《（河北專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 圖形的認(rèn)識(shí) 5.5 特殊的平行四邊形（試卷部分）課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（河北專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 圖形的認(rèn)識(shí) 5.5 特殊的平行四邊形（試卷部分）課件.ppt（144頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

5.5特殊的平行四邊形,中考數(shù)學(xué)(河北專用),A組2014-2018年河北中考題組,五年中考,答案B證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,又BO=DO,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.所以證明步驟正確的順序是③→④→①→②,故選B.,2.(2016河北,6,3分)關(guān)于?ABCD的敘述,正確的是()A.若AB⊥BC,則?ABCD是菱形B.若AC⊥BD,則?ABCD是正方形C.若AC=BD,則?ABCD是矩形D.若AB=AD,則?ABCD是正方形,答案C若AB⊥BC,則?ABCD是矩形,不是菱形,選項(xiàng)A不正確;若AC⊥BD,則?ABCD是菱形,不一定是正方形,選項(xiàng)B不正確;若AC=BD,則?ABCD是矩形,選項(xiàng)C正確;若AB=AD,則?ABCD是菱形,但不一定是正方形,選項(xiàng)D不正確.,思路分析由菱形、矩形、正方形的判定方法得出選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤,C正確.,解題關(guān)鍵本題考查特殊平行四邊形的判定方法,熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解題的關(guān)鍵.,3.(2015河北,16,2分)如圖是甲、乙兩張不同的矩形紙片,將它們分別沿著虛線剪開后,各自要拼一個(gè)與原來面積相等的正方形,則()A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以C.甲不可以,乙可以D.甲可以,乙不可以,答案A將甲紙片拼成如圖1所示的正方形,其面積與原來矩形的面積相等,將乙紙片拼成如圖2所示的正方形,其面積與原來矩形的面積相等,故選A.圖1圖2,思路分析根據(jù)圖形可得題圖甲中的圖形可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形,題圖乙中的圖形可以拼一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形.,解題關(guān)鍵本題考查了圖形的剪拼,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形.,4.(2014河北,8,3分)如圖,將長(zhǎng)為2、寬為1的矩形紙片分割成n個(gè)三角形后,拼成面積為2的正方形,則n≠()A.2B.3C.4D.5,答案A若n=2,則只能沿矩形的對(duì)角線剪開,這樣每個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1,2,,顯然不能拼成面積為2的正方形,故選A.,5.(2014河北,23,11分)如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40,將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)100得到△ADE,連接BD,CE交于點(diǎn)F.(1)求證:△ABD≌△ACE;(2)求∠ACE的度數(shù);(3)求證:四邊形ABFE是菱形.,解析(1)證明:如圖,由旋轉(zhuǎn)可知AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=100.∵AB=AC,∴AD=AE.∴△ABD≌△ACE.(4分)(2)∵AC=AE,∠CAE=100,∴∠2=∠3=40,即∠ACE=40.(7分)(3)證明:∵∠1=∠2=40,∴AB∥CE.同樣有∠4=∠5,則AE∥BD.∴四邊形ABFE為平行四邊形.(9分)∵AB=AD,AD=AE,∴AB=AE.(10分)∴四邊形ABFE為菱形.(11分),思路分析(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,由AB=AC得AD=AE,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等.(2)根據(jù)AC=AE,∠CAE=100,得∠ACE=∠AEC=40.(3)根據(jù)定義,可證得四邊形ABFE是平行四邊形,然后依據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形,即可得證.,評(píng)析此題考查全等三角形的判定,等腰三角形的性質(zhì)以及菱形的判定.,B組2014—2018年全國中考題組,考點(diǎn)一菱形的性質(zhì)與判定,1.(2018陜西,8,3分)如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA的中點(diǎn),連接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,則下列結(jié)論正確的是()A.AB=EFB.AB=EFC.AB=2EFD.AB=EF,答案D如圖,連接AC、BD交于O,∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∵點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA的中點(diǎn),∴EF=AC,EH=BD,∵EH=2EF,∴BD=2AC,∴OB=2OA,∴AB==OA,易知OA=EF,∴AB=EF,故選D.,思路分析首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,然后根據(jù)三角形中位線定理得出EF=AC,EH=BD,進(jìn)而得到OB=2OA,最后根據(jù)勾股定理求得AB=OA,即得AB=EF.,2.(2017湖南長(zhǎng)沙,10,3分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)分別為6cm、8cm,則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)為()A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm,答案D根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分,可知OA=3cm,OB=4cm,且OA⊥OB,在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理可得AB=5cm,所以菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5cm,所以菱形ABCD的周長(zhǎng)為45=20cm.,方法總結(jié)已知菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)求菱形的周長(zhǎng)時(shí),利用菱形的對(duì)角線互相垂直平分,并結(jié)合勾股定理即可求解.,3.(2017河南,7,3分)如圖,在?ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,添加下列條件判定?ABCD是菱形的只有()A.AC⊥BDB.AB=BCC.AC=BDD.