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習(xí) 題 1-1. 已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為 )ωts inωt(co s ji ?? Rr 其中 ? 為常量．求：（ 1）質(zhì)點(diǎn)的軌道； (2)速度和速率。 解： 1） 由 )ωts inωt(co s ji ?? Rr 知 tcosRx ω? tsinRy ω? 消去 t 可得軌道方程 222 Ryx ?? 2） jrv tR c o ss in ωωtωRωdtd ???? i RωtωRωtωRωv ???? 2122 ])c o s()s i n[( 1-2. 已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為 jir )t23(t4 2 ??? ，式中 r 的單位為 m ， t 的單位為 s .求：（ 1）質(zhì) 點(diǎn)的軌道；（ 2）從 0?t 到 1?t 秒的位移；（ 3） 0?t 和 1?t 秒兩時(shí)刻的速度。 解： 1）由 jir )t23(t4 2 ??? 可知 2t4x? t23y ?? 消去 t 得軌道方程為： 2)3y(x ?? 2） jirv 2t8dtd ??? jijivr 24) d t2t8(dt 1010 ????? ??Δ 3） jv 2(0)? jiv 28(1) ?? 1-3. 已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為 jir tt 22 ?? ，式中 r 的單位為 m ， t 的單位為 s .求：（ 1）任一時(shí)刻 的速度和加速度；（ 2）任一時(shí)刻的切向加速度和法向加速度。 解： 1） jirv 2t2dtd ??? iva 2dtd ?? 2） 212212 )1t(2]4)t2[(v ???? 1t t2dtdva 2t ??? 22 22 1nta a a t? ? ? ? 1-4. 一升降機(jī)以加速度 a 上升，在上升過程中有一螺釘從天花板上松落，升降機(jī)的天花板與底板相距為 d ，求螺 釘從天花板落到底板上所需的時(shí)間。 解：以地面為參照系，坐標(biāo)如圖，升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為 2 01 21 attvy ?? （ 1） 圖 1-4 2 02 21 gttvhy ??? （ 2） 21 yy ? （ 3） 解之 2dt ga? ? 初速度 0v 水平拋出，求： 1-5. 一質(zhì)量為 m 的小球在高度 h 處以 （ 1）小球的運(yùn)動(dòng)方程； （ 2）小球在落地之前的軌跡方程； （ 3）落地前瞬時(shí)小球的 tddr ， tddv ， tvdd . 解：（ 1） tvx 0? 式（ 1） 2gt21hy ?? 式（ 2） jir )gt21-h(tv( t ) 2 0 ?? （ 2）聯(lián)立式（ 1）、式（ 2）得 20 2 v2gxhy ?? （ 3） jir gt-vtdd 0? 而 落地所用時(shí)間 gh2t? 所以 jir 2gh-vtdd 0? jv gtdd ?? 2202y2x )gt(vvvv ????? 2 112 2 22200 2[ ( ) ] ( 2 )g g hgtdvdt v g t v g h???? 1-6. 路燈距地面的高度為 1h ，一身高為 2h 的人在路燈下以勻速 1v 沿直線行走。試證明人影的頂端作勻速運(yùn)動(dòng)， 并求其速度 2v . 證明：設(shè)人從 O 點(diǎn)開始行走， t 時(shí)刻人影中足的坐標(biāo)為 1x ，人影中頭的坐標(biāo)為 2x ，由幾何關(guān)系可得 圖 1-6 2 1 12 2 hhxx x ?? 而 tvx 01? 021 121 112 vhh thhh xhx ???? 所以，人影中頭的運(yùn)動(dòng)方程為 人影中頭的速度 021 122 vhh hdtdxv ??? 1-7. 一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 2242 ttx ??? (m)，在 t 從 0 秒到 3 秒的時(shí)間間隔內(nèi)，則質(zhì)點(diǎn)走過的路 程為多少？ 解： tdtdxv 44??? 若 0?v 解的 st 1? mxxx 22)242(011 ???????? mxxx 8)242()32342( 2133 ????????????? mxxx 1021 ?????? cm20?h ，斜面對(duì)水平的傾角1-8. 一彈性球直落在一斜面上，下落高度 ?30?? ，問它第二次碰到斜面的位置距原來 的下落點(diǎn)多遠(yuǎn) (假設(shè)小球碰斜面 前后速度數(shù)值相等，碰撞時(shí)人射角等于反射角 )。 圖 1-8 解：小球落地時(shí)速度為 ghv 20 ? 一 建立直角坐標(biāo)系， 以小球第一 次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖 000 60cosvvx ? 200 0 60c o s2160c o s tgtvx ?? （ 1） 000 60sinvvy ? 200 0 60s in2160s in tgtvy ?? （ 2） 第二次落地時(shí) 0?y gvt 02? 所以 m gvtgtvx 8.0260c o s2160c o s 20200 0 ???? 1-9. 地球的自轉(zhuǎn)角速度最大增加到若干倍時(shí)，赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開地球 ?已知現(xiàn)在赤道上 物體的向心加速度約為 2s/cm4.3 ，設(shè)赤道上重力加速度為 2m/s80.9 . 解：赤道上的物體仍能保持在地球必須滿足 2?Rg? 現(xiàn)在赤道上物體 R 2104.3 ????? 17 104.3 8.9 2 ???? ??? 1-10. 