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第四章 動能和勢能 思 考 題 4.1 起重機起重重物。問在加速上升、勻速上升、減速上升以及加速下降、勻速下降、減速下降六種情況下合力之功的正負(fù)。又：在加速上升和勻速上升了距離h這兩種情況中，起重機吊鉤對重物的拉力所做的功是否一樣多？ [解 答] 在加速上升、勻速上升、減速上升以及加速下降、勻速下降、減速下降六種況下合力之功的正負(fù)分別為：正、0、負(fù)、正、0、負(fù)。 在加速上升和勻速上升了距離h這兩種情況中，起重機吊鉤對重物的拉力所做的功不一樣多。加速上升 ；勻速上升 。 4.2 彈簧A和B，勁度系數(shù)，(1)將彈簧拉長同樣的距離；(2)拉長兩個彈簧到某一長度時，所用的力相同。在這兩種情況下拉伸彈簧的過程中，對那個彈簧做的功更多？ [解 答] (1) 拉長同樣距離 ｝,. (2) , , ｝, 4.3 “彈簧拉伸或壓縮時，彈簧勢能總是正的?！边@一論斷是否正確？如果不正確，在什么情況下，彈簧勢能會是負(fù)的。 [解 答] 與零勢能的選取有關(guān)。 4.4 一同學(xué)問：“二質(zhì)點相距很遠(yuǎn)，引力很小，但引力勢能大；反之，相距很近，引力勢能反而小。想不通”。你能否給他解決這個疑難？ [解 答] 設(shè)兩物體（質(zhì)點）相距無限遠(yuǎn)處為零勢能。 4.5 人從靜止開始步行，如鞋底不在地面上打滑，作用于鞋底的摩擦力是否做了功？人體的動能是哪里來的？分析這個問題用質(zhì)點系動能定理還是用能量守恒定律分析較為方便？ [解 答] （1）作用于鞋底的摩擦力沒有做功。 （2）人體的動能是內(nèi)力做功的結(jié)果。 （3）用質(zhì)點系動能定理分析這個問題較為方便。 4.6 一對靜摩擦力所做功的代數(shù)和是否總是負(fù)的？正的？為零？ [解 答] 不一定。 4.7 力的功是否與參考系有關(guān)？一對作用力與反作用力所做功的代數(shù)和是否和參考系有關(guān)？ [解 答] （1）有關(guān)。 如圖：木塊相對桌面位移（s-l）木板對木塊的滑動摩擦力做功f(s-l)若以木板為參照系，情況不一樣。 （2）無關(guān)。相對位移與參照系選取有關(guān)。（代數(shù)和不一定為零） 4.8 取彈簧自由伸展時為彈性勢能零點，畫出勢能曲線。再以彈簧拉伸或壓縮到某一程度時為勢能零點，畫出勢能曲線。根據(jù)不同勢能零點可畫出若干條勢能曲線。對重力勢能和萬有引力勢能也可如此作，研究一下。 [解 答] （1）彈簧原長為勢能零點 設(shè)處勢能為零。 （2）重力勢能：處勢能為零 處勢能為零 處勢能為零 萬有引力勢能與上雷同。兩質(zhì)點距離無限遠(yuǎn)處勢能為零 習(xí) 題 4.2.2 本題圖表示測定運動體能的裝置。繩拴在腰間沿水平展開跨過理想滑輪，下懸重物50kg。人用力向后登傳送帶而人的質(zhì)心相對于地面不動。設(shè)傳送帶上側(cè)以2m/s的速率向后運動。問運動員對傳送帶做功否？功率如何？ [解 答] 人作用到傳送帶上水平方向的力，大小為50g，方向向左。因為受力點有位移，所以運動員對傳送帶做功。 N=F=mg=50kg9.8N/kg2m/s=980w 4.2.3 一非線性拉伸彈簧的彈性力的大小為，表示彈簧的伸長量，為正。（1）研究當(dāng)和時彈簧的勁度有何不同；（2）求出將彈簧由拉伸至?xí)r彈簧對外做的功。 [解 答] （1）根據(jù)題意 所以彈簧勁度為 當(dāng)時，由于，所以，彈簧的勁度隨彈簧的伸長量的增加而增加。 當(dāng)時，彈簧的勁度隨彈簧的伸長量的增加而減小。 當(dāng)時，彈簧的勁度不變。 