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2015-2016學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求的. 1．若命題“p∨q”為真，“p”為真，則（　?。? A．p真q真 B．p假q假 C．p真q假 D．p假q真 2．不等式3x﹣2y﹣6＜0表示的區(qū)域在直線3x﹣2y﹣6=0的（　　） A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方 3．雙曲線﹣=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（　?。? A．2 B． C．3 D．2 4．等差數(shù)列{an}中，若a2+a8=15﹣a5，則a5的值為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 5．如圖：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若=， =， =，則下列向量中與相等的向量是（　?。? A．﹣ ++ B． ++ C．﹣ ﹣+ D． ﹣+ 6．已知△ABC的周長(zhǎng)等于20，面積等于10，a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，∠A=60，則a為（　?。? A．5 B．7 C．6 D．8 7．命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　） A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．?x0∈R，x﹣x+1≥0 C．?x0∈R，x﹣x+1＞0 D．?x∈R，x3﹣x2+1＞0 8．拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是（　?。? A．4 B． C． D．8 9．已知橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為（　?。? A． B． C． D． 10．已知兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不重合的直線m，n，下列四個(gè)命題： ①若m∥n，m⊥α，則n⊥α； ②若m⊥α，m⊥β，則α∥β； ③若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥β； ④若m∥α，α∩β=n，則m∥n． 其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　?。? A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 11．已知等比數(shù)列{an}中，a2=1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是（　?。? A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） 12．E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)， 則tan∠ECF=（　　） A． B． C． D． 　 二、填空題:本大題共4個(gè)小題，每小題5分.、共20分. 13．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=4x+y的最大值為　　　　　?。? 14．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3=3，S6=24，則a9=　　　　　?。? 15．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90，CA=CB=CC1=1，則直線A1B與平面BB1C1C所成角的正弦值為　　　　　?。? 16．已知橢圓，過右焦點(diǎn)F且斜率為k（k＞0）的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，若=　　　　　?。? 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0 （1）若a=，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍． （2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 18．在△ABC中，bsinA=acosB． （Ⅰ）求角B的大??； （Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值． 19．已知等差數(shù)列{an}滿足a3=7，a5+a7=26，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn=（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn． 20．已知曲線C上的點(diǎn)到直線x=﹣2的距離比它到點(diǎn)F（1，0）的距離大1． （Ⅰ）求曲線C的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)F（1，0）做斜率為k的直線交曲線C于M，N兩點(diǎn)，求證： +為定值． 21．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60 （I）求證：PB⊥AD； （II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值． 22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C： +=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，離心率為． （1）求a，b的值， （2）設(shè)P是橢圓C長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值． 　 2015-2016學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求的. 1．若命題“p∨q”為真，“p”為真，則（　　） A．p真q真 B．p假q假 C．p真q假 D．p假q真 【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假． 【專題】閱讀型． 【分析】本題考查的是復(fù)合命題的真假問題．在解答時(shí)，可先結(jié)合條件“p或q”為真命題判斷p、q的情況，根據(jù)p為真，由此即可獲得p、q 的真假情況，得到答案 【解答】解：由題意可知：“p∨q”為真命題， ∴p、q中至少有一個(gè)為真， ∵p為真， ∴p、q全為真時(shí)，p且q為真，即“p且q為真”此時(shí)成立； 當(dāng)p假、q真， 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是復(fù)合命題的真假問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了命題中的或非關(guān)系．值得同學(xué)們體會(huì)反思．屬基礎(chǔ)題． 　 2．不等式3x﹣2y﹣6＜0表示的區(qū)域在直線3x﹣2y﹣6=0的（　　） A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方 【考點(diǎn)】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域． 【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式． 【分析】取坐標(biāo)原點(diǎn)，可知原點(diǎn)在直線3x﹣2y﹣6=0的左上方，（0，0）代入，﹣6＜0，故可得結(jié)論． 【解答】解：取坐標(biāo)原點(diǎn)，可知原點(diǎn)在直線3x﹣2y﹣6=0的左上方， ∵（0，0）代入，得3x﹣2y﹣6=﹣6＜0， ∴3x﹣2y﹣6＜0表示的區(qū)域在直線3x﹣2y﹣6=0的左上方． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次不等式表示的平面區(qū)域，通常以直線定界，特殊點(diǎn)定區(qū)域，屬于基礎(chǔ)題． 　 3．雙曲線﹣=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（　?。? A．