∠1=∠2,答案C根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得選項(xiàng)A正確;根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得選項(xiàng)B正確;對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;因?yàn)镃D∥AB,所以∠2=∠DCA,再由∠1=∠2,可得∠1=∠DCA,所以AD=CD,由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,得?ABCD是菱形,D正確.故選C.,4.(2015甘肅蘭州,10,4分)如圖,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分別為E,F,連接EF,則△AEF的面積是()A.4B.3C.2D.,答案B連接AC,在菱形ABCD中,AB=BC,∵∠B=60,∴△ABC是等邊三角形,∵AE⊥BC,∴AE=2,∠EAC=30,同理可得AF=2,∠CAF=30,則△EAF為等邊三角形,∴S△AEF=(2)2=3.故選B.,5.(2016江蘇南京,16,2分)如圖,菱形ABCD的面積為120cm2,正方形AECF的面積為50cm2,則菱形的邊長(zhǎng)為cm.,答案13,解析連接BE,EF,FD,AC,∵菱形、正方形為軸對(duì)稱圖形,對(duì)角線所在直線是其對(duì)稱軸,∴B,E,F,D在同一條直線上,∵S正方形AECF=ACEF=AC2=50cm2,∴AC=10cm,∵S菱形ABCD=ACBD=120cm2,∴BD=24cm.設(shè)AC,BD的交點(diǎn)為O,由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD,AO=5cm,OB=12cm,∴AB===13cm.,評(píng)析本題考查了四邊形的綜合問題,熟悉正方形和菱形的性質(zhì),會(huì)用勾股定理求線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵,屬中檔題.,6.(2016浙江杭州,14,4分)在菱形ABCD中,∠A=30,在同一平面內(nèi),以對(duì)角線BD為底邊作頂角為120的等腰三角形BDE,則∠EBC的度數(shù)為.,答案45或105,解析根據(jù)題意,知點(diǎn)E所在位置有兩種可能,在DB的左邊或右邊,如圖.∵在菱形ABCD中,∠A=30,∴∠ADC=∠ABC=150,BD平分∠ADC,∠ABC,∴∠ADB=∠ABD=∠CDB=∠CBD=75,又∵以DB為底邊的等腰三角形DBE的頂角∠DEB=120,∴∠EDB=∠EBD=30,∴∠EBC=75-30=45或∠EBC=30+75=105.,評(píng)析本題考查菱形的有關(guān)性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì),以及分類討論思想.,7.(2014江西,13,3分)如圖,是將菱形ABCD以點(diǎn)O為中心按順時(shí)針方向分別旋轉(zhuǎn)90,180,270后形成的圖形.若∠BAD=60,AB=2,則圖中陰影部分的面積為.,答案12-4,8.(2018北京,21,5分)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC平分∠BAD,過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接OE.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若AB=,BD=2,求OE的長(zhǎng).,解析(1)證明:∵AB∥CD,∴∠OAB=∠DCA.∵AC平分∠BAD,∴∠OAB=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD.又∵AB=AD,∴AB=CD,∴四邊形ABCD為平行四邊形.又∵CD=AD=AB,∴四邊形ABCD為菱形.(2)∵四邊形ABCD為菱形,∴OA=OC,BD⊥AC.∵CE⊥AE,∴OE=AO=OC.∵BD=2,∴OB=BD=1.在Rt△AOB中,AB=,OB=1,∴OA==2,∴OE=2.,9.(2017北京,22,5分)如圖,在四邊形ABCD中,BD為一條對(duì)角線,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90,E為AD的中點(diǎn),連接BE.(1)求證:四邊形BCDE為菱形;(2)連接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的長(zhǎng).,解析(1)證明:∵E為AD的中點(diǎn),∴AD=2ED.∵AD=2BC,∴ED=BC.∵AD∥BC,∴四邊形BCDE為平行四邊形.又∵在△ABD中,E為AD的中點(diǎn),∠ABD=90,∴BE=ED,∴?BCDE為菱形.(2)設(shè)AC與BE交于點(diǎn)H,如圖.,10.(2015江西南昌,20,8分)(1)如圖1,紙片?ABCD中,AD=5,S?ABCD=15.過點(diǎn)A作AE⊥BC,垂足為E,沿AE剪下△ABE,將它平移至△DCE的位置,拼成四邊形AEED,則四邊形AEED的形狀為()A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如圖2,在(1)中的四邊形紙片AEED中,在EE上取一點(diǎn)F,使EF=4,剪下△AEF,將它平移至△DEF的位置,拼成四邊形AFFD.①求證:四邊形AFFD是菱形;②求四邊形AFFD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng).,考點(diǎn)二矩形的性質(zhì)與判定,1.(2017甘肅蘭州,8,4分)如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,∠ADB=30,AB=4,則OC=()A.5B.4C.3.5D.3,答案B因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以AC=BD,OC=AC.已知∠ADB=30,故在直角三角形ABD中,BD=2AB=8,所以AC=8,所以O(shè)C=AC=4,故選B.,2.(2016四川南充,8,3分)如圖,對(duì)折矩形紙片ABCD,使AB與DC重合得到折痕EF,將紙片展平;再一次折疊,使點(diǎn)D落到EF上點(diǎn)G處,并使折痕經(jīng)過點(diǎn)A,展平紙片后∠DAG的大小為()A.30B.45C.60D.75,答案C如圖,根據(jù)第二次折疊可知,∠1=∠2,∠MGA=90,由第一次折疊可知,MN=AN,即NG是Rt△AMG的中線,故AN=GN,所以∠2=∠3.又EF∥AB,所以∠3=∠4,故∠1=∠2=∠4,又因?yàn)椤?+∠2+∠4=90,所以∠1=∠2=∠4=30,所以∠1+∠2=∠DAG=60,故選C.,3.(2017黑龍江哈爾濱,20,3分)如圖,在矩形ABCD中,M為BC邊上一點(diǎn),連接AM,過點(diǎn)D作DE⊥AM,垂足為E,若DE=DC=1,AE=2EM,則BM的長(zhǎng)為.,答案,解析∵∠BAM+∠EAD=90,∠EAD+∠EDA=90,∴∠BAM=∠EDA.又∵∠B=∠AED=90,∴△ADE∽△MAB.∴=,即=.∴AE=BM.由AE=2EM可設(shè)AE=2x,EM=x(x>0),則BM=2x,在Rt△ABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2,解得x=(舍負(fù)),∴BM=2x=.,4.(2018北京,13,2分)如圖,在矩形ABCD中,E是邊AB的中點(diǎn),連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F,若AB=4,AD=3,則CF的長(zhǎng)為.,答案,解析∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥CD,CD=AB=4,BC=AD=3,∴∠DCA=∠CAB,又∠DFC=∠AFE,∴△CDF∽△AEF,∴=.∵E是邊AB的中點(diǎn),AB=4,∴AE=2.∵BC=3,AB=4,∠ABC=90,∴AC=5.∴=,∴CF=.,5.