已知子彈的軌跡為拋物線，初速為 0v ，并且 0v 與水平面的夾角為 ? .試分別求出拋物線頂點(diǎn)及落地點(diǎn)的曲率 半徑。 解：在頂點(diǎn)處子彈的速度 ?cos0vv? ，頂點(diǎn)處切向加速度為 0。 因此有： ? ?? 202 )co s(vvg ?? gv ?? 220 cos? 在落地點(diǎn)速度為 0v ?? 20cos vg ? ?? cos 20 g v? 1-11. 飛機(jī)以 s/m1000 ?v 的速度沿水平直線飛行，在離地面高 m98?h 時(shí)，駕駛員要把物品投到前方某一地面 目標(biāo)上，問：投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和豎直線應(yīng)成什么角度 ?此時(shí)目標(biāo)距飛機(jī)下方地點(diǎn)多遠(yuǎn) ? 解：設(shè)此時(shí)飛機(jī)距目標(biāo)水平距離為 x 有： tvx 0? 221gth? 聯(lián)立方程解得： mx 447? 05.77arct an ?? hx? 1-12. 設(shè)將兩物體 A 和 B 分別以初速 Av 和 Bv 拋擲出去． Av 與水平面的夾角為 ? ； Bv 與水平面的夾角為 ? ，試 證明在任何時(shí)刻物體 B 相對(duì)物體 A 的速度是常矢量。 解：兩個(gè)物體在任意時(shí)刻的速度為 jiv A )s i n(c o s0 gtvv 0 ??? ?? jiv B g t )-s i n(c o s0 ?? 0vv ?? jivvv ABA )s i ns i n()c o sc o s(- 0000B ???? vvvv ?????? 與時(shí)間無關(guān)，故 B 相對(duì)物體 A 的速度是常矢量。 1-13. 一物體和探測(cè)氣球從同一高度豎直向上運(yùn)動(dòng)，物體初速為 s/m0.490 ?v ，而氣球以速度 s/m6.19?v 勻速 上升，問氣球中的觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測(cè)得物體的速度各多少？ 物體在任意時(shí)刻的速度表達(dá)式為 gtvvy ?? 0 故氣球中的觀察者測(cè)得物體的速度 vvv y ??? 代入時(shí)間 t 可以得到第二秒末物體速度 smv 8.9?? 第三秒末物體速度 0??v 第四秒末物體速度 smv 8.9??? 1-14. 質(zhì)點(diǎn)沿 x 在軸向運(yùn)動(dòng)，加速度 kva ?? ， k 為常數(shù)．設(shè)從原點(diǎn)出發(fā)時(shí)速度為 0v ，求運(yùn)動(dòng)方程 )(txx? . 解： kvdtdv ?? ?? ?? tv v kdtdvv 00 1 tkevv ?? 0 tkevdtdx ?? 0 dtevdx tktx ??? ? 0 00 )1(0 tkekvx ??? 1-15. 跳水運(yùn)動(dòng)員自 m10 跳臺(tái)自由下落，入水后因受水的阻礙而減速，設(shè)加速度 2kva ?? ， 1m4.0 ??k .求運(yùn)動(dòng) 員速度減為入水速度的 10%時(shí)的入水深度。 解：取水面為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為 x 軸 跳水運(yùn)動(dòng)員入水速度 smghv 142 0 ?? dxdvvdtdvkv ??? 2 ?? ?? x v v k dxdvv 010 0 0 1 mkx 76.510ln1 ?? 1-16. 一飛行火箭的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為： )1ln ()1( bttbuutx ???? ，其中 b 是與燃料燃燒速率有關(guān)的量， u 為燃?xì)庀?對(duì)火箭的噴射速度。求：（ 1）火箭飛行速度與時(shí)間的關(guān)系；（ 2）火箭的加速度。 解：（ 1） )1ln ( btudtdxv ???? （ 2） btubdtdva ??? 1 1-17. 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： ,2,s i n,c o s thztRytRx ???? ??? 式中 ?、、 hR 為正的常量。求：（ 1）質(zhì) 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程；（ 2）質(zhì)點(diǎn)的速度大小；（ 3）質(zhì)點(diǎn)的加速度大小。 解：（ 1）軌道方程為 222 Ryx ?? thz ??2? 這是一條空間螺旋線。 在 Oxy 平面上的投影為圓心在原點(diǎn)，半徑為 R 的圓，螺距為 h （ 2） tRdtdxv x ?? s in??? 2 22222 4?? hRvvvv zyx ????? （ 3） tRa x ?? cos2?? tRay ?? sin2?? 0?za 222 ?Raaa yx ??? 思考題 1-1. 質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度為 v ，瞬時(shí)速率為 v ，平均速度為 v ，平均速率為 v ，則它們之間的下列四種 關(guān)系中哪一種是正確的 ? （ 1） vv ?? vv , ；（ 2） vv ?? vv , ；（ 3） vv ?? vv , ；（ 4） vv ?? vv , 答： （ 3） 1-2. 質(zhì)點(diǎn)的 tx~ 關(guān)系如圖，圖中 a ， b ， c 三條線表示三 個(gè)速度不同的運(yùn)動(dòng)．問它們屬于 什么類型的運(yùn)動(dòng) ?哪一個(gè)速度大？哪一個(gè)速度小？ 答： cba vvv ?? 1-3. 結(jié)合 tv~ 圖，說明平均加速度和瞬時(shí)加速度的幾何意義。 答：平均加速度表示速度 v? 在 t? 時(shí)間內(nèi)的平均變化率，它只能粗略地反映運(yùn)動(dòng)速度的變化程度和方向，而瞬時(shí) 加速度能精確反映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的變化及方向。 