以上三種情況的彈簧勁度系數(shù)如右圖所示： （2）將彈簧由拉伸至?xí)r，彈簧對外界所做的功是： 當(dāng)時，拉伸，外界做功，彈性力做負(fù)功。 當(dāng)時，縮短，彈性力做正功。 4.2.4 一輕細(xì)線系一小球，小球在光滑水平面上沿螺線運動，繩穿過桌中心光滑圓孔，用力向下拉繩。證明力對線做的功等于線作用與小球的拉力所做的功。線不可伸長。 [解 答] 設(shè)為繩作用在小球上的力。力對小球所做的功為 將分解為沿方向和與垂直方向的兩個分位移(為對點的位矢) 如圖： 又 ∵繩子不可伸長 ∴ （是力的作用點的位移） ∵ 4.2.5 一輛卡車能夠沿著斜坡以的速率向上行使，斜坡與水平的夾角的正切，所受的阻力等于卡車重量的0.04，如果卡車以同樣的功率勻速下坡，卡車的速率是多少？ [解 答] 取卡車為隔離體，卡車上下坡時均受到重力mg、牽引力F、地面支持力N和阻力f作用。受力分析如圖所示： 上坡受力分析 下坡受力分析 上坡時： ∵卡車作勻速直線運動 ∴ 卡車的功率 下坡時： ∵卡車作勻速直線運動 ∴ 卡車的功率 由題意： 4.3.1 質(zhì)量為m=0.5kg的木塊可在水平光滑直桿上滑動。木塊與一不可伸長的輕繩相連。繩跨過一固定的光滑小環(huán)。繩端作用著大小不變的力T=50N.木塊在A點時具有向右的速率。求力T將木塊自A拉至B點的速度。 [解 答] T A B A B o 做功為零 由動能定理： 式中 利用積分公式： 則上式 注：關(guān)于T做功還有一種解法: 其中T為常量，其受力點的位移可利用三角形求。 4.3.2 質(zhì)量為1.2kg的木塊套在光滑鉛直桿上。不可伸長的輕繩跨過固定的光滑小環(huán)，孔的直徑遠(yuǎn)小于它到桿的距離。繩端作用以恒力F，F(xiàn)=60N.木塊在處有向上的速度，求木塊被拉至B時的速度。 [解 答] 重力做功 方向向上 4.3.3 質(zhì)量為m的物體與輕彈簧相連，最初，m處于使彈簧既未壓縮也為伸長的位置，并以速度向右運動。彈簧的勁度系數(shù)為，物體與支撐面之間的滑動摩擦系數(shù)為。求證物體能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離為。 [解 答] 由： 所以： 解一元二次方程： 由 舍去負(fù)號： 4.3.4 圓柱形容器內(nèi)裝有氣體，容器內(nèi)壁光滑。質(zhì)量為m的活塞將氣體密封。氣體膨脹后的體積各為和，膨脹前的壓強為?；钊跛俣葹椤＃?）求氣體膨脹后活塞的末速率，已知氣體膨脹時氣體壓強與體積滿足恒量。（2）若氣體壓強與體積的關(guān)系為恒量，為常量，活塞末速率又如何？（本題用積分） [解 答] （1） （2） 4.3.5 坐標(biāo)系與坐標(biāo)系各對應(yīng)軸平行。相對于沿x軸以作勻速直線運動。對于系，質(zhì)點動能定理為，,沿x軸。根據(jù)伽利略變換證明：相對于系，動能定理也取這種形式。 [解 答] ∵ ∴ ∵ ∴ 由動能定理得： ∴ 最后可得： 說明相對于系，動能定理的形式不變。 4.3.6 帶電量為e的粒子在均勻磁場中偏轉(zhuǎn)。A表示發(fā)射帶電粒子的離子源，發(fā)射的粒子在加速管道B中加速，得到一定速率后與C處在磁場洛侖茲力作用下偏轉(zhuǎn)，然后進入漂移管道D。若粒子質(zhì)量不同或電量不同或速率不同，在一定磁場中偏轉(zhuǎn)的程度也不同。在本題裝置中，管道C中心軸線偏轉(zhuǎn)的半徑一定，磁場感應(yīng)強度一定，粒子的電荷和速率一定，則只有一定質(zhì)量的離子能自漂移管道D中引出。這種裝置能將特定的粒子引出，稱為“質(zhì)量分析器”。各種正離子自離子源A引出后，在加速管中受到電壓為V的電場加速。