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13級(jí)應(yīng)用化學(xué)（2）班 物理習(xí)題詳解 習(xí)題精解 1-1某質(zhì)點(diǎn)的速度為，已知t=0時(shí)它經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，7），則該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（ ） A. B. C. D.不能確定 解：本題答案為B. 因?yàn)? 所以 于是有 即 亦即 故 1-2 一質(zhì)點(diǎn)在平面上作曲線運(yùn)動(dòng),時(shí)刻位置矢量為，時(shí)刻的位置矢量為，求：（1）在時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移矢量式;(2)該段時(shí)間內(nèi)位移的大小和方向；（3）在坐標(biāo)圖上畫出及 。 解 （1）在時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移矢量式為 （2）該段時(shí)間內(nèi)位移的大小 該段時(shí)間內(nèi)位移的方向與軸的夾角為 （3）坐標(biāo)圖上的表示如圖1.1所示 1-3某質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 ，其中 以 計(jì)， 以 計(jì)，求：（1）第3s末質(zhì)點(diǎn)的位置；（2）頭3s的位移大??；（3）頭3s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程。 解 （1）第3s末質(zhì)點(diǎn)的位置為 （2）頭3s的位移大小為 （3）因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)做反向運(yùn)動(dòng)是有，所以令，即因此頭3s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為 1-4 已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，式中以計(jì)，和以計(jì)。（1）計(jì)算并圖示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；（2）求出到這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度；（3）計(jì)算末末質(zhì)點(diǎn)的速度；（4）計(jì)算末和末質(zhì)點(diǎn)的加速度。 解 （1）由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的參數(shù)方程消去時(shí)間參數(shù)t得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為 運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1.2 （2）根據(jù)題意可得到質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為 所以到這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為 （3）由位置矢量求導(dǎo)可得質(zhì)點(diǎn)的速度為 所以 末和 末的質(zhì)點(diǎn)速度分別為 和 （4）由速度求導(dǎo)可得質(zhì)點(diǎn)的加速度為 所以 末和 末質(zhì)點(diǎn)的加速度為 1-5湖中有一小船，岸邊有人用繩子跨過(guò)離河面高H的滑輪拉船靠岸，如圖1.3所示。設(shè)繩子的原長(zhǎng)為，人以勻速拉繩，使描述小船的運(yùn)動(dòng)。 解建立坐標(biāo)系如圖1.3所示。按題意，初始時(shí)刻（t=0）,滑輪至小船的繩長(zhǎng)為，在此后某時(shí)刻t,繩長(zhǎng)減小到，此刻船的位置為 這就是小船的運(yùn)動(dòng)方程，將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得小船的速度為 將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得小船的加速度為 其中負(fù)號(hào)說(shuō)明了小船沿軸的負(fù)向（即向岸靠攏的方向）做變加速直線運(yùn)動(dòng)，離岸越近（越小），加速度的絕對(duì)值越大。 1-6大馬哈魚總是逆流而上，游到烏蘇里江上游去產(chǎn)卵，游程中有時(shí)要躍上瀑布。這種魚躍出水面的速度可達(dá)32。它最高可躍上多高的瀑布？和人的跳高記錄相比如何？ 解 魚躍出水面的速度為,若豎直躍出水面，則躍出的高度 此高度和人的跳高記錄相比較，差不多是人跳高的兩倍。 1-7 一人站在山坡上，山坡魚水平面成角，他扔出一個(gè)初速度為的小石子，與水平面成角，如圖1.4所示。（1）若忽略空氣阻力，試證小石子落到了山坡上距離拋出點(diǎn)為S處，有。（2）由此證明對(duì)于給定的和值時(shí)，S在時(shí)有最大值。 解 （1）建立如圖1.4所示的坐標(biāo)系，則小石子的運(yùn)動(dòng)方程為 當(dāng)小石子落在山坡上時(shí)，有 聯(lián)立以上四個(gè)方程，求解可得小石子在空中飛行的時(shí)間（即從拋出到落在山坡上是所經(jīng)歷的時(shí)間）t所滿足的方程為 解之得 但時(shí)不可能的，因時(shí)小石子剛剛拋出，所以小石子落在山坡的距離為 （2）給定和值時(shí)，有，求S的最大值，可令，即 亦即 此時(shí)，所以S有最大值，且最大值為 1-8一人扔石子的最大出手速度為。他能擊中一個(gè)與他的手水平距離為，高為處的目標(biāo)嗎?在這個(gè)距離上他能擊中的最大高度是多少？ 解 設(shè)拋射角為，則已知條件如圖1.5所示，于是石子的運(yùn)動(dòng)方程為 可得到石子的軌跡方程為 假若石子在給定距離上能擊中目標(biāo)，可令 此時(shí)有 即 以為函數(shù)，令，有，此時(shí)，即在給定已知條件及給定距離上能夠擊中目標(biāo)的最大高度為，故在給定距離上能擊中高度的目標(biāo)。 1-9 如果把兩個(gè)物體A和B分別以速度和拋出去，與水平面的夾角為，與水平面的夾角為，試證明在任意時(shí)刻物體B相對(duì)于物體A的速度為常矢量。 解 兩物體在忽略風(fēng)力的影響之后，將在一豎直面內(nèi)做上拋運(yùn)動(dòng)，如圖1.6所示，則兩個(gè)物體的速度分別為 所以在任意時(shí)刻物體B相對(duì)于物體A的速度為 它是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常矢量。 1-10 如果已測(cè)得上拋物體兩次從兩個(gè)方向經(jīng)過(guò)兩個(gè)給定點(diǎn)的時(shí)間，即可測(cè)出該處的重力加速度。若物體沿兩個(gè)方向經(jīng)過(guò)水平線A的時(shí)間間隔為，而沿兩個(gè)方向經(jīng)過(guò)水平線A上方h處的另一水平線B的時(shí)間間隔為，設(shè)在物體運(yùn)動(dòng)的范圍內(nèi)重力加速度為常量，試求該重力加速度的大小。 解 設(shè)拋出物體的初速度為，拋射角為，建立如圖1.7所示的坐標(biāo)系，則 所以 于是有 此二式平方相減可得 注意此方法也是實(shí)驗(yàn)測(cè)得重力加速度的一種方法。 1-11 以初速度將一物體斜上拋，拋射角為，不計(jì)空氣阻力，則物體在軌道最高點(diǎn)處的曲率半徑為（ ） A. B. C. D.