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大學物理 簡明教程 習題 解答 答案 習題一 1-1 ｜｜與有無不同?和有無不同? 和有無不同?其不同在哪里?試舉例說明． 解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，； （2）是速度的模，即. 只是速度在徑向上的分量. ∵有（式中叫做單位矢），則 式中就是速度徑向上的分量， ∴不同如題1-1圖所示. 題1-1圖 (3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量. ∵有表軌道節(jié)線方向單位矢），所以 式中就是加速度的切向分量. (的運算較復雜，超出教材規(guī)定，故不予討論) 1-2 設質點的運動方程為=()，=()，在計算質點的速度和加速度時，有人先求出r＝，然后根據(jù)=，及＝而求得結果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結果，即 =及= 你認為兩種方法哪一種正確？為什么？兩者差別何在？ 解：后一種方法正確.因為速度與加速度都是矢量，在平面直角坐標系中，有， 故它們的模即為 而前一種方法的錯誤可能有兩點，其一是概念上的錯誤，即誤把速度、加速度定義作 其二，可能是將誤作速度與加速度的模。在1-1題中已說明不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣，也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分?；蛘吒爬ㄐ缘卣f，前一種方法只考慮了位矢在徑向（即量值）方面隨時間的變化率，而沒有考慮位矢及速度的方向隨間的變化率對速度、加速度的貢獻。 1-3 一質點在平面上運動，運動方程為 =3+5, =2+3-4. 式中以 s計，,以m計．(1)以時間為變量，寫出質點位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 時刻和＝2s 時刻的位置矢量，計算這1秒內質點的位移；(3)計算＝0 s時刻到＝4s時刻內的平均速度；(4)求出質點速度矢量表示式，計算＝4 s 時質點的速度；(5)計算＝0s 到＝4s 內質點的平均加速度；(6)求出質點加速度矢量的表示式，計算＝4s 時質點的加速度(請把位置矢量、位移、平均速度、瞬時速度、平均加速度、瞬時加速度都表示成直角坐標系中的矢量式)． 解：（1） (2)將,代入上式即有 (3)∵ ∴ (4) 則 (5)∵ (6) 這說明該點只有方向的加速度，且為恒量。 1-4 在離水面高h米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示．當人以(m)的速率收繩時，試求船運動的速度和加速度的大?。? 圖1-4 解： 設人到船之間繩的長度為，此時繩與水面成角，由圖可知 將上式對時間求導，得 題1-4圖 根據(jù)速度的定義，并注意到,是隨減少的， ∴ 即 或 將再對求導，即得船的加速度 1-5 質點沿軸運動，其加速度和位置的關系為 ＝2+6，的單位為，的單位為 m. 質點在＝0處，速度為10,試求質點在任何坐標處的速度值． 解： ∵ 分離變量： 兩邊積分得 由題知，時，,∴ ∴ 1-6 已知一質點作直線運動，其加速度為 ＝4+3，開始運動時，＝5 m，=0，求該質點在＝10s 時的速度和位置． 解：∵ 分離變量，得 積分，得 由題知，,,∴ 故 又因為 分離變量， 積分得 由題知 ,,∴ 故 所以時 1-7 一質點沿半徑為1 m 的圓周運動，運動方程為 =2+3，式中以弧度計，以秒計，求：(1) ＝2 s時，質點的切向和法向加速度；(2)當加速度的方向和半徑成45角時，其角位移是多少? 解： (1)時， (2)當加速度方向與半徑成角時，有 即 亦即 則解得 于是角位移為 1-8 質點沿半徑為的圓周按＝的規(guī)律運動，式中為質點離圓周上某點的弧長,，都是常量，求：(1)時刻質點的加速度；(2) 為何值時，加速度在數(shù)值上等于． 解：（1） 則 加速度與半徑的夾角為 (2)由題意應有 即 ∴當時， 1-9 以初速度＝20拋出一小球，拋出方向與水平面成幔60的夾角， 求：(1)球軌道最高點的曲率半徑；(2)落地處的曲率半徑． (提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關系) 解：設小球所作拋物線軌道如題1-10圖所示． 題1-9圖 (1)在最高點， 又∵ ∴ (2)在落地點， , 而 ∴ 1-10飛輪半徑為0.4 m，自靜止啟動，其角加速度為β=0.2 rad，求＝2s時邊緣上各點的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度． 