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2015-2016學(xué)年河南省洛陽市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求的.. 1．已知集合A={x|x2＜1}，集合B={x|＜1}，則A∩B=（　?。? A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．? 2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則的最大值為（　　） A．0 B． C．1 D．2 3．拋物線y=4x2的準(zhǔn)線方程為（　?。? A．x=﹣1 B．y=﹣1 C．x=﹣ D．y=﹣ 4．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，B=60，b2=ac，則A=（　?。? A．30 B．45 C．60 D．90 5．“方程﹣=1表示雙曲線”是“n＞﹣1”的（　?。? A．充分不必要條件 B．必要且不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 6．已知等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，a1＞0，a1007+a1008=0，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n=（　?。? A．1007 B．1008 C．2014 D．2015 7．雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）與直線y=x交于不同的兩點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　?。? A．（1，）∪（，+∞） B．（，+∞） C．（1，） D．（，2） 8．已知ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，則二面角B﹣A1C1﹣A的余弦值為（　?。? A． B． C． D． 9．若命題“?x∈（1，+∞），x2﹣（2+a）x+2+a≥0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。? A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，2] C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 10．已知橢圓+=1與雙曲線﹣=1有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，則?的值為（　　） A．3 B．7 C．11 D．21 11．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，以下說法： ①在△ABC中，“a，b，c成等差數(shù)列”是“acos2+ccos2=b”的充要條件； ②命題“在銳角三角形ABC中，sinA＞cosB”的逆命題和逆否命題均為真命題； ③命題“對(duì)任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”為假命題． 正確的個(gè)數(shù)為（　?。? A．0 B．1 C．2 D．3 12．如圖，橢圓+=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A1，A2，上頂點(diǎn)為B，從橢圓上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F，且A2B∥OP，|FA2|=+，過A2作x軸的垂線l，點(diǎn)M是l上任意一點(diǎn)，A1M交橢圓于點(diǎn)N，則?=（　?。? A．10 B．5 C．15 D．隨點(diǎn)M在直線l上的位置變化而變化 　 二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分.、共20分. 13．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n﹣3n，則a6+a7+a8=______． 14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足+y2=1，則x+2y的最大值為______． 15．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1各棱長均為1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60，則點(diǎn)B與點(diǎn)D1兩點(diǎn)間的距離為______． 16．已知p：“≤0”，q：“x2﹣2x+1﹣m2＜0（m＜0）”，命題“若￢p，則￢q”為假命題，“若￢q，則￢p”為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______． 　 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17．已知f（x）=ax2﹣（a+2）x+2． （1）若實(shí)數(shù)a＜0，求關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集； （2）若“≤x≤”是“f（x）+2x＜0”的充分條件，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍． 18．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比q＞1，S2=6，且a2是a3與a3﹣2的等差中項(xiàng)． （1）求an和Sn； （2）設(shè)bn=log2an，求Tn=++…+． 19．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c． （1）若b是a與c的等比中項(xiàng)，求B的取值范圍； （2）若B=，求sinA+sinC的取值范圍． 20．已知點(diǎn)A（﹣，0）和圓B：（x﹣）2+y2=16，點(diǎn)Q在圓B上，線段AQ的垂直平分線角BQ于點(diǎn)P． （1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程； （2）軌跡C上是否存在直線2x+y+1=0對(duì)稱的兩點(diǎn)，若存在，設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)分別為S，T，求直線ST的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由． 21．