不能確定 解 本題正確答案為 C 因?yàn)槌跛贋閷⒁晃矬w斜向上拋，拋射角為，不計(jì)空氣阻力時(shí)，物體在軌道的最高點(diǎn)處的速率為，而此時(shí)物體僅有法向加速度，且，所以物體在軌道最高點(diǎn)處的曲率半徑為 1-12 一質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，其角加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律是，試求該質(zhì)點(diǎn)的角速度和切線加速度。 解 因?yàn)? 所以 于是有 故質(zhì)點(diǎn)的角速度為 切線方向加速度為 1-13 一質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)方程為。在時(shí)開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，問(wèn)：（1）s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)以什么方向轉(zhuǎn)動(dòng)；（2）質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方向改變的瞬間，它的角位置多大？ 解 （1）因質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)角速度方向改變瞬時(shí)， 即 所以時(shí)，質(zhì)點(diǎn)將以順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。 （2）質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方向改變的瞬間，它的角位置為 1-14 質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)沿半徑為的圓周做勻變速運(yùn)動(dòng)，切向加速度，問(wèn)：（1）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后質(zhì)點(diǎn)的總加速度恰好與半徑角？（2）在上述時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)歷的角位移和路程各為多少？ 解 因?yàn)? 所以 即 故質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的瞬間時(shí)速度為瞬時(shí)速率 質(zhì)點(diǎn)的法向加速度的大小為 其方向恒指向圓心，于是總加速度為 其中為沿半徑指向圓心的單位矢量，為切向單位矢量。 （1）設(shè)總加速度與半徑的夾角，如圖1.8所示，則 ， 當(dāng)=時(shí)有，即（負(fù)根舍去），所以時(shí)，與半徑成角。 （2）因?yàn)?，所? 故在這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為，角位移為。 1-15 汽車在半徑為的圓弧彎道上減速行駛，設(shè)某一時(shí)刻，汽車的速度為，切向加速度的大小為。汽車的法向加速度和總加速度的大小和方向。 解 已知條件如圖1.9所示。汽車的法向加速度為 汽車的總加速度為 所以，故加速度和的夾角為 習(xí)題精解 2-1 如圖2.6所示，將質(zhì)量分別為的。A,B間的靜摩擦系數(shù)為,滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，現(xiàn)用一水平力作用于A物塊上，要使A,B不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)而一同前進(jìn)，則應(yīng)有（ ） A. B. C. D. 解 本題正確答案為B 因A,B不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，設(shè)它們一同前進(jìn)的加速度為a,水平方向受力如圖2.6所示，則由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律的 對(duì)物體A有： 對(duì)物體B有： 解之可得： 可見只要,則A,B就不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。 2-2 質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，受力為的作用，式中為時(shí)間。時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)以的速度通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則該質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的位置矢量是_____. 解 因?yàn)?所以，于是有，；又因?yàn)椋?，于是有，，而t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)了原點(diǎn)，所以，故該質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位置矢量為。 2-3 一質(zhì)量為的物體（視為質(zhì)點(diǎn)）在平面上運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為，則物體所受合外力的大小為_____；其方向?yàn)開_____. 解 因?yàn)?，所以物體所受合力的大小為30N，其方向沿y軸負(fù)向。 2-4 A,B,C3個(gè)物體，質(zhì)量分別為，當(dāng)按圖2.7放置時(shí)，物體系正好勻速運(yùn)動(dòng)。（1）求物體C與水平面間的摩擦系數(shù)；（2）如果將物體A移動(dòng)到物體B上面，如圖2.7所示，求系統(tǒng)的加速度及繩中的張力（滑輪與繩的質(zhì)量忽略不計(jì)）。 解 （1）由于系統(tǒng)按圖2.7（a）放置時(shí)，物體系正好勻速運(yùn)動(dòng)，所以有，物體C與水平桌面間的摩擦系數(shù)為 （2）如果將物體A移到物體B上面，分析受力如圖2.7(b)所示，則 對(duì)物體A、B有： 對(duì)物體C有： 解之可得系統(tǒng)的加速度 繩子的張力 2-5 已知條件如圖2.8所示，求物體系加速度的大小和A、B兩繩中的張力（繩與滑輪的質(zhì)量及所有的摩擦均忽略不計(jì)）。 解 受力分析如圖2.8所示。由于繩子不可伸長(zhǎng)，所以設(shè)物體系的加速度為a，則由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可得 對(duì)于水平運(yùn)動(dòng)的物體有 對(duì)于豎直運(yùn)動(dòng)的物體有 對(duì)于斜面上運(yùn)動(dòng)的物體有 聯(lián)立以上三個(gè)方程可得物體系的加速度為 A、 B兩繩子的張力分別為 2-6 長(zhǎng)為的輕繩，一端固定，另一端系一質(zhì)量為的小球，使小球從懸掛著的鉛直位置以水平初速度開始運(yùn)動(dòng)，如圖2.9所示。用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求小球沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)角使的角速度和繩中的張力。 解 小球在任意位置是的受力分析如圖2.9所示，則由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可得 對(duì)法向有： 對(duì)切向有： 對(duì)切向方程兩邊同乘以，得 即 亦即 于是有 積分可得 所以小球沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)的角速度為 將代入法向方程可得繩中的張力為 2-7質(zhì)量為的子彈沿軸正方向以的速率射入一木塊后，與木板一起沿軸正方向的速度前進(jìn)，在此過(guò)程中木塊所受的沖量為（ ） A. B. C. D. 