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1.3古典概型與幾何概型,(ⅰ),(ⅱ),即樣本空間,是個有限集;,各樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同,,即每個基本事件,發(fā)生的概率相等.,是有限個,,試驗(yàn)的全部可能的結(jié)果,每次試驗(yàn)中,,例如,每一面出現(xiàn)的概率都是,一、古典概型：,(ⅰ)樣本空間,是個有限集:,的概率相同.,(ⅱ)每個基本事件,1.有限性,試驗(yàn)的所有基本事件,總數(shù)有限.,2.等可能性,每次試驗(yàn)中,,各個基本事件,出現(xiàn)的,都相同.,可能性,擲一枚均勻的骰子,,基本事件總數(shù),A中所含的基本事件數(shù),古典概型：,(ⅰ)樣本空間,是個有限集:,(ⅱ),設(shè)A是任一事件，,并設(shè)A中,含有m個樣本點(diǎn),例,解,設(shè),例,求出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的概率.,解,樣本空間,A表示,B表示,求P(A),P(B),表示“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,擲一枚均勻的骰子,,擲兩顆均勻的骰子,,“點(diǎn)數(shù)之和為8”,,“第一次出奇數(shù)點(diǎn)”,,樣本空間為,一、兩個基本原理,1.加法原理,例,從甲地到乙地,,解,可以乘飛機(jī),每天有飛機(jī)一班、,火車六班、,汽車三班,,問一天中乘飛機(jī),或不同班次的火車、汽車,,有幾種不同的選擇方法?,種,,,,,,,,,,,,,汽車,,或者乘火車,或,從甲地到乙地,,共有,加法原理:,如果完成某件事,有種方式,,第一種方式中有n1,第二種方式中有n2個方法,,中有nk個方法,,不論用哪一種方式中的哪一個方法,,都能達(dá)到完成該事件的目的,,那么完成這件事共有,種不同的方法.,,,,,,,,,,,,個方法,,第種方式,乘法原理:,2.乘法原理,例,解,,,,,必須經(jīng)過乙地,,甲地到乙地的,交通線路有鐵路、,公路和水路;,從乙地到丙地的,交通線路,只有公路和水路.,一旅客從甲地經(jīng)過乙地,有幾種不同的途徑?,種,如果完成某件事,分k個步驟,,第一步有n1種方法,,第二步有n2種方法,,...,第k步有nk種方法,,各個步驟,依次連續(xù)完成,,該事件才算完成,,則完成這件事共有,種不同的方法.,甲,乙,丙,,,,,,,,,,,,,,到丙地,,從甲地到丙地,,有,二、排列,1.選排列和全排列,例,,,,解,可寫出多少個數(shù)碼不重復(fù),的三位數(shù)?,個,定義,任取k個元素,按照,一定順序排成一列,,稱為從n個不同元素中,取k個的,排列.,用1,2,3,4四個數(shù)碼,,從n個不同元素中,共有,如果,稱上述定義的排列為選排列;,則稱之為全排列.,如果k=n,,從n個不同元素中,的選排列的個數(shù)為,全排列的個數(shù)為,,,,,,,取k個,定義,任取k個元素,按照,一定順序排成一列,,稱為從n個不同元素中,取k個的,排列.,從n個不同元素中,個,2.允許重復(fù)的排列,例,9,,,,,,解,一共可以設(shè)多少?,種,取出允許重復(fù)使用的,定義,k個元素,,按照一定順序排成一列,,稱為n個不同元素,簡稱允許重復(fù)的排列.,元排列,,,,,,,個不同元素,允許重復(fù)的元排列,總共有,,從n個不同元素中,允許重復(fù)的,以9為首位的六位電話號碼,,共有,三、組合,例,解,共有,,任意取出兩個相乘,,可得到,多少個不同的積?,個,定義,從n個不同元素中任取k個,任取k個,每次取出k,不管怎樣,的順序,稱為從n個不同元素中,的組合數(shù)記為,從n個不同元素中,,并成一組,,個元素的組合.,從7,8,9三個數(shù)里,,(一)樣本空間的點(diǎn)數(shù),以排列計算,把,設(shè)A表示,解,共有個,所以,,,,,,五個字母任意排列,,相鄰的概率.,求字母和,“字母和相鄰”,與其余三個字母,進(jìn)行全排列.,把看成一個元素,,再把看成一個元素,,與其余三個字母,進(jìn)行全排列.,共有個,,,,,,,,,看作四個元素,看作四個,基本事件總數(shù)為,元素,,例,例,解,*,,*,,*,五個字母任意排列