(2018吉林,24,8分)如圖①,在△ABC中,AB=AC,過AB上一點(diǎn)D作DE∥AC交BC于點(diǎn)E,以E為頂點(diǎn),ED為一邊,作∠DEF=∠A,另一邊EF交AC于點(diǎn)F.(1)求證:四邊形ADEF為平行四邊形;(2)當(dāng)點(diǎn)D為AB中點(diǎn)時(shí),?ADEF的形狀為;(3)延長(zhǎng)圖①中的DE到點(diǎn)G,使EG=DE,連接AE,AG,FG,得到圖②.若AD=AG,判斷四邊形AEGF的形狀,并說明理由.,解析(1)證明:∵DE∥AC,∴∠DEF=∠EFC.∵∠DEF=∠A,∴∠A=∠EFC.∴EF∥AB.∴四邊形ADEF為平行四邊形.(2分)(2)菱形.(4分)(3)結(jié)論:四邊形AEGF為矩形.(5分)理由:由(1)知,四邊形ADEF為平行四邊形.∴AF??DE,AD=EF,∵EG=ED,∴AF??EG.∴四邊形AEGF是平行四邊形.(6分)∵AD=AG,∴AG=EF.(7分)∴四邊形AEGF為矩形.(8分)評(píng)分說明:第(3)題,證明過程正確,但前面不先寫出結(jié)論的不扣分.,思路分析(1)根據(jù)平行四邊形的定義進(jìn)行判定;(2)由D為AB的中點(diǎn),結(jié)合(1)知DE=AC,又AD=AB,∴DE=AD,∴?ADEF為菱形;(3)利用(1)的結(jié)論先證明四邊形AEGF為平行四邊形,再證AG=EF即可.,6.(2017廣西南寧,22,8分)如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F在BD上,BE=DF.(1)求證:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60,求矩形ABCD的面積.,解析(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(SAS),(3分)∴AE=CF.(4分)(2)∵四邊形ABCD為矩形,∴∠BCD=90,AB=CD=6,OD=OC.(5分)∵∠COD=60,∴△OCD為等邊三角形,∴OD=OC=CD=6,∴BD=2OD=12.(6分)在Rt△BCD中,BC2+DC2=BD2,∴BC==6.(7分)∴S矩形ABCD=BCCD=66=36.(8分),思路分析(1)證△AOE≌△COF,可得AE=CF;(2)要求矩形ABCD的面積,只要求BC即可,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,∠COD=60,所以△OCD是等邊三角形,從而得出OD=6,故BD=12,再利用勾股定理即可求出BC.,7.(2015北京,22,5分)在?ABCD中,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD上,DF=BE,連接AF,BF.(1)求證:四邊形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求證:AF平分∠DAB.,證明(1)在?ABCD中,AB∥CD,∵DF=BE,∴四邊形BFDE為平行四邊形.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90.∴四邊形BFDE是矩形.(2)由(1)可得,∠BFC=90.在Rt△BFC中,由勾股定理可得BC=5.∴AD=BC=5.∴AD=DF.∴∠DAF=∠DFA.∵AB∥CD,∴∠DFA=∠FAB.∴∠DAF=∠FAB.∴AF平分∠DAB.,考點(diǎn)三正方形的性質(zhì)與判定,1.(2017廣東,10,3分)如圖,已知正方形ABCD,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),DE與AC相交于點(diǎn)F,連接BF.下列結(jié)論:①S△ABF=S△ADF;②S△CDF=4S△CEF;③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF,其中正確的是()A.①③B.②③C.①④D.②④,答案C∵AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,∴△ABF≌△ADF,∴S△ABF=S△ADF,①正確;同理,S△CDF=S△CBF,∵點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn),∴S△CBF=2S△CEF,即S△CDF=2S△CEF,②不正確;∵AD∥EC,∴∠FAD=∠FCE,∠FDA=∠FEC,又∠AFD=∠CFE,∴△AFD∽△CFE,∴===2,∴==22=4,∴S△AFD=4S△CFE,③不正確;∵=2,∴=2,∴S△ADF=2S△CDF,④正確.故選C.,方法規(guī)律探索兩個(gè)三角形面積的數(shù)量關(guān)系,主要的方法是從三角形全等、三角形相似等入手.,2.(2016陜西,8,3分)如圖,在正方形ABCD中,連接BD,點(diǎn)O是BD的中點(diǎn).若M、N是邊AD上的兩點(diǎn),連接MO、NO,并分別延長(zhǎng)交邊BC于兩點(diǎn)M、N,則的全等三角形共有()A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.5對(duì),答案C易知△ABD≌△CBD,△MON≌△MON,△DON≌△BON,△DOM≌△BOM,故選C.,3.(2016廣東,5,3分)如圖,正方形ABCD的面積為1,則以相鄰兩邊中點(diǎn)連接EF為邊的正方形E-FGH的周長(zhǎng)為()A.B.2C.+1D.2+1,答案B易知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,連接BD,由勾股定理,得BD=,因?yàn)镋、F分別為BC、DC的中點(diǎn),所以EF=,所以正方形EFGH的周長(zhǎng)為2.故選B.,4.(2018湖北武漢,14,3分)以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE,則∠BEC的度數(shù)是.,答案30或150,解題關(guān)鍵熟記正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)并準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵.,易錯(cuò)警示此題沒有給出圖形,需按點(diǎn)E的位置分類討論,學(xué)生往往只畫出點(diǎn)E在正方形外而導(dǎo)致漏解.,5.(2016天津,17,3分)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,N,P,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,點(diǎn)M,F,Q都在對(duì)角線BD上,且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形,則的值等于.,答案,解析由題意易得DQ=PQ=QM=MN=MB=AB,DG=GF=GA=AE=BE=AB.∵S正方形MNPQ=MN2=AB2,S正方形AEFG=AE2=AB2,∴==.,6.(2015吉林長(zhǎng)春,13,3分)如圖,點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上.若△ABE的面積為8,CE=3,則線段BE的長(zhǎng)為.,答案5,解析∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠C=90.∵△ABE的面積為8,∴ABBC=8,∴AB2=8,∴AB=4,∴BC=AB=4.∵CE=3,∴BE==5.,7.(2014黑龍江哈爾濱,19,3分)如圖,在正方形ABCD中,AC為對(duì)角線,點(diǎn)E在AB邊上,EF⊥AC于點(diǎn)F,連接EC,AF=3,△EFC的周長(zhǎng)為12,則EC的長(zhǎng)為.,答案5,解析設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x,∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線,∴∠BAC=45.