解 本題正確答案為A 根據(jù)動(dòng)量定理可得子彈受到的沖量為 由牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律得木塊所受的沖量為。 2-8 一質(zhì)量為的物體在力作用下，沿軸運(yùn)動(dòng)。時(shí)，其速度，則時(shí)，其速度為（ ） A. B. C. D. 解 本題正確答案為C 在方向，動(dòng)量定理可寫為，即 所以 。 2-9 有一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到了3個(gè)處于同一平面上的力、和的作用。其中，，，設(shè)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度，則質(zhì)點(diǎn)將( ) A.處于靜止?fàn)顟B(tài) B.做勻速直線運(yùn)動(dòng) C.做加速運(yùn)動(dòng) D.做減速運(yùn)動(dòng) 解 本題正確答案為A 因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)所受的合外力，所以質(zhì)點(diǎn)保持原有的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而質(zhì)點(diǎn)原來(lái)靜止，故質(zhì)點(diǎn)仍將處于靜止?fàn)顟B(tài)。 2-10一個(gè)不穩(wěn)定的原子核，其質(zhì)量為，開始時(shí)是靜止的。當(dāng)它分裂出一個(gè)質(zhì)量為、速度為的粒子后，原子核的其余部分沿相反方向反沖，則反沖速度的大小為（） A. B. C. D. 解 本題正確答案為A. 因?yàn)樵雍怂芎贤饬榱?，所以原子核的?dòng)量守恒。若設(shè)剩余部分的速度為，則，所以剩余部分的反沖速度為。 2-11 一物體質(zhì)量為。受到方向不變的力的作用，在開始的2s內(nèi)，此力的沖量大小等于______;若物體的初速度大小為 ，方向與同向，則在2s末物體的速度大小等于_______. 解 在開始的內(nèi)，此力的沖量大小為 由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理得 當(dāng)物體的初速度大小為，方向與同向時(shí)，在末物體速度的大小為 2-12 質(zhì)量均為的3只小船（包括船上的人和物）以相同的速度沿一直線同向航行， 時(shí)從中間的小船向前后兩船同時(shí)以速度（相對(duì)于該船）拋出質(zhì)量同為的小包。從小包被拋出至落入前、后兩船的過(guò)程中，試分析對(duì)中船。前船、后船建立動(dòng)量守恒方程。 解 設(shè)3條小船以相同的速度沿同一直線同向航行，根據(jù)題意作圖2.10。則由動(dòng)量守恒定理得 對(duì)于前船有 對(duì)于后船有 對(duì)于中船有 所以拋出小包之后3船的速度變?yōu)? 2-13 一質(zhì)量為的小球以的速度和45的仰角投向豎直放置的木板，如圖2.11所示。設(shè)小球與木板碰撞的時(shí)間為。反彈角度與入射角相同。小球速度的大小不變，求木板對(duì)小球的沖力。 解 建立坐標(biāo)系如圖2.11所示。由動(dòng)量定理得到小球所受的平均沖力為 代入數(shù)值計(jì)算可得 因此木板對(duì)小球的沖力為。 2-14一質(zhì)量為m的滑塊，沿圖2.12所示的軌道一初速無(wú)摩擦地滑動(dòng)，求滑塊由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中所受的沖量，并用圖表示之（OB與地面平行） 解 因?yàn)檐壍罒o(wú)摩擦，所以滑塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程與地球構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，于是 而，因此，方向豎直向上。 滑塊由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中所受的沖量為 如圖2.12所示。 2-15 一質(zhì)量為的人以為的水平速度從后面跳上質(zhì)量為的小車，小車原來(lái)的速度為，問(wèn)：（1）小車的速度將如何變化？（2）人如果迎面跳上小車，小車的速度又將如何變化？ 解 若忽略小車與地面之間的摩擦，則小車和人構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒。 （1）因?yàn)? 所以，車速變大，方向與原來(lái)相同。 （2）因?yàn)? 所以，車速變小，方向與原來(lái)相反。 2-16 原子核與電子間的吸引力的大小隨它們之間的距離r而變化，其規(guī)律為，求電子從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，核的吸引力所做的功。 解 核的吸引力所做的功為 2-17 質(zhì)量為的子彈，在槍筒中前進(jìn)受到的合力為，單位為，x的單位為m，子彈射出槍口時(shí)的速度為，試求槍筒的長(zhǎng)度。 解 設(shè)槍筒的長(zhǎng)度為，則根據(jù)動(dòng)能定理有 即 ，得 所以槍筒的長(zhǎng)度為。 2-18從輕彈簧的原長(zhǎng)開始第一次拉伸長(zhǎng)度L。在此基礎(chǔ)上，第二次使彈簧再伸長(zhǎng)L，繼而第三次又伸長(zhǎng)L。求第三次拉伸和第二次拉伸彈簧時(shí)做的功的比值。 解 第二次拉伸長(zhǎng)度L時(shí)所做的功為 第三次拉伸長(zhǎng)度L時(shí)所做的功為 所以第三次拉伸和第二次拉伸彈簧時(shí)做的功的比值為。 2-19 用鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)釘?shù)淖枇εc釘進(jìn)木板之深度成正比。在第一次錘擊時(shí)，釘被擊入木板1cm。假定每次錘擊鐵釘時(shí)速度相等，且錘與鐵釘?shù)呐鲎矠橥耆珡椥耘鲎玻瑔?wèn)第二次錘擊時(shí)，釘被擊木板多深？ 解 據(jù)題意設(shè)木板對(duì)釘子的阻力為，錘擊鐵時(shí)的速度為，則由功能原理可知在第一次錘擊時(shí)有；在第二次錘擊時(shí)有，聯(lián)立這兩個(gè)方程可得第二次錘擊時(shí)釘被擊入的深度為。 2-20如圖2.13所示，兩物體A和B的質(zhì)量分別為，物體B與桌面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，試分析用動(dòng)能定理和牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律求物體A自靜止落下時(shí)的速度。 解 用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律求解。分析物體受力如圖2.3所示，則 對(duì)物體A有： 對(duì)物體B有： 解之得： 因?yàn)? 所以 用動(dòng)能定理求解。對(duì)于物體A,B構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)能定理可寫為 所以 2-21 一彈簧勁度系數(shù)為k，一段固定在A點(diǎn)，另一端連結(jié)一質(zhì)量為m的物體，靠在光滑的半徑為a的圓柱體表面上，彈簧原長(zhǎng)AB，如圖2.14所示，再變力的作用下物體極其緩慢的沿圓柱體表面從位置B移到了C，試分別用積分法和功能原理兩種方法求力F所做的功。 解 利用積分法求解。 