設(shè)偏轉(zhuǎn)磁感應(yīng)強度為B，偏轉(zhuǎn)半徑為R.求證在管中得到的離子質(zhì)量為 . [解 答] 正離子從離子源引出后，在加速器中受到電壓V的電場加速。 正離子獲得的動能為(電勢能) 正離子的速度 由于正離子在磁場受到洛侖茲力的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn) ∴ 即： 4.3.7 輕且不可伸長的線懸掛質(zhì)量為500g的圓柱體。圓柱體又套在可沿水平方向移動的框架內(nèi)，框架槽沿鉛直方向?？蚣苜|(zhì)量為200g。自懸線靜止于鉛直位置開始，框架在水平力F=20.0N作用下移至圖中位置，球圓柱體的速度，線長20cm，不計摩擦。 [解 答] 以輕繩，圓柱體和框架組成的質(zhì)點組所受外力有：圓柱體重力，框架重力，輕繩拉力和作用在框架上的水平力。其中輕繩的拉力和不做功。質(zhì)點組所受內(nèi)力：框架槽和小球的相互作用力、，由于光滑，所以、做功之和為零。質(zhì)點組所力情況如圖： 根據(jù)質(zhì)點組動能定理： （1） 為圓柱體的絕對速度 為框架的絕對速度。 由于（見下圖） 將此式投影到圖中所示的沿水平方向的ox軸上，得： 帶入（1）式中 解得： 4.4.1 二僅可壓縮的彈簧組成一可變勁度系數(shù)的彈簧組，彈簧1和2的勁度系數(shù)分別各為和。它們自由伸長的長度相差。坐標(biāo)原點置于彈簧2自由伸展處。求彈簧組在和時彈性勢能的表示式。 [解 答] 彈性力 外力為 當(dāng)時，無勢能，只有有勢能。外界壓縮彈簧做功使勢能增加。設(shè)原點處為勢能零點，則： 時：原點為勢能零點 對于：外力做功 對于：外力做功 4.5.1 滑雪運動員自A自由下滑，經(jīng)B越過寬為d的橫溝到達(dá)平臺C時，其速度剛好在水平方向，已知兩點的垂直高度為25m。坡道在B點的切線方向與水平面成300角，不計摩擦。求（1）運動員離開B處的速率為，（2）B,C的垂直高度差h及溝寬d，（3）運動員到達(dá)平臺時的速率。 [解 答] （1）運動員在A到B的滑動過程中，受到了重力和地面支持力作用。（忽略摩擦）。重力為保守力，支持力不做功，所以機械能守恒。 以B點為重力勢能零點，得到運動員離開B處的速率： （2）運動員從B到C做拋物線運動，當(dāng)?shù)竭_(dá)C點時，由題意知：沿水平方向，說明正好到達(dá)拋物線的最高點。所以B、C的垂直高度 （3）因為運動員做拋物運動時在水平方向不受力，所以水平方向的動量守恒： （4）d的高度:水平射程的一半 4.5.2 裝置如圖所示：球的質(zhì)量為5kg，桿AB長1cm，AC長0.1m，A點距O點0.5m，彈簧的勁度系數(shù)為800N/m，桿AB在水平位置時恰為彈簧自由狀態(tài)，此時釋放小球，小球由靜止開始運動。球小球到鉛垂位置時的速度。不及彈簧質(zhì)量及桿的質(zhì)量，不計摩擦。 [解 答] 包含球桿彈簧的質(zhì)點組受力如圖所示： 不做功。 重力和彈性力為保守力（不計摩擦） 系統(tǒng)機械能守恒 設(shè)桿水平時勢能為零 （1） ∵（水平位置） （2） 將（2）式代入（1）式 4.5.3 物體Q與一勁度系數(shù)為24N/m的橡皮筋連結(jié)，并在一水平圓環(huán)軌道上運動，物體Q在A處的速度為1.0m/s，已知圓環(huán)的半徑為0.24m，物體Q的質(zhì)量為5kg，由橡皮筋固定端至B為0.16m，恰等于橡皮筋的自由長度。求（1）物體Q的最大速度；（2）物體Q能否達(dá)到D點，并求出在此點的速度。 [解 答] （1）取物體Q為隔離體 在豎直方向上Q所受的力的矢量和為零。 