如圖，ABCD是邊長為a的正方形，PA⊥平面ABCD． （1）若PA=AB，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，求直線AE與平面PCD所成角的正弦值； （2）若BE⊥PC且交點(diǎn)為E，BE=a，G為CD的中點(diǎn)，線段AB上是否存在點(diǎn)F，使得EF∥平面PAG？若存在，求AF的長；若不存在，請(qǐng)說明理由． 22．斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且被拋物線所截得弦AB的長為4． （1）求實(shí)數(shù)p的值； （2）點(diǎn)P是拋物線E上一點(diǎn)，線段CD在y軸上，△PCD的內(nèi)切方程為（x﹣1）2+y2=1，求△PCD面積的最小值． 　  2015-2016學(xué)年河南省洛陽市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求的.. 1．已知集合A={x|x2＜1}，集合B={x|＜1}，則A∩B=（　　） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．? 【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算． 【分析】求出A與B中不等式的解集，分別確定出A與B，找出兩集合的交集即可． 【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1）， 當(dāng)x＜0時(shí)，B中不等式變形得：x＜1，此時(shí)x＜0； 當(dāng)x＞0時(shí)，B中不等式變形得：x＞1，此時(shí)x＞1， ∴B=（﹣∞，0）∪（1，+∞）， 則A∩B=（﹣1，0）， 故選：A． 　 2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則的最大值為（　?。? A．0 B． C．1 D．2 【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃． 【分析】作出可行域，目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可得． 【解答】解：作出不等式組所對(duì)應(yīng)的可行域（如圖△ABC及內(nèi)部）， 目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率， 數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）時(shí)，取最大值2， 故選：D． 　 3．拋物線y=4x2的準(zhǔn)線方程為（　　） A．x=﹣1 B．y=﹣1 C．x=﹣ D．y=﹣ 【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)． 【分析】由拋物線的準(zhǔn)線方程的定義可求得． 【解答】解：因?yàn)閽佄锞€y=4x2，可化為：x2=y， 則拋物線的準(zhǔn)線方程為y=﹣． 故選：D． 　 4．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，B=60，b2=ac，則A=（　?。? A．30 B．45 C．60 D．90 【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理． 【分析】利用余弦定理、等邊三角形的判定方法即可得出． 【解答】解：由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=ac， 化為（a﹣c）2=0，解得a=c． 又B=60， ∴△ABC是等邊三角形， ∴A=60． 故選：C． 　 5．“方程﹣=1表示雙曲線”是“n＞﹣1”的（　?。? A．充分不必要條件 B．必要且不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【分析】方程﹣=1表示雙曲線?（2+n）（n+1）＞0，解得n即可得出． 【解答】解：方程﹣=1表示雙曲線?（2+n）（n+1）＞0，解得n＞﹣1或n＜﹣2． ∴“方程﹣=1表示雙曲線”是“n＞﹣1”的必要不充分條件． 故選：B． 　 6．已知等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，a1＞0，a1007+a1008=0，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n=（　?。? A．1007 B．1008 C．2014 D．2015 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)． 【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和題意易得數(shù)列{an}的前1007項(xiàng)為正，從第1008項(xiàng)開始為負(fù)，易得結(jié)論． 【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，a1＞0，a1007+a1008=0， ∴a1007＞0且a1008＜0，即等差數(shù)列{an}的前1007項(xiàng)為正，從第1008項(xiàng)開始為負(fù)， ∴當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n=1007． 故選：A 　 7．雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）與直線y=x交于不同的兩點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　?。? A．（1，）∪（，+∞） B．（，+∞） C．（1，） D．（，2） 【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】將直線y=x代入雙曲線的方程，由題意可得b2﹣a2＞0，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式即可得到所求范圍． 【解答】解：將直線y=x代入雙曲線﹣=1，可得： （b2﹣a2）x2=a2b2， 由題意可得b2﹣a2＞0， 即有c2﹣2a2＞0， 即為e2＞2，即e＞． 故選：B． 　 8．已知ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，則二面角B﹣A1C1﹣A的余弦值為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法． 【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出二面角B﹣A1C1﹣A的余弦值． 