分析物體受力如圖2.14所示，由于物體極其緩慢地沿光滑表面移動(dòng)，所以有 因此力所做的功為 利用功能原理求解，力F所做的功為 2-22 一長(zhǎng)為、質(zhì)量均勻的鏈條，放在光滑的水平桌面上。若使其長(zhǎng)度的1/2懸于桌邊下，由靜止釋放，任其自由滑動(dòng)，則剛好鏈條全部離開桌面時(shí)的速度為（） A. B. C. D. 解 本題正確答案為B。 根據(jù)題意作圖2.15.設(shè)鏈條的質(zhì)量為，則單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為，若選取桌面為零勢(shì)能點(diǎn)，則由機(jī)械能守恒定律得 其中為鏈條全部離開桌面時(shí)的速度。解之得 2-23 一彈簧原長(zhǎng)為0.5m，勁度系數(shù)為k，上端固定在天花板上，當(dāng)下端懸掛一盤子時(shí)，其長(zhǎng)度為0.6m，然后在盤子中放一物體，彈簧長(zhǎng)度變?yōu)?.8m,則盤中放入物體后，在彈簧伸長(zhǎng)過(guò)程中彈性力做功為（） A. B. C. D. 解 本題正確答案為D 因?yàn)閺椓λ龅墓? 2-24 如圖所示，已知子彈的質(zhì)量為，木塊的質(zhì)量為，彈簧的勁度系數(shù)，子彈以初速射入木塊后，彈簧被壓縮了。設(shè)木塊與平面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，不計(jì)空氣阻力，試求的大小。 解 設(shè)子彈與木塊碰撞后共同前進(jìn)的速度為，因碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，所以有 在子彈與木塊一同壓縮彈簧時(shí)，由功能原理得 聯(lián)立以上兩式可得子彈的初速度為 2-25 質(zhì)量為M的物體靜止于光滑的水平面上，并連接有一輕彈簧如圖2.17所示，另一質(zhì)量為M的物體以速度與彈簧相撞，問(wèn)當(dāng)彈簧壓縮到最大時(shí)有百分之幾的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為勢(shì)能， 解 當(dāng)彈簧壓縮到最大時(shí)系統(tǒng)以同一速度前進(jìn)，此過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，所以有于是，故彈簧壓縮到最大時(shí)動(dòng)能轉(zhuǎn)化為勢(shì)能的百分率為 2-26 如圖2.18所示，一木塊M靜止于光滑的水平面上，一子彈m沿水平方向以速度射入木塊內(nèi)一段距離后停止于木塊內(nèi)。（1）試求在這一過(guò)程中子彈和木塊的動(dòng)能變化是多少？子彈和木塊之間的摩擦力對(duì)子彈和木塊各做了多少功？（2）證明子彈和木塊的總機(jī)械能的增量等于一對(duì)摩擦力之一沿相對(duì)位移做的功。 解 （1）如圖2.18所示。設(shè)子彈停止于木塊內(nèi)，二者一同前進(jìn)的速度為V,因?yàn)樽訌椗c木塊碰撞的過(guò)程中動(dòng)量守恒，所以有,解之可得 因此在這一過(guò)程中子彈和木塊的動(dòng)能變化為 子彈和木塊之間的摩擦力對(duì)子彈所做的功為 子彈和木塊之間的摩擦力對(duì)木塊所做的功為 （2）子彈和木塊的總機(jī)械能的增量為 而摩擦內(nèi)力所做的總功為 正好等于一對(duì)摩擦力之一沿相對(duì)位移做的功。 2-27 證明：在光滑的臺(tái)面上，一個(gè)光滑的小球撞擊（撞擊可認(rèn)為時(shí)完全彈性碰撞）另一個(gè)靜止的光滑繡球后，兩者總沿著互成直角的方向離開，設(shè)光滑的小球質(zhì)量相等（除正碰外）。 證明 如圖 2.19所示，由于在光滑臺(tái)面上光滑的小球間的碰撞為完全彈性碰撞，所以動(dòng)能和動(dòng)量守恒。 由動(dòng)量守恒，得 （1） 由動(dòng)能守恒，得 （2） （1）式兩邊平方，得 （3） 將（3）式與（2）式比較，得，而和均不為零，所以有。 習(xí)題精解 3-1 某剛體繞定軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)剛體上距轉(zhuǎn)軸為r處的任意質(zhì)元的法向加速度為和切線加速度來(lái)正確的是（） A. ，大小均隨時(shí)間變化 B. ，大小均保持不變 C. 的大小變化，的大小保持不變 D. 大小保持不變，的大小變化 解 剛體繞定軸做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)椋鵀楹懔?，所以，故?？梢姡旱拇笮∽兓?，的大小保持恒定，本題答案為C. 3-2 一飛輪以的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，現(xiàn)施加一恒定的制動(dòng)力矩，使飛輪在2s內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則該恒定制動(dòng)力矩的大小為_________. 解 飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為所以該恒定制動(dòng)力矩大小為。 3-3 一飛輪半徑，以轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，受制動(dòng)均勻減速，經(jīng)后靜止，試求：（1）角速度和從制動(dòng)開始到靜止這段時(shí)間飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)；（2）制動(dòng)開始后時(shí)飛輪的角速度；（3）在時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。 解 （1）角加速度 從制動(dòng)開始到靜止這段時(shí)間飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù) （2）制動(dòng)開始后時(shí)飛輪的角速度 （3）在是飛輪邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度分別為 3-4 有A、B兩個(gè)半徑相同、質(zhì)量也相同的細(xì)圓環(huán)，其中A環(huán)的質(zhì)量分布均勻，而B環(huán)的質(zhì)量分布不均勻。若兩環(huán)對(duì)過(guò)環(huán)心且與環(huán)面垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為和，則有（） A. B. C. D.無(wú)法確定和的相對(duì)大小。 解 因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)慣量,對(duì)于細(xì)圓環(huán)而言，各質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為圓環(huán)的半徑，即，所以。故A,B兩個(gè)半徑相同、質(zhì)量也相同的細(xì)圓環(huán)，不論其質(zhì)量在圓環(huán)上如何分布，兩環(huán)對(duì)過(guò)環(huán)心且與環(huán)面垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，本題答案為C。 3-5 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于______、________和____________等3各因素。_ 解 干體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于：剛體的總質(zhì)量、質(zhì)量的分布和轉(zhuǎn)軸的位置3個(gè)元素。 3-6 如圖3.4所示，細(xì)棒的長(zhǎng)為。