而在水平方向只受到彈力和光滑圓弧的水平方向的作用力作用，為保守力，不做功。所以機械能守恒。 設(shè)彈簧勢能零點為彈簧原點處： （B點速度最大） （2）在D點彈性勢能為： 因為 所以 4.6.1 盧瑟福在一篇文章中寫道：可以預(yù)言，當(dāng)粒子與氫原子相碰時，可使之迅速運動起來。按正碰撞考慮很容易證明，氫原子速度可達(dá)粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射粒子能量的64%。試證明此結(jié)論（碰撞是完全彈性的，且粒子質(zhì)量接近氫原子質(zhì)量的四倍）。 [解 答] 設(shè)粒子的質(zhì)量為4，氫原子的質(zhì)量為；粒子的初速度為，氫原子的初速度為； 正碰后，粒子的速度為，氫原子的速度為。 由公式: 將以上數(shù)據(jù)代入： 入射粒子的能量： 氫原子碰后的能量： 則： 4.6.2 m為靜止車廂的質(zhì)量，質(zhì)量為M的機車在水平軌道上自右方以速率滑行并與m碰撞掛鉤。掛鉤后前進了距離s然后靜止。求軌道作用于車的阻力。 [解 答] 選取機車和車廂為質(zhì)點組 掛鉤時為完全非彈性碰撞。因為沖擊力大于阻力，可視為動量守恒。 撞后：由動能定理 4.6.3 兩球具有相同的質(zhì)量和半徑，懸掛于同一高度。靜止時，兩球恰能接觸且懸線平行。碰撞的恢復(fù)系數(shù)為e。若球A自高度釋放，求該球彈回后能達(dá)到的高度。又問若兩球發(fā)生完全彈性碰撞，會發(fā)生什么現(xiàn)象，試描述之。 [解 答] （1）A球碰前的速度，由機械能守恒： （1） A與B發(fā)生非彈性碰撞 （2） 又知： （3） 由（1）（2）（3）式得： （4） A球上升高度：機械能守恒 （2）若兩球發(fā)生完全彈性碰撞 由（4）式 再由（2）式 即A球靜止，B球以A球碰前的速度開始運動。當(dāng)B球上升后（高度）又落下與A球再次發(fā)生完全彈性碰撞。 ，A球以速度開始向上運動。如此往復(fù)。 4.6.4 質(zhì)量為2g的子彈以500m/s的速度射向質(zhì)量為1kg、用1m長的繩子懸掛著的擺。子彈穿過擺后仍然有100m/s的速度。問擺沿鉛直方向升起若干。 [解 答] 第一階段，動量守恒 第二階段，機械能守恒 4.6.5 一質(zhì)量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來使彈簧伸長10cm。今有一質(zhì)量為200g的鉛塊在高30cm處從靜止開始落入框架。秋此框架向下移動的最大距離。彈簧質(zhì)量不計?？諝庾枇Σ挥?。 [解 答] 鉛塊下落到框底速度為 （1） 接下來，鉛塊與框架底發(fā)生完全非彈性碰撞。由于沖擊力大于重力、彈性力，可視為動量守恒。 （2） （由于碰撞時間短，下降距離為零） 以后以共同速度下降：機械能守恒 設(shè)彈簧自由伸長處框架底板的位置為重力、彈性勢能零點。碰撞前彈簧伸長為，碰撞后質(zhì)點移動的最大距離為。 （3） 依題意 （4） （2）（4）式代入（3）式： 舍去負(fù)號項， 4.6.6 質(zhì)量為=0.790kg和=0.800kg的物體以勁度系數(shù)為10N/m的輕彈簧相連，置于光滑水平桌面上。最初彈簧自由伸張。質(zhì)量為0.01kg的子彈以速率=100m/s沿水平方向射于內(nèi)，問彈簧最多壓縮了多少？ [解 答] 第一階段：完全非彈性碰撞 （1） 第二階段：彈簧被壓縮最甚，動量守恒。 （2） （為共同速度） 再由機械能守恒： （3） 有（1）（2）（3）式解出： 4.6.7 一10g的子彈沿水平方向以速率110m/s擊中并嵌入質(zhì)量為100g小鳥體內(nèi)。