解：當時， 則 1-11 一船以速率＝30kmh-1沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率＝40kmh-1 沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何? 解：(1)大船看小艇，則有，依題意作速度矢量圖如題1-13圖(a) 題1-11圖 由圖可知 方向北偏西 (2)小船看大船，則有，依題意作出速度矢量圖如題1-13圖(b)，同上法，得 方向南偏東 習題二 2-1 一個質量為的質點，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運動，的方向與斜面底邊的水平線平行，如圖所示，求這質點的運動軌道． 解: 物體置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐標：取方向為軸，平行斜面與軸垂直方向為軸.如圖2-2. 題2-1圖 方向： ① 方向： ② 時 由①、②式消去，得 2-2 質量為16 kg 的質點在平面內運動，受一恒力作用，力的分量為＝6 N，＝-7 N，當＝0時，0，＝-2 ms-1，＝0．求 當＝2 s時質點的 (1)位矢；(2)速度． 解： (1) 于是質點在時的速度 (2) 2-3 質點在流體中作直線運動，受與速度成正比的阻力(為常數(shù))作用，=0時質點的速度為，證明(1) 時刻的速度為＝；(2) 由0到的時間內經(jīng)過的距離為 ＝()［1-］；(3)停止運動前經(jīng)過的距離為；(4)證明當時速度減至的，式中m為質點的質量． 答: (1)∵ 分離變量，得 即 ∴ (2) (3)質點停止運動時速度為零，即t→∞， 故有 (4)當t=時，其速度為 即速度減至的. 2-4一質量為的質點以與地的仰角=30的初速從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質點落地時相對拋射時的動量的增量． 解: 依題意作出示意圖如題2-6圖 題2-4圖 在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下, 而拋物線具有對軸對稱性，故末速度與軸夾角亦為，則動量的增量為 由矢量圖知，動量增量大小為，方向豎直向下． 2-5 作用在質量為10 kg的物體上的力為N，式中的單位是s，(1)求4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的沖量．(2)為了使這力的沖量為200 Ns，該力應在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個具有初速度ms-1的物體,回答這兩個問題． 解: (1)若物體原來靜止，則 ,沿軸正向， 若物體原來具有初速，則 于是 , 同理， , 這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動量定理． (2)同上理，兩種情況中的作用時間相同，即 亦即 解得，(舍去) 2-6 一顆子彈由槍口射出時速率為，當子彈在槍筒內被加速時，它所受的合力為 F =()N(為常數(shù))，其中以秒為單位：(1)假設子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間；(2)求子彈所受的沖量．(3)求子彈的質量． 解: (1)由題意，子彈到槍口時，有 ,得 (2)子彈所受的沖量 將代入，得 (3)由動量定理可求得子彈的質量 2-7設．(1) 當一質點從原點運動到時，求所作的功．(2)如果質點到處時需0.6s，試求平均功率．(3)如果質點的質量為1kg，試求動能的變化． 解: (1)由題知，為恒力， ∴ (2) (3)由動能定理， 2-8 如題2-18圖所示，一物體質量為2kg，以初速度＝3ms-1從斜面點處下滑，它與斜面的摩擦力為8N，到達點后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度． 解: 取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點，彈簧原 長處為彈性勢能零點。則由功能原理，有 式中，，再代入有關數(shù)據(jù)，解得 題2-8圖 再次運用功能原理，求木塊彈回的高度 代入有關數(shù)據(jù)，得 , 則木塊彈回高度 2-9 一個小球與一質量相等的靜止小球發(fā)生非對心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運動方向互相垂直． 