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3.4 實際問題與一元一次方程,1,一元一次方程的應(yīng)用,,,一、列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟,（1）、一般步驟,（2）、注意事項,二、應(yīng)用題的常見類型,（1）、和差倍分問題,（2）、等積變換問題,（3）、行程問題,（4）、勞力調(diào)配問題,（5）、工程問題,（6）、銷售盈虧問題,（7）、數(shù)字問題,四、退出,三、思考題,（8）、電話計費問題,（9）、球賽積分問題,2,列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟 ：,（1）、仔細審題，找出能表示應(yīng) 用題全部含義的一個相等關(guān)系。,（2）、設(shè)一個未知數(shù)，并根據(jù)相等 關(guān)系列出需要的代數(shù)式。,（3）、根據(jù)相等關(guān)系列出一元一 次方程。,（4）、解這個方程，求出未 知數(shù)的值。,（5）、作答,3,注意：,（1）、設(shè)未知數(shù)及作答 時若有單位的一定要帶單 位。,（2）、方程中數(shù)量 單位要統(tǒng)一。,4,（1）和差倍分問題 ：,要注意弄清題中的數(shù)量關(guān)系及運算順序,例1 ：一桶煤油連桶重8公斤，用去一半煤油后，連桶重4.5公斤，求桶中 原有煤油多少公斤及桶重。,,分析 ：相等關(guān)系為,用去的煤油的重量＋余下的油量及 桶重＝原來連桶帶油的重量,解 ：設(shè)原有煤油x公斤 依題意得,,解之得 x=7,則桶重為 8－x=1,答 ：原有煤油7公斤，桶重為1公斤。,,,,,,,,5,（2）等積變換問題,注意一般要從變換前后圖形的面積或體積關(guān)系兩個方面 尋找相等關(guān)系。,例2 ：一個長方形的長比寬多2㎝，若把它的長和寬分別增加3㎝，則面積增加45㎝2， 求原長方形的長與寬。,分析 ：若設(shè)原長方形的寬為x 厘米，畫圖如下,,,,,,,,x,X+2,X+3,(X+2)+3,可知相等關(guān)系為 ：,,原長方形的面積＋45 ㎝ 2 ＝新長方形的面積,解 ：設(shè)原長方形的寬為x 厘米，則其長為（x+2)厘米。 依題意得,,解之得 x=5,則原長方形的長為 x+2=7,,答 ：原長方形的長為7㎝，寬為5㎝。,6,（3） 行程問題,基本關(guān)系式 ：若兩人自兩地同時出發(fā)，速度分別為V1和V 2 ，所用時間為t,則,(1)、若兩人同向而行，則有 （V1+V2) t=S,(2) 、若兩人同向而行，則有 （V1－V2) t=S,例3 ：某市舉行環(huán)城自行車賽，開賽2∕3小時后，最快者追上最慢者，若兩人速 度之比為10:7，環(huán)城一周為9千米，求兩人的速度分別是多少？,分析 ：由圖示可知，相等關(guān)系應(yīng)為,最快者走的路程－最慢者走的路程 ＝環(huán)城一周的路程,,,,,,,,,,,,,,,解 ：設(shè)最快者的速度為10x 千米∕時，則 最慢者的速度為7x 千米∕時。,依題意得,,,解之得 X=4.5,答：最快者的速度是45千米∕時，最慢者的速度為31.5千米∕時。,則 10x=45, 7x=31.5,,7,（4） 勞力調(diào)配問題,例4 ：甲倉庫儲糧35噸 ，乙倉庫儲糧19噸，現(xiàn)調(diào)糧食15噸，應(yīng)分配給兩 倉庫各多少噸，才能使得甲倉庫的糧食數(shù)量是乙倉庫的兩倍？,分析 ：若設(shè)應(yīng)分給甲倉庫糧食X噸，則數(shù)量關(guān)系如下表,故相等關(guān)系為 ： 甲倉庫現(xiàn)有糧食的重量＝2×乙倉庫現(xiàn)有糧食的重量,解 ：設(shè)應(yīng)分給甲倉庫糧食X噸，則應(yīng)分給乙倉庫糧食（15－X)噸。,依題意得,解之得 X＝11,則 15－X＝4,答 ：應(yīng)分給甲倉庫11噸糧食，分給乙倉庫4噸糧食。,8,應(yīng)用回顧的步驟解決以下問題.,例 某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn) 1 200個螺釘或2 000個螺母. 1個螺釘需要配 2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？,列表分析：,×,×,＝,＝,1 200 x,2 000(22－x),,,9,解：設(shè)應(yīng)安排x名工人生產(chǎn)螺釘，(22－x)名工人生產(chǎn)螺母. 依題意得： 2 000(22－x)＝2×1 200x . 解方程，得：5(22－x)＝6x， 110－5x＝6x， x＝10. 22－x＝12. 答：應(yīng)安排10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母.,10,問題：以上問題還有其他的解決方法嗎？