小鳥原來站在離地面4.9m高的樹枝上，求小鳥落地處與樹枝的水平距離。 [解 答] 第一階段是子彈擊中小鳥，兩者發(fā)生完全非彈性碰撞 水平方向動量守恒： （為子彈、小鳥共同速度） 第二階段是子彈和小鳥一起做平拋運動 小鳥落地時間： 水平距離： 4.6.8 在一鉛直面內(nèi)有一個光滑軌道，左面是一個上升的曲線，右邊是足夠長的水平直線，二者平滑連接，現(xiàn)有A、B兩個質(zhì)點，B在水平軌道上靜止，A在曲線部分高h(yuǎn)處由靜止滑下，與B發(fā)生完全彈性碰撞。碰后仍可返回上升到曲線軌道某處，并再度下滑，已知A、B兩質(zhì)點的質(zhì)量分別為和。求至少發(fā)生兩次碰撞的條件。 [解 答] 分三個階段： 第一階段，A第一次與B完全彈性碰撞。 設(shè)，A撞前速度為，撞后速度為； B撞前速度為零，撞后速度為。 由公式： 得： 要使質(zhì)點返回，必須，即 第二階段，A返回上升到軌道某處，并再度下滑到平面軌道。 由機械能守恒： （是再度下滑到平面軌道的速度） 得 第三階段，A，B再次碰撞。 要求，即將上面的，代入此式 即 這是A，B至少發(fā)生兩次碰撞的條件。 4.6.9 一鋼球靜止地放在鐵箱的光滑底面上，如圖示。CD長。鐵箱與地面間無摩擦。鐵箱被加速至?xí)r開始做勻速直線運動。后來，鋼球與箱壁發(fā)生完全彈性碰撞。問碰后再經(jīng)過多長時間鋼球與BD壁相碰？ [解 答] 選取鐵箱和鋼球為質(zhì)點組，以地面為參考系，坐標(biāo)系。 第一階段，鋼球與AC發(fā)生完全彈性碰撞。 設(shè)為鐵箱碰撞前后速度， 為小球碰撞前后速度。 由完全彈性碰撞： 即碰撞前后鋼球相對鐵箱的速度為。 第二階段，是鋼球在箱內(nèi)運動，直至與BD相碰。 取鋼球為研究對象，選取鐵箱為參照系，由于鐵箱表面光滑，所以小球在箱內(nèi)作勻速直線運動?？傻娩撉蚺龊笤倥c壁相碰的時間間隔為 4.6.10 兩車廂質(zhì)量均為M。左邊車廂與其地板上質(zhì)量為M的貨箱共同向右以運動。另一車廂以2從相反方向向左運動并與左車廂碰撞掛鉤，貨箱在地板上滑行的最大距離為。求： （1）貨箱與地板間的摩擦系數(shù)； （2）車廂在掛鉤后走過的距離，不計車地間摩擦。 [解 答] （1）第一步：兩車廂完全非彈性碰撞， 第二步：內(nèi)力作功，使體系動能改變，由動能定理以地面為參照系; （2）碰撞后系統(tǒng)在水平方向的動能守恒。 系統(tǒng)的動量： 系統(tǒng)總動量為零，質(zhì)心不動。 (常量) （1） （2） （3） 解（2）（3）式得： 4.7.1 質(zhì)量為m的氘核的速率u與靜止的質(zhì)量為2m的粒子發(fā)生完全彈性碰撞，氘核以與原方向成角散射。（1）求粒子的運動方向，（2）用u表示粒子的末速度，（3）百分之幾的能量由氘核傳給粒子？ [解 答] （1）由動量守恒： 即： 由（完全彈性碰撞） 在方向上有關(guān)系式： （3） （1）（2）式代入（3）式得： （2） 由（1）式 （3） 動能比： 4.7.2 參考3.8.7題圖。桑塔娜空車質(zhì)量為，載質(zhì)量為70kg一人，向北行駛。另一質(zhì)量為的切諾基汽車向東行駛。而車相撞后連成一體，沿東偏北滑出d=16m而停止。路面摩擦系數(shù)為。該地段規(guī)定車速不得超過80km/。問那輛車違背交通規(guī)則？又問因相撞損失多少動能？ [解 答] 碰后的共同速度 （1） （2） （3） 解得： 切諾基超速。 碰撞損失的動能： 第十章 波動和聲 習(xí)題 10.2.1 頻率在20至20000Hz的彈性波能使人耳產(chǎn)生聽到聲音的感覺.0時，空氣中的聲速為331.5m/s，求這兩種頻率聲波的波長. [解 答] ∵ ∴ 10.2.2 一平面簡諧聲波的振幅為0.001m，頻率為1483Hz，在20的水中傳播，寫出其波方程. [解 答] 已知表P309知波速1483m/s。 