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. 畢業(yè)設計(論文)外文資料翻譯 題 目: 基于壓縮感知的信號重構算法研究 院系名稱： 信息科學與工程學院 專業(yè)班級： 電信0702 指導教師： 教師職稱： 學生姓名： 學 號： 附 件： 1.外文資料翻譯譯文；2.外文原文。 指導教師評語： 簽名： 年 月 日 外文資料翻譯譯文 壓縮采樣 Emamnuel J. Cands 摘要：從頻域數(shù)據(jù)中采集和重構圖像的傳統(tǒng)思想和方法遵循的是奈奎斯特定理這一基本原則。這一原則認為：為了重建圖像，需要獲取的傅里葉采樣的數(shù)量必須匹配圖像的預期分辨率，即圖像的像素點數(shù)。本文介紹了一種名為“壓縮采樣”或“壓縮感知”的新興理論，該理論認為傳統(tǒng)的觀念是不正確的?；蛟S令人吃驚的是，它有可能從遠遠小于圖像/信號預期分辨率的若干采樣中精確地重構原始圖像或數(shù)據(jù)。 毫無疑問，壓縮采樣具有深遠的意義。例如，它提出一種可能的新數(shù)據(jù)采集協(xié)議，能比傳統(tǒng)認為所必須的傳感器更少的情況下把模擬信息轉(zhuǎn)化成數(shù)字形式。這個新的抽樣理論可能會造成數(shù)據(jù)的采樣和壓縮過程同時進行。 在這個簡短的概述中，我們提供一些有關這一新理論的關鍵數(shù)學見解，并且給出了一些壓縮采樣和其他領域的交叉，如統(tǒng)計學、信息論、編碼理論以及理論計算科學。 關鍵詞：壓縮采樣，稀疏，一致不確定性原理，不定線性方程組，最小L1范數(shù)，線性規(guī)劃，信號恢復，糾錯。 1. 引言 信號處理的一個中心原則是奈奎斯特/香農(nóng)抽樣定理:無差錯的重構一個信號所需的采樣數(shù)目取決于它的帶寬——包含該信號有效頻譜的最小間隔。在過去兩年左右的時間里，出現(xiàn)了另一種“壓縮采樣”理論。這個理論表明超分辨信號和圖像可以從遠遠少于通常所認為的必要的數(shù)據(jù)/測量尺寸中重構出來。本文的目的在于探究并提供一些有關這種新理論的關鍵數(shù)學見解。壓縮采樣吸引人的地方在于它與某些應用科學和工程諸如統(tǒng)計學、信息理論、編碼理論、理論計算科學等領域有著顯著的交叉和連接作用。我們將試著通過幾個精選的例子來解釋這些聯(lián)系。 從廣義的觀點，更一般地說，稀疏性和可壓縮性在許多科學領域發(fā)揮著并將繼續(xù)發(fā)揮基礎性的作用。稀疏性帶來了有效估計；例如，由閾值分割或壓縮算法獲得的近似估計的質(zhì)量取決于我們希望估計的信號的稀疏度。稀疏性帶來了高效壓縮；例如，一種變換編碼器的精度取決于我們希望編碼的信號的稀疏度[24]。稀疏性帶來了降維和高效建模。這里的新穎之處在于稀疏性成了數(shù)據(jù)采集過程的核心，而且?guī)砹烁咝У臄?shù)據(jù)采集協(xié)議。 事實上，壓縮采樣提出了如何更經(jīng)濟地將模擬數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成壓縮數(shù)字形式[20],[7]。這里的關鍵詞是“經(jīng)濟地”。眾所周知，因為典型的信號的結構特性，它們可以在沒有太多感性損失的前提下被高效壓縮。例如，現(xiàn)代的轉(zhuǎn)換編碼器如JPEG2000就是利用許多信號在某些固定基上的稀疏表示，這意味著編碼器可以僅存儲或傳輸少數(shù)的自適應選擇轉(zhuǎn)換系數(shù)而不是所有的信號樣本。它的典型工作方式是獲取一個完整的信號，計算一系列完整的變換系數(shù)，對最大的系數(shù)編碼并丟棄所有其它的系數(shù)。對大量的數(shù)據(jù)采集然后進行壓縮的過程是極其浪費的(你可以想一想，數(shù)碼相機有數(shù)百萬的成像傳感器，但最終卻只把照片的像素編碼為幾百kb大小)。這就提出了一個基本的問題：因為大多數(shù)信號是可壓縮的，為什么當我們知道它的大部分數(shù)據(jù)將會被放棄時還要花這么大的努力獲取所有的數(shù)據(jù)呢？有沒有可能獲取壓縮形式的數(shù)據(jù)從而不需要丟棄任何東西呢？“壓縮采樣”，也稱為“壓縮感知”[20]表明這的確是有可能的。 本文絕不是一篇關于壓縮采樣的詳盡的概述文獻。這僅僅是作者自己在這一領域的作品和思想，其中也包括對別人作品的大量參考以及和這些作品相關的偶爾探討。我們已經(jīng)盡力把我們的思想組織成與早期發(fā)表的這一主題的論文相銜接的邏輯續(xù)接。在我們開始之前，我們想邀請感興趣的讀者也查閱一下Ronald Devore——他也在對此進行研究——對于該領域的一篇互補性調(diào)研文章[17](第5節(jié))。 