證: 兩小球碰撞過程中，機械能守恒，有 即 ① 題2-9圖(a) 題2-9圖(b) 又碰撞過程中，動量守恒，即有 亦即 ② 由②可作出矢量三角形如圖(b)，又由①式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以為斜邊，故知與是互相垂直的． 2-10一質量為的質點位于()處，速度為, 質點受到一個沿負方向的力的作用，求相對于坐標原點的角動量以及作用于質點上的力的力矩． 解: 由題知，質點的位矢為 作用在質點上的力為 所以，質點對原點的角動量為 作用在質點上的力的力矩為 2-11 哈雷彗星繞太陽運動的軌道是一個橢圓．它離太陽最近距離為＝8.751010m 時的速率是＝5.46104ms-1，它離太陽最遠時的速率是＝9.08102ms-1這時它離太陽的距離多少?(太陽位于橢圓的一個焦點。) 解: 哈雷彗星繞太陽運動時受到太陽的引力——即有心力的作用，所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點及遠日點時的速度都與軌道半徑垂直，故有 ∴ 2-12 物體質量為3kg，=0時位于, ，如一恒力作用在物體上,求3秒后，(1)物體動量的變化；(2)相對軸角動量的變化． 解: (1) (2)解(一) 即 , 即 , ∴ ∴ 解(二) ∵ ∴ 題2-12圖 2-13飛輪的質量＝60kg，半徑＝0.25m，繞其水平中心軸轉動，轉速為900revmin-1．現(xiàn)利用一制動的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動力，可使飛輪減速．已知閘桿的尺寸如題2-25圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4，飛輪的轉動慣量可按勻質圓盤計算．試求： (1)設＝100 N，問可使飛輪在多長時間內停止轉動?在這段時間里飛輪轉了幾轉? (2)如果在2s內飛輪轉速減少一半，需加多大的力? 解: (1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b))．圖中、是正壓力，、是摩擦力，和是桿在點轉軸處所受支承力，是輪的重力，是輪在軸處所受支承力． 題2-13圖（a） 題2-13圖(b) 桿處于靜止狀態(tài)，所以對點的合力矩應為零，設閘瓦厚度不計，則有 對飛輪，按轉動定律有，式中負號表示與角速度方向相反． ∵ ∴ 又∵ ∴ ① 以等代入上式，得 由此可算出自施加制動閘開始到飛輪停止轉動的時間為 這段時間內飛輪的角位移為 可知在這段時間里，飛輪轉了轉． (2)，要求飛輪轉速在內減少一半，可知 用上面式(1)所示的關系，可求出所需的制動力為 2-14固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸轉動．設大小圓柱體的半徑分別為和，質量分別為和．繞在兩柱體上的細繩分別與物體和相連，和則掛在圓柱體的兩側，如題2-26圖所示．設＝0.20m, ＝0.10m，＝4 kg，＝10 kg，＝＝2 kg，且開始時，離地均為＝2m．求： (1)柱體轉動時的角加速度； (2)兩側細繩的張力． 解: 設,和β分別為,和柱體的加速度及角加速度，方向如圖(如圖b)． 題2-14(a)圖 題2-14(b)圖 (1) ,和柱體的運動方程如下： ① ② ③ 式中 而 由上式求得 (2)由①式 由②式 2-15 如題2-15圖所示，一勻質細桿質量為，長為，可繞過一端的水平軸自由轉動，桿于水平位置由靜止開始擺下．求： (1)初始時刻的角加速度； (2)桿轉過角時的角速度. 解: (1)由轉動定律，有 ∴ (2)由機械能守恒定律，有 ∴ 題2-15圖 習題三 3-1 氣體在平衡態(tài)時有何特征?氣體的平衡態(tài)與力學中的平衡態(tài)有何不同? 答：氣體在平衡態(tài)時，系統(tǒng)與外界在宏觀上無能量和物質的交換；系統(tǒng)的宏觀性質不隨時間變化． 力學平衡態(tài)與熱力學平衡態(tài)不同．當系統(tǒng)處于熱平衡態(tài)時，組成系統(tǒng)的大量粒子仍在不停地、無規(guī)則地運動著，大量粒子運動的平均效果不變，這是一種動態(tài)平衡．而個別粒子所受合外力可以不為零．而力學平衡態(tài)時，物體保持靜止或勻速直線運動，所受合外力為零． 3-2 氣體動理論的研究對象是什么?理想氣體的宏觀模型和微觀模型各如何? 答：氣體動理論的研究對象是大量微觀粒子組成的系統(tǒng)．是從物質的微觀結構和分子運動論出發(fā)，運用力學規(guī)律，通過統(tǒng)計平均的辦法，求出熱運動的宏觀結果，再由實驗確認的方法． 