,例如： 解：設(shè)應(yīng)安排 x名工人生產(chǎn)螺母，(22－x)名工人生產(chǎn)螺釘. 依題意得： 2×1200(22－x)＝2 000x .,11,五、工程問題,注意若沒有說明工作總量，則把總量視為單位1，此時的工作效率是一個分數(shù)。,例5 ：一個工人加工一批零件，限期完成，若他每小時做10個，到期可超額完成3個，若每小時做11個，則可提前1小時完成任務(wù)，問他共要加工多少個零件，限期多少小時完成？,分析 ：相等關(guān)系為,按第一種工作效率所做的零件數(shù)＝按第二種工作效率所做的零件數(shù),解 ：設(shè)限期X小時完成，則依題意得,,解之得 X＝8,則零件總數(shù)為 10X－3＝77,答 ：共要加工零件77個，限期8小時完成。,12,問題：應(yīng)用回顧的步驟解決以下問題.,整理一批圖書，由一個人做要40 h 完成.現(xiàn)計劃由一部分人先做4 h，然后增加 2人與他們一起做8 h，完成這項工作. 假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)該安排多少人工作？,列表分析：,×,×,×,×,,13,解：設(shè)安排 x 人先做4 h. 依題意得： 解方程，得：4x＋8(x＋2)＝40， 4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：應(yīng)先安排 2人做4 h.,14,（6）利率、銷售盈虧問題,基本關(guān)系式 ： 利潤＝售價－進價 （或 利息＝本息和－本金）,利潤率＝,×100%,售價＝進價×（1＋利潤率） （或 本息和＝本金×（1＋利率））,例6 ：某公司存入銀行甲、乙兩種不同性質(zhì)的存款20萬元，甲種存款的年利率為1.4%，乙種存款的年利率為3.7%，一年后該公司共得利息6250元，問兩種存款各為多少元？,分析 ：相等關(guān)系為,甲種存款的利息＋乙種存款的利息＝總利息,解 ：設(shè)甲種存款為X萬元，則乙種存款為（20－X）萬元。,依題意得,1.4% ·X+3.7% ·(20-X)=0.625,解之得 X＝ 5,則 20－X=15,答 ：甲種存款為5萬元，乙種存款為15萬元。,15,,,,= 商品售價—商品進價,●售價、進價、利潤的關(guān)系式：,商品利潤,●進價、利潤、利潤率的關(guān)系：,利潤率=,商品進價,商品利潤,×100%,,,,●標價、折扣數(shù)、商品售價關(guān)系 :,商品售價＝,標價×,折扣數(shù),,10,●商品售價、進價、利潤率的關(guān)系：,商品進價,商品售價=,×(1+利潤率),銷 售 中 的 盈 虧,16,“銷售中的盈虧問題”,17,A. 盈利 B. 虧損 C. 不盈不虧,問題1：你估計盈虧情況是怎樣的？,18,問題2：銷售的盈虧決定于什么？,總售價 ？ 總成本(兩件衣服的成本之和),120 ＞ 總成本,120 ＜ 總成本,120 ＝ 總成本,盈 利,虧 損,不盈不虧,19,問題3：兩件衣服的成本各是多少元？,盈利的一件,設(shè)：盈利25%的衣服進價是 x 元， 依題意得：x＋0.25 x＝60 解得： x＝48,20,問題3：兩件衣服的成本各是多少元？,虧損的一件,設(shè)：虧損 25%的衣服進價是 y元， 依題意得：y－0.25y＝60 解得： y＝80,21,兩件衣服總成本：48＋80＝128 元；,因為120－128＝－8元； 所以賣這兩件衣服共虧損了8元.,這個結(jié)論與你的猜想一致嗎？,22,設(shè)：這件衣服的進價是x元，,則提價后的售價是(1＋25%)x 元，,促銷后的售價是(1＋25%)x×0.8 元，,依題意得(1＋25%)x×0.8＝60,解得 x＝60. 不盈不虧,23,（7）、數(shù)字問題,要理解十進制整數(shù)的表示方法,例7 ：一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)是個位上的數(shù)的兩倍，若把兩個數(shù)字 對調(diào)，則新得到的兩位數(shù)比原兩位數(shù)小36，求原兩位數(shù)。,分析 ：題中數(shù)量關(guān)系如下表 （若設(shè)原數(shù)的個位數(shù)字為X）,解 ：設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)字為X，則其十位數(shù)字為2X。,列出方程為,(10X+2X)+36=20X+X,解之得 X＝4,則原數(shù)的十位數(shù)字為 2X＝8,答 ：原兩位數(shù)是84。,可知相等關(guān)系為： 原兩位數(shù)＋36＝新兩位數(shù),24,25,問題2：你認為選擇哪種計費方式更省錢呢？,“與主叫時間相關(guān)”,1.對問題的初步探究,,,350,,0,150,,26,2.對問題的深入探究,問題3：設(shè)一個月內(nèi)用移動電話主叫為t 分(t是正整 數(shù))．