1-4. 運(yùn)動(dòng)物體的加速度隨時(shí)間減小，而速度隨時(shí)間增加，是可能的嗎？ 答：是可能的。加速度隨時(shí)間減小，說明速度隨時(shí)間的變化率減小。 1-5. 如圖所示， 兩船 A 和 B 相距 R ，分別以速度 Av 和 Bv 勻速直線行駛，它們會(huì)不會(huì)相碰 ?若不相碰，求兩船相靠最近的距離．圖中 ? 和 ? 為已知。 答：方法一 如圖，以 A 船為參考系，在該參考系中船 A 是靜止的，而船 B 的速度 Avvv B ??? . v? 是船 B 相對(duì)于船 A 的速度 ,從船 B 作一條平行于 v? 方向的直線 BC,它不與船 A 相交 ,這表明兩船不會(huì)相碰 . 由 A 作 BC 垂線 AC,其長度 minr 就是兩船相靠最近的距離 ?sinmin Rr ? 作 FD//AB,構(gòu)成直角三角形 DEF,故有 v vv AB ??? ??? s i ns i ns i n 在三角形 BEF 中 ,由余弦定理可得 )c o s (222 ?? ????? BABA vvvvv Rvvvv vvr BABA AB )c o s (2 s i ns i n22m in ???? ??? ?? 方法二： 兩船在任一時(shí)刻 t 的位置矢量分別為 jir A )t s in)c o s( ?? BA vtv (?? jir B )t s in)c o s( ?? BB vtvR (??? jirrr A ])s i ns i n[(])c o sc o s([-B tvvtvvR ABAB ???? ?????? 任一時(shí)刻兩船的距離為 22 ])s i ns i n[(])c o sc o s([ tvvtvvRr ABAB ???? ????? 令 0)( ?dttdr Rvvvv vvt ABAB AB 22 )s i ns i n()c o sc o s( c o sc o s ???? ?? ??? ?? Rvvvv vvr BABA AB )c o s (2 s i ns i n22m in ???? ??? ?? 1-6. 若質(zhì)點(diǎn)限于在平面上運(yùn)動(dòng)，試指出符合下列條件的各應(yīng)是什么樣的運(yùn)動(dòng)？ （ 1） 0dd ?tr ， 0dd ?tr ；（ 2） 0dd ?tv ， 0dd ?tv ；（ 3） 0dd ?ta ， 0dd ?ta 答 : (1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng) . (2) 質(zhì)點(diǎn)作勻速率曲線運(yùn)動(dòng) . (3) 質(zhì)點(diǎn)作拋體運(yùn)動(dòng) . 1-7. 一質(zhì)點(diǎn)作斜拋運(yùn)動(dòng)，用 1t 代表落地時(shí)， . （ 1）說明下面三個(gè)積分的意義： tvtvtv tt yt x d,d,d 111 000 ??? . （ 2）用 A 和 B 代表拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)位置，說明下面三個(gè)積分的意義： ? ?? BA BABA rd,d,d rr . 答 : tvt xd 1 0? 表示物體落地時(shí) x 方向的距離 tvt yd1 0? 表示物體落地時(shí) y 方向的距離 tvt d1 0? 表示物體在 1t 時(shí)間內(nèi)走過的幾何路程 . ?BArd 拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)的位移 ?BA rd 拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小 ?BAdr 拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小 習(xí)題 2-1. 質(zhì)量為 m 的子彈以速度 0v 水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為 k ， 忽略子彈的重力，求： (1) 子彈射入沙土后，速度隨時(shí)間變化的函數(shù)式； (2) 子彈進(jìn)入沙土的最大深度。 解：（ 1）由題意和牛頓第二定律可得： dtdvmkvf ??? ， 分離變量，可得： vdtdvmk ?? 兩邊同時(shí)積分，所以： tmkevv ?? 0 （ 2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是 v=0 的時(shí)候子彈的位移，則： 由 vdtdvmk ?? 可推出： dvkmvdt ?? ， 而 這 個(gè) 式 子 兩 邊 積 分 就 可 以 得 到 位 移 ： 0 0m a x 0 v mmx v d t d v vkk? ? ? ??? 。 2-2. 一條質(zhì)量分布均勻的繩子，質(zhì)量為 M 、長度為 L ， 一端拴在豎直轉(zhuǎn)軸 OO′上，并以 恒定角速度 ? 在水平面上旋轉(zhuǎn)．設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中繩子始終伸 直不打彎，且忽略重力，求距轉(zhuǎn)軸 為 r 處繩中的張力 T( r)． 解：在繩子中距離轉(zhuǎn)軸為 r 處取一小段繩子，假設(shè)其質(zhì)量為 dm，可知： LMddm? ，分析這 dm 的繩子的受力 情況，因?yàn)樗龅氖菆A周運(yùn)動(dòng)，所以我們可列出： LM d rrr d mrdT 22 ?? ??）（ 。 距 轉(zhuǎn)軸為 r 處繩中的 張力 T( r) 將提 供的是 r 以外 的繩子轉(zhuǎn)動(dòng) 的向心力 ，所以兩邊 積分： ）（）（）（ 2222 rLLMrdTrT Lr ??? ? ? 2-3. 