從宏觀看，在溫度不太低，壓強不大時，實際氣體都可近似地當作理想氣體來處理，壓強越低，溫度越高，這種近似的準確度越高．理想氣體的微觀模型是把分子看成彈性的自由運動的質點. 3-3 溫度概念的適用條件是什么?溫度微觀本質是什么? 答：溫度是大量分子無規(guī)則熱運動的集體表現(xiàn)，是一個統(tǒng)計概念，對個別分子無意義．溫度微觀本質是分子平均平動動能的量度． 3-4 計算下列一組粒子平均速率和方均根速率? 21 4 6 8 2 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 解：平均速率 方均根速率 3-5 速率分布函數(shù)的物理意義是什么?試說明下列各量的物理意義(為分子數(shù)密度，為系統(tǒng)總分子數(shù))． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：：表示一定質量的氣體，在溫度為的平衡態(tài)時，分布在速率附近單位速率區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比. () ：表示分布在速率附近，速率區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比. () ：表示分布在速率附近、速率區(qū)間內的分子數(shù)密度． () ：表示分布在速率附近、速率區(qū)間內的分子數(shù)． ()：表示分布在區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比． ()：表示分布在的速率區(qū)間內所有分子，其與總分子數(shù)的比值是. ()：表示分布在區(qū)間內的分子數(shù). 3-6 題3-6圖(a)是氫和氧在同一溫度下的兩條麥克斯韋速率分布曲線，哪一條代表氫?題3-6圖(b)是某種氣體在不同溫度下的兩條麥克斯韋速率分布曲線，哪一條的溫度較高? 答：圖(a)中()表示氧，()表示氫；圖(b)中()溫度高． 題3-6圖 3-7 試說明下列各量的物理意義． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：()在平衡態(tài)下，分子熱運動能量平均地分配在分子每一個自由度上的能量均為T． ()在平衡態(tài)下，分子平均平動動能均為. ()在平衡態(tài)下，自由度為的分子平均總能量均為. ()由質量為，摩爾質量為，自由度為的分子組成的系統(tǒng)的內能為. (5) 摩爾自由度為的分子組成的系統(tǒng)內能為. (6) 摩爾自由度為的分子組成的系統(tǒng)的內能，或者說熱力學體系內，1摩爾分子的平均平動動能之總和為. 3-8 有一水銀氣壓計，當水銀柱為0.76m高時，管頂離水銀柱液面0.12m，管的截面積為2.010-4m2，當有少量氦(He)混入水銀管內頂部，水銀柱高下降為0.6m，此時溫度為 27℃，試計算有多少質量氦氣在管頂(He的摩爾質量為0.004kgmol-1)? 解：由理想氣體狀態(tài)方程 得 汞的重度 氦氣的壓強 氦氣的體積 3-9設有個粒子的系統(tǒng)，其速率分布如題6-18圖所示．求 (1)分布函數(shù)的表達式； (2)與之間的關系； (3)速度在1.5到2.0之間的粒子數(shù)． (4)粒子的平均速率． (5)0.5到1區(qū)間內粒子平均速率． 題3-9圖 解：(1)從圖上可得分布函數(shù)表達式 滿足歸一化條件，但這里縱坐標是而不是故曲線下的總面積為， (2)由歸一化條件可得 (3)可通過面積計算 (4) 個粒子平均速率 (5)到區(qū)間內粒子平均速率 到區(qū)間內粒子數(shù) 3-10 試計算理想氣體分子熱運動速率的大小介于與之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比． 解：令，則麥克斯韋速率分布函數(shù)可表示為 因為, 由 得 3-11 1mol氫氣，在溫度為27℃時，它的平動動能、轉動動能和內能各是多少? 解：理想氣體分子的能量 平動動能 轉動動能 內能 J 3-12 一真空管的真空度約為1.3810-3 Pa(即1.010-5 mmHg)，試 求在27℃時單位體積中的分子數(shù)及分子的平均自由程(設分子的有效直徑d＝310-10 m)． 解：由氣體狀態(tài)方程得 由平均自由程公式 3-13 (1)求氮氣在標準狀態(tài)下的平均碰撞頻率；(2)若溫度不變，氣壓降到1.3310-4Pa，平均碰撞頻率又為多少(設分子有效直徑10-10 m)? 