設(shè)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上離中心距離為d的一點(diǎn)并與棒垂直，求棒對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。試說(shuō)明這一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與棒對(duì)過(guò)棒中心并與此軸平行的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的關(guān)系（此為平行軸定理）。 解 如圖3.4所示，以過(guò)點(diǎn)垂直于棒的直線為軸，沿棒長(zhǎng)方向?yàn)檩S，原點(diǎn)在 處，在棒上取一原長(zhǎng)度元，則 所以與之間的關(guān)系為 3-7 一輕繩在具有水平轉(zhuǎn)軸的定滑輪上，繩下掛一物體，物體的質(zhì)量為m，此時(shí)滑輪的角加速度為，若將物體取下，而用大小等于，方向向下的拉繩子，則滑輪的角加速度將（ ） A.變大 B.不變 C.變小 D.無(wú)法確定 解 設(shè)滑輪的半徑為,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，如圖3.5所示。使用大小等于，方向向下的力拉繩子時(shí)，如圖3.5（a）,滑輪產(chǎn)生的角加速度為。 繩下段掛一質(zhì)量為m的物體時(shí)，如圖3.5（b），若設(shè)繩子此時(shí)的拉力為T，則 對(duì)物體有： 對(duì)滑輪有： 此時(shí)滑輪產(chǎn)生的角加速度為 比較可知，用大小等于，方向向下的拉力拉繩子時(shí)，滑輪產(chǎn)生的角加速度變大，本題答案為A. 3-8 力矩、功和能量的單位量綱相同，它們的物理意義有什么不同？ 解 雖然力矩、功和能量的單位量綱相同，同為,但物理量的量綱相同，并不意味著這些物理量的物理意義相同，力矩為矢量，而功和能量均為標(biāo)量。力矩通過(guò)做功的過(guò)程使物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，以改變物體所具有的能量。 3-9 如圖3.6所示，兩物體的質(zhì)量分別為和，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為r。若與桌面的摩擦系數(shù)為，設(shè)繩子與滑動(dòng)間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，試求系統(tǒng)的加速度a的大小及繩子中張力和的大小。 解 分析受力如圖3.6所示。和可視為質(zhì)點(diǎn)，設(shè)其加速度分別為和，則由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得 滑輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 由于繩子與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，所以 聯(lián)立以上4個(gè)方程可得，系統(tǒng)的加速度的大小及繩子中張力和的大小分別為 3-10 如圖3.7所示。兩個(gè)半徑不同的同軸滑輪固定在一起，兩滑輪的半徑分別為和，兩個(gè)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為和，繩子的兩端分別懸掛著兩個(gè)質(zhì)量分別為和的物體，設(shè)滑輪與軸之間的摩擦力忽略不計(jì)，滑輪與繩子之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，繩子的質(zhì)量也忽略不計(jì)，且繩子不可伸長(zhǎng)。試求兩物體的加速度的大小和繩子中張力的大小。 解 分析受力如圖3.7所示。和可視為質(zhì)點(diǎn)，設(shè)其受繩子的拉力分別為和，加速度分別為和，則由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得 滑輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則有轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 由于繩子與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，所以 聯(lián)立以上5個(gè)方程可得，兩物體的加速度和繩子中的張力分別為 3-11 如圖3.8所示，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿，可繞通過(guò)其一端O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿的另一端與質(zhì)量為m的小球固連在一起，當(dāng)該系統(tǒng)從水平位置有靜止轉(zhuǎn)動(dòng)角時(shí)，系統(tǒng)的角速度_________、動(dòng)能__________,此過(guò)程中力矩所做的功__________. 解 在任意位置時(shí)，受力分析如圖3.8所示。系統(tǒng)所受的合外力矩為 則在此過(guò)程中合外力矩所做的功為 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 于是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理可寫為 所以系統(tǒng)的角速度為，系統(tǒng)的動(dòng)能為 3-12 一個(gè)張開雙臂手握啞鈴坐在轉(zhuǎn)椅上，讓轉(zhuǎn)椅轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，若此后無(wú)外力矩作用，則當(dāng)此人收回雙臂時(shí)，人和轉(zhuǎn)椅這一系統(tǒng)的（ ）。 A.轉(zhuǎn)速加大，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能不變 B.角動(dòng)量加大 C.轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能變化不清楚 D.角動(dòng)量保持不變 解 因?yàn)橄到y(tǒng)無(wú)外力矩的作用，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，及，當(dāng)人收回雙臂時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減少，即，所以，故轉(zhuǎn)速增大。 又因?yàn)椋?。因此轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能都增大，求角動(dòng)量守恒。所以本題的正確答案為D 3-13 如圖3.9所示。有一半徑為R，質(zhì)量為M的勻質(zhì)盤水平放置，可繞通過(guò)盤心的豎直軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。當(dāng)圓盤以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，有一質(zhì)量為的橡皮泥（可視為質(zhì)點(diǎn)）豎直落在圓盤上，并粘在距轉(zhuǎn)軸處，如圖所示。那么橡皮泥和盤共同角速度________. 解 對(duì)于圓盤和橡皮泥組成的系統(tǒng)而言，所受的合外力矩為零，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，于是有 因?yàn)閳A盤對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 所以橡皮泥和盤的共同角速度為 3-14 如圖3.10所示。