已知一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)在 x 軸上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)只受到指向原點(diǎn)的引力作用，引力大小與質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離 x 的 平方成反比，即 2/ xkf ?? ， k 是比例常數(shù)．設(shè)質(zhì)點(diǎn)在 Ax? 時(shí)的速度為零，求質(zhì)點(diǎn)在 4/Ax? 處的速度的大小。 解：由題意和牛頓第二定律可得： dxdvmvdtdxdxdvmdtdvmxkf ????? 2 再采取分離變量法可得： mvdvdxxk ?? 2 ， 兩邊同時(shí)取積分，則： m v d vdxxk vA A ?? ?? 02 4/ 所以： mAkv 6? 2-4. 一質(zhì)量為 kg2 的質(zhì)點(diǎn)，在 xy 平面上運(yùn)動(dòng)，受到外力 jiF 2244 t?? (SI)的作用， 0?t 時(shí)，它的初速度為 jiv 430 ?? (SI)，求 st 1? 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度及受到的法向力 nF . 解：由題意和牛頓第二定律可得： dtdmm vaf ?? ，代入 f 與 v，并兩邊積分， vj i mddtt v v?? ?? 0)244( 210 ， )]43([284 jivj i ????? iv 5? 速度是 i 方向，也就是切向的，所以法向的力是 j 方向的，則 24??Fj 2-5. 如圖，用質(zhì)量為 1m 的板車運(yùn)載一質(zhì)量為 2m 的木箱，車板與箱底間的摩擦 車的力 F 為多少才能保證木箱系數(shù)為 ? ，車與路面間的滾動(dòng)摩擦可不計(jì)，計(jì)算拉 不致滑動(dòng)？ 解 ：根 據(jù)題 意，要 使木 箱不 致于 滑動(dòng)， 必須 使板 車與 木箱具 有相 同的 加速 度，所 以列 式： 2 1 2 2 2 m s xF mgfa m m m m??? ? ?? 可得： gmmF )( 21 ??? 2-6. 如圖所示一傾角為 ? 的斜面放在水 平面上，斜面上放一木塊，兩者 靜止，求斜面加速度 a 的范圍。 間摩擦系數(shù)為 )( ?? tg? 。為使木塊相對(duì)斜面 解：在斜面具有不同的加速度的時(shí)候，木塊將分別具有向上和向下滑動(dòng)的趨勢(shì)，這就是加速度的兩個(gè)范圍，由題意， 可得： （ 1）當(dāng)木塊具有向下滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)（見圖 a），列式為： mgNN ?? ??? c o ss in maNN ?? ??? c o ss in 可計(jì)算得到：此時(shí)的 ?? ??tan1tan1 ? ??a g （ 2）當(dāng)木快具有向上滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)（見圖 b），列式為： ??? c o ss in NmgN ?? maNN ?? ??? c o ss in 可計(jì)算得到：此時(shí)的 ?? ??tan1tan2 ? ??a g 所以 t a n t a n1 t a n 1 t a ng a g? ? ? ?? ? ? ??????? 2-7. 一質(zhì)量為 M、頂角為 ? 的三 角形光滑物體上。放有一質(zhì)量為 m 的物塊，如圖所示。設(shè)各面間的摩 擦力均可忽略不計(jì)。試按下列三 種方法：（ 1）用牛頓定理及約束方程； （ 2）用牛頓定律及運(yùn)動(dòng)疊加原理； （ 3）用非慣性系中力學(xué)定律；求解三 角形物塊的加速度 Ma . 解：隔離物塊和斜面體，畫圖分析力， 列出方程，發(fā)現(xiàn)方程完備性不夠， 即未知數(shù)比方程數(shù)多，關(guān)鍵在于， M 與 m 的運(yùn)動(dòng)有聯(lián)系的， M 沿地面 運(yùn)動(dòng)， m 沿斜面運(yùn)動(dòng)，這就是約束 條件。取地面作為參考系，則 m 的運(yùn) 動(dòng)為： sin xN ma??? （ 1） cos yN m g m a? ?? （ 2） M 的運(yùn)動(dòng)方程為： sin MN Ma? ? （ 3） 下面列出約束條件的方程：取 M作為參考系，設(shè) m在其中的相對(duì)加速度為 a? ，在 x,y方向的分量分別為 ?xa 與 ?ya ， 那么： tan y x aa? ?? ? 利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的公式， aaa Mm ??? 所以： Mxx aaa ??? yy aa ?? 于是： ta n yy x x M aaa a a? ???? ? 即： s i n c o s s i nx y Ma a a? ? ??? （ 4） 由（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）聯(lián)立，計(jì)算可得： 2sin co ssinM magMm???? ? 2-8. 圓柱形容器內(nèi)裝有一定量 的液體，若它們一起繞圓柱軸以 角速度 ? 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試問穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí) 液面的形狀如何？ 解：受力分析如圖 ymsinN 2ωΔα? （ 1） mgcosN Δα ? （ 2） 兩式相比 dydzg ytan 2 ?? ωα dy gydz 2? ?? ω Cy gωz ?? 2 2 2 當(dāng) 0?y 時(shí) 0zz? 所以 0zC? 02 2 2 zygωz ?? 穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)液面是一個(gè)拋物面 由于旋轉(zhuǎn)后成為立體，故方程變?yōu)椤?2 22 0()2z x y zg?? ? ? 