解：(1)碰撞頻率公式 對于理想氣體有，即 所以有 而 氮氣在標準狀態(tài)下的平均碰撞頻率 氣壓下降后的平均碰撞頻率 3-14 1mol氧氣從初態(tài)出發(fā)，經(jīng)過等容升壓過程，壓強增大為原來的2倍，然后又經(jīng)過等溫膨脹過程，體積增大為原來的2倍，求末態(tài)與初態(tài)之間(1)氣體分子方均根速率之比； (2)分子平均自由程之比． 解：由氣體狀態(tài)方程 及 方均根速率公式 對于理想氣體，，即 所以有 習題四 4-1下列表述是否正確?為什么?并將錯誤更正． （1） （2） （3） （4） 解：(1)不正確， (2)不正確， (3)不正確， (4)不正確， 4-2 用熱力學第一定律和第二定律分別證明，在圖上一絕熱線與一等溫線不能有兩個交點． 題4-2圖 解：1.由熱力學第一定律有 若有兩個交點和，則 經(jīng)等溫過程有 經(jīng)絕熱過程 從上得出，這與,兩點的內能變化應該相同矛盾． 2.若兩條曲線有兩個交點，則組成閉合曲線而構成了一循環(huán)過程，這循環(huán)過程只有吸熱，無放熱，且對外做正功，熱機效率為，違背了熱力學第二定律． 4-3 一循環(huán)過程如題4-3圖所示，試指出： (1)各是什么過程； (2)畫出對應的圖； (3)該循環(huán)是否是正循環(huán)? (4)該循環(huán)作的功是否等于直角三角形面積? (5)用圖中的熱量表述其熱機效率或致冷系數(shù)． 解：(1) 是等體過程 過程：從圖知有，為斜率 由 得 故過程為等壓過程 是等溫過程 (2)圖如題4-3’圖 題4-3’圖 (3)該循環(huán)是逆循環(huán) (4)該循環(huán)作的功不等于直角三角形面積，因為直角三角形不是圖中的圖形． (5) 題4-3圖 題4-4圖 4-4 兩個卡諾循環(huán)如題4-4圖所示，它們的循環(huán)面積相等，試問： (1)它們吸熱和放熱的差值是否相同； (2)對外作的凈功是否相等； (3)效率是否相同? 答：由于卡諾循環(huán)曲線所包圍的面積相等，系統(tǒng)對外所作的凈功相等，也就是吸熱和放熱的差值相等．但吸熱和放熱的多少不一定相等，效率也就不相同． 4-5 根據(jù)及，這是否說明可逆過程的熵變大于不可逆過程熵變?為什么?說明理由． 答：這不能說明可逆過程的熵變大于不可逆過程熵變，熵是狀態(tài)函數(shù)，熵變只與初末狀態(tài)有關，如果可逆過程和不可逆過程初末狀態(tài)相同，具有相同的熵變．只能說在不可逆過程中，系統(tǒng)的熱溫比之和小于熵變． 4-6 如題4-6圖所示，一系統(tǒng)由狀態(tài)沿到達狀態(tài)b的過程中，有350 J熱量傳入系統(tǒng)，而系統(tǒng)作功126 J． (1)若沿時，系統(tǒng)作功42 J，問有多少熱量傳入系統(tǒng)? (2)若系統(tǒng)由狀態(tài)沿曲線返回狀態(tài)時，外界對系統(tǒng)作功為84 J，試問系統(tǒng)是吸熱還是放熱?熱量傳遞是多少? 題4-6圖 解：由過程可求出態(tài)和態(tài)的內能之差 過程，系統(tǒng)作功 系統(tǒng)吸收熱量 過程，外界對系統(tǒng)作功 系統(tǒng)放熱 4-7 1 mol單原子理想氣體從300 K加熱到350 K，問在下列兩過程中吸收了多少熱量?增加了多少內能?對外作了多少功? (1)體積保持不變； (2)壓力保持不變． 解：(1)等體過程 由熱力學第一定律得 吸熱 對外作功 (2)等壓過程 吸熱 內能增加 對外作功 4-8 0.01 m3氮氣在溫度為300 K時，由0.1 MPa(即1 atm)壓縮到10 MPa．試分別求氮氣經(jīng)等溫及絕熱壓縮后的(1)體積；(2)溫度；(3)各過程對外所作的功． 解：(1)等溫壓縮 由 求得體積 對外作功 (2)絕熱壓縮 由絕熱方程 由絕熱方程 得 熱力學第一定律， 所以 ， 4-9 1 mol的理想氣體的T-V圖如題4-9圖所示，為直線，延長線通過原點O．求過程氣體對外做的功． 題4-9圖 解：設由圖可求得直線的斜率為 得過程方程 由狀態(tài)方程 得 過程氣體對外作功 4-10 一卡諾熱機在1000 K和300 K的兩熱源之間工作，試計算 (1)熱機效率； (2)若低溫熱源不變，要使熱機效率提高到80%，則高溫熱源溫度需提高多少? (3)若高溫熱源不變，要使熱機效率提高到80%，則低溫熱源溫度需降低多少? 解：(1)卡諾熱機效率 (2)低溫熱源溫度不變時，若 要求 K，高溫熱源溫度需提高 (3)高溫熱源溫度不變時，若 要求 K，低溫熱源溫度需降低 4-11 如題4-11圖所示是一理想氣體所經(jīng)歷的循環(huán)過程，其中和是等壓過程，和為絕熱過程，已知點和點的溫度分別為和．求此循環(huán)效率．這是卡諾循環(huán)嗎? 