∵EF⊥AC,∴EF=AF=3,∴AE=3.∵△EFC的周長(zhǎng)為12,∴EC=12-x.∵BE=AB-AE=x-3,∴EC=,∴=12-x,解得x=.∴EC=12-=5.,8.(2017陜西,19,7分)如圖,在正方形ABCD中,E、F分別為邊AD和CD上的點(diǎn),且AE=CF,連接AF、CE交于點(diǎn)G.求證:AG=CG.,證明∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ADF=∠CDE=90,AD=CD.∵AE=CF,∴DE=DF.(2分)∴△ADF≌△CDE.∴∠DAF=∠DCE.(4分)又∵∠AGE=∠CGF,AE=CF,∴△AGE≌△CGF,∴AG=CG.(7分),9.(2017上海,23,12分)已知:如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是對(duì)角線BD上一點(diǎn),且EA=EC.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)如果BE=BC,且∠CBE∶∠BCE=2∶3,求證:四邊形ABCD是正方形.,證明(1)在△ADE和△CDE中,∴△ADE≌△CDE(SSS).∴∠ADE=∠CDE.∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBD,∴∠CBD=∠CDE,∴BC=CD,∴AD=BC,∴四邊形ABCD為平行四邊形.又AD=CD,∴四邊形ABCD為菱形.(2)∵∠CBE∶∠BCE=2∶3,∴設(shè)∠CBE=2x,∠BCE=3x,∵BE=BC,∴∠BEC=∠BCE=3x,∵2x+3x+3x=180,∴x=22.5,∴∠CBE=45.,∵∠ADB=∠CDB=∠CBE,∴∠ADC=90.∵四邊形ABCD為菱形,∴四邊形ABCD為正方形.,思路分析(1)先證四邊形ABCD為平行四邊形,再由一組鄰邊相等,便可證得四邊形ABCD為菱形.(2)證菱形ABCD的一角為直角,便可證得菱形ABCD為正方形.,10.(2016浙江杭州,21,10分)如圖,已知四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形,點(diǎn)E在線段DC上,點(diǎn)A,D,G在同一條直線上,且AD=3,DE=1.連接AC,CG,AE,并延長(zhǎng)AE交CG于點(diǎn)H.(1)求sin∠EAC的值;(2)求線段AH的長(zhǎng).,解析(1)由題意知EC=2,AE=.過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M,所以∠EMC=90,易知∠ACD=45,所以△EMC是等腰直角三角形,所以EM=,所以sin∠EAC==.(2)在△GDC與△EDA中,所以△GDC≌△EDA,所以∠GCD=∠EAD,又因?yàn)椤螲EC=∠DEA,所以∠EHC=∠EDA=90,所以AH⊥GC.因?yàn)镾△AGC=AGDC=GCAH,所以43=AH,所以AH=.,評(píng)析本題是正方形與三角形的綜合題.涉及等腰直角三角形和三角函數(shù),全等三角形的判定與性質(zhì),以及利用等積法求線段的長(zhǎng)度.,C組教師專用題組,考點(diǎn)一菱形的性質(zhì)與判定,1.(2018貴州貴陽,5,3分)如圖,在菱形ABCD中,E是AC的中點(diǎn),EF∥CB,交AB于點(diǎn)F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周長(zhǎng)為()A.24B.18C.12D.9,答案A∵E是AC的中點(diǎn),∴AC=2AE.∵EF∥CB,∴==2,∴BC=2EF=6,∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為64=24.故選A.,2.(2017江蘇蘇州,10,3分)如圖,在菱形ABCD中,∠A=60,AD=8,F是AB的中點(diǎn).過點(diǎn)F作FE⊥AD,垂足為E.將△AEF沿點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向平移,得到△A‘E’F‘.設(shè)P、P’分別是EF、E‘F’的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)A‘與點(diǎn)B重合時(shí),四邊形PP’CD的面積為()A.28B.24C.32D.32-8,答案A如圖,分別過E、P、D點(diǎn)作EN⊥AB,PG⊥AB,DH⊥AB,垂足分別為N,G,H,DH交PP于點(diǎn)M.在菱形ABCD中,AD=8,∠A=60,F是AB的中點(diǎn),∴AF=4=AH,DH=4,∵FE⊥AD,∴∠AEF=90.∴AE=2,EN=,∵PG⊥AB,EN⊥AB,∴PG∥EN,,又P是EF的中點(diǎn),∴PG=EN=.∵將△AEF平移得到△AEF,∴PP??AB,∴PP??DC,∴四邊形PPCD是平行四邊形,∴DM=DH-PG=.∴S四邊形PP‘CD=8=28.故選A.,解題關(guān)鍵本題有一定的難度,考查了平移、菱形的性質(zhì),以及三角形中位線的運(yùn)用,在解題的過程中應(yīng)用特殊角的三角函數(shù)值求線段的長(zhǎng)度是解決本題的關(guān)鍵.,3.(2017江西,6,3分)如圖,任意四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點(diǎn),對(duì)于四邊形EFGH的形狀,某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中,通過動(dòng)手實(shí)踐,探索出如下結(jié)論,其中的是()A.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點(diǎn),且AC=BD時(shí),四邊形EFGH為菱形B.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點(diǎn),且AC⊥BD時(shí),四邊形EFGH為矩形C.當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點(diǎn)時(shí),四邊形EFGH可以為平行四邊形D.當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點(diǎn)時(shí),四邊形EFGH不可能為菱形,答案D連接AC,BD.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點(diǎn)時(shí),由三角形中位線定理可得EF∥AC且EF=AC,GH∥AC且GH=AC,所以EF∥GH且EF=GH,所以四邊形EFGH為平行四邊形.當(dāng)AC=BD時(shí),因?yàn)镋F=AC,EH=BD,所以EF=EH,所以四邊形EFGH為菱形,選項(xiàng)A正確;當(dāng)AC⊥BD時(shí),因?yàn)镋F∥AC,EH∥BD,所以EF⊥EH,所以四邊形EFGH為矩形,選項(xiàng)B正確;當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點(diǎn)時(shí),若=,=,則GH∥AC,EF∥AC,所以GH∥EF.因?yàn)?==,所以EF=GH,所以四邊形EFGH為平行四邊形,選項(xiàng)C正確;例如,當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點(diǎn),且====,BD=2AC時(shí),由上述可知四邊形EFGH為平行四邊形,所以==,==,即=,所以=,即EF=EH,所以四邊形EFGH為菱形,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.綜上,選D.,4.(2015福建龍巖,10,4分)如圖,菱形ABCD的周長(zhǎng)為16,∠ABC=120,則AC的長(zhǎng)為()A.4B.4C.2D.2,答案A設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,∵四邊形ABCD是菱形,且其周長(zhǎng)為16,∠ABC=120,∴AB=4,AC⊥BD,AC=2AO,∠ABO=60,則在Rt△ABO中,AO=ABsin60=2,∴AC=4,故選A.,5.