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等腰三角形存在性問題 幾何圖形存在性問題是中考二次函數(shù)壓軸題一大常見類型，等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列從等腰三角形開始，逐一介紹各種問題及常規(guī)解法． 等腰三角形存在性問題 【問題描述】 如圖，點A坐標為（1,1），點B坐標為（4,3），在x軸上取點C使得△ABC是等腰三角形． 【幾何法】“兩圓一線”得坐標 （1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC； （2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CB． 【注意】若有三點共線的情況，則需排除． 作圖并不難，問題是還需要把各個點坐標算出來，可通過勾股或者三角函數(shù)來求． 同理可求，下求． 顯然垂直平分線這個條件并不太適合這個題目，如果A、B均往下移一個單位，當點A坐標為（1,0），點B坐標為（4,2）時，可構(gòu)造直角三角形勾股解： 而對于本題的，或許代數(shù)法更好用一些． 【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等 （1）表示點：設(shè)點坐標為（m，0），又A點坐標（1,1）、B點坐標（4,3）， （2）表示線段：， （3）分類討論：根據(jù)，可得：， （4）求解得答案：解得：，故坐標為． 【小結(jié)】 幾何法：（1）“兩圓一線”作出點； （2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長，由線段長得點坐標． 代數(shù)法：（1）表示出三個點坐標A、B、C； （2）由點坐標表示出三條線段：AB、AC、BC； （3）根據(jù)題意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解． 問題總結(jié)： （1）兩定一動：動點可在直線上、拋物線上； （2）一定兩動：兩動點必有關(guān)聯(lián)，可表示線段長度列方程求解； （3）三動點：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口． 【中考真題解析】 如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)交軸于點、，交軸于點，在軸上有一點，連接． （1）求二次函數(shù)的表達式； （2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值； （3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點的坐標，若不存在請說明理由． 【分析】 （1）； （2）可用鉛垂法，當點D坐標為時，△ADE面積最大，最大值為14； （3）這個問題只涉及到A、E兩點及直線x=-1（對稱軸） ①當AE=AP時，以A為圓心，AE為半徑畫圓，與對稱軸交點即為所求P點． ∵AE=，∴，又AH=3，∴， 故、． ②當EA=EP時，以E點為圓心，EA為半徑畫圓，與對稱軸交點即為所求P點． 過點E作EM垂直對稱軸于M點，則EM=1，， 故、． ③當PA=PE時，作AE的垂直平分線，與對稱軸交點即為所求P點． 設(shè)，， ∴，解得：m=1． 故． 綜上所述，P點坐標為、、、、． 【補充】“代數(shù)法”用點坐標表示出線段，列方程求解亦可以解決．  【中考真題（刪減）】 如圖，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點，連接，．點是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點的橫坐標為． （1）求此拋物線的表達式； （2）過點作軸，垂足為點，交于點．試探究點在運動過程中，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點的坐標，若不存在，請說明理由； 【分析】 （1）； （2）①當CA=CQ時，∵CA=5，∴CQ=5， 考慮到CB與y軸夾角為45，故過點Q作y軸的垂線，垂足記為H， 則，故Q點坐標為． ②當AC=AQ時，考慮直線BC解析式為y=-x+4，可設(shè)Q點坐標為（m，-m+4）， ， 即，解得：m=1或0（舍）， 故Q點坐標為（1，3）． ③當QA=QC時，作AC的垂直平分線，顯然與線段BC無交點，故不存在． 綜上所述，Q點坐標為或（1，3）． 【中考真題（刪減）】 如圖所示，二次函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像交于、兩點，點在點的右側(cè)，直線分別與、軸交于、兩點，其中． （1）求、兩點的橫坐標； （2）若是以為腰的等腰三角形，求的值． 【分析】 （1）A、B兩點橫坐標分別為1、2； （2）求k的值等價于求B點坐標， B點橫坐標始終為2，故點B可以看成是直線x=2上的一個動點， 滿足△OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形， 又A點坐標為（1，2），故 ①當OA=OB時，即， 記直線x=2與x軸交點為H點， ∵OH=2，∴BH=1， 故B點坐標為（2，1）或（2，-1），k=-1或-3． ②當AO=AB時，易知B點坐標為（2，0），k=-2． 綜上所述，k的值為-1或-2或-3．  【中考真題（刪減）】 如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸相交于，兩點，與軸相交于點． （1）求這個二次函數(shù)的表達式； （2）若是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖像上任意一點，軸于點，與線段交于點，連接．當是以為一腰的等腰三角形時，求點的坐標． 【分析】 （1）； （2）①當PM=PC時，（特殊角分析） 考慮∠PMC=45，∴∠PCM=45， 即△PCM是等腰直角三角形，P點坐標為（2，-3）； ②當MP=MC時，（表示線段列方程） 設(shè)P點坐標為，則M點坐標為， 故線段 故點M作y軸的垂線，垂足記為N，則MN=m， 考慮△MCN是等腰直角三角形，故， ∴，解得或0（舍）， 故P點坐標為． 綜上所述，P點坐標為（2，-3）或． 【中考真題（刪減）】 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和點． （1）求拋物線的解析式及頂點的坐標； （2）如圖，連接、，點在線段上（不與、重合），作，交線段于點，是否存在這樣點，使得為等腰三角形？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由． 【分析】 （1），頂點D坐標為； （2）考慮到∠DAB=∠DBA=∠DMN，即有△BMD∽△ANM（一線三等角）． ①當MD=MN時，有△BMD≌△ANM， 可得AM=BD=5，故AN=BM=1； ②當NM=ND時，則∠NDM=∠NMD=∠DAB， △MAD∽△DAB，可得AM=， ∴，即， 解得：． ③當DM=DN時，∠DNM=∠DMN=∠DAB，顯然不成立，故不存在這樣的點M． 綜上，AN的值為1或． 【中考真題（刪減）】 如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸另一交點為．點以每秒個單位長度的速度在線段上由點向點運動（點不與點和點重合），設(shè)運動時間為秒，過點作軸垂線交軸于點，交拋物線于點． （1）求拋物線的解析式； （2）如圖，連接交于點，當是等腰三角形時，直接寫出的值． 【分析】 （1）； （2）①考慮到∠DPM=45，當DP=DM時，即∠DMP=45， 直線AM：y=x+1， 聯(lián)立方程：， 解得：，（舍）． 此時t=1． ②當PD=PM時，∠PMD=∠PDM=67.5，∠MAB=22.5， 考慮tan∠22.5=， 直線AM：， 聯(lián)立方程： 解得：，（舍）． 此時t=． 綜上所述，t的值為1或． 附：tan22.5=． 【總結(jié)】具體問題還需具體分析題目給的關(guān)于動點的條件，選取恰當?shù)姆椒?，可減輕計算量． 14