題4-11圖 解： (1)熱機效率 等壓過程 吸熱 等壓過程 放熱 根據(jù)絕熱過程方程得到 絕熱過程 絕熱過程 又 (2)不是卡諾循環(huán)，因為不是工作在兩個恒定的熱源之間． 4-12 （1）用一卡諾循環(huán)的致冷機從7℃的熱源中提取1000 J的熱量傳向27℃的熱源，需要多少功?從-173℃向27℃呢? (2)一可逆的卡諾機，作熱機使用時，如果工作的兩熱源的溫度差愈大，則對于作功就愈有利．當作致冷機使用時，如果兩熱源的溫度差愈大，對于致冷是否也愈有利?為什么? 解：(1)卡諾循環(huán)的致冷機 ℃→℃時，需作功 ℃→℃時，需作功 (2)從上面計算可看到，當高溫熱源溫度一定時，低溫熱源溫度越低，溫度差愈大，提取同樣的熱量，則所需作功也越多，對致冷是不利的． 4-13 如題4-13圖所示，1 mol雙原子分子理想氣體，從初態(tài)經(jīng)歷三種不同的過程到達末態(tài)． 圖中1→2為等溫線，1→4為絕熱線，4→2為等壓線，1→3為等壓線，3→2為等體線．試分別沿這三種過程計算氣體的熵變． 題4-13圖 解：熵變 等溫過程 , 熵變 等壓過程 等體過程 在等溫過程中 所以 熵變 絕熱過程 在等溫過程中 4-14 有兩個相同體積的容器，分別裝有1 mol的水，初始溫度分別為和，＞，令其進行接觸，最后達到相同溫度．求熵的變化，(設水的摩爾熱容為)． 解：兩個容器中的總熵變 因為是兩個相同體積的容器，故 得 4-15 把0℃的0.5的冰塊加熱到它全部溶化成0℃的水，問： (1)水的熵變如何? (2)若熱源是溫度為20 ℃的龐大物體，那么熱源的熵變化多大? (3)水和熱源的總熵變多大?增加還是減少?(水的熔解熱) 解：(1)水的熵變 (2)熱源的熵變 (3)總熵變 熵增加 習題五 5-1 電量都是的三個點電荷，分別放在正三角形的三個頂點．試問：(1)在這三角形的中心放一個什么樣的電荷，就可以使這四個電荷都達到平衡(即每個電荷受其他三個電荷的庫侖力之和都為零)?(2)這種平衡與三角形的邊長有無關系? 解: 如題8-1圖示 (1) 以處點電荷為研究對象，由力平衡知：為負電荷 解得 (2)與三角形邊長無關． 題5-1圖 題5-2圖 5-2 兩小球的質量都是，都用長為的細繩掛在同一點，它們帶有相同電量，靜止時兩線夾角為2,如題5-2圖所示．設小球的半徑和線的質量都可以忽略不計，求每個小球所帶的電量． 解: 如題8-2圖示 解得 5-3 在真空中有，兩平行板，相對距離為，板面積為，其帶電量分別為+和-．則這兩板之間有相互作用力，有人說=,又有人說，因為=,，所以=．試問這兩種說法對嗎?為什么? 到底應等于多少? 解: 題中的兩種說法均不對．第一種說法中把兩帶電板視為點電荷是不對的，第二種說法把合場強看成是一個帶電板在另一帶電板處的場強也是不對的．正確解答應為一個板的電場為，另一板受它的作用力，這是兩板間相互作用的電場力． 5-4 長=15.0cm的直導線AB上均勻地分布著線密度=5.0x10-9Cm-1的正電荷．試求：(1)在導線的延長線上與導線B端相距=5.0cm處點的場強；(2)在導線的垂直平分線上與導線中點相距=5.0cm 處點的場強． 解： 如題5-4-圖所示 題5-4圖 (1)在帶電直線上取線元，其上電量在點產(chǎn)生場強為 用，, 代入得 方向水平向右 (2)同理 方向如題8-6圖所示 由于對稱性，即只有分量， ∵ 以, ,代入得 ，方向沿軸正向 5-5 (1)點電荷位于一邊長為a的立方體中心，試求在該點電荷電場中穿過立方體的一個面的電通量；(2)如果該場源點電荷移動到該立方體的一個頂點上，這時穿過立方體各面的電通量是多少?*(3)如題5-5(3)圖所示，在點電荷的電場中取半徑為R的圓平面．在該平面軸線上的點處，求：通過圓平面的電通量．() 解: (1)由高斯定理 立方體六個面，當在立方體中心時，每個面上電通量相等 ∴ 各面電通量． (2)電荷在頂點時，將立方體延伸為邊長的立方體，使處于邊長的立方體中心，則邊長的正方形上電通量 對于邊長的正方形，如果它不包含所在的頂點，則， 如果它包含所在頂點則． 如題5-5(a)圖所示．題5-5(3)圖 題5-5(a)圖 題5-5(b)圖 題5-5(c)圖 (3)∵通過半徑為的圓平面的電通量等于通過半徑為的球冠面的電通量，球冠面積* ∴ [] *關于球冠面積的計算：見題8-9(c)圖 5-6 均勻帶電球殼內半徑6cm，外半徑10cm，電荷體密度為2Cm-3求距球心5cm，8cm ,12cm 各點的場強． 解: 高斯定理, 當時，, 時， ∴ ， 方向沿半徑向外． cm時, ∴ 沿半徑向外. 5-7 半徑為和(＞)的兩無限長同軸圓柱面，單位長度上分別帶有電量和-,試求:(1)＜；(2) ＜＜；(3) ＞處各點的場強． 解: 高斯定理 取同軸圓柱形高斯面，側面積 則 對(1) (2) ∴ 沿徑向向外 (3) ∴ 題5-8圖 5-8 兩個無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為和，試求空間各處場強． 