2. 欠抽樣測量 考慮一個從線性測量y中重構一個向量的一般性問題，其中關于x和y的形式為 (2.1) 也就是說，我們通過測量對維向量?k∈RN的映射來獲取未知信號的信息。我們感興趣的是在“欠定”條件下，我們有比未知信號變量少的多的測量值。在無數(shù)的應用中都出現(xiàn)這種類型問題。例如在放射醫(yī)學及生物醫(yī)學成像中，人們對圖像感興趣部分收集到的測量數(shù)據(jù)要比對它無用像素的測量數(shù)據(jù)少得多。在寬帶無線電頻率信號分析中，由于當前在模/數(shù)轉(zhuǎn)換器技術方面的局限性，你可能僅僅能在遠低于奈奎斯特頻率下獲得一個信號。最后，基因表達的研究也提供了這樣的例子。在此，人們會想從一組較少的特別是數(shù)百的觀察值中推斷出成千上萬基因表達水平。 乍一看，求解欠定方程組似乎是不可能的，因為我們可以很容易的列舉出它顯然無法求解的例子。但是現(xiàn)在我們設想一個信號是可壓縮的,也就是說它實質(zhì)上由一些小于N的自由度決定的。例如，假設我們的信號是稀疏的，意味著它可以看成由一些固定基上的少數(shù)向量的疊加來準確或者精確地描述。然后，在這個前提下，問題就發(fā)生根本性的變化，使求解成為可能。事實上，通過求解一個簡單凸優(yōu)化問題來精確的或者有時準確的恢復信號是可能的。 2.1．非線性采樣定理 我們最好先來考慮一個具體的例子。假設現(xiàn)在我們采集到了長度為N的離散信號的一套不完整的頻率樣值。(為了簡化論述，我們考慮一個一維的典型問題。這個理論可以很容易的擴展到更高的維度。例如，我們可能對從欠抽樣的傅里葉數(shù)據(jù)中重建二維或三維物體也同樣感興趣。) 我們的目標是在只給出傅里葉變換域的個樣本條件下重建完整的信號f (2.2) 式子中“可見的”頻率是所有頻率{ 0,…,N?1 }的一個子集(長為K)。磁共振成像的原理就是通過測量被選擇的頻率系數(shù)來感知一個物體，而且這一原理普遍應用于許多科學領域，包括天文學。在一般問題的表達式(2.1)中，傳感矩陣是通過采樣的離散傅里葉變換變換矩陣的行獲取的。 如果向量x中{i : xi 0}集的勢少于或等于S，我們就說向量x是S-稀疏的。這樣，Cands、Romberg和Tao[6]給出了幾乎總能通過求解凸優(yōu)化問題來完全恢復信號的公式() (P1) (2.3) 定理2.1([6]) 假設是S-稀疏的，并且給出了頻率均勻下隨機抽樣的K個傅里葉系數(shù)。假設觀察值的數(shù)量服從 K ≥ C S log N. (2.4) 這樣就能以極大的概率準確地重構。具體而言，如果在式(2.4)中常數(shù)C的形式是22(δ +1)，那么它的成功概率就超過了。 第一個結論是，我們可以僅僅通過測量任意設定下的頻率系數(shù)就能夠使信息不失真。第二個結論是，信號可以通過一個未設定任何關于非零數(shù)值的凸函數(shù)的最小化來準確地恢復，我們假設它們的位置和幅度都是事先完全未知的。 雖然這似乎是一個偉大的壯舉，可人們?nèi)詴査欠袷亲罴训?，或者我們能否用更少的樣本來恢復信號。答案是，一般來說，我們不能用更少的樣本來重構S-稀疏信號。有很多例子證明，無論是什么情況，采取什么方法，為準確的重構信號所需的最少樣本數(shù)必須約是S logN。因此，這個定理是苛刻的，而且最小范數(shù)幾乎只有在有希望通過算法實現(xiàn)的時候才能得到。 讀者一定很熟悉奈奎斯特/香農(nóng)采樣理論，我們可以將我們的結果用另一種表達形式與其建立簡單的聯(lián)系。通過轉(zhuǎn)變上例中時間和頻率的作用，我們可以把定理1重寫為一個新的非線性采樣定理。假設一個信號在頻域范圍內(nèi)。如果是一個連續(xù)的集合，那么我們可以把作為的帶寬。此外，如果集合是已知的，那么由傳統(tǒng)的奈奎斯特/香農(nóng)采樣定理可知，信號可以從頻域的等時間間隔的抽樣中完美重構出來。重構可通過一個簡單的sinc插植核進行線性插值獲得。 現(xiàn)在，假設集合大小仍為，未知并且不一定是連續(xù)的。在這種情況下奈奎斯特/香農(nóng)定理是無助的，我們只能假設這個連續(xù)的頻率集合是個完整的空間，也就是說，準確的重構信號需要所有的N個時域采樣。然而定理2.1卻斷定用少得多的樣本是必然的。求解出(P1)就可以從約B logN倍的時域樣本中完全恢復出信號。此外,這些樣本沒有必要精心挑選；幾乎任何這種尺寸的樣本集合都可以使用。因此我得到一個對奈奎斯特/香農(nóng)定理的非線性模擬(這樣描述是由于重建過程(P1)是非線性的)：我們可以選定任意且未知的頻率集合B，從時域中任意選取約B logN個樣本來重構信號。 外文原文 .