】 2-9. 質(zhì)量為 2m 的物體可以在劈形物體的斜面上無摩擦 滑動(dòng)，劈形物質(zhì)量為 1m ，放置在 光滑的水平面上，斜面傾角為 ? ，求釋放后兩物體的加速度 及它們的相互作用力。 解：隔離物塊和斜面體，分析力，列出方程，發(fā) 現(xiàn)方程完備性不夠，即未知數(shù)比方 程數(shù)多，關(guān)鍵在于， m1 與 m2 的運(yùn)動(dòng)有聯(lián)系的， m1 沿地面運(yùn)動(dòng)， m2 沿斜面運(yùn)動(dòng)， 這就是約束條件。取地面作為參考系，則 m2 的 運(yùn)動(dòng)為： xamN 2sin ?? ? （ 1） yamgmN 22co s ??? （ 2） m1 的運(yùn)動(dòng)方程為： 11sinN m a? ? （ 3） 下面列出約束條件的方程：取 m1作為參考系，設(shè) m2在其中的相對(duì)加速度為 a? ，在 x,y方向的分量分別為 ?xa 與 ?ya ， 那么： x yaa????tan 利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的公式， 21a a a??? 所以： 1xxa a a??? yy aa ?? 于是： 1ta n yy xx aaa a a? ???? ? z r ? O 即： 1s in c o s s inxya a a? ? ??? （ 4） 由（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）聯(lián)立，計(jì)算可得： 21 2 12 sin co ssinmagmm???? ? ； 12 2 12 s in c o ss inmagmm????? ? ； 12 2( ) sinsinmmag????? ? 相互作用力 N= g mm mm ??221 21 sincos? 2-10. 一小環(huán)套在光滑細(xì)桿上，細(xì)桿以傾角 ? 繞豎直軸作勻角 速度轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為 ? ，求： 小環(huán)平衡時(shí)距桿端點(diǎn) O 的距離 r . 解：根據(jù)題意，當(dāng)小環(huán)能平衡時(shí)，其運(yùn)動(dòng)為繞 Z 軸的圓周運(yùn)動(dòng)， 所以可列式： mgN ??sin ??? s inco s 2 rmN ? 所以，可得： ??? sintan 2 gr ? 2-11. 設(shè)質(zhì)量為 m 的帶電微粒受到沿 x 方向的電力 iF )( cxb?? ，計(jì)算粒子在任一時(shí)刻 t 的速度和位置，假定 0?t 時(shí)， 0,0 00 ?? xv .其中 cb、 為與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)， m 、 F 、 x 、 t 的單位分別為 kg 、 N 、 m 、 s . 解：根據(jù)題意和牛頓第二定律，可列式： 2 2)( dtdmcxb x??? iF ， 整理可得二階微分方程： 0 2 2 ??? bcxdtdm x 。 令 mc?2? 下面分 c 為正負(fù)再做進(jìn)一步討論。 當(dāng) 00 2 2 2 ??? mbxdtdc ?x時(shí)，? ，可得： cbtcbx ?? ?cos 一次求導(dǎo)，得到： tcbv ??sin?? 當(dāng) 00 2 2 2 ??? mbxdtdc ?x時(shí)，? ，可得： cbeecbx tt ??? ? )(2 ?? 一次求導(dǎo)，得到： )(2 tt eecbv ??? ??? 2-12. 在光滑的水平面上設(shè)置一豎直的圓筒，半徑為 R ， 一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)，摩擦系 數(shù)為 ? ，在 0?t 時(shí)，球的速率為 0v ，求任一時(shí)刻球的速率和 運(yùn)動(dòng)路程。 解：在法向上有 RvmN 2? 而 Nμf? 在切向上有 dtdvmf ?? 由上面三個(gè)式子可得 Rvμdtdv 2?? dtRμdvv tv v ?? ?? 020 1 tμvR Rvv 00?? )1l n ( 0 0 000 R tμvμRtμvR dtRvv d tS tt ????? ?? 思考題 2-1. 質(zhì)量為 m 的小球，放在光滑的木板和光滑的墻壁之間，并 保持平衡，如圖所示．設(shè)木板和墻 壁之間的夾角為 ?，當(dāng) ?逐漸增大時(shí)，小球?qū)δ景宓膲毫⒃鯓幼?化？ 解：假設(shè)墻壁對(duì)小球的壓力為 N1，木板對(duì)小球的壓力為 N2。 由受力分析圖可知： mgN ??sin2 所以當(dāng)所以 ? 增大，小球?qū)δ景宓膲毫?N2 將減??； 同時(shí)： 12 cos NN ?? ?mgctgN ?1 所以 ? 增大，小球?qū)Ρ诘膲毫?1N 也減小。 2-2. 質(zhì)量分別為 m1和 m2的兩滑塊 A 和 B 通過一輕彈簧水平連結(jié)后置于水平桌面上，滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均 為 μ ，系統(tǒng)在水平拉力 F 作用下勻速運(yùn)動(dòng)，如圖所示．如突然撤消拉力，則剛撤消后瞬間，二者的加速度 aA和 aB分別 為多少 ？ 解：分別對(duì) A， B 進(jìn)行受力分析，由受力分析圖可知： gmmF )( 21 ?? ? gmkxF 1??? gmkx 2?? 所以 .0, 1 21 ??? BA agm mma ? 2-3. 如圖所示，用一斜向上的力 F (與水平成 30角 )，將一 重為 G的木塊壓靠在豎直壁面 上，如果不論用怎樣大的力 F，都不能使木塊向上滑動(dòng)，則說明 木塊與壁面間的靜摩擦系數(shù) ? 的大小為多少？ 解：假設(shè)墻壁對(duì)木塊的壓力為 N，由受力分析圖可知： NGF ?? ??sin ?cosFN ? 