲線。這些曲線是運(yùn)用式（11）利用參數(shù)（13）和以下附加參數(shù)計(jì)算得到的。
附加參數(shù)為
外阻尼對(duì)該研究中函數(shù)的作用是可估測(cè)的，但是內(nèi)阻尼的影響是完全可以忽略的。圖2中對(duì)于每條有確定的Di1值的曲線都符合系數(shù)Di2的三個(gè)值，所以內(nèi)阻尼的影響是不可測(cè)得的，進(jìn)一步的數(shù)值計(jì)算擬定內(nèi)阻尼系數(shù)D12=D22=0.01外阻尼系數(shù)Di1=0.05（i=3，4，5，6）。
圖3.Km—?jiǎng)虞d荷振幅關(guān)系圖 圖4.Cm—?jiǎng)虞d荷振幅關(guān)系圖
圖3繪制的圖形可知，動(dòng)載荷的振幅在Cm=0時(shí)，對(duì)于不同的等效嚙合剛度=0.005859，0.018528，0.05859所得的圖形是規(guī)則的，也就是說在第一共振區(qū)里載荷的最大振幅會(huì)隨著Km的增大而升高，圖4，5，6，7和9中動(dòng)載荷的振幅—頻率曲線都是在Km=0.018528的條件下繪制的。
嚙合阻尼系數(shù)Cm對(duì)動(dòng)載荷的影響在本項(xiàng)研究中分別取值為Cm=0，
0.01，0.05，0.1。圖4中遵循忽略嚙合阻尼系數(shù)Cm影響，除了處在第一諧振區(qū)鄰域內(nèi)的情況。
此項(xiàng)研究中的單齒齒輪傳動(dòng)由式（13）中的多個(gè)參數(shù)表現(xiàn)出來，例如參數(shù)K1，K2和A6對(duì)動(dòng)載荷P的振幅—頻率曲線的作用在圖5，6和7中表現(xiàn)出，圖6中遵循的是載荷P的最大值隨處于第一共振區(qū)域的自變量K2的值的升高而升高。這樣的規(guī)律在圖5和7是沒有表現(xiàn)的，圖5和7中分別表現(xiàn)的是不同的K1和A6對(duì)振幅—頻率曲線的作用。
圖5.不同K1對(duì)動(dòng)載荷振幅的影響 圖6. 不同K2對(duì)動(dòng)載荷振幅的影響
從圖2-7可以發(fā)現(xiàn)它們都遵循這樣一個(gè)規(guī)律，動(dòng)載荷P的最大振幅出現(xiàn)在第一共振區(qū)，當(dāng)外激勵(lì)的頻率等于自激振動(dòng)的第一頻率ω1時(shí)。這樣進(jìn)一步的數(shù)值計(jì)算中，將對(duì)共振振幅進(jìn)行討論，依靠A6的作用挑選出適當(dāng)?shù)腒m，K1和K2，這些數(shù)據(jù)可用于測(cè)定=ω1時(shí)動(dòng)載荷的振幅。
在忽視阻尼和邊界條件（9）中外力矩作用的情況下，運(yùn)用分離變量法求解式（7），可以獲得自激振動(dòng)的第一頻率及其次的頻率。
在圖8,9中可見參數(shù)Km，K1和K2對(duì)動(dòng)載荷P共振振幅的影響，其中A6的變化范圍是從0.03到0.77。圖8中繪制出了對(duì)于各個(gè)不同的Km=0.005859，0.018528，0.05859的適當(dāng)?shù)膱D表，圖8中各曲線的規(guī)律是，隨著參數(shù)A6的升高動(dòng)載荷的共振振幅先單調(diào)升高達(dá)到最大值然后單調(diào)下降。對(duì)于確定的A6共振振幅隨著Km的升高而升高，同樣的結(jié)論也可以從圖9中得到，圖9表現(xiàn)了當(dāng)A6升高時(shí)不同的指示參變量對(duì)K1，K2所得到的共振振幅變化曲線，其中常數(shù)K1的值由d1=0.06m，0.10m，…，0.22m決定，常數(shù)K2的值由d2=0.09m，0.15m，…，0.33m決定，d1，d2分別為齒輪軸1，2的直徑。
圖7. A6=0.03，0.15，0.75時(shí)動(dòng)載荷振幅變化
圖8. Km對(duì)動(dòng)載荷共振振幅的影響 圖9. K1和K2對(duì)動(dòng)載荷共振振幅的影響
4 最終備注
本文介紹的事項(xiàng)理論上有這樣一個(gè)性質(zhì)，它們都涉及到了單齒齒輪傳動(dòng)的離散—連續(xù)模型，此模型具有不變的等效嚙合剛度并且齒輪軸是扭轉(zhuǎn)變形可稱的。此項(xiàng)研究中還運(yùn)用到了波形法。數(shù)值計(jì)算的結(jié)果也給出了關(guān)于這些參變量在研究過程中的影響的信息，描述了這種單齒齒輪傳動(dòng)及作用在齒輪齒上的動(dòng)載荷的振幅。實(shí)際情況下，這些已得到的信息對(duì)設(shè)計(jì)單齒齒輪傳動(dòng)是很有用的，其中等效嚙合剛度可以假定為常數(shù)。
附錄：函數(shù)g1（z2）和f2（z）的測(cè)定
函數(shù)g1（z2）和f2（z）都是由式（12）中的第三第四等式?jīng)Q定的，運(yùn)用有限差分法給出下列等式
定義
g1（z2）和f2（z）的表達(dá)式
參考文獻(xiàn)