諧波齒輪減速器的設(shè)計(jì)與建模含proe及5張CAD圖,諧波,齒輪,減速器,設(shè)計(jì),建模,proe,cad 外文翻譯 計(jì)算諧波齒輪中柔輪的應(yīng)力 葉慶凱 （北京大學(xué)機(jī)械系 北京） （于1986年10月30日接收，由朱藻軒審閱） [摘要]這是很難通過常規(guī)有限元程序求解接觸問題。在本文中，我們作為一個(gè)優(yōu)化問題表達(dá)接觸問題。在這種形式，我們不需要預(yù)先知道所有的邊界條件。我們只需要知道的約束條件。該方法是求解接觸問題的特別好。使用這種方法，我們計(jì)算的應(yīng)力柔輪諧波齒輪由上海交通大學(xué)，其結(jié)果是在良好的協(xié)議與實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 Ⅰ、引言 一種諧波齒輪的基本原理是將旋轉(zhuǎn)通過發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的柔輪變形。在這個(gè)變形的柔輪和發(fā)電機(jī)之間的接觸的情況下是未知的。我們不知道他們是在彼此接觸，和接觸力是什么。事實(shí)上，這些形式的所需的結(jié)果的一部分。為簡單起見，我們假設(shè)發(fā)電機(jī)是一剛性體，所以，我們遇到一個(gè)剛性體和彈性體接觸問題。 在通常的有限元程序，必須給出的邊界條件。我們必須給任一位移或在邊界的外部力量。但在接觸問題不可了。我們甚至不知道邊界在哪里。因此，通常的有限元方法不能直接應(yīng)用。 在本文中，我們使用的優(yōu)化方法來求解接觸問題。為了使用的優(yōu)化方法，我們得到一個(gè)性能指標(biāo)來評估“好”的解決方案。然后在最小化這個(gè)指標(biāo)我們改善迭代解的意義。當(dāng)相應(yīng)的解決方案是最好的，我們就得到需要的解決方案。 在分析力學(xué)的漢密爾頓的原則，對接觸問題，存在著這樣一種指標(biāo)，即，在所有柔輪變形滿足接觸條件（每個(gè)柔輪都不相同），實(shí)際的平衡是具有最小變形能量的狀態(tài)。因此，如果我們把變形的能量在一個(gè)變形柔輪為指標(biāo)，并將變形能作為柔輪位移函數(shù)，接觸問題?，F(xiàn)在將減少到“解決一個(gè)優(yōu)化問題，最大限度地減少變形能量不等式約束條件（即接觸條件）。我們可以使用正常的優(yōu)化程序（如共軛梯度法）來解決這個(gè)問題。 用種方法來表達(dá)接觸問題為優(yōu)化問題毫無疑問是最完整的一個(gè)。它不需要預(yù)先給所有的邊界條件。它只需要給約束條件。因此它是解決接觸問題的特別好。此外，當(dāng)我們解決優(yōu)化問題時(shí)，也就解決了柔輪和發(fā)電機(jī)之間的實(shí)際接觸情況。 Ⅱ、柔輪中變形能的計(jì)算 一個(gè)保守的，完整的力學(xué)系統(tǒng)，如果有一些潛在的力量作用于該系統(tǒng)，然后對應(yīng)的平衡點(diǎn)的位移在所有可能的位移中就會有最小勢能。 假設(shè)柔輪薄，這樣的問題可以被視為一個(gè)平面應(yīng)力問題。在系統(tǒng)的總勢能V的變形能存儲在彈性體（我們不考慮重力的影響）。由于在彈性體內(nèi)儲存的變形能是一個(gè)函數(shù)的位移，問題就減少到在所有的位移中去尋找最小的V。 現(xiàn)在我們來討論計(jì)算柔輪中變形能的具體方法 表示沿方向x和y位移u（x，y）的和（x，y）（X，Y），屬于Ω，其中Ω是由對象占用的面 然后，由計(jì)算應(yīng)變e的公式得： ( 2.1 ) 因?yàn)楝F(xiàn)行的彈性問題，應(yīng)力σ和應(yīng)變e之間的關(guān)系為： σ=De (2.2) 而 （2.3） E是彈性模量，和V為材料的泊松比。他們決心通過材料的性能，并對σ和 e獨(dú)立的，所以它們是獨(dú)立于u和ν。因此，總的變形能量存儲在Ω是 (2.4) 當(dāng)在索博列夫空間中給定一對函數(shù)u(x,y)和ν（x,y），我們可以根據(jù)（2.1）算出e，然后又由（2.4）求出V，因此V是u和v的函數(shù)，現(xiàn)在，這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化成在索伯列夫空間中帶有約束條件的函數(shù)優(yōu)化問題來解決。