(2014山東煙臺(tái),6,3分)如圖,在菱形ABCD中,M,N分別在AB,CD上,且AM=CN,MN與AC交于點(diǎn)O,連接BO.若∠DAC=28,則∠OBC的度數(shù)為()A.28B.52C.62D.72,答案C∵∠AOM=∠CON,∠MAO=∠NCO,AM=CN,∴△AOM≌△CON,∴AO=CO,∴點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),∴BO⊥AC,∴∠OBC=90-∠BCO=90-∠DAC=90-28=62.,6.(2016陜西,14,3分)如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60,AB=2,點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn).若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,則P、D(P、D兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為.,答案2-2,解析當(dāng)?shù)妊鱌BC以∠PBC為頂角時(shí),點(diǎn)P在以B為圓心,BC為半徑的圓弧上.連接AC、BD相交于點(diǎn)O.若使PD最短,則點(diǎn)P在如圖所示的位置處.∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=30,∴BO=ABcos30=,∴BD=2BO=2,∵PB=BC=2,∴PD=BD-PB=2-2.當(dāng)?shù)妊切蜳BC以∠PCB為頂角時(shí),易知點(diǎn)P與點(diǎn)D重合(不合題意,舍去)或點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,則PD=2.,當(dāng)?shù)妊切蜳BC以BC為底邊時(shí),如圖,作BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,易知該直線過點(diǎn)A,則點(diǎn)P在線段AE上(不含點(diǎn)E).當(dāng)P與A重合時(shí),PD最短,此時(shí)PD=2.∵2-2AB.在邊AD上取點(diǎn)E,使AE=AB,連接CE.過點(diǎn)E作EF⊥CE,與邊AB或其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.猜想:如圖①,當(dāng)點(diǎn)F在邊AB上時(shí),線段AF與DE的大小關(guān)系為.探究:如圖②,當(dāng)點(diǎn)F在邊AB的延長(zhǎng)線上時(shí),EF與邊BC交于點(diǎn)G.判斷線段AF與DE的大小關(guān)系,并加以證明.應(yīng)用:如圖②,若AB=2,AD=5,利用探究得到的結(jié)論,求線段BG的長(zhǎng).,解析猜想:AF=DE.(2分)探究:AF=DE.證明:∵EF⊥CE,∴∠CEF=90.∴∠1+∠2=90.∵四邊形ABCD為矩形,∴∠A=∠D=90,AB=CD.∴∠2+∠3=90.∴∠1=∠3.∵AE=AB,∴AE=DC.∴△AEF≌△DCE.∴AF=DE.(6分)應(yīng)用:∵AF=DE=AD-AE=5-2=3,∴BF=AF-AB=3-2=1.,在矩形ABCD中,AD∥BC,∴△FBG∽△FAE.∴=,即=.∴BG=.(9分),12.(2015福建龍巖,20,10分)如圖,E,F分別是矩形ABCD的邊AD,AB上的點(diǎn),若EF=EC,且EF⊥EC.(1)求證:AE=DC;(2)已知DC=,求BE的長(zhǎng).,解析(1)證明:在矩形ABCD中,∠A=∠D=90,∴∠1+∠2=90.∵EF⊥EC,∴∠FEC=90,∴∠2+∠3=90,∴∠1=∠3.(2分)在△AEF和△DCE中,∴△AEF≌△DCE,(4分)∴AE=DC.(6分)(2)由(1)得AE=DC,∴AE=DC=.在矩形ABCD中,AB=DC=,(8分)在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,即()2+()2=BE2,∴BE=2.(10分),考點(diǎn)三正方形的性質(zhì)與判定,1.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特,9,3分)如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,E,F為BD所在直線上的兩點(diǎn).若AE=,∠EAF=135,則以下結(jié)論正確的是()A.DE=1B.tan∠AFO=C.AF=D.四邊形AFCE的面積為,答案C∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,∴對(duì)角線AC、BD互相垂直平分且相等,∴AO=OD=,在Rt△AOE中,OE==,∴DE=OE-OD=,∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤;易知∠ADO=45,∴∠ADE=135,∴∠ADE=∠EAF,又∠AED=∠FEA,∴△DAE∽△AFE,∴===,∴AF=,∴C選項(xiàng)正確;在Rt△AOF中,OF==,∴tan∠AFO==,∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤;∵EF=OF+OE=,∴四邊形AFCE的面積=EFAC==,∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.,2.(2017甘肅蘭州,14,4分)如圖,在正方形ABCD和正方形DEFG中,點(diǎn)G在CD上,DE=2,將正方形DEFG繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得到正方形DEFG,此時(shí)點(diǎn)G在AC上,連接CE,則CE+CG=()A.+B.+1C.+D.+,答案A過點(diǎn)G作GM⊥DC于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作EP⊥DC于點(diǎn)P.由旋轉(zhuǎn)的知識(shí)可得∠EDE=60,DE=DE=2.∵四邊形DEFG、DEFG是正方形,∴∠GDE=∠EDG=90,DG=DE=2.∴∠EDG=30,∠MDG=60.在Rt△DGM中,由DG=2,∠MDG=60,可得GM=,DM=1.∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線,∴∠DCG=45.又∵GM⊥DC,,∴△CMG是等腰直角三角形,∴MG=MC=.∴CG=,CD=DM+CM=1+.在Rt△DEP中,由DE=2,∠EDG=30,可得EP=1,DP=.∴CP=CD-DP=1.在Rt△CEP中,EP=PC=1,由勾股定理可得CE=.∴CE+CG=+,故選A.,3.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,9,3分)如圖,面積為24的正方形ABCD中,有一個(gè)小正方形EFGH,其中E、F、G分別在AB、BC、FD上.若BF=,則小正方形的周長(zhǎng)為()A.B.C.D.,答案C∵正方形ABCD的面積為24,∴邊長(zhǎng)為=2,又∵BF=,∴CF=,∵四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形,∴∠B=∠C=90,∠EFG=90,∴∠DFC+∠CDF=90,∠BFE+∠DFC=90,∴∠BFE=∠CDF,∴△EFB∽△FDC,∴=,∴EB=.在Rt△EBF中,EF==,∴小正方形EFGH的周長(zhǎng)為4EF=,故選C.,評(píng)析本題考查正方形的性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)及勾股定理.屬中檔題.,4.