設(shè)O-x軸沿波傳播方向，x表示質(zhì)元平衡位置坐標(biāo)，y表示質(zhì)心相對平衡位置的位移，選坐標(biāo)原點處位相為零的時刻為計時起點。即原點處初相為零。則位于處的體元相位落后。即： 10.2.3 已知平面簡諧波的振幅，波長1m，周期為，寫出波方程（最簡形式）.又距波源9m和10m兩波面上的相位差是多少？ [解 答] 選坐標(biāo)原點處位相為零刻為計時起點。O-x軸沿波傳播方向，則可得波的最簡形式： 代入已知數(shù)據(jù)得 設(shè)波源處為，則 因此位相差是： 10.2.4 寫出振幅為A，，波速為，沿Ox軸正方向傳播的平面簡諧波方程.波源在原點O，且當(dāng)t=0時，波源的振動狀態(tài)被稱為零，速度沿Ox軸正方向. [解 答] 波源振動方程： 因此波源振動方程為： 任一處的位相比波源的相位落后，得波方程為 將已知量代入得： 10.2.5 已知波源在原點（）的平面簡諧波方程為 ， A,b,c均為常量。試求：（1）振幅，頻率，波速和波長；（2）寫出在傳播方向上距波源處一點的振動方程式，此質(zhì)點振動的初位相如何？ [解 答] 與平面簡諧波方程的標(biāo)準(zhǔn)形式比較可得： （1） 振幅為A，頻率：； 波速，波長 （2）時，該點的振動方程式為： 此質(zhì)點振動的初位相為 。 10.2.6 一平面簡諧波逆軸傳播，波方程為 ， 試?yán)酶淖冇嫊r起點的方法將波方程化成最簡形式。 [解 答] ，最簡形式應(yīng)為 如改變計時起點后的新計時系統(tǒng)以應(yīng)滿足 ，因此 即將計時起點提前3秒，就可將波方程化成最簡形式 10.2.7 平面簡諧波方程，試用兩種方法畫出時的波形圖。（SI） [解 答] 的波形圖。 方法一：有方程求得。 找出對應(yīng)于方程的各（x,y）點,例如： 通過各點描繪出所求波形圖（右圖）。 方法二：由方程求得， 先畫出的圖形，在將縱坐標(biāo)軸向右移動： 即向右移動，就可以得到所求的波形圖。 10.2.8 對于平面簡諧波畫出處體元的位移-時間曲線。畫出時的波形圖。 [解 答] （1） 可求得T=12s,t=0時； （2）t=3s、6s時波形圖 其相位與t=3s時相差，所以將t=3s的波形圖向右移，即得t=6s時的波形圖。 10.2.9 二圖分別表示向右和向左傳的兩列平面簡諧波在某瞬時的波形圖，說明此時以及各質(zhì)元的位移和速度為正還是為負(fù)？它們的相位如何？（對于和只要求說明其相位在第幾象限） [解 答] 若波用余弦函數(shù)表示,則所求結(jié)果如下表. 橫坐標(biāo) 位移 速度 相位 正最大 0 負(fù) 負(fù) Ⅱ象限 0 負(fù)最大 正最大 0 負(fù) 正 Ⅲ象限 0 正最大 10.2.10 圖（a）、（b）分別表示和時的某一平面簡諧波的波形圖。試寫出此平面簡諧波波方程。 (a) (b) [解 答] 由圖知 由圖(a)知,原點處質(zhì)元t=0時,位移最大,速度為零,因此原點處質(zhì)元初相. 比較t=0和t=2s的(a)(b)圖知, 因此 取, 將之值代入波方程的一般表示式就可以得到所求波方程的一個表達(dá)式: 10.3.1 有一圓形橫截面的銅絲，手張力1.0N，橫截面積為1.0.求其中傳播橫波和縱波時的波速各多少？銅的密度為，銅的楊氏模量為. [解 答] 可把很細(xì)的銅絲看作柔軟的弦線(設(shè)弦線的密度為),計算在其中傳播的橫波的波速. 10.3.2 已知某種溫度下水中聲速為，求水的體變模量. [解 答] 已知 10.4.1 在直徑為14cm管中傳播的平面簡諧聲波.