以質(zhì)量為的小球由一繩子系著，以角速度在無(wú)摩擦的水平面上，繞圓心O作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。若在通過(guò)圓心O的繩子端作用一豎直向下的拉力，小球則作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。試求：（1）小球新的角速度；（2）拉力所做的功。 解 （1）在拉力拉小球的過(guò)程中，由于拉力通過(guò)了軸心，因此小球在水平面上轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中不受外力矩的作用，故其角動(dòng)量守恒。于是有 即 小球新的角速度。 （2）隨著小球轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的增加，其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能也在增加，這正是拉力做功的結(jié)果。于是有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理得拉力所做的功為 3-15 如圖3.11所示。A與B兩個(gè)飛輪的軸桿可由摩擦嚙合器使之連接，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，開始時(shí)B輪靜止，A輪以的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，然后時(shí)A與B連接，因而B輪得到加速度而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于為止。求：（1）B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）在嚙合過(guò)程中損失的機(jī)械能。 解 （1）兩飛輪在軸方向嚙和時(shí)，軸向受的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，所以兩飛輪構(gòu)成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。于是有 所以B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 （2）有兩飛輪在嚙和前后轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的變化可得嚙和過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能為 3-16 質(zhì)量為，長(zhǎng)為的均勻細(xì)棒，可繞垂直與棒的一端的水平軸無(wú)摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)。若將此棒放在水平位置，然后任其開始轉(zhuǎn)動(dòng)，試求：（1）開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；（2）落到豎直位置時(shí)的動(dòng)能；（3）落至豎直位置時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量。 解 根據(jù)題意作圖3.12. （1）開始轉(zhuǎn)動(dòng)是角加速度為 （2）在下落過(guò)程中，系統(tǒng)（棒和地球）受的重力為保守力，軸的支持力始終不做功，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以落到豎直位置時(shí)的動(dòng)能為 （3）因?yàn)?，所以落至豎直位置時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角速度為，故落至豎直位置是對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 3-17 如圖3.13所示。一均勻細(xì)棒長(zhǎng)為，質(zhì)量為m，可繞通過(guò)端點(diǎn)的水平軸在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)。棒在水平位置時(shí)釋放，當(dāng)它落到豎直位置時(shí)與放在地面上一靜止的物體碰撞。該物體與地面之間的摩擦系數(shù)為，其質(zhì)量也為m，物體滑行s距離后停止。求碰撞后桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。 解 根據(jù)題意可知此題包含3個(gè)物理過(guò)程。 第一過(guò)程為均勻細(xì)棒的下落過(guò)程。在此過(guò)程中，以棒和地球構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，棒受的重力為保守力，軸對(duì)棒的支持力始終不做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則 第二過(guò)程為均勻細(xì)棒與物體的碰撞過(guò)程。在此過(guò)程中，以棒和物體構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，物體所受的摩擦力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩與碰撞的沖力矩相比較可忽略，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，則 其中為碰撞后瞬時(shí)棒的角速度，為碰撞后瞬時(shí)物體與棒分離時(shí)物體的速率。 第三過(guò)程為分離以后的過(guò)程。對(duì)于棒而言，棒以角速度繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)；對(duì)于物體而言，物體在水平面內(nèi)僅受摩擦力的作用，由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定律得 聯(lián)立以上3個(gè)方程可得碰撞后桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為 3-18 如圖3.14所示，一勁度系數(shù)為k的輕彈簧與一輕柔繩相連，該跨過(guò)一半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的定滑輪，繩的另一端懸掛一質(zhì)量為m的物體，開始時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，物體由靜止釋放?；喤c軸之間的摩擦可以忽略不計(jì)，當(dāng)物體下落h時(shí)，試求物體的速度，（1）用牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解；（2）用守恒定律求解。 解 （1）用牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解。 建立坐標(biāo)系及受力分析如圖3.14所示。則由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 對(duì)于物體有： 對(duì)于滑輪有： 對(duì)于彈簧有： 物體的加速度與滑輪邊緣的切向加速相同，即 聯(lián)立以上4個(gè)方程可得 因?yàn)? 所以有 整理并積分有 解之可得物體的速度為 （2） 用守恒定律求解 由于滑輪和軸之間的摩擦忽略不計(jì)，系統(tǒng)（彈簧、滑輪、物體和地球）僅受保守力（重力和彈力）的作用，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，若以物體的初始位置處為勢(shì)能零點(diǎn)，則 解之得物體的速度為 習(xí)題精解 4-1 設(shè)想每秒有個(gè)氧氣分子，以的速度沿著與器壁法線成45角的方向撞在面積為的器壁上，求這群分子作用在器壁上的壓強(qiáng)。 