【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1， 則A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），C1（0，1，1）， =（﹣1，1，0），=（0，0，﹣1），=（0，1，﹣1）， 設(shè)平面A1C1A的法向量=（x，y，z）， 則，取x=1，得=（1，1，0）， 設(shè)平面A1C1B的法向量=（a，b，c）， 則，取a=1，得=（1，1，1）， 設(shè)二面角B﹣A1C1﹣A的平面角為θ， 則cosθ===． ∴二面角B﹣A1C1﹣A的余弦值為． 故選：C． 　 9．若命題“?x∈（1，+∞），x2﹣（2+a）x+2+a≥0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。? A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，2] C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【考點(diǎn)】全稱命題． 【分析】根據(jù)不等式恒成立的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，討論判別式△的取值，進(jìn)行求解即可． 【解答】解：判別式△=（2+a）2﹣4（2+a）=（a+2）（a﹣2）， 若判別式△=（a+2）（a﹣2）≤0，即﹣2≤a≤2時(shí)，不等式恒成立，滿足條件． 若判別式△=（a+2）（a﹣2）＞0即a＞2或a＜﹣2時(shí)， 設(shè)f（x）=x2﹣（2+a）x+2+a， 要使命題“?x∈（1，+∞），x2﹣（2+a）x+2+a≥0”為真命題， 則滿足，則a≤0， ∵a＞2或a＜﹣2，∴a＜﹣2， 綜上，a≤2， 故選：B． 　 10．已知橢圓+=1與雙曲線﹣=1有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，則?的值為（　　） A．3 B．7 C．11 D．21 【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】由題意可得m=4，聯(lián)立橢圓方程和雙曲線的方程可得第一象限的P的坐標(biāo)，求出向量，的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到所求值． 【解答】解：橢圓+=1與雙曲線﹣=1有共同焦點(diǎn)為（3，0）， 即有m=4，聯(lián)立橢圓方程和雙曲線的方程可得第一象限的點(diǎn)P（，）， 則=（﹣3﹣，﹣），=（3﹣，﹣）， 即有?=（﹣3﹣）（3﹣）+ =+﹣9=11． 故選：C． 　 11．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，以下說法： ①在△ABC中，“a，b，c成等差數(shù)列”是“acos2+ccos2=b”的充要條件； ②命題“在銳角三角形ABC中，sinA＞cosB”的逆命題和逆否命題均為真命題； ③命題“對(duì)任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”為假命題． 正確的個(gè)數(shù)為（　?。? A．0 B．1 C．2 D．3 【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用． 【分析】①根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷． ②根據(jù)四種命題之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可． ③根據(jù)正弦定理進(jìn)行判斷即可． 【解答】解：①若acos2+ccos2=b， 即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b， 由正弦定理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB， 即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB， 可得sinA+sinC=2sinB， 由正弦定理可得，整理得：a+c=2b，故a，b，c為等差數(shù)列；反之也成立， 即，“a，b，c成等差數(shù)列”是“acos2+ccos2=b”的充要條件；故①正確， ②在銳角三角形ABC中，則A+B＞，于是＞A＞B﹣＞0， 則sinA＞SIn（B﹣）=cosB，即sinA＞cosB成立，則原命題為真命題．則逆否命題也為真命題， 命題“在銳角三角形ABC中，sinA＞cosB”的逆命題為：若sinA＞cosB，則三角形為銳角三角形， 在三角形中，當(dāng)B為鈍角時(shí)，cosB＜0，此時(shí)滿足sinA＞cosB，則命題的逆否命題為假命題．，故②錯(cuò)誤， ③在三角形中，由正弦定理得若“對(duì)任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”則等價(jià)為對(duì)任意三角形ABC，a+b＞c成立， 即命題“對(duì)任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”為真命題，故③錯(cuò)誤， 故正確的個(gè)數(shù)是1， 故選：B 　 12．如圖，橢圓+=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A1，A2，上頂點(diǎn)為B，從橢圓上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F，且A2B∥OP，|FA2|=+，過A2作x軸的垂線l，點(diǎn)M是l上任意一點(diǎn)，A1M交橢圓于點(diǎn)N，則?=（　?。? A．10 B．5 C．15 D．隨點(diǎn)M在直線l上的位置變化而變化 【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】由F的坐標(biāo)，求得P的坐標(biāo)，運(yùn)用兩直線平行的條件：斜率相等，可得b=c，再由條件可得a=，b=c=，求得橢圓方程，設(shè)出M的坐標(biāo)，設(shè)出直線MN的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，由韋達(dá)定理可得N的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到N的縱坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到所求值． 【解答】解：由F（﹣c，0），可得P（﹣c，）， A2（a，0），B（0，b），即有kOP=， 可得﹣=﹣，即有b=c，a=c， |FA2|=a+c=+， 解得a=，b=c=， 即有橢圓的方程為+=1， 設(shè)M（，t），A1（﹣，0）， 即有直線A1M：y=（x+）， 代入橢圓方程x2+2y2=10， 可得（20+t2）x2+2t2x+10t2﹣200=0， （﹣）?xN=， 可得xN=， yN=（xN+）=， 則?=?+t? ==10． 