解: 如題8-12圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為與， 兩面間， 面外， 面外， ：垂直于兩平面由面指為面． 題5-9圖 5-9 如題5-9圖所示，在，兩點處放有電量分別為+,-的點電荷，間距離為2，現(xiàn)將另一正試驗點電荷從點經(jīng)過半圓弧移到點，求移動過程中電場力作的功． 解: 如題8-16圖示 ∴ 5-10 如題5-10圖所示的絕緣細線上均勻分布著線密度為的正電荷,兩直導線的長度和半圓環(huán)的半徑都等于．試求環(huán)中心點處的場強和電勢． 解: (1)由于電荷均勻分布與對稱性，和段電荷在點產(chǎn)生的場強互相抵消，取 則產(chǎn)生點如圖，由于對稱性，點場強沿軸負方向 題5-10圖 ［］ (2) 電荷在點產(chǎn)生電勢，以 同理產(chǎn)生 半圓環(huán)產(chǎn)生 ∴ 5-11 三個平行金屬板，和的面積都是200cm2，和相距4.0mm，與相距2.0 mm．，都接地，如題8-22圖所示．如果使板帶正電3.010-7C，略去邊緣效應，問板和板上的感應電荷各是多少?以地的電勢為零，則板的電勢是多少? 解: 如題8-22圖示，令板左側面電荷面密度為，右側面電荷面密度為 題5-11圖 (1)∵ ，即 ∴ ∴ 且 + 得 而 (2) 5-12 兩個半徑分別為和（＜)的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內球殼帶電+，試計算： (1)外球殼上的電荷分布及電勢大小； (2)先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時外球殼的電荷分布及電勢； *(3)再使內球殼接地，此時內球殼上的電荷以及外球殼上的電勢的改變量． 解: (1)內球帶電；球殼內表面帶電則為,外表面帶電為，且均勻分布，其電勢 題5-12圖 (2)外殼接地時，外表面電荷入地，外表面不帶電，內表面電荷仍為．所以球殼電勢由內球與內表面產(chǎn)生： (3)設此時內球殼帶電量為；則外殼內表面帶電量為，外殼外表面帶電量為(電荷守恒)，此時內球殼電勢為零，且 得 外球殼上電勢 5-13 在半徑為的金屬球之外包有一層外半徑為的均勻電介質球殼，介質相對介電常數(shù)為，金屬球帶電．試求： (1)電介質內、外的場強； (2)電介質層內、外的電勢； (3)金屬球的電勢． 解: 利用有介質時的高斯定理 (1)介質內場強 ; 介質外場強 (2)介質外電勢 介質內電勢 (3)金屬球的電勢 題5-14圖 5-14 兩個同軸的圓柱面，長度均為，半徑分別為和(＞)，且>>-，兩柱面之間充有介電常數(shù)的均勻電介質.當兩圓柱面分別帶等量異號電荷和-時，求：(1)在半徑處/＜＜/，厚度為dr，長為的圓柱薄殼中任一點的電場能量密度和整個薄殼中的電場能量； (2)電介質中的總電場能量； (3)圓柱形電容器的電容． 解: 取半徑為的同軸圓柱面 則 當時， ∴ (1)電場能量密度 薄殼中 (2)電介質中總電場能量 (3)電容：∵ ∴ 題5-15圖 5-15 如題5-15圖所示，=0.25F，=0.15F，=0.20F ．上電壓為50V．求：． 解: 電容上電量 電容與并聯(lián) 其上電荷 ∴ 習題六 6-1 在同一磁感應線上，各點的數(shù)值是否都相等?為何不把作用于運動電荷的磁力方向定義為磁感應強度的方向? 解: 在同一磁感應線上，各點的數(shù)值一般不相等．因為磁場作用于運動電荷的磁力方向不僅與磁感應強度的方向有關，而且與電荷速度方向有關，即磁力方向并不是唯一由磁場決定的，所以不把磁力方向定義為的方向． 6-2 用安培環(huán)路定理能否求有限長一段載流直導線周圍的磁場? 答: 不能，因為有限長載流直導線周圍磁場雖然有軸對稱性，但不是穩(wěn)恒電流，安培環(huán)路定理并不適用． 6-3 已知磁感應強度Wbm-2的均勻磁場，方向沿軸正方向，如題9-6圖所示．試求：(1)通過圖中面的磁通量；(2)通過圖中面的磁通量；(3)通過圖中面的磁通量． 解： 如題9-6圖所示 題6-3圖 (1)通過面積的磁通是 (2)通過面積的磁通量 (3)通過面積的磁通量 (或曰) 題6-4圖 6-4 如題6-4圖所示，、為長直導線，為圓心在點的一段圓弧形導線，其半徑為．若通以電流，求點的磁感應強度． 解：如題9-7圖所示，點磁場由、、三部分電流產(chǎn)生．其中 產(chǎn)生 產(chǎn)生，方向垂直向里 段產(chǎn)生 ，方向向里 ∴，方向向里． 6-5 在真空中，有兩根互相平行的無限長直導線和，相距0.1m，通有方向相反的電流，=20A,=10A，如題9-8圖所示．