平均能流密度，，.（1）求最大能量密度和平均能量密度，（2）求相鄰?fù)辔徊骈g的總能量. [解 答] (1) 能量密度 最大能量密度 能流密度 已知 平均能流密度 (2) 由于相鄰?fù)幌嗖骈g的距離為.一周期內(nèi)單位體積媒質(zhì)具有的平均能量為,因此相鄰?fù)幌嗖骈g的總能量為 10.4.3 面向街道的窗口面積約，街道上的噪聲在窗口的聲強級為60dB，問有多少聲功率傳入室內(nèi)（即單位時間內(nèi)進入多少聲能）？ [解 答] 聲功率 10.4.4 距一點聲源10m的地方，聲音的聲強級為20dB.求（1）距聲源5m處的聲強級；（2）距聲源多遠(yuǎn)，就聽不到1000Hz的聲音了？ [解 答] (1) (2) 設(shè)距聲源時,剛好聽不到聲音 10.5.1 聲音干涉儀用于顯示聲波的干涉,見圖.薄膜S在電磁鐵的作用下振動.D為聲音檢測器,SBD長度可變,SAD長度固定.聲音干涉儀內(nèi)充滿空氣.當(dāng)B處于某一位置時,在D處聽到強度為100單位的最小聲音,將B移動則聲音加大,當(dāng)B移動1.65時聽到強度為900單位的最強音. (1)求聲波的頻率,(2)求到達(dá)D處二聲波振幅之比.已知聲速為342.4. [解 答] (1)由最小聲音到相鄰的最強音,經(jīng)SAD,SBD管內(nèi)穿到D處的二相干波,傳播距離差應(yīng)改變,此改變量是由B管的移動引起的,因此 (2) 10.5.2 兩個聲源發(fā)出橫波,振動方向與紙面垂直,二波源具有相同的位相,波長. (1)至少求出三個數(shù)值使得在P點合振動最強,(2) 求出三個數(shù)值使得在P點合振動最弱. [解 答] 此二橫波振動方向相同,波長相同,在同一種媒質(zhì)中傳播,波速相同,因此其周期相同,圓頻率也相同,傳到P點的此二橫波的方程可寫成: (1)在P點合振動最強時,二橫波在該點引起的多振動位相相同,即 由此得, . 已知 取 時得 10.5.3 試證明兩列頻率相同,振動方向相同,傳播方向相反而振幅大小不同的平面簡諧波相疊加可形成一駐波與一行波的疊加. [解 答] 設(shè)滿足題目要求的二平面簡諧波為: 則: 此結(jié)果的前一項表示一行波,后一項表示一駐波,可見滿足題目要求的二平面簡諧波疊加后形成了一駐波與一行波的疊加. 10.5.4 入射波在固定端反射,坐標(biāo)原點與固定端相距,寫出反射波方程.無振幅損失.(SI) [解 答] 反射波的振幅,頻率,波速均與入射波相同,傳播方向與入射波傳播方向相反,初位相也不同,因入射波在坐標(biāo)原點的初位相為零.故反射波在原點的初位相為: 其中為落后位相,為半波損失. 入射波 可見 由以上各條件可寫出所求反射波在原點的振動方程: 反射波的振動方程為: 10.5.5 入射波方程為,在X=0處的自由端反射,求反射波的波方程.無振幅損失. [解 答] 由入射波方程 知 反射波振幅為A,周期為T,波長為,傳播方向沿坐標(biāo)軸O-X正方向.因在X=0處自由端反射,故反射波與入射波在原點處位相相同. 因此反射波方程為: 10.5.6 圖示某一瞬時入射波的波形圖, 在固定端反射.試畫出此瞬時反射波的波形圖.無振幅損失. [解 答] 因為反射波與入射波傳播方向相反,在固定端反射時,二者位相差為,所以可以按以下方法作出反射波波形圖: 以界面處質(zhì)元平衡位置為原點如圖建立坐標(biāo)系. 設(shè)入射波波方程為 先作出入射波波形圖,以軸為對稱軸的對稱波形圖,并畫出該波形圖在固定端左側(cè)的部分.設(shè)此波是逆X軸正方向傳播的,則其方程可寫為 因為固定端反射波在界面處有半波損失,所以反射波方程應(yīng)為: 其波形應(yīng)比前述的入射波對稱波形圖向右移動半個波長.