故選：A． 　 二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分.、共20分. 13．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n﹣3n，則a6+a7+a8=　215　． 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和． 【分析】利用a6+a7+a8=S8﹣S5，代入計(jì)算即得結(jié)論． 【解答】解：∵Sn=2n﹣3n， ∴a6+a7+a8=S8﹣S5 =（28﹣38）﹣（25﹣35） =215， 故答案為：215． 　 14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足+y2=1，則x+2y的最大值為　2?。? 【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】利用橢圓的參數(shù)方程和三角函數(shù)的性質(zhì)求解． 【解答】解：∵實(shí)數(shù)x，y滿足+y2=1， ∴，0≤θ＜2π， ∴x+2y=2cosθ+2sinθ=2sin（）， ∴x+2y的最大值為2． 故答案為：2． 　 15．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1各棱長均為1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60，則點(diǎn)B與點(diǎn)D1兩點(diǎn)間的距離為　　． 【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征． 【分析】由已知得=，由此能求出點(diǎn)B與點(diǎn)D1兩點(diǎn)間的距離． 【解答】解：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1各棱長均為1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60， ∴=， ∴=（）2=+2+2+2 =1+1+1+211cos120+211cos120+211cos60 =2， ∴||=． ∴點(diǎn)B與點(diǎn)D1兩點(diǎn)間的距離為． 故答案為：． 　 16．已知p：“≤0”，q：“x2﹣2x+1﹣m2＜0（m＜0）”，命題“若￢p，則￢q”為假命題，“若￢q，則￢p”為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是?。ī仭?，﹣3]　． 【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假． 【分析】分別求出p，q為真時(shí)的x的范圍，根據(jù)p?q，而q推不出p，求出m的范圍即可． 【解答】解：若p：“≤0”為真命題， 則p：﹣2＜x≤2； 若q：“x2﹣2x+1﹣m2＜0（m＜0）”為真命題， 則1+m＜x＜1﹣m， 命題“若￢p，則￢q”為假命題，“若￢q，則￢p”為真命題， 即p?q，而q推不出p， ∴，解得：m＜﹣3， 將m=﹣3代入符合題意， 故答案為：（﹣∞，﹣3]． 　 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17．已知f（x）=ax2﹣（a+2）x+2． （1）若實(shí)數(shù)a＜0，求關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集； （2）若“≤x≤”是“f（x）+2x＜0”的充分條件，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；一元二次不等式的解法． 【分析】（1）f（x）=ax2﹣（a+2）x+2=（ax﹣2）（x﹣1），a＜0，可得ax2﹣（a+2）x+2=0的兩根為，且＜1，即可得出． （2）f（x）+2x＜0化為：g（x）=ax2﹣ax+2＜0，由“≤x≤”是“f（x）+2x＜0”的充分條件，可得，又a＞0，解得a范圍． 【解答】解：（1）f（x）=ax2﹣（a+2）x+2=（ax﹣2）（x﹣1），∵a＜0，∴ax2﹣（a+2）x+2=0的兩根為，且＜1． ∴關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為． （2）f（x）+2x＜0化為：g（x）=ax2﹣ax+2＜0， ∵“≤x≤”是“f（x）+2x＜0”的充分條件， ∴，又a＞0，解得a＞． ∴正實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 　 18．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比q＞1，S2=6，且a2是a3與a3﹣2的等差中項(xiàng)． （1）求an和Sn； （2）設(shè)bn=log2an，求Tn=++…+． 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式． 【分析】（1）聯(lián)立a1（1+q）=6及2a1q=a1+a1q2﹣2，計(jì)算可知q=2、a1=2，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論； （2）通過（1）裂項(xiàng)可知=（﹣），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論． 【解答】解：（1）依題意，a1（1+q）=6，① 2a1q=a1+a1q2﹣2，即a1（q2﹣2q+1）=2，② ①②并化簡得：3q2﹣7q+2=0， 解得：q=2或q=（舍）， 代入①并化簡得：a1=2， 則an=2n，Sn==2n+1﹣2； （2）由（1）可知bn=log2an=n， ∵==（﹣）， ∴Tn=++…+ =（1﹣+﹣+…+﹣） =（1+﹣﹣） =． 　 19．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c． （1）若b是a與c的等比中項(xiàng)，求B的取值范圍； （2）若B=，求sinA+sinC的取值范圍． 【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）b是a與c的等比中項(xiàng)，可得cosB=≥=，即可得出B的取值范圍． （2）sinA+sinC=sinA+=，由于，可得≤1．即可得出． 【解答】解：（1）∵b是a與c的等比中項(xiàng)， ∴cosB=≥=，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，≤cosB＜1， 又0＜B＜π，∴B的取值范圍是． （2）sinA+sinC=sinA+=sinA+cosA+sinA=， ∵，∴≤1． ∴＜． 故sinA+sinC的取值范圍是． 　 20．