2 B． C．3 D．2 【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】先由題中條件求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，再代入點(diǎn)到直線的距離公式即可求出結(jié)論． 【解答】解：由題得：其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．漸近線方程為y=x 所以焦點(diǎn)到其漸近線的距離d==2． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題給出雙曲線的方程，求它的焦點(diǎn)到漸近線的距離．著重考查了點(diǎn)到直線的距離公式、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題． 　 4．等差數(shù)列{an}中，若a2+a8=15﹣a5，則a5的值為（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式． 【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知的式子，從而求出a5的值． 【解答】解：由題意得，a2+a8=15﹣a5， 所以由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2+a8=2a5=15﹣a5， 解得a5=5， 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 　 5．如圖：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若=， =， =，則下列向量中與相等的向量是（　?。? A．﹣ ++ B． ++ C．﹣ ﹣+ D． ﹣+ 【考點(diǎn)】空間向量的加減法． 【專題】空間向量及應(yīng)用． 【分析】利用空間向量的加法的三角形法則，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)分析解答． 【解答】解：由題意， = ===； 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的加法，滿足三角形法則；比較基礎(chǔ)． 　 6．已知△ABC的周長(zhǎng)等于20，面積等于10，a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，∠A=60，則a為（　?。? A．5 B．7 C．6 D．8 【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理． 【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；解三角形． 【分析】由題意可得，a+b+c=20，由三角形的面積公式可得S=bcsin60，結(jié)合已知可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccos60可求a 【解答】解：在△ABC中，由題意可得，a+b+c=20， ∵S=bcsin60=10， ∴bc=40， 由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120， 解方程可得，a=7． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的面積公式及余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 　 7．命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　） A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．?x0∈R，x﹣x+1≥0 C．?x0∈R，x﹣x+1＞0 D．?x∈R，x3﹣x2+1＞0 【考點(diǎn)】命題的否定． 【專題】對(duì)應(yīng)思想；演繹法；簡(jiǎn)易邏輯． 【分析】根據(jù)已知中原命題，結(jié)合全稱命題否定的方法，可得答案． 【解答】解：命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：?x0∈R，x﹣x+1＞0， 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)全稱命題的命題，難度不大，屬于基礎(chǔ)題． 　 8．拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是（　?。? A．4 B． C． D．8 【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；壓軸題． 【分析】先根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可得到過F且斜率為的直線方程然后與拋物線聯(lián)立可求得A的坐標(biāo)，再由AK⊥l，垂足為K，可求得K的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式可得到答案． 【解答】解：∵拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線為l：x=﹣1， 經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A（3，2）， AK⊥l，垂足為K（﹣1，2）， ∴△AKF的面積是4 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)和直線和拋物線的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題是高考的熱點(diǎn)要重視． 　 9．已知橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為，且，由此能求出橢圓方程． 【解答】解：∵橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率， 且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合， ∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（0，）， ∴設(shè)橢圓方程為， 且，解得a=2，c=，∴b==1， ∴橢圓方程為． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意拋物線性質(zhì)的合理運(yùn)用． 　 10．已知兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不重合的直線m，n，下列四個(gè)命題： ①若m∥n，m⊥α，則n⊥α； ②若m⊥α，m⊥β，則α∥β； ③若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥β； ④若m∥α，α∩β=n，則m∥n． 其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　?。? A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論． 【專題】閱讀型． 【分析】由線面平行的性質(zhì)定理判斷出④不對(duì)，對(duì)于選項(xiàng)①②③用平行和垂直的結(jié)論以及面面垂直的判定定理判斷 【解答】解：①正確，課本例題的結(jié)論； ②正確，同垂直與一條直線的兩個(gè)平面平行； ③正確，由m⊥α，m∥n得，n⊥α，又因n?β，所以α⊥β． ④不對(duì)，由線面平行的性質(zhì)定理得，當(dāng)m?β時(shí)成立；否則不一定成立． 即正確的有①②③． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的線面位置關(guān)系，用了線面平行的性質(zhì)定理，平行和垂直的結(jié)論以及面面垂直的判定定理判斷．做這一類型題目的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握程度． 　 11．