(2014山西,10,3分)如圖,點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的兩直角邊EF,EG分別交BC,DC于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,則重疊部分四邊形EMCN的面積為()A.a2B.a2C.a2D.a2,5.(2018江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB=6,連接AC,BD,P是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn),若PD=2AP,則AP的長(zhǎng)為.,答案2,-或2,解析∵四邊形ABCD是正方形,AB=6,∴AC⊥BD,AC=BD=6,OA=OD=3.有三種情況:①點(diǎn)P在AD上時(shí),∵AD=6,PD=2AP,∴AP=AD=2;②點(diǎn)P在AC上時(shí),不妨設(shè)AP=x(x>0),則DP=2x,在Rt△DPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2,即(2x)2=(3)2+(3-x)2,,解得x=-(負(fù)值舍去),即AP=-;③點(diǎn)P在AB上時(shí),∵∠PAD=90,PD=2AP,∴∠ADP=30,∴AP=ADtan30=6=2.綜上所述,AP的長(zhǎng)為2,-或2.,思路分析根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,畫出符合題意的三種情況,根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理及銳角三角函數(shù)求解即可.,解題關(guān)鍵熟記正方形的性質(zhì),分析符合題意的情況,并準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.,易錯(cuò)警示此題沒有給出圖形,需將點(diǎn)P的位置分類討論,做題時(shí),往往會(huì)因只畫出點(diǎn)P在正方形邊上而致錯(cuò).,6.(2015廣西南寧,16,3分)如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊△ADE,則∠BED的度數(shù)為.,答案45,解析由題意可知,∠BAE=150,BA=AE,∴∠AEB=15.∴∠BED=45.,7.(2015河南,15,3分)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)是16,點(diǎn)E在邊AB上,AE=3,點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B,C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把△EBF沿EF折疊,點(diǎn)B落在B‘處.若△CDB’恰為等腰三角形,則DB‘的長(zhǎng)為.,答案16或4,解析分三種情況討論:(1)若DB=DC,則DB=16(易知此時(shí)點(diǎn)F在BC上且不與點(diǎn)C、B重合).(2)當(dāng)CB=CD時(shí),連接BB,∵EB=EB,CB=CB,∴點(diǎn)E、C在BB的垂直平分線上,∴EC垂直平分BB,由折疊可知點(diǎn)F與點(diǎn)C重合,不符合題意,舍去.(3)如圖,當(dāng)CB=DB時(shí),作BG⊥AB于點(diǎn)G,延長(zhǎng)GB交CD于點(diǎn)H.∵AB∥CD,∴BH⊥CD.則四邊形AGHD為矩形,∴AG=DH.∵CB=DB,∴DH=CD=8,∴AG=DH=8,∴GE=AG-AE=5.又易知EB=13,∴在Rt△BEG中,由勾股定理得BG=12,∴BH=GH-BG=4.在Rt△BDH中,由勾股定理得DB=4(易知此時(shí)點(diǎn)F在BC上且不與點(diǎn)C、B重合).綜上所述,DB=16或4.,8.(2014重慶,18,4分)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),點(diǎn)E在CD上,且DE=2CE,連接BE.過點(diǎn)C作CF⊥BE,垂足是F,連接OF,則OF的長(zhǎng)為.,答案,解析如圖,在BE上截取BG=CF,連接OG,∵CF⊥BE,∴∠EBC+∠BCF=90.又∵∠ECF+∠BCF=90,∴∠EBC=∠ECF,∵∠OBC=∠OCD=45,∴∠OBG=∠OCF.在△OBG與△OCF中,∴△OBG≌△OCF(SAS),∴OG=OF,∠BOG=∠COF,∴OG⊥OF.∵BC=DC=6,DE=2EC,∴EC=2,∴BE===2,,∵BC2=BFBE,∴62=BF2,解得BF=,∴EF=BE-BF=,∵CF2=BFEF,∴CF=,∴GF=BF-BG=BF-CF=.在等腰直角△OGF中,OF2=GF2,∴OF=.,9.(2018北京,27,7分)如圖,在正方形ABCD中,E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),連接DE,點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F,連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G,連接DG,過點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接BH.(1)求證:GF=GC;(2)用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系,并證明.,解析(1)證明:如圖,連接DF.∵四邊形ABCD為正方形,∴DA=DC=AB,∠A=∠C=∠ADC=90.又∵點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F,∴△ADE≌△FDE,∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90,∴∠DFG=90.在Rt△DFG和Rt△DCG中,,∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL),∴GF=GC.(2)線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系:BH=AE.證明:在線段AD上截取AM,使AM=AE,連接ME.,∵AD=AB,∴DM=BE.由(1)得∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠ADC=90,∴∠1+∠2+∠3+∠4=90,∴2∠2+2∠3=90,∴∠2+∠3=45,∴∠EDH=45.∵EH⊥DE,∴DE=EH,∵∠DEH=90,∠A=90,∴∠1+∠AED=90,∠5+∠AED=90,∴∠1=∠5.,在△DME和△EBH中,∴△DME≌△EBH(SAS),∴ME=BH.∵∠A=90,AM=AE,∴ME=AE,∴BH=AE.,思路分析本題第(1)問需要通過正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)解決;本題第(2)問需要通過構(gòu)造全等三角形,利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決.,解題關(guān)鍵解決本題第(2)問的關(guān)鍵是要通過截取得到等腰直角三角形,并借助SAS證明三角形全等,從而將BH和AE轉(zhuǎn)化到△AME中證明數(shù)量關(guān)系.,10.(2017山東青島,21,8分)已知:如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E,O,F分別為AB,AC,AD的中點(diǎn),連接CE,CF,OE,OF.(1)求證:△BCE≌△DCF;(2)當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí),四邊形AEOF是正方形?