整理上式，并且根據(jù)題意，如果不論用怎樣大的力 F，都不能使木塊向上滑動(dòng)，則說明： FGF 2321 ??? 即 當(dāng) FF 2321 ?? 此式中 F 無論為多大，總成立，則可得： 33?? 2-4. 質(zhì)量分別為 m 和 M 的滑塊 A 和 B ，疊放在光滑水 平桌面上，如圖所示． A 、 B 間靜 摩擦系數(shù)為 s? ，滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 k? ，系統(tǒng)原處于靜止．今 有一水平力作用于 A 上，要使 A 、 B 不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則 F 應(yīng)取什么范圍？ 解：根據(jù)題意，分別對(duì) A， B 進(jìn)行受力分析，要使 A， B 不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，必須使兩者具 有相同的加速度，所以列式： MmgMmFa sm s x ???? 可得： gM MmmF s ）（ ??? 2-5. 如圖，物體 A、 B 質(zhì)量相同， B 在光滑水平桌面 上．滑輪與繩的質(zhì)量以及空氣阻力 均不計(jì)，滑輪與其軸之間的摩擦也不計(jì)．系統(tǒng)無初速地釋 放，則物體 A 下落的加速度是多 少？ 解：分別對(duì) A， B 進(jìn)行受力分析，由受力分析圖可知： 111 amTgm ?? 222 amT? 12 21aa ? 則可計(jì)算得到： ga 54 1? 2-6. 如圖所示，假設(shè)物體沿著豎直面上圓弧形軌道下滑， 軌道是光滑的，在從 A 至 C 的下滑 過程中，下面哪個(gè)說法是正確的？ (A) 它 的加速度大小不變，方向永遠(yuǎn)指向圓心。 (B) 它的速率均勻增加。 (C) 它的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心。 (D) 它的合外力大小不變。 (E) 軌道支持力的大小不斷增加。 在下滑過程中，物體做圓周運(yùn)動(dòng)。并且 v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度， A的說法不對(duì)； 速率的增加由重力沿切線方向的分力提供，由于切線方向始終在改變，所以速率增加不均勻； 外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在變化，所以合力的大小方向也在變化。 C， D 的說法都不對(duì)。 下滑過程中的θ和 v都在增大，所以 N也在增大， RvmmgN 2s in ?? ? 則 E 的說法正確。 2-7. 一小珠可在半徑為 R 的豎直圓環(huán)上無摩擦地滑動(dòng)，且圓環(huán)能以其豎直直徑為軸轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)圓環(huán)以一適當(dāng)?shù)暮愣?角速度 ? 轉(zhuǎn)動(dòng)，小珠偏離圓環(huán)轉(zhuǎn)軸而且相對(duì)圓環(huán)靜止時(shí)，小珠所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的角度為多大？ 解：根據(jù)題意，當(dāng)小珠能相對(duì)于圓環(huán)平衡時(shí)，其運(yùn)動(dòng)為繞 Z 軸的圓周運(yùn)動(dòng)，假設(shè)小珠所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的 角度為 θ ，可列式： mgN ??cos ??? s ins in 2 RmN ? 所以，可得： Rg 2cos ?? ? 2-8. 幾個(gè)不同傾角的光滑斜面，有共同的底邊，頂點(diǎn)也在同一 豎直面上（如圖所示）．為使一物 體（視為質(zhì)點(diǎn)）從斜面上端由靜止滑到下端的時(shí)間最短，則斜面的 傾角應(yīng)選 (A) 60． (B) 45． (C) 30． (D) 15． 解：根據(jù)題意，假設(shè)底邊長為 s，斜面的傾角為 θ ， 可列式： ?? cossin21 2 stg ? ?2sin42 g st ? 當(dāng) θ =45。 時(shí)，時(shí)間最短。 2-9. 如圖所示，小球 A 用輕彈簧 AO1 與輕繩 AO2 系住；小球 B 用輕繩 BO1? 與 BO2? 系住，今剪斷 AO2 繩和 BO2? 繩，在剛剪斷的瞬間， A 、 B 球的加速度量值和方向是否相同？ 解：不同。 對(duì)于 a 圖，在剪斷繩子的瞬間，彈簧的伸長 沒有變化，所以彈簧的拉力 F 不變， A 的加速度應(yīng)該是由重力和彈簧的拉力提供 的合力 T，所以： maTF ???sin mgF ??cos 向?yàn)樗椒较颉?所以加速度大小為： ?tanga? ，方 對(duì)于 b 圖，在剪斷繩子的瞬間，繩子拉力 F 變化，它將提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)， 的加速度應(yīng)該有切向加速度和法向加速度。所以： tmamg ??sin 0c o s 2 ???? RvmmamgT n? 所以加速度大小為： ?singa? ，方向?yàn)榕c繩垂直的切線方向。 2-10. 兩質(zhì)量均為 m 的小球穿在一光滑圓環(huán)上，并由一輕繩相連，環(huán)豎直固定放置，在圖中位置由靜止釋放，試 問釋放瞬間繩上張力為多少？ 解：在釋放瞬間上面的小球作水平運(yùn)動(dòng)，下面小球作豎直運(yùn)動(dòng)，兩者加速度大小相等，方向互相垂直。 ma45sinT 0 ? （ 1） ma45sinTmg 0 ?? （ 2） 兩式聯(lián)立消去 a 2mg245s in2 mgT 0 ?? 習(xí)題 3-1. 如圖，一質(zhì)點(diǎn)在幾個(gè)力作用下沿半徑為 R=20m 的圓周運(yùn)動(dòng)，其中有一恒力 F=0.6iN，求質(zhì)點(diǎn)從 A 開始沿逆時(shí) 針方向經(jīng) 3/4 圓周到達(dá) B 的過程中，力 F 所做的功。 