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燕尾定理 例題精講 燕尾定理： 在三角形中，，，相交于同一點(diǎn)，那么． 上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)楹偷男螤詈芟笱嘧拥奈舶?，所以這個(gè)定理被稱為燕尾定理．該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑. 通過(guò)一道例題證明一下燕尾定理： 如右圖，是上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你說(shuō)明： 【解析】 三角形與三角形同高，分別以、為底， 所以有；三角形與三角形同高，；三角形與三角形同高，，所以；綜上可得. 【例 1】 （2009年第七屆希望杯五年級(jí)一試試題）如圖，三角形的面積是，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，與交于點(diǎn)．則四邊形的面積等于 ． 【解析】 方法一：連接， 根據(jù)燕尾定理，，, 設(shè)份，則份，份，份，如圖所標(biāo) 所以 方法二：連接，由題目條件可得到， ，所以， ， 而．所以則四邊形的面積等于． 【鞏固】如圖，已知，，三角形的面積是，求陰影部分面積. 【解析】 題中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值，其他條件給出的實(shí)際上是比例的關(guān)系，由此我們可以初步判斷這道題不應(yīng)該通過(guò)面積公式求面積. 又因?yàn)殛幱安糠质且粋€(gè)不規(guī)則四邊形，所以我們需要對(duì)它進(jìn)行改造，那么我們需要連一條輔助線， (法一)連接，因?yàn)椋?，三角形的面積是30， 所以，． 根據(jù)燕尾定理，，, 所以，， 所以陰影部分面積是． (法二)連接，由題目條件可得到， ，所以， ， 而．所以陰影部分的面積為． 【鞏固】如圖，三角形的面積是， 在上，點(diǎn)在上，且,，與 交于點(diǎn)．則四邊形的面積等于 ． 【解析】 連接， 根據(jù)燕尾定理，，, 設(shè)份，則份,份，份，份，所以 【鞏固】如圖，已知，，與相交于點(diǎn),則被分成的部分面積各占 面積的幾分之幾？ 【解析】 連接,設(shè)份，則其他部分的面積如圖所示，所以份，所以四部分按從小到大各占面積的 【鞏固】(年香港圣公會(huì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽)如圖所示，在中，，，與相交于點(diǎn)，若的面積為，則的面積等于 ． 【解析】 方法一：連接． 由于，，所以，． 由蝴蝶定理知，， 所以． 方法二：連接設(shè)份，根據(jù)燕尾定理標(biāo)出其他部分面積， 所以 【鞏固】如圖，三角形的面積是，，，與相交于點(diǎn)，請(qǐng)寫出這部分的面積各是多少? 【解析】 連接，設(shè)份，則其他幾部分面積可以有燕尾定理標(biāo)出如圖所示，所以,,, 【鞏固】如圖，在上，在上，且,，與交于點(diǎn)．四邊形的面積等于，則三角形的面積 ． 【解析】 連接,根據(jù)燕尾定理，，, 設(shè)份，則份，份，份， 份,份,如圖所標(biāo),所以份,份 所以 【鞏固】三角形中，是直角，已知，，，，那么三角形(陰影部分)的面積為多少？ 【解析】 連接． 的面積為 根據(jù)燕尾定理，； 同理 設(shè)面積為1份，則的面積也是1份，所以的面積是份，而的面積就是份，也是4份，這樣的面積為份，所以的面積為． 【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，，是的中點(diǎn)．陰影部分的面積是多少平方厘米? 【解析】 設(shè)份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示平方厘米. 【例 2】 如圖所示，在四邊形中，，，四邊形的面積是，那么平行四邊形的面積為_(kāi)_______． 【解析】 連接,根據(jù)燕尾定理,,設(shè),則其他圖形面積，如圖所標(biāo)，所以. 【例 3】 是邊長(zhǎng)為厘米的正方形，、分別是、邊的中點(diǎn)，與交于，則四邊形的面積是_________平方厘米． 【解析】 連接、，設(shè)份，根據(jù)燕尾定理得份，份，則份，份，所以 【例 4】 如圖，正方形的面積是平方厘米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形 的面積是_____平方厘米． 【解析】 連接,根據(jù)沙漏模型得,設(shè)份，根據(jù)燕尾定理份，份，因此份，，所以(平方厘米). 【例 5】 如圖所示，在中，，是的中點(diǎn)，那么 ． 【解析】 連接． 由于，，所以， 根據(jù)燕尾定理，． 【鞏固】在中，， ，求？ 【解析】 連接． 因?yàn)椋鶕?jù)燕尾定理，，即； 又，所以．則， 所以． 【鞏固】在中，， ，求？ 【解析】 題目求的是邊的比值，一般來(lái)說(shuō)可以通過(guò)分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過(guò)三角形的面積比來(lái)做橋梁，但題目沒(méi)告訴我們邊的長(zhǎng)度，所以應(yīng)該通過(guò)面積比而得到邊長(zhǎng)的比．本題的圖形一看就聯(lián)想到燕尾定理，但兩個(gè)燕尾似乎少了一個(gè)，因此應(yīng)該補(bǔ)全，所以第一步要連接． 連接． 