可見這兩個波形圖是以X軸為對稱軸的對稱圖形.因此,再作出以X軸為對稱軸的前述波形圖的對稱圖形.即得所求反射波的波形圖. 10.5.7 若10.5.6題圖中為自由端反射,畫出反射波波形圖. [解 答] 因為入射波在自由端反射時,沒有半波損失,即反射波和入射波在界面處位相相同,而傳播方向相反,所以反射波波形圖是入射波波形圖以界面為對稱的對稱圖形,其圖形如圖所示 10.5.8 一平面簡諧波自左向右傳播,在波射線上某質(zhì)元A的振動曲線如圖示.后來此波在前進方向上遇儀障礙物而反射,并與該入射平面簡諧波疊加形成駐波,相鄰波節(jié)波腹距離為,以質(zhì)元A的平衡位置為軸原點,寫出該入射波波方程. [解 答] 振動的一般方程可寫為 由題意知 因此,質(zhì)元A的振動方程為: 這就是所求波方程中原點處質(zhì)心的振動方程. 已知相鄰波節(jié),波腹間距離為 由以上諸條件可寫出以質(zhì)元A的平衡位置為OY軸原點的入射波方程為: 10.5.9 同一媒質(zhì)中有兩個平面簡諧波波源作同頻率,同方向,同振幅的振動.二波相對傳播,波長.波射線上A,B兩點相距.一波在A處為波峰時,另一波在B處位相為.求AB連線上因干涉而靜止的各點的位置. [解 答] 由已知條件可知,此二平面簡諧波為相干波,在二波源間的連線上形成駐波. 以A為原點建立OX坐標(biāo)軸,以甲波在點位相為零時刻為計時起點.在A,B間, 甲波方程為: 乙波方程為: 由題知,甲波在A處質(zhì)點位移為正最大時,在處的B點位相為,因此當(dāng)時,在處 當(dāng)AB間的點因干涉而靜止時,甲乙二波在該點的位相差應(yīng)滿足: 當(dāng) 時, ,這就是AB間靜止各點的位置坐標(biāo). 10.5.10 一提琴弦長50,兩端固定.不用手指按時,發(fā)出的聲音是A調(diào):440.若欲發(fā)出C調(diào):528,手指應(yīng)按在何處? [解 答] 音調(diào)決定了基頻,弦的基頻為 一定, 已知 因此 10.5.11 張緊的提琴弦能發(fā)出某一種音調(diào),若欲使它發(fā)生的頻率比原來提高一倍,問弦內(nèi)張力應(yīng)增加多少倍? [解 答] 因此,弦內(nèi)張力應(yīng)增加3倍. 10.7.1 火車以速率駛過一個在車站上的觀察者,火車發(fā)出的汽笛聲頻率為.求觀察者聽到的聲音的變化.設(shè)聲速是 [解 答] 近似認(rèn)為靜止的觀察者和火車軌道在同一直線上,則當(dāng)火車駛向觀察者時,觀察者聽到的聲音的頻率為 當(dāng)火車駛離觀察者時,觀察者聽到的聲音的頻率為: 因此,火車駛過觀察者時, 觀察者聽到的聲音頻率的變化為: 10.7.2 兩個觀察者A和B攜帶頻率均為1000的聲源.如果A靜止,而B以的速度向A運動,那么A和B聽到的拍是多少?設(shè)聲速是340. [解 答] 對A來說,系觀察者靜止,聲源運動,因此A聽到的頻率為: A聽到的拍頻為 對B來說,系觀察者運動,聲源靜止,因此B聽到的頻率為: B聽到的拍頻為 10.7.3 一音叉以速率接近墻壁,觀察者在音叉后面聽到拍音頻率,求音叉振動頻率. 設(shè)聲速是340. [解 答] 若音叉后的觀察者直接聽到音叉的頻率為,聽到經(jīng)玻璃反射的頻率為,因波源(音叉)在運動,所以: 拍頻 因此 10.7.4在醫(yī)學(xué)診斷上用多普勒效應(yīng)測內(nèi)臟器壁或血球的運動速度.設(shè)將頻率為的超聲脈沖垂直射向蠕動的膽囊壁,得到回聲頻率,求膽囊壁的運動速率.設(shè)膽內(nèi)聲速為. [解 答] 設(shè)膽囊內(nèi)聲速為,膽運動速度為