解： ji 2020 ?????? AB rrr 由做功的定義可知： JW 12)2020(6.0 ????????? jiirF 3-2. 質(zhì)量為 m=0.5kg 的質(zhì)點(diǎn)，在 xOy 坐標(biāo)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 x=5t2,y=0.5(SI),從 t=2s 到 t=4s 這段時(shí)間內(nèi)， 外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的功為多少？ ijiji 60)5.020()5.080( ???????? 24 rrr 22/ / 1 0d d t d d t? ? ? ia v r 1 0 5mm? ? ? ?iiF a 由做功的定義可知： 5 6 0 3 0 0WJ? ? ? ? ? ?iiFr 3-3.勁度系數(shù)為 k 的輕巧彈簧豎直放置，下端懸一小球，球的質(zhì)量為 m，開始時(shí)彈簧為原長而小球恰好與地接觸。 今將彈簧上端緩慢提起，直到小球能脫離地面為止，求此過程中外力的功。 根據(jù)小球是被緩慢提起的，剛脫離地面時(shí)所受的力為 F=mg， mgxk ?? 可得此時(shí)彈簧的伸長量為： kmgx?? 由做功的定義可知： kgmkxk x d xW kmgx 221 22 020 ??? ? ? 3-4.如圖，一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)，在半徑為 R 的半球形容器中，由靜止開始自邊緣上的 A 點(diǎn)滑下，到達(dá)最低點(diǎn) B 時(shí)， 它 對(duì)容器的正壓力數(shù)值為 N，求質(zhì)點(diǎn)自 A 滑到 B 的過程中，摩擦力對(duì)其做的功。 分析： Wf直接求解顯然有困難，所以使用動(dòng)能定理，那就要知道它的末速度的情況。 解：求在 B點(diǎn)的速度： N-G= Rvm2 可得： RGNmv )(2121 2 ?? 由動(dòng)能定理： RmgNm g RRGNW mvWm g R f f )3(21)(21 021 2 ????? ??? 3-5.一彈簧并不遵守胡克定律，其彈力與形變的關(guān)系為 iF )4.388.52( 2xx ??? ，其中 F 和 x 單位分別為 N 和 m ． （ 1）計(jì)算當(dāng)將彈簧由 m522.01 ?x 拉伸至 m34.12 ?x 過程中，外力所做之功； （ 2）此彈力是否為保守力 ? 解： （ 1）由做功的定義可知： J xxxxdxxxdW xx 2.69 )(6.12)(4.26)4.388.52( 31322122234.1 522.02 1? ?????????? ?? xF （ 2）由計(jì)算結(jié)果可知，做功 與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)，與其他因素?zé)o關(guān)，所以該彈力為保守力。 3-6. 一質(zhì)量為 m 的物體，在力 )( 2 jiF btat ?? 的作用下，由靜止開始運(yùn)動(dòng)，求在任一時(shí)刻 t 此力所做功的功率為 多少。 解：要求功率就必須知道力和速度的情況，由題意： )3121(1)(1 322 jiji btatmdtbtatmtm ????? ?? Fv 所以功率為： )3121(1)3121(1)( 5232322 tbtambtatmbtatN ???????? jijiVF 3-7. 一質(zhì)點(diǎn)在三維力場中運(yùn)動(dòng)．已知力場的勢(shì)能函數(shù)為 czb xyaxE ???? 2p . （ 1）求作用力 F ； （ 2）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 3?x 、 3?y 、 3?z 位置的過程中，試任選一路徑，計(jì)算上述力所做的功。其中 pE 的單 位為 J ， zyx 、、 的單位為 m ， F 的單位為 N . 解：（ 1）由作用力和勢(shì)能的關(guān)系： kjiF cbxbyaxr czb x yaxrE P ????? ?????????? )2()( 2 （ 2）取一個(gè)比較簡單的積分路徑： kjir dzdydx ??? ，則積分可得： )(])2[( kjikjidrF dzdydxcbxbyaxW ????????? ?? =9a-9b-3c 3-8. 輕彈簧 AB的上端 A 固定，下端 B 懸掛質(zhì)量為 m 的重物。已知彈簧原長為 0l ，勁度系數(shù)為 k ，重物在 O 點(diǎn) 達(dá)到平衡，此時(shí)彈簧伸長了 0 x ，如圖所示。取 x 軸向下 為正，且坐標(biāo)原點(diǎn)位于：彈簧原長 位置 O? ；力的平衡位置 O 。若取原點(diǎn)為重力勢(shì)能和彈 性勢(shì)能的勢(shì)能零點(diǎn)，試分別計(jì)算重 物在任一位置 P 時(shí)系統(tǒng)的總勢(shì)能。 解：（ 1）取彈簧原長位置 O? 為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能 的勢(shì)能零點(diǎn)，則重物在任一位置 P （坐標(biāo)設(shè)為 x? ）時(shí)系統(tǒng)的總勢(shì)能： 2 P 21E xkxmg ????? （ 2）取力的平衡位置 O 為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的勢(shì)能零點(diǎn)，則重物在任一位置 P （坐標(biāo)設(shè)為 x ）時(shí)系統(tǒng)的總勢(shì) 能： 0 2 020P 2 1 2 1E kxmg kxxxkm g x ? ????? 而 ）（ 所以 22 020P 212121E kxkxxxkm g x ?????? ）（ 3-9. 在密度為 1? 的液面上方，懸掛一根長為 l ，密度為 2? 