請(qǐng)說明理由.,解析(1)在菱形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠B=∠D,∵點(diǎn)E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),∴BE=AB,DF=AD,在△BCE和△DCF中,∵BC=DC,∠B=∠D,BE=DF,∴△BCE≌△DCF(SAS).(2)AB⊥BC,理由如下:∵點(diǎn)E,O,F分別為AB,AC,AD的中點(diǎn),∴OE=BC=AD=AF,同理可證,OF=AE=AB,∴OE=OF=AF=AE,∴四邊形AEOF是菱形,∵AB⊥BC,OE∥BC,∴AE⊥EO,∴四邊形AEOF是正方形.,11.(2017遼寧沈陽,24,12分)四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,點(diǎn)E在邊AD所在直線上,連接CE,以CE為邊,作正方形CEFG(點(diǎn)D,點(diǎn)F在直線CE的同側(cè)),連接BF.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí),請(qǐng)直接寫出BF的長(zhǎng);(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí),AE=1,①求點(diǎn)F到直線AD的距離;②求BF的長(zhǎng);(3)若BF=3,請(qǐng)直接寫出此時(shí)AE的長(zhǎng).圖1圖2備用圖,解析(1)BF=4.提示:連接FC.∵四邊形ABCD、ECGF都是正方形,∴∠ACD=∠ACF=45.∴C、D、F三點(diǎn)共線.∵AF=AC==4,∴CF==8.∴在Rt△BCF中,BF==4.(2)如圖.,①過點(diǎn)F作FH⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,∵四邊形CEFG是正方形,∴EC=EF,∠FEC=90.∴∠DEC+∠FEH=90.又∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ADC=90,∴∠DEC+∠ECD=90.∴∠ECD=∠FEH.又∵∠EDC=∠FHE=90,∴△ECD≌△FEH.∴FH=ED,∵AD=4,AE=1,∴ED=AD-AE=4-1=3.∴FH=3.即點(diǎn)F到直線AD的距離為3.②延長(zhǎng)FH交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K.,∵∠DHK=∠HDC=∠DCK=90,∴四邊形CDHK為矩形.∴HK=CD=4,∴FK=FH+HK=3+4=7.∵△ECD≌△FEH,∴EH=CD=AD=4,∴AE=DH=CK=1,∴BK=BC+CK=4+1=5.∴在Rt△BFK中,BF===.(3)AE=2+或AE=1.提示:①當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí),如(2)中圖,設(shè)AE=x,則ED=FH=4-x,EH=CD=4,∴FK=8-x,BK=AH=x+4,∵BF2=FK2+BK2,∴90=(8-x)2+(x+4)2,解得x1=5,x2=-1,∵x1=5,x2=-1均不符合題意,∴舍去.②當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖.,設(shè)AE=x.過點(diǎn)F作FH⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,延長(zhǎng)FH交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,易證△EFH≌△CED.∴EH=CD=4,FH=ED=x-4.∴AH=EA-EH=x-4,FK=FH+HK=x-4+4=x.∴BK=AH=x-4.∵BF2=BK2+FK2,∴90=(x-4)2+x2,解得x=2+或x=2-(舍).③當(dāng)點(diǎn)E在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖.,設(shè)AE=x.易證△EFH≌△CED.∴EH=CD=4,FH=ED=x+4.∴HD=CK=x,FK=x+8.∴AH=BK=4-x.∵BF2=FK2+BK2,∴90=(x+8)2+(4-x)2.解得x1=-5(舍去),x2=1.綜上所述,當(dāng)AE=2+或1時(shí),BF的長(zhǎng)是3.,12.(2014山東濟(jì)南,27,9分)如圖1,有一組平行線l1∥l2∥l3∥l4,正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在l1,l2,l4,l3上,EG過點(diǎn)D且垂直l1于點(diǎn)E,分別交l2,l4于點(diǎn)F,G,EF=DG=1,DF=2.(1)AE=,正方形ABCD的邊長(zhǎng)=;(2)如圖2,將∠AEG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到∠AED,旋轉(zhuǎn)角為α(0<α<90),點(diǎn)D在直線l3上,以AD為邊在ED左側(cè)作菱形ABCD,使點(diǎn)B,C分別在直線l2,l4上.①寫出∠BAD與α的數(shù)量關(guān)系并給出證明;②若α=30,求菱形AB‘C’D‘的邊長(zhǎng).圖1,圖2,考點(diǎn)一菱形的性質(zhì)與判定,三年模擬,A組2016—2018年模擬基礎(chǔ)題組,1.(2018石家莊十八縣一模,10)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,已知AC=2,BD=6,則下列說法正確的是()A.AB=2B.AB的長(zhǎng)是有理數(shù)C.3AB,∴∠3>∠4.故選D.,4.(2016唐山路北一模,19)如圖,正方形ABCD的頂點(diǎn)B、C都在直角坐標(biāo)系的x軸上,若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,4),則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.,答案(3,0),解析∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,4),∴AB=4,OB=1,∵四邊形ABCD為正方形,∴BC=AB=4,∴OC=3,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0).,B組2016—2018年模擬提升題組(時(shí)間:40分鐘分值:55分),一、選擇題(每小題2分,共10分),1.(2018石家莊橋西一模,8)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)(與B,C兩點(diǎn)不重合),過點(diǎn)D作DE∥AC,DF∥AB,分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,下列說法正確是()A.四邊形AEDF是矩形B.若AE=DF,則四邊形AEDF是菱形C.若AD⊥BC,則四邊形AEDF是矩形D.若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是菱形,答案D∵DE∥AC,DF∥AB,∴四邊形AEDF為平行四邊形,由已知條件得不出四邊形AEDF是矩形,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;∵AE,DF不是鄰邊,∴不能判斷四邊形AEDF是菱形,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;AD⊥BC并不能推導(dǎo)出四邊形AEDF的內(nèi)角為直角,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;若AD平分∠BAC,則∠DAE=∠DAF,∵DE∥AF,∴∠ADE=∠DAF,∴∠DAE=∠ADE,∴AE=DE,∴四邊形AEDF是菱形,選項(xiàng)D正確,故選D.,2.