因?yàn)?，根?jù)燕尾定理，，即； 又，所以．則， 所以． 【例 6】 （2009年清華附中入學(xué)測(cè)試題）如圖，四邊形是矩形，、分別是、上的點(diǎn)，且，，與相交于，若矩形的面積為，則與的面積之和為 ． 【解析】 (法1)如圖，過(guò)做的平行線交于，則， 所以，，即， 所以． 且，故，則． 所以兩三角形面積之和為． (法2)如上右圖，連接、． 根據(jù)燕尾定理，，， 而， 所以，，，， 則，， 所以兩個(gè)三角形的面積之和為15． 【例 7】 如右圖，三角形中，，，求． 【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)） 所以 【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見(jiàn)不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！ 【鞏固】如右圖，三角形中，，，求. 【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)） 所以 【鞏固】如圖，,,則 【解析】 根據(jù)燕尾定理有,,所以 【鞏固】如右圖，三角形中，，，求. 【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)） 所以 【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見(jiàn)不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！ 【例 8】 (2008年“學(xué)而思杯”六年級(jí)數(shù)學(xué)試題)如右圖，三角形中，，且三角形的面積是，則三角形的面積為_(kāi)_____，三角形的面積為_(kāi)_______，三角形的面積為_(kāi)_____． 【分析】 連接、、． 由于，所以，故； 根據(jù)燕尾定理，，，所以 ，則，； 那么； 同樣分析可得，則，，所以，同樣分析可得， 所以，． 【鞏固】 如右圖，三角形中，，且三角形的面積是，求三角形的面積． 【解析】 連接BG，份 根據(jù)燕尾定理，， 得(份)，(份)，則(份)，因此, 同理連接AI、CH得,, 所以 三角形GHI的面積是1，所以三角形ABC的面積是19 【鞏固】(2009年第七屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽六年級(jí))如圖，中，，，那么的面積是陰影三角形面積的 倍． 【分析】 如圖，連接． 根據(jù)燕尾定理，，， 所以，， 那么，． 同理可知和的面積也都等于面積的，所以陰影三角形的面積等于面積的，所以的面積是陰影三角形面積的7倍． 【鞏固】如圖在中，,求的值． 【解析】 連接BG,設(shè)1份，根據(jù)燕尾定理,,得(份)，(份),則(份)，因此,同理連接AI、CH得,, 所以 【點(diǎn)評(píng)】如果任意一個(gè)三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化，但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我們有對(duì)稱法作輔助線. 【鞏固】如圖在中，,求的值． 【解析】 連接BG,設(shè)1份，根據(jù)燕尾定理,,得(份)，(份),則(份)，因此,同理連接AI、CH得,, 所以 【鞏固】如右圖，三角形中，，且三角形的面積是，求角形 的面積． 【解析】 連接BG，12份 根據(jù)燕尾定理，， 得(份)，(份)，則(份)，因此, 同理連接AI、CH得,, 所以 三角形ABC的面積是,所以三角形GHI的面積是 【例 9】 兩條線段把三角形分為三個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，如圖所示， 三個(gè)三角形的面積 分別是，，，則陰影四邊形的面積是多少？ 【解析】 方法一：遇到?jīng)]有標(biāo)注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點(diǎn)標(biāo)注字母，方便后面的計(jì)算. 再看這道題，出現(xiàn)兩個(gè)面積相等且共底的三角形． 設(shè)三角形為，和交于，則，再連結(jié)． 所以三角形的面積為3.設(shè)三角形的面積為， 則，所以，四邊形的面積為． 方法二：設(shè)，根據(jù)燕尾定理,得到，再根據(jù)向右下飛的燕子，有，解得四邊形的面積為 【鞏固】右圖的大三角形被分成5個(gè)小三角形，其中4個(gè)的面積已經(jīng)標(biāo)在圖中，那么，陰影三角形的面積是 ． 【解析】 方法一：整個(gè)題目讀完，我們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何與邊長(zhǎng)相關(guān)的條件，也沒(méi)有任何與高或者垂直有關(guān)系的字眼，由此，我們可以推斷，這道題不能依靠三角形面積公式求解.我們發(fā)現(xiàn)右圖三角形中存在一個(gè)比例關(guān)系： ，解得. 方法二：回顧下燕尾定理，有，解得. 【例 10】 如圖，三角形被分成個(gè)三角形，已知其中個(gè)三角形的面積，問(wèn)三角形的面積是多少? 【解析】 設(shè)，由題意知根據(jù)燕尾定理,得 ,所以， 再根據(jù)，列方程解得 ,所以 所以三角形ABC的面積是 【例 11】 三角形ABC的面積為15平方厘米，D為AB中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，求陰影部分的面積． 