的均勻棒 AB ，棒的 B 端剛和液面接觸如圖所示，今剪斷 細(xì)繩，設(shè)細(xì)棒只在浮力和重力作用下運(yùn)動(dòng)，在 1212 ??? ?? 的 條件下，求細(xì)棒下落過程中的最大 速度 maxv ，以及細(xì)棒能進(jìn)入液體的最大深度 H 。 所以： hsglsg 12 ?? ? ，則解：分析可知，棒下落的最大速度是受合力為零的時(shí)候， lh 12??? 。 在下落過程中，利用功能原理： 2 2 2 1012 hs l v s g l h g s y d y? ? ?? ? ?? 所以： 2 max 1v gl??? 進(jìn)入液體的最大深度 H 為細(xì)棒運(yùn)動(dòng)的速度為零時(shí)： 210Hs g lh g s y d y??? ? ?? 所以 1 122 lH ?????? 3-10. 若在近似圓形軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星受到塵埃的微弱空氣阻力 f 的作用，設(shè)阻力與速度的大小成正比，比例系 數(shù) k 為常數(shù)，即 kvf ?? ，試求質(zhì)量為 m 的衛(wèi)星，開始在離地心 Rr 40? （ R 為地球半徑）隕落到地面所需的時(shí)間。 解：根據(jù)題意，假設(shè)在離地心 Rr 40? 處質(zhì)點(diǎn)的速度為 v1，地面上的速度為 v2。提供衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的力為萬有引力： 20 2 rMmGrvm ? ，所以 20 1 2 ?? Rrvv 在這個(gè)過程中阻力的作用時(shí)間可通過動(dòng)量定理求出： m dvk v dtfdt ??? 通過分離變量取積分，可 得： 2 1 2 1l n l n 2 v v vm m mt d t d vk v k v k? ? ? ? ??? 3-11. 一鏈條放置在光滑桌面上，用手撳住 一端，另一端有四分之一長度由 桌邊下垂，設(shè)鏈條長為 L ，質(zhì)量為 m ，試問將鏈 條全部拉上桌面要做多少功？ 解：直接考慮垂下的鏈條的質(zhì)心位置變化， 來求做功，則： 1 1 14 8 3 2PW E m g l m g l? ? ? ? ? 率 0v 勻速下降，當(dāng)起重機(jī)突然3-12. 起重機(jī)用鋼絲繩吊運(yùn)質(zhì)量為 m 的物體時(shí)以速 鋼絲繩勁度系數(shù)為 k ，求它伸剎車時(shí)，因物體仍有慣性運(yùn)動(dòng)使鋼絲繩有微小伸長。設(shè) 長多少 ?所受拉力多大 ?(不計(jì)鋼絲繩本身質(zhì)量 ) 解：當(dāng)起重機(jī)忽然剎車時(shí)，物體的動(dòng)能將轉(zhuǎn)換為鋼 絲 繩 的 彈 性 勢(shì) 能 ： 由 220 2121 kxmv ? ，可得： 0vkmx? 分析物體的受力，可得到繩子的拉力為： 0vmkmgkxmgT ???? 3-13. 在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連一物體 A 、 A 邊上再放一物體 B ，它們質(zhì)量分 別為 Am 和 Bm ，彈簧勁度系數(shù)為 k ，原長為 l ．用力推 B ，使彈簧壓縮 0 x ，然后釋放。求： （ 1）當(dāng) A 與 B 開始分離時(shí)，它們的位置和速度； （ 2）分離之后． A 還能往前移動(dòng)多遠(yuǎn) ? 解：（ 1）當(dāng) A 和 B 開始分離時(shí)，兩者具有相同的速度，根據(jù)能量守恒，可得到： 2 02 21)(21 kxvmm BA ?? ，所 以： 0 xmm kv BA ?? ;xl? （ 2）分離之后， A 的動(dòng)能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，所以： 22 2121 kxvm A ? ，則： 0A A AB mxxmm? ? 3-14. 已知地球?qū)σ粋€(gè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)的引力為 rF 3er mGm?? （ ee,Rm 為地球的質(zhì)量和半徑 )。 （ 1）若選取無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零，計(jì)算地面處的勢(shì)能； （ 2）若選取地面處勢(shì)能為零，計(jì)算無窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能．比較兩種情況下的勢(shì)能差． 解：（ 1）取無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零，計(jì)算地面處的勢(shì)能為： ee211 b ea r P eRrE f d r G m m d r G m mrR ?? ? ? ? ? ??? （ 2）若選取地面處勢(shì)能為零，計(jì)算無窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能為： ee211 eb a Rr erE f d r G m m d r G m mrR? ?? ? ? ? ??? 兩種情況下勢(shì)能差是完全一樣的。 3-15. 試證明在離地球表面高度為 ? ?eRhh ?? 處，質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)所具有的引力勢(shì)能近似可表示為 mgh . 解：由萬有引力的勢(shì)能函數(shù)值，在離地球表面高度為 ? ?eRhh ?? 處，質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)所具有的引力勢(shì)能為： )()()()()( 20200 hRmghRRMmGhRhR MmGhR MmG ee eeee ???????????? 如果以地面作為零電勢(shì)處，則質(zhì)點(diǎn)所具有的引力勢(shì)能近似可表示為 mgh .