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第六章　 氣體動理論 #6－1　一容積為10L的真空系統(tǒng)已被抽成1.010-5 mmHg的真空，初態(tài)溫度為20℃。為了提高其真空度，將它放在300℃的烘箱內烘烤，使器壁釋放出所吸附的氣體，如果烘烤后壓強為1.010-2 mmHg，問器壁原來吸附了多少個氣體分子? 解：由式，有 因而器壁原來吸附的氣體分子數(shù)為 6－2　一容器內儲有氧氣，其壓強為1.01105 Pa，溫度為27℃，求：（l）氣體分子的數(shù)密度；（2）氧氣的密度；（3）分子的平均平動動能；（4）分子間的平均距離。（設分子間等距排列） 分析：在題中壓強和溫度的條件下，氧氣可視為理想氣體。因此，可由理想氣體的物態(tài)方程、密度的定義以及分子的平均平動動能與溫度的關系等求解。又因可將分子看成是均勻等距排列的，故每個分子占有的體積為，由數(shù)密度的含意可知即可求出。 解：（l）單位體積分子數(shù) （2）氧氣的密度 （3）氧氣分子的平均平動動能 （4）氧氣分子的平均距離 6－3　本題圖中I、II兩條曲線是兩種不同氣體（氫氣和氧氣）在同一溫度下的麥克斯韋分子速率分布曲線。試由圖中數(shù)據(jù)求：（1）氫氣分子和氧氣分子的最概然速率；（2）兩種氣體所處的溫度。 分析：由可知，在相同溫度下，由于不同氣體的摩爾質量不同，它們的最概然速率也就不同。因，故氫氣比氧氣的要大，由此可判定圖中曲線II所標應是對應于氫氣分子的最概然速率。從而可求出該曲線所對應的溫度。又因曲線I、II所處的溫度相同，故曲線I中氧氣的最概然速率也可按上式求得。 解：（1）由分析知氫氣分子的最概然速率為 習題6－3圖 利用可得氧氣分子最概然速率為 （2）由得氣體溫度 6－4　有N個質量均為m的同種氣體分子，它們的速率分布如本題圖所示。（1）說明曲線與橫坐標所包圍面積的含義；（2）由N和v0求a值；（3）求在速率v0/2到3v0/2間隔內的分子數(shù)；（4）求分子的平均平動動能. 習題6－4圖 分析：處理與氣體分子速率分布曲線有關的問題時，關鍵要理解分布函數(shù)的物理意義。題中縱坐標，即處于速率附近單位速率區(qū)間內的分子數(shù)。同時要掌握的歸一化條件，即。在此基礎上，根據(jù)分布函數(shù)并運用數(shù)學方法（如函數(shù)求平均值或極值等），即可求解本題。 解：（l）由于分子所允許的速率在0到2v0的范圍內，由歸一化條件可知圖中曲線下的面積 即曲線下面積表示系統(tǒng)分子總數(shù)N。 （2）從圖中可知，在0到v0區(qū)間內，；而在v0到2v0區(qū)間內，。則利用歸一化條件有 得 （3）速率在v0/2到3v0/2間隔內的分子數(shù)為 (4)分子速率平方的平均值按定義為 故分子的平均平動動能為 6－5　當氫氣的溫度為300℃時，求速率在區(qū)間3000m/s到3010m/s之間的分子數(shù)ΔN1與速率在區(qū)間vp到vp+10m/s之間的分子數(shù)ΔN2之比。 解：氫氣在溫度T=273+300=573開時的最可幾速率vp為 麥克斯韋速度分布公式可改寫為 則速度在3000米/秒~3010米/秒間的分子數(shù) 速度在vp ~ vp10米/秒間的分子數(shù) 故 6－6　有N個粒子，其速率分布函數(shù)為 (v0>v>0) (v>v0) (1) 作速率分布曲線；（2）求常數(shù)C；（3）求粒子的平均速率。 解： （2）由歸一化式 得 　　　　　　　　　　　 （3） 6－7 根據(jù)麥克斯韋速率分布律證明：處于平均速率附近一固定小速率區(qū)間內的分子數(shù)與成反比。 解：由 則速率分布函數(shù)可化為 速率在 區(qū)間內分子數(shù)DN為 可見：　　　　　　　　　 6－8　一密封房間的體積為533m3，室溫為20℃，室內空氣分子熱運動的平均平動動能的總和是多少？如果氣體溫度升高1.0K，而體積不變,則氣體的內能變化多少？