【解析】 令BE與CD的交點(diǎn)為M，CD與EF的交點(diǎn)為N，連接AM，BN． 在中，根據(jù)燕尾定理，,, 所以 由于S，所以 在中，根據(jù)燕尾定理， 設(shè)(份)，則(份)，(份)，(份)， 所以,，因?yàn)?F為BC中點(diǎn), 所以,, 所以(平方厘米) 【例 12】 如右圖，中，是的中點(diǎn)，、、是邊上的四等分點(diǎn)，與交于，與交于，已知的面積比四邊形的面積大平方厘米，則的面積是多少平方厘米？ 【解析】 連接、． 根據(jù)燕尾定理，，，所以； 再根據(jù)燕尾定理，，所以，所以，那么，所以． 根據(jù)題意，有，可得(平方厘米) 【鞏固】(2007年四中分班考試題)如圖，中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，若的面積為1，那么四邊形的面積是_________． 【解析】 由于點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，如果能求出、、三段的比，那么所分成的六小塊的面積都可以求出來(lái)，其中當(dāng)然也包括四邊形的面積． 連接、． 根據(jù)燕尾定理，，而，所以，那么，即． 那么，． 另解：得出后，可得， 則． 【例 13】 如圖，三角形的面積是，，，三角形被分成部分，請(qǐng)寫出這部分的面積各是多少? 【解析】 設(shè)BG與AD交于點(diǎn)P，BG與AE交于點(diǎn)Q，BF與AD交于點(diǎn)M，BF與AE交于點(diǎn)N．連接CP，CQ，CM，CN． 根據(jù)燕尾定理，，，設(shè)(份)，則(份)，所以 同理可得，,,而，所以，． 同理，,所以，,, 【鞏固】如圖，的面積為1，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，那么四邊形的面積是多少？ 【解析】 連接、、． 根據(jù)燕尾定理，，， 所以，那么，． 類似分析可得． 又，，可得． 那么，． 根據(jù)對(duì)稱性，可知四邊形的面積也為，那么四邊形周圍的圖形的面積之和為，所以四邊形的面積為． 【例 14】 如右圖，面積為的中，，，，求陰影部分面積． 【解析】 設(shè)交于，交于，交于．連接， ． ∵，， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ． 同理 ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵， ∴， 同理 ，∵，∴， ∴． 同理 個(gè)小陰影三角形的面積均為． 陰影部分面積． 【例 15】 如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點(diǎn),求陰影部分面積. 【解析】 三角形在開(kāi)會(huì)，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！ 令BI與CD的交點(diǎn)為M，AF與CD的交點(diǎn)為N，BI與AF的交點(diǎn)為P,BI與CE的交點(diǎn)為Q,連接AM、BN、CP ⑴求：在中，根據(jù)燕尾定理， 設(shè)(份)，則(份),(份),(份), 所以，所以,, 所以, 同理可得另外兩個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積也分別是面積的 ⑵求：在中，根據(jù)燕尾定理, 所以,同理 在中，根據(jù)燕尾定理, 所以 所以 同理另外兩個(gè)五邊形面積是面積的 所以 【例 16】 如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點(diǎn),求中心六邊形面積. 【解析】 設(shè)深黑色六個(gè)三角形的頂點(diǎn)分別為N、R、P、S、M、Q，連接CR 在中根據(jù)燕尾定理，, 所以,同理, 所以 同理 根據(jù)容斥原理，和上題結(jié)果 【例 17】 （年數(shù)學(xué)解題能力大賽六年級(jí)初試試題）正六邊形，，，，，的面積是平方厘米，，，，，，分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米． 【解析】 （方法一）因?yàn)榭瞻椎拿娣e等于面積的倍，所以關(guān)鍵求的面積，根據(jù)燕尾定理可得，但在用燕尾定理時(shí)，需要知道的長(zhǎng)度比，連接,,過(guò)作的平行線，交于，根據(jù)沙漏模型得,再根據(jù)金字塔模型得,因此,在中，設(shè)份，則份,份，所以， 因此（平方厘米） （方法二）既然給的圖形是特殊的正六邊形，且陰影也是正六邊形我們可以用下圖的割補(bǔ)思路，把正六邊形分割成個(gè)大小形狀相同的梯形，其中陰影有個(gè)梯形，所以陰影面積為（平方厘米） 【例 18】 已知四邊形，為正方形，，與是兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，求 【解析】 觀察圖形，感覺(jué)陰影部分像蝴蝶定理，但是細(xì)細(xì)分析發(fā)現(xiàn)用蝴蝶定理無(wú)法繼續(xù)往下走，注意到題目條件中給出了兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，有邊長(zhǎng)就可以利用比例，再發(fā)現(xiàn)在連接輔助線后可以利用燕尾，那么我們就用燕尾定理來(lái)求解 連接EO、AF， 根據(jù)燕尾定理：， 所以 ，作OM⊥AE、ON⊥EF， ∵AEEF ∴ ∴ ∴ 17