解 如圖4.1所示，每個(gè)分子的動(dòng)量變化為 全部分子給予器壁的沖量為 壓強(qiáng)為 4-2 質(zhì)量為氫氣貯于體積為 的容器中，當(dāng)容器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為時(shí)，氫氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是多少？總平動(dòng)動(dòng)能是多少？ 解 理想氣體的平均平動(dòng)動(dòng)能為 根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程 得 代入式得 總平動(dòng)動(dòng)能為 4-3 體積為的容器中含有 氫分子，如果其中的壓強(qiáng)為。求氣體的溫度和分子的方均根速率。 解 氫氣的摩爾數(shù)為，根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程得 氫分子的方均根速率為 4-4 在300K時(shí)，1mol氫氣分子的總平動(dòng)動(dòng)能、總轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和氣體的熱力學(xué)能各是多少？ 解 對(duì)氣體分子有 4-5 （1）當(dāng)氧氣壓強(qiáng)為，體積為時(shí)，所有氧氣分子的熱力學(xué)能是多少？（2）當(dāng)溫度為300K時(shí)，的氧氣的熱力學(xué)能時(shí)多少？ 解 （1）質(zhì)量為M的理想氣體的熱力學(xué)能 根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程 故 對(duì)于氧氣分子，，所以 （2）當(dāng)溫度為時(shí)，kg的氧氣的熱力學(xué)能 4-6 儲(chǔ)有氧氣的容器以速度運(yùn)動(dòng)，假設(shè)該容器突然停止，全部定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能都變?yōu)闅怏w分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，問(wèn)容器中氧氣的溫度將會(huì)上升多少？ 解 容器突然停止時(shí)，容器中分子的定向機(jī)械運(yùn)動(dòng)動(dòng)能經(jīng)過(guò)分子與器壁的碰撞和分子之間的相互碰撞而轉(zhuǎn)變?yōu)闊崃W(xué)能的增量 對(duì)于氧氣分子，i=5,所以 4-7 的氣體放在容積為的容器中，容器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為。求氣體分子的最概然速率。 解 由理想氣體的狀態(tài)方程可得 氣體分子的最概然速率為 4-8 溫度為273K，壓強(qiáng)為時(shí)，某種氣體的密度為。求:(1)氣體的摩爾質(zhì)量，并指出時(shí)哪種氣體；（2）氣體分子的方均根速率。 解 （1）由理想氣體的狀態(tài)方程得 該氣體為氮?dú)猓ǎ┗蛞谎趸?). (2)氣體分子的方均根速率為 4-9 證明氣體分子的最概然速率為。 證明 氣體分子的速率分布曲線的極大值所對(duì)應(yīng)的速率為最該然速率。 有數(shù)學(xué)知 氣體分子的速率分布函數(shù)的數(shù)學(xué)式為 代入上式得 所以 即 由于氣體的摩爾質(zhì)量，摩爾氣體常量，故上式亦可寫成為 4-10 質(zhì)量為 的粒子懸浮于的液體中。觀測(cè)到它的方均根速率為。（1）計(jì)算阿伏伽德羅常數(shù)；（2）設(shè)粒子遵守麥克斯韋速率分布律，求該粒子的平均速率。 解 （1）因?yàn)? 所以 （2）由麥克斯韋分布率求得分子的平均速率為 4-12 在壓強(qiáng)為下，氮?dú)夥肿拥钠骄杂沙虨?，?dāng)溫度不變時(shí)，在多大的壓強(qiáng)下，其平均自由程為。 解 因?yàn)? 所以 從上式可以看出，當(dāng)溫度保持不變時(shí)， 故 4-13 目前實(shí)驗(yàn)室獲得的極限真空約為，這與距地球表面處的壓強(qiáng)大致相同，試求在時(shí)單位體積中的分子數(shù)及分子的平均自由程。（設(shè)氣體分子的有效直徑為） 解 由公式得 分子的平均自由程為 4-14 若氖氣分子的有效直徑為，問(wèn)在溫度為，壓強(qiáng)為時(shí)，氖分子1s內(nèi)的平均碰撞次數(shù)為多少？ 解 因?yàn)? 所以 習(xí)題精解 5-1 1mol理想氣體，例如氧氣，有狀態(tài)A在圖5.2上沿一條直線變到狀態(tài)，該氣體的熱力學(xué)能的增量為多少？ 解 理想氣體的熱力學(xué)能 氧氣為雙原子分子 氧氣的摩爾數(shù)為 5-2 如圖5.3所示，一定質(zhì)量的理想氣體，沿圖中斜向下的直線由狀態(tài)A變化到狀態(tài)B初態(tài)時(shí)壓強(qiáng)為，體積為，末態(tài)的壓強(qiáng)為，體積為，求此過(guò)程中氣體對(duì)外所做的功。 解 理想氣體做功的表達(dá)式為, 其數(shù)值等于圖中過(guò)程曲線下所對(duì)應(yīng)的面積 5-3 如圖5.4所示，系統(tǒng)從狀態(tài)A沿ACB變化到狀態(tài)B，有334J的熱量傳遞給系統(tǒng)，而系統(tǒng)對(duì)外做功為126J. (1)若系統(tǒng)從狀態(tài)A沿ADB變化到狀態(tài)B是，系統(tǒng)做的功42J，問(wèn)由多少熱量傳遞給系統(tǒng)。 （2）當(dāng)系統(tǒng)從狀態(tài)B沿曲線BEA返回到狀態(tài)A時(shí)，外界對(duì)系統(tǒng)做功為84J,問(wèn)系統(tǒng)是吸熱還是放熱？傳遞熱量多少？ (3)若，求系統(tǒng)沿AD及DB變化時(shí)，各吸收多少熱量？ 解 （1）對(duì)于過(guò)程ACB 對(duì)于過(guò)程ADB過(guò)程 （2）對(duì)于過(guò)程BEA 負(fù)號(hào)表示放熱。 （3）對(duì)于過(guò)程AD 對(duì)于過(guò)程DB過(guò)程 5-4 將壓強(qiáng)為，體積為的氧氣，自加熱到，問(wèn)：（1）當(dāng)壓強(qiáng)不變時(shí)，需要多少熱量?(2) 當(dāng)體積不變時(shí)，需要多少熱量?(3)在等壓和等體過(guò)程中各做多少功？ 解 氧氣的摩爾數(shù)為 氧氣為雙原子分子， （1） 當(dāng)壓強(qiáng)不變時(shí)，系統(tǒng)所吸熱為 （2） 體積不變時(shí)，系統(tǒng)所吸熱為 （3） 在等壓過(guò)程中所做功為 在等體積過(guò)程中，氣體體積不變，故所做的功為零。 說(shuō)明：功的值亦可用熱力學(xué)第一定律來(lái)求 5-5 如圖5.5所示，1mol的氫氣，在壓強(qiáng)為，溫度為時(shí)，體積為，現(xiàn)通過(guò)以下兩種過(guò)程使其達(dá)到同一狀態(tài)：（1）保持體積不變，加熱使其溫度升高到，然后令其做等溫膨脹，體積變?yōu)?；?）先使其作等溫膨脹至體積為，然后保持體積不變，加熱使其溫度升高到，試分析計(jì)算以上兩中過(guò)程中，氣體吸收的熱量，對(duì)外所做的功和熱力學(xué)能的增量。 解 氫氣的等體積摩爾熱容為,在A-B等提過(guò)程中，氣體不做功，熱力學(xué)能增量為 在B-C等溫過(guò)程中熱力學(xué)能不變，氫氣的體積從變化到，氣體對(duì)外所做的功為 在A-B-C過(guò)程中，氣體吸收熱量為 （2） 在A-D等溫過(guò)程中，熱力學(xué)能不變，氣體對(duì)外做功為 在D-C等體吸熱的過(guò)程中氣體不做功，熱力學(xué)能增量為 在A-D-C過(guò)程中，氣體吸收熱量為 5-6 如圖5.6所示，質(zhì)量為的氧氣，在溫度為是，體積為。