氣體分子方均根速率增加多少？（已知空氣的密度r=1.29Kg/m3，摩爾質量M =2910-3Kg / mol，且空氣分子可認為是剛性雙原子分子。） 解：根據(jù) ∴ 6－9　在容積為2.010-3 m3的容器中，有內能為6.75102 J的剛性雙原子分子理想氣體。（1）求氣體的壓強；（2）設分子總數(shù)為5.41022個，求分子的平均平動動能及氣體的溫度。 解：（1）由和可得氣體壓強 （2）分子數(shù)密度n=N/V為，則該氣體的溫度 氣體分子的平均平動動能為 6－10　質點離開地球引力作用所需的逃逸速率為，其中R為地球半徑。（1）若使氫氣分子和氧氣分子的平均速率分別與逃逸速率相等，它們各自應有多高的溫度；（2）說明大氣層中為什么氫氣比氧氣要少。（取R= 6.40106 m） 分析：氣體分子熱運動的平均速率。對于摩爾質量M不同的氣體分子，為使等于逃逸速率v，所需的溫度是不同的；如果環(huán)境溫度相同，則摩爾質量M較小的就容易達到逃逸速率。 解：（1）由題意逃逸速率，而分子熱運動的平均速率。當時，有 由于氫氣的摩爾質量 ， 氧氣的摩爾質量 則它們達到逃逸速率時所需的溫度分別為 （2）根據(jù)上述分析，當溫度相同時，氫氣的平均速率比氧氣的要大（約為4倍），因此達到逃逸速率的氫氣分子比氧氣分子多。按大爆炸理論，宇宙在形成過程中經歷了一個極高溫過程。在地球形成的初期，雖然溫度已大大降低，但溫度值還是很高。因而，在氣體分子產生過程中就開始有分子逃逸地球，其中氫氣分子比氧氣分子更易逃逸。另外，雖然目前的大氣層溫度不可能達到上述計算結果中逃逸速率所需的溫度，但由麥克斯韋分子速率分布曲線可知，在任一溫度下，總有一些氣體分子的運動速率大于逃逸速率。從分布曲線也可知道在相同溫度下氫氣分子能達到逃逸速率的可能性大于氧氣分子。 6－11　討論氣體分子的平動動能的分布函數(shù)，歸一化條件，及求任意函數(shù)的平均值公式。并由麥克斯韋氣體分子速率分布函數(shù)導出動能分布函數(shù)，求出最可幾動能。 解：在動能空間中取一小區(qū)間，小區(qū)間內分子數(shù)dN占總分子數(shù)N之比為 其中為分子動能分布函數(shù)，它滿足歸一化條件： 任意函數(shù)的平均值公式： 令 可求出 令　　可得最可幾動能 6－12　已知在單位時間內撞擊在容器壁單位面積上的分子數(shù)為。假定一邊長為1米的立方箱子，在標準情況下盛有個氧分子，計算1秒鐘內氧分子與箱子碰撞的次數(shù)。 解：氧分子在標準狀態(tài)下算術平均速率 米/秒 每邊長為1米的立方箱的總面積 S=611=6米2 則 次/秒 6－13　在標準狀態(tài)下氦氣（He）的內摩擦系數(shù)h=1.8910-5帕秒，摩爾質量M為0.004千克，平均速率為1.20103米/秒。試求：（1）在標準狀態(tài)氦原子的平均自由程。（2）氦原子的半徑。 解：（1）由公式，則 因為氣體密度 千克/米3 米 （2） 由氦原子直徑 米 氦原子半徑為 米 6－14?。?）求氮氣在標準狀態(tài)下的平均碰撞次數(shù)。（2）若溫度不變，氣壓降到1.3310- 4帕，平均碰撞次數(shù)又為多少？（設分子有效直徑為10 - 10米） 解：（1）在標準狀態(tài)下，氮氣分子的算術平均速度 米/秒 由公式p =nRT得 由平均自由程得 平均碰撞次數(shù) （2）氣壓降低之后的平均碰撞次數(shù)為 6－15　若在標準壓強下，氫氣分子的平均自由程為610 - 8米，問在何種壓強下，其平均自由程為1厘米？（設兩種狀態(tài)的溫度一樣） 解：按p = nKT 和，有 ， 則 即 6－16　如果理想氣體的溫度保持不變，當壓強降為原值的一半時，分子的平均碰撞頻率和平均自由程如何變化？ 分析：　在溫度不變的條件下，分子的平均碰撞頻率，而分子的平均自由程，由此可得壓強變化時，平均碰撞頻率和平均自由程的變化。 解：由分析知，當壓強由p0降至p0/2時，平均碰撞頻率為 又因，故當壓強減半時，平均自由程為