(2018保定一模,15)如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,點(diǎn)E,F,G,H分別在矩形ABCD各邊上,且AE=CG,BF=DH,則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值為()A.10B.4C.20D.8,答案C分別作點(diǎn)H關(guān)于直線AB,CD的對(duì)稱點(diǎn)H和點(diǎn)H″,連接EH和H″G,根據(jù)軸對(duì)稱可得EH=EH,HG=H″G.當(dāng)點(diǎn)H,E,F三點(diǎn)共線時(shí),EH+EF=EH+EF最短,當(dāng)點(diǎn)H″,G,F三點(diǎn)共線時(shí),FG+GH=FG+GH″最短,此時(shí)四邊形EFGH的周長(zhǎng)有最小值,過點(diǎn)F作FM⊥AD,垂足為M,∴BF=DH=AM,∵AH=AH=6-DH,AM=DH,∴HM=AH+AM=6,∵FM=8,∴FH==10,同理FH″=10,故四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值為20,故選C.,解題關(guān)鍵由最短路徑確定四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值是解題的關(guān)鍵.,3.(2017唐山路北一模,15)如圖為兩正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置圖,其中G、F兩點(diǎn)分別在BC、EH上.若AB=5,BG=3,則△GFH的面積為()A.10B.11C.D.,答案D∵四邊形ABCD是正方形,四邊形BEFG是正方形,AB=5,BG=3,∴AB=BC=5,∠C=90,BG=GF=3,∠CGF=∠GFH=90.∵四邊形DGHI是矩形,∴∠DGH=∠DGC+∠CGH=90,∵∠CGF=∠CGH+∠HGF=90,∴∠DGC=∠HGF,∵∠C=∠GFH=90,∴△GCD∽△GFH,∴===,∵S△GCD=(5-3)5=5,∴S△GFH==,故選D.,4.(2016邯鄲一模,13)如圖所示,正方形ABCD的面積為12,△ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn),則PD+PE的最小值為()A.2B.2C.3D.,答案A∵S正方形ABCD=12,∴AB=2,∵△ABE是等邊三角形,∴AB=BE=2,∵點(diǎn)B、D關(guān)于對(duì)角線AC對(duì)稱,∴PD+PE的最小值即為BE的長(zhǎng),故選A.,5.(2016石家莊十八縣摸底,15)如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,將△ABC沿對(duì)角線AC折疊,點(diǎn)B恰好落在點(diǎn)P處,CP與AD交于點(diǎn)F,連接BP交AC于點(diǎn)G,交AD于點(diǎn)E,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.AC=2APB.△PBC是等邊三角形C.S△BGC=3S△AGPD.=,答案D∵tan∠ACB==,∴∠ACB=30,∴AC=2AB=2AP,選項(xiàng)A正確;由翻折得∠ACB=∠ACP,∴∠BCP=60,又∵BC=CP,∴△PBC是等邊三角形,選項(xiàng)B正確;易知BP⊥AC,∴∠AGB=∠BGC=90,∠ACB=∠ABG=30,∴△ABG∽△BCG,∴==3,∵S△AGB=S△AGP,∴S△BGC=3S△AGP,選項(xiàng)C正確;∵∠ACP=30,∴tan∠ACP==,選項(xiàng)D錯(cuò)誤,故選D.,二、填空題(每小題2分,共10分),6.(2018石家莊質(zhì)檢,18)如圖,在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中,分別以各頂點(diǎn)為圓心,以邊長(zhǎng)的一半為半徑,在菱形內(nèi)作四條圓弧,則圖中陰影部分的周長(zhǎng)是.(結(jié)果保留π),答案6π,解析∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=6,由題意可知四條圓弧的半徑都為3且四條圓弧圓心角的和為∠A+∠B+∠C+∠D=360,∴陰影部分的周長(zhǎng)==6π.,7.(2018石家莊十八縣一模改編)如圖,將矩形甲、乙、丙、丁拼成一個(gè)大的正方形EFGH,其中中間陰影部分是邊長(zhǎng)為x的小正方形.若甲、乙、丙、丁不完全相同,它們的面積和為24,四邊形ABCD的面積為16,則甲、乙、丙、丁周長(zhǎng)的和為.,答案16,解析∵陰影部分小正方形的邊長(zhǎng)為x,∴S四邊形ABCD=(S甲+S乙+S丙+S丁)+x2,即16=24+x2,解得x=2,或x=-2(舍去),∴四邊形EFGH的面積為24+4=28,∴EF=2.則甲、乙、丙、丁周長(zhǎng)的和為2C正方形EFGH=242=16.,解題關(guān)鍵甲、乙、丙、丁四個(gè)矩形周長(zhǎng)的和就是正方形EFGH周長(zhǎng)的2倍是解題的關(guān)鍵.,8.(2017唐山玉田一模改編,14)如圖是一張矩形紙片ABCD,翻折∠B,∠D,使AD、BC邊與對(duì)角線AC重疊,且頂點(diǎn)D、B恰好落在同一點(diǎn)O上,折痕分別是AF、CE,則等于.,答案2,解析由折疊可知AF平分∠DAC,CE平分∠ACB,EF⊥AC,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠B=90,∴∠DAC=∠ACB,∴∠FAC=∠ACE,∴AF∥CE,∵DC∥AB,∴四邊形AECF為平行四邊形,∵EF⊥AC,∴四邊形AECF為菱形,∴AE=CE,∴∠CAB=∠ACE=∠BCE,∵∠B=90,∴∠CAB+∠ACB=90,∴∠CAB=∠ACE=∠BCE=30.∴BE=CE=AE,即=2.,9.(2017唐山路北二模,19)如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)F,E分別以相同的速度從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向C和B運(yùn)動(dòng)(任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)即停止),過點(diǎn)P作PM∥CD交BC于M點(diǎn),PN∥BC交CD于N點(diǎn),連接MN,在運(yùn)動(dòng)過程中,①AE和BF的位置關(guān)系為;②線段MN的最小值為.,答案①AE⊥BF;②,解析由題意可知CE=DF,∴BE=CF,易證△ABE≌△BCF,∴∠BAE=∠CBF,∵∠ABF+∠CBF=90,∴∠BAE+∠ABF=90,∴∠APB=90,即AE⊥BF.無論E、F怎么運(yùn)動(dòng),永遠(yuǎn)存在∠APB=90,即點(diǎn)P在以AB的中點(diǎn)為圓心,AB長(zhǎng)為半徑的圓上.連接PC,由題意可知四邊形PNCM為矩形,∴MN=PC,則PC的最小值即為線段MN的最小值,所以當(dāng)AB的中點(diǎn)與PC共線時(shí),線段PC有最小值,此時(shí)AB的中點(diǎn)與點(diǎn)C的距離==,PC=-,所以MN的最小值為.,10.(2016秦皇島盧龍一模,18)如圖,在矩形ABCD中,AD=6,AB=4,點(diǎn)E、G、H、F分別在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2,BE=DH=1,點(diǎn)P是直線EF、GH之間任意一點(diǎn),連接PE、PF、PG、PH,則△PEF和△PGH的面積和等于.,答案7,解析連接EG,FH.∵AD=6,AB=4,AF=CG=2,BE=DH=1,∴AE=CH=3,∴△AEF≌△CHG,∴EF=GH.同理可得△BGE≌△DFH,∴EG=FH,∴四邊形EGHF是平行四邊形,∵△PEF和△PGH的高的和等于點(diǎn)H到直線EF的距離,∴S△PEF+S△PGH=S?EGHF,∵S?EGHF=46-232-1(6-2)2=14,∴S△PEF+S△PGH=7.,三、解答題(共35分),11.(2018石家莊十八縣一模,24)如圖,在正方形ABCD中,AB=4,點(diǎn)