計(jì)算下列各過(guò)程中氣體所做的功(1)氣體絕熱膨脹至體積為;(2)氣體等溫膨脹至體積為，然后再等體積冷卻，直到溫度等于絕熱膨脹后達(dá)到最后溫度為止。并解釋這兩種過(guò)程中做功不同的原因。 解 （1）絕熱過(guò)程中，氧氣的等體摩爾熱容為,比熱容比為。 有絕熱方程得 （2）等溫過(guò)程中氧氣的體積由膨脹到時(shí)所做的功為 5-7 有1摩爾單原子理想氣體做如圖5.7所示的循環(huán)工程，求氣體在循環(huán)過(guò)程中吸收的凈熱量和對(duì)外所做的凈功，并求循環(huán)效率。 解 氣體經(jīng)過(guò)循環(huán)所做的凈功W為圖1-2-3-4-1線所包圍的面積，即 根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程得 在等體過(guò)程1-2，等壓過(guò)程2-3中，氣體所吸熱量、分別為 在等體過(guò)程3-4，等壓過(guò)程4-1中，氣體所放熱量、分別為 氣體經(jīng)歷一個(gè)循環(huán)所吸收的熱量之和為 氣體在此循環(huán)中所放出的熱量之和為 式中是絕對(duì)值。 氣體在此循環(huán)過(guò)程中吸收的凈熱量為 此循環(huán)的效率為 5-8 一卡諾熱機(jī)的低溫?zé)嵩吹臏囟葹?攝氏度，效率為40%，若要將其效率提高到50%，問(wèn)高溫?zé)嵩吹臏囟葢?yīng)提高多少？ 解 設(shè)高溫?zé)嵩吹臏囟确謩e為和，低溫?zé)嵩吹臏囟葹?，則有 上式變形得 高溫?zé)嵩礈囟刃杼岣叩臏囟葹? 5-9 汽油機(jī)可近似地看成如圖5.8所示的理想循環(huán)，這個(gè)循環(huán)也做奧托循環(huán)，其中BC和DE是絕熱過(guò)程，試證明： （1）此循環(huán)的效率為，式中、、、，分別為 工作物質(zhì)在狀態(tài)B,C,D,E的溫度； （2）若工作物質(zhì)的比熱容比為r，在狀態(tài)C,D和E,B的體積分別為、，則上述效率也可以表示為 證明 （1） 該循環(huán)盡在CD過(guò)程中吸熱，EB過(guò)程中放熱，則熱機(jī)效率為 (a) (2)在過(guò)程CD,DE中，根據(jù)絕熱方程有 由以上二式可得 （b） 把(b)代入(a)得 5-10 設(shè)有一理想氣體為工作物質(zhì)的熱機(jī)，其循環(huán)如圖5.9所示，試證明其效率為 證明 該熱機(jī)循環(huán)效率為 其中 所以 在等壓過(guò)程BC中和等體過(guò)程CA中分別有，代入上式得 證畢。 習(xí)題解析 6-1 在坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)分別放置電量及的點(diǎn)電荷，求點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)。 解 如圖6.4所示，點(diǎn)電荷和在產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為 而，所以 6-2 長(zhǎng)為的直導(dǎo)線AB上，設(shè)想均勻地分布著線密度為，的正電荷，如圖6.5所示，求： （1）在導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上與B端相距處的P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)； （2）在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中點(diǎn)相距處的Q點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。 解 （1）如圖6.5（a）所示，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，從A到B的方向?yàn)閤軸的正方向。在導(dǎo)線AB上坐標(biāo)為x處，取一線元dx，其上電荷為 它在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為 方向沿x軸正方向。導(dǎo)線AB上所有線元在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)的方向相同，因此P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為 方向沿x軸正方向。 （2）如圖6.5（b）所示，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，從A到B的方向?yàn)閤軸正方向，垂直于AB的軸為y軸，在導(dǎo)線AB上坐標(biāo)為x處，取一線元dx，其上的電荷為 它在Q點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為 方向如圖6.5（b）所示。 在導(dǎo)線AB上坐標(biāo)為-x處取另一線元dx，其上電荷為 它在Q點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為 方向與坐標(biāo)x處電荷元在Q點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)方向相對(duì)與y軸對(duì)稱，因此 與的合場(chǎng)強(qiáng)的大小為 方向沿y軸正方向，因此Q點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的大小為 方向沿軸正方向。 6-3 一根玻璃棒被彎成半徑為R的半圓形，其上電荷均勻分布，總電量為q，求半圓中心O 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。 解 建立如圖6.6所示的坐標(biāo)系，在弧線上取線元其上電荷為，它在Q點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) 由于半圓形上電荷對(duì)y軸呈對(duì)稱性分布，電場(chǎng)分布也對(duì)y軸呈對(duì)稱性，所以 6-4 一根細(xì)有機(jī)玻璃棒被彎成半徑為R的半圓形，上半截均勻帶有正電荷，電荷線密度為；下半截均勻帶有負(fù)電荷線密度為，如圖6.7所示。求半圓中心O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。 解 建立如圖6.7所示的坐標(biāo)系，根據(jù)電荷分布的對(duì)稱性，O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)沿y軸方向正方向，任意電荷元dq在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為 此場(chǎng)強(qiáng)在y軸方向的分量為 半圓形上半部分和下半部分在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，在x軸方向合場(chǎng)強(qiáng)為零，在y軸方向分量 大小相等，方向相同。因此 方向沿y軸的正方向。 6-5 （1）一半徑為R的帶電球體，其上電荷分布的體密度為一常數(shù)，試求此點(diǎn)球體內(nèi)、 外的場(chǎng)強(qiáng)分布； (2)若（1）中帶電球體上點(diǎn)電荷分布的體密度為，其中為一常數(shù)，r為球上任意一點(diǎn)到球心的距離，試求此帶點(diǎn)球體內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)分布。 解 （1）當(dāng)時(shí)，建立如圖6.8（a）所示的高斯面，