已知點(diǎn)A（﹣，0）和圓B：（x﹣）2+y2=16，點(diǎn)Q在圓B上，線段AQ的垂直平分線角BQ于點(diǎn)P． （1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程； （2）軌跡C上是否存在直線2x+y+1=0對(duì)稱的兩點(diǎn)，若存在，設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)分別為S，T，求直線ST的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由． 【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題． 【分析】（1）直接由題意可得|PA|+|PB||=4＞|AB|=2，符合橢圓定義，且得到長半軸和半焦距，再由b2=a2﹣c2求得b2，則點(diǎn)P的軌跡方程可求； （2）設(shè)S（x1，y1），T（x2，y2），由題意可設(shè)直線ST的方程為y=x+m，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用線段ST的中點(diǎn)（﹣m， m）在對(duì)稱軸2x+y+1=0上，即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）由題意知|PQ|=|PA|， ∴|PA|+|PB||=4＞|AB|=2 由橢圓定義知P點(diǎn)的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)橢圓，a=2，c= ∴b=， ∴點(diǎn)P的軌跡的方程是=1； （2）設(shè)存在直線ST的方程為y=x+m，與橢圓方程聯(lián)立，化簡可得3x2+4mx+4m2﹣8=0． S（x1，y1），T（x2，y2），則x1+x2=﹣，x1x2=， ∵線段ST的中點(diǎn)（﹣m， m）在對(duì)稱軸2x+y+1=0上， ∴﹣m+m+1=0， ∴m=，滿足△＞0， ∴存在直線ST的方程為y=x+． 　 21．如圖，ABCD是邊長為a的正方形，PA⊥平面ABCD． （1）若PA=AB，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，求直線AE與平面PCD所成角的正弦值； （2）若BE⊥PC且交點(diǎn)為E，BE=a，G為CD的中點(diǎn)，線段AB上是否存在點(diǎn)F，使得EF∥平面PAG？若存在，求AF的長；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定． 【分析】（1）以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面PCD的法向量，即可求直線AE與平面PCD所成角的正弦值； （2）確定E的坐標(biāo)，平面PAG的法向量，利用EF∥平面PAG， ?=0，即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a），E（，，）， =（，，），=（a，0，0），=（0，a，﹣a）， 設(shè)平面PCD的法向量=（x，y，z），則， 取=（0，1，1），則直線AE與平面PCD所成角的正弦值為=； （2）G（，a，0），設(shè)P（0，0，c）（c＞0），則=（﹣a，﹣a，c）， 設(shè)=λ，則E（（1﹣λ）a，（1﹣λ）a，λc）， ∴=（﹣λa，（1﹣λ）a，λc）， ∵BE=a， ∴（﹣λa）2+[（1﹣λ）a]2+（λc）2=① ∵BE⊥PC， ∴λa2﹣（1﹣λ）a2+λc2=0， ∴c2=a2，② 由①②解得λ=，c=a， ∴E（a， a， a），P（0，0，a） 若存在滿足條件的點(diǎn)F，可設(shè)AF=l（0≤l≤a），則F（l，0，0），=（l﹣a，﹣a，﹣a）， 設(shè)平面PAG的法向量為=（s，t，p），則， ∴=（（﹣2，1，0）， ∵EF∥平面PAG，∴?=0， ∴﹣2l+a﹣a=0， ∴l(xiāng)=a， ∴存在滿足條件的點(diǎn)F，AF=a． 　 22．斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且被拋物線所截得弦AB的長為4． （1）求實(shí)數(shù)p的值； （2）點(diǎn)P是拋物線E上一點(diǎn)，線段CD在y軸上，△PCD的內(nèi)切方程為（x﹣1）2+y2=1，求△PCD面積的最小值． 【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)． 【分析】（1）求出拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義，可得p=1，進(jìn)而得到拋物線方程； （2）設(shè)P（x0，y0），C（0，c），D（0，d）不妨設(shè)c＞d，直線PC的方程為y﹣c=x，由直線和圓相切的條件：d=r，化簡整理，結(jié)合韋達(dá)定理，以及三角形的面積公式，運(yùn)用基本不等式即可求得最小值． 【解答】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為（，0），直線l的方程：y=x﹣， 與拋物線E：y2=2px聯(lián)立消去y得（x﹣）2=2px， ∴x2﹣3px+=0， 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=3p， 又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4， 所以，3p+p=4，p=1； （2）設(shè)P（x0，y0），C（0，c），D（0，d）不妨設(shè)c＞d， 直線PC的方程為y﹣c=x， 化簡得（y0﹣c）x﹣x0y+x0c=0，又圓心（1，0）到直線PC的距離為1， 故=1，即（y0﹣c）2+x02=（y0﹣c）2+2x0c（y0﹣c）+x02c2， 不難發(fā)現(xiàn)x0＞2，上式又可化為（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0， 同理有（x0﹣2）d2+2y0d﹣x0=0， 所以c，d可以看做關(guān)于t的一元二次方程（x0﹣2）t2+2y0t﹣x0=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 則c+d=﹣，cd=﹣ 因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）是拋物線Γ上的動(dòng)點(diǎn)，所以y02=2x0， 所以（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd=， 又x0＞2，所以c﹣d=． 所以S△PBC=（c﹣d）x0=x0﹣2++4≥22+4=8， 當(dāng)且僅當(dāng)x0=4時(shí)取等號(hào)，此時(shí)y0=2， 所以△PBC面積的最小值為8，此時(shí)P（4，2）． 　  2016年9月16日 第21頁（共21頁）