已知等比數(shù)列{an}中，a2=1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是（　?。? A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） 【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【分析】首先由等比數(shù)列的通項(xiàng)入手表示出S3（即q的代數(shù)式），然后根據(jù)q的正負(fù)性進(jìn)行分類，最后利用均值不等式求出S3的范圍． 【解答】解：∵等比數(shù)列{an}中，a2=1 ∴ ∴當(dāng)公比q＞0時(shí)，； 當(dāng)公比q＜0時(shí)，． ∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和的意義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及均值不等式的應(yīng)用． 　 12．E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則tan∠ECF=（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】余弦定理． 【專題】計(jì)算題． 【分析】約定AB=6，AC=BC=，先在△AEC中用余弦定理求得EC，進(jìn)而在△ECF中利用余弦定理求得cosECF，進(jìn)而用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得答案． 【解答】解：約定AB=6，AC=BC=， 由余弦定理可知cos45==； 解得CE=CF=， 再由余弦定理得cos∠ECF==， ∴ 【點(diǎn)評(píng)】考查三角函數(shù)的計(jì)算、解析化應(yīng)用意識(shí)． 　 二、填空題:本大題共4個(gè)小題，每小題5分.、共20分. 13．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=4x+y的最大值為　11?。? 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】先畫出約束條件，的可行域，再求出可行域中各角點(diǎn)的坐標(biāo)，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)的解析式，分析后易得目標(biāo)函數(shù)z=4x+y的最大值． 【解答】解：由約束條件，得如圖所示的三角形區(qū)域， 三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，3），B（1，0），C（0，1） 將三個(gè)代入得z的值分別為11，4，1 直線z=4x+y過點(diǎn)A （2，3）時(shí)，z取得最大值為11； 故答案為：11． 【點(diǎn)評(píng)】在解決線性規(guī)劃的小題時(shí)，我們常用“角點(diǎn)法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)?③將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)?④驗(yàn)證，求出最優(yōu)解． 　 14．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3=3，S6=24，則a9=　15?。? 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)與公差，由此能求出a9． 【解答】解：∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3=3，S6=24， ∴， 解得a1=﹣1，d=2， ∴a9=﹣1+82=15． 故答案為：15． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的第9項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用． 　 15．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90，CA=CB=CC1=1，則直線A1B與平面BB1C1C所成角的正弦值為　?。? 【考點(diǎn)】直線與平面所成的角． 【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角． 【分析】以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A1B與平面BB1C1C所成角的正弦值． 【解答】解：以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則A1（1，0，1），B（0，1，0）， =（﹣1，1，﹣1），平面BB1C1C的法向量=（1，0，0）， 設(shè)直線A1B與平面BB1C1C所成角為θ， 則sinθ===． ∴直線A1B與平面BB1C1C所成角的正弦值為． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的正弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用． 　 16．已知橢圓，過右焦點(diǎn)F且斜率為k（k＞0）的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，若=　　． 【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題． 【專題】壓軸題． 【分析】A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)a=2t，c=t，b=t，設(shè)直線AB方程為x=sy+t，由此可知． 【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵=3，∴y1=﹣3y2， ∵e=，設(shè)a=2t，c=t，b=t， ∴x2+4y2﹣4t2=0①， 設(shè)直線AB方程為x=sy+t， 代入①中消去x，可得（s2+4）y2+2sty﹣t2=0， ∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣，﹣2y2=﹣，﹣3=﹣， 解得s2=，k=． 故答案：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答． 　 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0 （1）若a=，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍． （2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假；必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【專題】簡(jiǎn)易邏輯． 【分析】（1）先解出p，q下的不等式，從而得到p：，q：a≤x≤a+1，所以a=時(shí)，p：．由p∧q為真知p，q都為真，所以求p，q下x取值范圍的交集即得實(shí)數(shù)x的取值范圍； （2）由p是q的充分不必要條件便可得到，解該不等式組即得實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【解答】解：p：，q：a≤x≤a+1； ∴（1）若a=，則q：； ∵p∧q為真，∴p，q都為真； ∴，∴； ∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為； （2）若p是q的充分不必要條件，即由p能得到q，而由q得不到p； ∴，∴； ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為． 【點(diǎn)評(píng)】考查解一元二次不等式，p∧q真假和p，q真假的關(guān)系，以及充分不必要條件的概念． 　 18．在△ABC中，bsinA=acosB． （Ⅰ）求角B的大??； （Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值． 【考點(diǎn)】正弦定理． 【專題】解三角形． 【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由條件利用正弦定理求得tanB=，由此求得 B 的值． （Ⅱ）由條件利用正弦定理得c=2a，再由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，求得a的值，可得c=2a的值，求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bsinA=acosB， 由正弦定理可得 sinBsinA=sinAcosB， 故有tanB=， ∴B=． （Ⅱ）∵sinC=2sinA，∴c=2a， 由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+4a2﹣2a2acos， 解得a=，c=2a=2． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題． 　 19．已知等差數(shù)列{an}滿足a3=7，a5+a7=26，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn=（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn． 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a3=7，a5+a7=26，可得，解出利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出； （Ⅱ）bn===，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出． 【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3=7，a5+a7=26， ∴，解得a1=3，d=2． ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1． ∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn==n2+2n． （Ⅱ）bn===， ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=++…+==． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 　 20．已知曲線C上的點(diǎn)到直線x=﹣2的距離比它到點(diǎn)F（1，0）的距離大1． （Ⅰ）求曲線C的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)F（1，0）做斜率為k的直線交曲線C于M，N兩點(diǎn)，求證： +為定值． 【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【專題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】（Ⅰ）利用拋物線定義“到定點(diǎn)距離等于到定直線距離的點(diǎn)的軌跡”求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡； （Ⅱ）直線y=k（x﹣1）與拋物線方程聯(lián)立，可得y2﹣y﹣4=0，利用韋達(dá)定理及拋物線的定義，即可求出+為定值． 【解答】（Ⅰ）解：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到直線x=﹣2的距離比它到點(diǎn)F（1，0）的距離大1， 所以動(dòng)點(diǎn)P到直線x=﹣1的距離與它到點(diǎn)F（1，0）的距離相等， 故所求軌跡為：以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線y2=4x． （Ⅱ）證明：直線y=k（x﹣1）與拋物線方程聯(lián)立，可得y2﹣y﹣4=0， 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），y1+y2=，y1y2=﹣4， ∴+=+====1， ∴+為定值． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題． 　 21．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60 （I）求證：PB⊥AD； （II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值． 【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質(zhì)． 【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角． 【分析】（Ⅰ）證明：取AD的中點(diǎn)E，連接PE，BE，BD．證明AD⊥平面PBE，然后證明PB⊥AD； （Ⅱ）以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出平面APD的一個(gè)法向量為=（0，1，0），平面PDC的一個(gè)法向量為，利用向量的數(shù)量積求解二面角A﹣PD﹣C的余弦值． 【解答】（Ⅰ）證明：取AD的中點(diǎn)E，連接PE，BE，BD． ∵PA=PD=DA，四邊形ABCD為菱形，且∠BAD=60， ∴△PAD和△ABD為兩個(gè)全等的等邊三角形， 則PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，…（3分） 又PB?平面PBE，∴PB⊥AD；…（5分） （Ⅱ）解：在△PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，則PB2=PE2+BE2， ∴∠PEB=90，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD； 以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 則E（0，0，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）， 則=（1，0，），=（﹣1，，0）， 由題意可設(shè)平面APD的一個(gè)法向量為=（0，1，0）；…（7分） 設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為=（x，y，z）， 由 得：， 令y=1，則x=，z=﹣1，∴ =（，1，﹣1）； 則=1，∴cos＜＞===，…（11分） 由題意知二面角A﹣PD﹣C的平面角為鈍角， 所以，二面角A﹣PD﹣C的余弦值為﹣…（12分） 【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直，二面角的平面角的求法，考查邏輯推理以及計(jì)算能力． 　 22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C： +=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，離心率為． （1）求a，b的值， （2）設(shè)P是橢圓C長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值． 【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【專題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】（1）由題意求得a，結(jié)合橢圓離心率求得c，再由隱含條件求得b； （2）由（1）求得橢圓方程，設(shè)出P的坐標(biāo)，得到過P的直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得弦長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出O到直線l的距離，代入三角形面積公式，利用基本不等式求得最值． 【解答】解：（1）由題設(shè)知a=2，e=， ∴c=，故b2=4﹣3=1． 因此，a=2，b=1； （2）由（1）可得，橢圓C的方程為． 設(shè)點(diǎn)P（m，0）（﹣2≤m≤2），點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2）． 若k=1，則直線l的方程為y=x﹣m． 聯(lián)立直線l與橢圓C的方程， 即．將y消去，化簡(jiǎn)得x2﹣2mx+m2﹣1=0． 從而有，x1+x2=，x1x2=， 因此，|AB|== ==， 點(diǎn)O到直線l的距離d=， ∴|AB|d=|m|， 因此，（ 5﹣m2）m2≤（）2=1． 又﹣2≤m≤2，即m2∈[0，4]． 當(dāng)5﹣m2=m2，即m2=，m=時(shí)，S△OAB取得最大值1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了再由與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．