，兩點與導線在同一平面內．這兩點與導線的距離均為5.0cm．試求，兩點處的磁感應強度，以及磁感應強度為零的點的位置． 題6-5圖 解：如題6-5圖所示,方向垂直紙面向里 (2)設在外側距離為處 則 解得 題6-6圖 6-6 如題6-6圖所示，兩根導線沿半徑方向引向鐵環(huán)上的，兩點，并在很遠處與電源相連．已知圓環(huán)的粗細均勻，求環(huán)中心的磁感應強度． 解： 如題9-9圖所示，圓心點磁場由直電流和及兩段圓弧上電流與所產(chǎn)生，但和在點產(chǎn)生的磁場為零。且 . 產(chǎn)生方向紙面向外 ， 產(chǎn)生方向紙面向里 ∴ 有 6-7 設題6-7圖中兩導線中的電流均為8A，對圖示的三條閉合曲線,,，分別寫出安培環(huán)路定理等式右邊電流的代數(shù)和．并討論： (1)在各條閉合曲線上，各點的磁感應強度的大小是否相等? (2)在閉合曲線上各點的是否為零?為什么? 解： (1)在各條閉合曲線上，各點的大小不相等． (2)在閉合曲線上各點不為零．只是的環(huán)路積分為零而非每點． 題6-7圖 6-8 一根很長的同軸電纜，由一導體圓柱(半徑為)和一同軸的導體圓管(內、外半徑分別 為,)構成，如題6-8圖所示．使用時，電流從一導體流去，從另一導體流回．設電流都是均勻地分布在導體的橫截面上，求：(1)導體圓柱內(＜),(2)兩導體之間(＜＜)，（3）導體圓筒內(＜＜)以及(4)電纜外(＞)各點處磁感應強度的大小 解： (1) (2) (3) (4) 題6-8圖 題6-9圖 6-9 在磁感應強度為的均勻磁場中，垂直于磁場方向的平面內有一段載流彎曲導線，電流為，如題6-9圖所示．求其所受的安培力． 解：在曲線上取 則 ∵ 與夾角，不變，是均勻的． ∴ 方向⊥向上，大小 題6-10圖 6-10 如題6-10圖所示，在長直導線內通以電流=20A，在矩形線圈中通有電流=10 A，與線圈共面，且，都與平行．已知=9.0cm,=20.0cm,=1.0 cm，求： (1)導線的磁場對矩形線圈每邊所作用的力； (2)矩形線圈所受合力和合力矩． 解：(1)方向垂直向左，大小 同理方向垂直向右，大小 方向垂直向上，大小為 方向垂直向下，大小為  (2)合力方向向左，大小為 合力矩 ∵ 線圈與導線共面 ∴ ． 6-11 一正方形線圈，由細導線做成，邊長為，共有匝，可以繞通過其相對兩邊中點的一個豎直軸自由轉動．現(xiàn)在線圈中通有電流，并把線圈放在均勻的水平外磁場中，線圈對其轉軸的轉動慣量為.求線圈繞其平衡位置作微小振動時的振動周期. 解：設微振動時線圈振動角度為 ()，則 由轉動定律 即 ∴ 振動角頻率 周期 6-12 一長直導線通有電流＝20A，旁邊放一導線，其中通有電流=10A，且兩者共面，如6-12圖所示．求導線所受作用力對點的力矩． 解：在上取，它受力 向上，大小為 對點力矩 方向垂直紙面向外，大小為 題6-12圖 6-13 電子在=7010-4T的勻強磁場中作圓周運動，圓周半徑=3.0cm．已知垂直于紙面向外，某時刻電子在點，速度向上，如題6-13圖． (1) 試畫出這電子運動的軌道； (2) 求這電子速度的大小； (3)求這電子的動能． 題6-13圖 解：(1)軌跡如圖 (2)∵ ∴ (3) 題6-14圖 6-14 題6-14圖中的三條線表示三種不同磁介質的關系曲線，虛線是=關系的曲線，試指出哪一條是表示順磁質?哪一條是表示抗磁質?哪一條是表示鐵磁質? 答: 曲線Ⅱ是順磁質，曲線Ⅲ是抗磁質，曲線Ⅰ是鐵磁質． 6-15 螺繞環(huán)中心周長=10cm，環(huán)上線圈匝數(shù)=200匝，線圈中通有電流=100 mA． (1)當管內是真空時，求管中心的磁場強度和磁感應強度； (2)若環(huán)內充滿相對磁導率=4200的磁性物質，則管內的和各是多少? *(3)磁性物質中心處由導線中傳導電流產(chǎn)生的和由磁化電流產(chǎn)生的′各是多少? 解: (1) (2)  (3)由傳導電流產(chǎn)生的即(1)中的 ∴由磁化電流產(chǎn)生的 習題七 7-1 一半徑=10cm的圓形回路放在=0.8T的均勻磁場中．回路平面與垂直．當回路半徑以恒定速率=80cms-1 收縮時，求回路中感應電動勢的大?。? 解: 回路磁通 感應電動勢大小 題7-2圖 7-2 如題7-2圖所示，載有電流的長直導線附近，放一導體半圓環(huán)與長直導線共面，且端點的連線與長直導線垂直．半圓環(huán)的半徑為，環(huán)心與導線相距．設半圓環(huán)以速度平行導線平移．求半圓環(huán)內感應電動勢的大小和方向及兩端的電壓 ． 解: 作輔助線，則在回路中，沿方向運動時 ∴ 即 又∵ 所以沿方向， 大小為 點電勢高于點電勢，即