,,的右邊的概率.,求字母在,“字母在右邊”,五個字母任意排列,總共有,種排法.,所有這些排列分兩類:,的右邊,,字母在,的左邊.,和字母在,a在b的右邊,,a在b的左邊,,*,,*,,*,,,兩類之間,有一一對應(yīng)的關(guān)系.,從而這兩類,所含排列數(shù)一樣多,,均為,個,的概率為,把,例,解法一,乙有n-1個,注:,等可能的,有利于事件A發(fā)生的,有2種可能,,表示,“乙坐在甲左邊第個位置上”,解法二,其中,甲、乙兩人坐在一起,n個朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐,,求A:,(座位相鄰)的概率.,設(shè)甲先坐好,,這里取樣本空間,位置可坐,,,,,,,,...,********,,例,每個人以同樣的概率,分配到N間,求(1),指定的n間房中,各有一人的概率.,(2)每個房間最多一人的概率.,解,“指定的n間房中,各有一人.”,“每個房間最多一人.”,,房中,,設(shè)有n個人,,,N個,,n個,,,,,...,********,,求(3),某指定的房間不空,的概率.,(4)某指定的房間,解,,“某指定的房間不空”,“某指定的房間是空的.”,“某指定的房間恰有k個人”,,例,每個人以同樣的概率,分配到N間,房中,,設(shè)有n個人,,恰有k個人的概率.,,N個,,n個,(二)樣本空間的點(diǎn)數(shù)以組合計算,例,解,其中有8件次品,,其余為正品,,從中任取5件,,求(1),至多一件次品,至少二件次品,次品的數(shù)量,設(shè)表示取出的5件中,或,一只箱子里裝有100件某產(chǎn)品，,的概率.,設(shè)A表示,解,例,n個黑球,,從中任取個,,求取到的球中,恰有個白球,,個黑球,,,“取到的球中,個黑球”,基本事件總數(shù)為,的概率.,恰有個白球,,箱中有m個白球,,例,,,,,,解,樣本點(diǎn)總數(shù)為,隨機(jī)地放入4個杯子中,,問杯子中球,的概率各為多少?,的最大個數(shù),分別為,“杯子中球的最大個數(shù)為”,設(shè)表示,,,將3個球,,,,,例,或者,從中任取4個,,設(shè)A表示,“至少有兩個次品”,,B表示“最多有2個次品”,,求,設(shè)表示,“取出的4個中有個次品”,則互不相容.,10個燈泡中有3個次品，,解,二、幾何概型,計算機(jī)在區(qū)間[0,1]上,任意打一個數(shù),,求,小于的概率.,,隨機(jī)地在單位圓內(nèi)任擲一點(diǎn)M,,,求點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離,的概率.,,1.,2.,小于,這兩個隨機(jī)試驗(yàn),都是歐氏空間的,一個區(qū)域,,樣本點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)的機(jī)會,均等.,,,[],都,設(shè)區(qū)域,,,如果樣本點(diǎn)落在A中,,就說事件A發(fā)生了.,“機(jī)會均等”,點(diǎn)落在A中的可能性的大小,與A的面積,成正比,,而與A的位置形狀無關(guān).,由,的樣本空間Ω,,的確切含義是:,定義,設(shè)Ω為歐氏空間的一個區(qū)域，,用,表示,Ω的度量,（一維為Ω的長度，,二維為Ω的面積,,三維為Ω的體積),,A是Ω中一個可以度量,的子集,,定義,為事件A發(fā)生的概率,,稱為區(qū)域Ω上的,幾何概率.,,[],[],,,,例,設(shè)電臺每到整點(diǎn)報時,,某人午覺醒來,,他打開,收音機(jī),,求他等待時間不超過10分鐘,就聽到報時,的概率.,解,以分鐘為單位,,設(shè)上一次報時時刻為0,,下一次,報時時刻為60.,,[),例,某貨運(yùn)碼頭僅能容一船卸貨,,甲、乙兩船卸貨,時間分別為,1小時和2小時,,設(shè)甲、乙兩船在24,小時內(nèi)隨時可能到達(dá),,求它們中任何一船,都不需,等待碼頭空出的概率.,解,設(shè)分別為,甲、乙兩船,為一個樣本點(diǎn),,樣本空間為,,A為所求事件,,或,,,,,到達(dá)的時刻,,例,從區(qū)間[0,1]中,任取三個隨機(jī)數(shù),,求三個數(shù)的和,不大于1的概率.,設(shè),解,分別表示這三個數(shù),,樣本空間為,設(shè)A表示“三個數(shù)的和不大于1”,且,,,,,,,