但它很難給出一般形式的函數(shù)u，v在域Ω中，通常，我們限制U，V的一些特殊形式。 還有很多的方法來分配函數(shù)中的u和v，在本文中我們把域Ω 用節(jié)點(diǎn)分成S三角元，給u 和v，我們把這些值分布在節(jié)點(diǎn)上，然后假設(shè)他們有這樣的形式 ( 2.5) 在每一個(gè)元素中，因此，當(dāng)給了這些節(jié)點(diǎn)上u和v的值之后，就相當(dāng)于給這整個(gè)域Ω上的u和v的函數(shù) ，要是我們用以上的方法來判定位移函數(shù)，那么應(yīng)變和位移在三角元中的關(guān)系就是 (2.6) 就是這個(gè)元的面積 (2.7) (2.8) 其中下標(biāo)ij，和K表示相應(yīng)的變量屬于本地節(jié)點(diǎn)i，j，和K-th元。因此，變形能量存儲在m個(gè)元是 (2.9) 然后存儲在整個(gè)域Ω中的變形能為： (2.10) 其中 (2.11) K是2*2的矩陣。 如果我們選擇位移函數(shù)u（x，y）和V（x，y）根據(jù)上述規(guī)則，和V是定義在R的功能，因此問題則為R中的約束優(yōu)化問題 Ⅲ、求解約束化問題 在本文中我們使用波拉克里比埃共軛梯度算法。因此，我們必須知道梯度。函數(shù)V，那就是， (3.1) 這里： ( 3.2) 而且是矩陣k的元素 現(xiàn)在分矩陣k為四個(gè)I x l的子陣， K= (3.3) 讓u=,,然后 （3.4） Δ （3.5） 我們解決這個(gè)約束的梯度投影技術(shù)。該柔輪和發(fā)電機(jī)之間的接觸情況，如圖2所示，其中R是發(fā)電機(jī)的圓的半徑，和C是圓的偏心率。約束是柔輪不能進(jìn)入發(fā)生器，（由于對稱性，我們只需考慮第一象限） (3.6) 在在變形前的i-th的坐標(biāo)，和的位移在此節(jié)點(diǎn)。符號“>”（3.6）指本節(jié)點(diǎn)的柔輪失去接觸的發(fā)電機(jī)，而符號“=”指節(jié)點(diǎn)已經(jīng)到達(dá)約束邊界，即，它與發(fā)電機(jī)接觸。 在迭代過程中，如果某些節(jié)點(diǎn)的柔輪與發(fā)電機(jī)相接觸，其進(jìn)一步的運(yùn)動可以是：（1）失去與發(fā)電機(jī)的接觸，或（2）沿發(fā)生器的邊界移動。為了區(qū)分這兩種情況之間的迭代，我們要計(jì)算的函數(shù)如果角”這個(gè)方向和電聚合點(diǎn)在外法線方向之間的是急性的負(fù)梯度方向，該柔輪將與失去聯(lián)系。 在進(jìn)一步的迭代，在這一點(diǎn)上發(fā)生，我們不需要修改函數(shù)，如果角是鈍角的負(fù)梯度方向，接觸點(diǎn)會在進(jìn)一步的迭代的發(fā)電機(jī)的邊界移動，我們必須使用的函數(shù)V的負(fù)梯度方向上投影的發(fā)電機(jī)在這一點(diǎn)上的切線方向計(jì)算搜索方向（即梯度投影），和力量，這一點(diǎn)保持在發(fā)電機(jī)的邊界。 現(xiàn)在我們引入約束算子和操作計(jì)劃如下 這里 ，，，，，， Ⅳ、例子 使用以上的方法，我們得到了諧波齒輪中柔輪的應(yīng)力，所使用的數(shù)據(jù)時(shí)： 1） 柔輪 齒數(shù)N=4×168 內(nèi)半徑=24.525cm 外半徑=25.040625cm 齒頂高：H=0.15cm 齒頂寬：D=0.07cm 2)對發(fā)電機(jī)（6套） a．c=0.25 b. c=0.24cm R=24.35cm R=24.36cm c. c=0.23cm d. c=0.22cm R=24.37cm R=24.38cm e. c=0.21cm f. c=0.20cm R=24.39cm R=24.40cm 計(jì)算的結(jié)果如下表1 a 111 151 37 81-93 b 134 168 144 63-98 c 320 256 259 53-103 d 555 377 403 45-106 e 819 480 567 37-108 f 1128 605 721 29-110 Pn為的輪齒的接觸段對應(yīng)的序號。 上述結(jié)果與上海交通大學(xué)給出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，其中C = 0.23cm，測得的最大應(yīng)力為800kg/cm