根據(jù)表1，當 t 在不同時間范圍內(nèi)取值， 列表說明按方式一和方式二如何計費．,27,2.對問題的深入探究,28,2.對問題的深入探究,問題4：觀察你的列表，你能從中發(fā)現(xiàn)如何根據(jù)主叫時 間選擇省錢的計費方式嗎？,劃算,劃算,劃算,29,2.對問題的深入探究,依題意得： 58＋0.25(t－150) = 88 去括號得： 58＋0.25t－37.5 = 88 移項、合并同類項得： 0.25t = 67.5 系數(shù)化1得： t =270,∴當 t =270分時，兩種計費方式的費用相等，,那么當150 t 270分和270 t 350時，兩種計費方式 哪種更合算呢？,30,2.對問題的深入探究,當t 350分時，兩種計費方式哪種更合算呢？,31,問題4：綜合以上的分析，可以發(fā)現(xiàn)：,2.對問題的深入探究,時，選擇方式一省錢； 時，選擇方式二省錢．,,270,,,t 小于 270分,t 大于 270分,32,3.歸納小結(jié),請回顧電話計費問題的探究過程，并回答 以下問題： （1）電話計費問題的核心問題是什么？ （2）探究解題的過程大致包含哪幾個步驟？ （3）我們在探究過程中用到了哪些方法，你有 哪些收獲？,33,4.鞏固應(yīng)用,利用我們在“電話計費問題”中學(xué)會的方法，探 究下面的問題： 用A4紙在某謄印社復(fù)印文件，復(fù)印頁數(shù)不超過 20時每頁收費0.12元；復(fù)印頁數(shù)超過20頁時，超過 部分每頁收費0.09元. 在某圖書館復(fù)印同樣的文件, 不論復(fù)印多少頁，每頁收費0.1元. 如何根據(jù)復(fù)印的 頁數(shù)選擇復(fù)印的地點使總價格比較便宜？（復(fù)印 的頁數(shù)不為零）,34,解：依題意列表得：,（1）當 x 小于20時，0.12 x大于0.1 x恒成立， 圖書館價格便宜； （2）當 x 等于20時，2.4大于2，圖書館價格 便宜；,35,（3）當 x 大于20時， 依題意得：2.4+0.09(x-20)＝0.1x 解得： x＝60 ∴ 當x大于20且小于60時，圖書館價格便宜； 當x大于60時，謄印社價格便宜.,綜上所述：當x小于60頁時，圖書館價格便宜； 當x大于60時，謄印社價格便宜.,36,“球賽積分表問題”,（9）、球賽積分問題,37,某次籃球聯(lián)賽積分榜如下：,一、問題的引入,38,一、問題的引入,問題1：你能從表格中了解到哪些信息？,某次籃球聯(lián)賽積分榜如下：,39,二、問題的初步探究,某次籃球聯(lián)賽積分榜如下：,問題2：你能從表格中看出負一場積多少分嗎？,,負一場積1分,40,二、問題的初步探究,某次籃球聯(lián)賽積分榜如下：,問題3：你能進一步算出勝一場積多少分嗎？,,設(shè)：勝一場積 x 分， 依題意,得 10x＋1×4＝24 解得： x＝2 所以，勝一場積2分.,41,問題4：用式子表示總積分與勝、負場數(shù)之間的關(guān)系.,三、問題的進一步探究,若一個隊勝m場，則負(14 – m)場，,總積分為： 2m+(14 – m) = m+14,即勝m場的總積分為 m +14 分,42,問題5：某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分嗎？,三、問題的進一步探究,設(shè)一個隊勝x場，則負(14－x)場，,依題意得： 2x＝14－x,解得： x＝,想一想，x 表示什么量？它可以是分數(shù)嗎？由此你能得出什么結(jié)論？,43,2000賽季籃球甲A聯(lián)賽部分球隊積分榜：,(1)列式表示積分與勝、負場數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系； (2)某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分嗎?,四、鞏固應(yīng)用,44,答案：觀察積分榜,從最下面一行可看出,負一場積1分. 設(shè)勝一場積x分的話,從表中其他任何一行可以列方程,求出x的值.例如,從第一行得出方程: 18x＋1×4＝40． 由此得出 x＝2. 用表中其他行可以驗證,得出結(jié)論:負一場積1分,勝一場積2分. (1)如果一個隊勝m場,則負(22－m)場,勝場積分為2m,負場積分為22－m,總積分為 2m＋(22－m)＝m＋22.,四、鞏固應(yīng)用,45,（2）設(shè)一個隊勝了x場，則負了(22－x)場,如果這個隊的勝場總積分等于負場總積分,則有方程 其中，x (勝場)的值必須是整數(shù),所以 不符合實際.由此可以判定沒有哪個隊伍的勝場總積分等于負場總積分.,,,,,,四、鞏固應(yīng)用,46,小結(jié)與歸納,問題5：用一元一次方程解決實際問題的基本過程有幾個步驟？分別是什么？,實際問題,一元一次方程,一元一次方程的解（x = a）,實際問題的答案,,47,