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桂林市 崇左市 防城港市2012-2013學(xué)年下學(xué)期高三年級(jí)第二次聯(lián)合模擬考試 數(shù)學(xué)試卷（理科） 第Ⅰ卷 注意事項(xiàng)： 第Ⅰ卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 參考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 其中R表示球的半徑 球的體積公式 如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑 一、選擇題。（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。） （1）已知全集，集合， ，則集合U（）等于 A. {1,2,5} B. {3,4} C. {3,4,5} D. {1,2} （2）復(fù)數(shù)z滿足為虛數(shù)單位，則z等于 A. B. C. D. （3）已知，，則函數(shù)的反函數(shù)為 A. B. C. D. （4）已知橢圓，其左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右準(zhǔn)線為l，則直線AB與直線l的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 A. B. C. D. （5）已知{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a3=6，S3=12，則S12等于 A. 288 B. 90 C. 156 D. 126 （6）條件p：，條件q：，若p是q的充分而不必要條件，則a的取值范圍是 A. B. C. D. （7）已知圓經(jīng)過(guò)雙曲線（a，b>0）的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為 A. B. 2 C. D. （8）在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，則BC1與平面BDD1B1所成角的正弦值為 A. B. C. D. （9）的展開式中一次項(xiàng)x的系數(shù)為，則x5的系數(shù)為 A. 40 B. 41 C. 39 D. 38 （10）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則等于 A. B. C. D. 1 （11）已知向量a，b是互相垂直的單位向量，且|c|=5，，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)t1，t2，取最小值時(shí)，的值為 A. 5 B. 7 C. 12 D. 13 （12）已知是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么在區(qū)間內(nèi)，關(guān)于x的方程有4個(gè)根，則k的取值范圍為 A. 或 B. C. 或 D. 第Ⅱ卷 第Ⅱ卷共10小題，共90分。 二、填空題。（本大題共4小題，每小題5分，共20分。） （13）已知，cos，則=___________________。 （14）設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值是____________。 （15）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，現(xiàn)要求甲安排在另外兩位前面且丙不安排在周五，則不同的安排方法共有_______________種。 （16）已知底面為正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等的三棱錐S—ABC各頂點(diǎn)都在半球面上，其中A、B、C三頂點(diǎn)在底面圓周上，若三棱錐S—ABC的體積為，則該半球的體積為______________。 三、解答題。（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。） （17）（本小題滿分10分） 在△ABC中，角A、B、C所對(duì)邊分別是a、b、c，且。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求△ABC的面積。 （18）（本小題滿分12分） 已知公比為q的等比數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為S6=21，且成等差數(shù)列。 （Ⅰ）求an； （Ⅱ）設(shè){bn}是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Tn，求不等式的解集。 （19）（本小題滿分12分） 甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊游戲，兩人約定，其中任何一人每射擊一次，擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分。若甲、乙兩名同學(xué)射擊的命中率分別為和p，且甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為2的概率為，假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響。 （Ⅰ）若乙射擊兩次，求其得分為2的概率； （Ⅱ）記甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。 （20）（本小題滿分12分） 如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，高AA1=4，P為CC1的中點(diǎn)。 （Ⅰ）求證：BD⊥A1P； （Ⅱ）求二面角C—PD—B的大小。 （21）（本小題滿分12分） 已知拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，直線l過(guò)點(diǎn)A（4,0）且與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)。 （Ⅰ）求p的值； （Ⅱ）若，試求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程。 （22）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，其中a為大于零的常數(shù)。 （Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （Ⅱ）求證：對(duì)于任意的，且n>1時(shí)，都有恒成立。 【試題答案】 題號(hào) （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 答案 B A D B C D A A C A B B （13） （14）7 （15）14 （16） （17）解：（Ⅰ） ……2分 ……4分 （Ⅱ）由余弦定理得： ， ……6分 又b+c=4，所以，即，由，得 ……8分 所以 ……10分 （18）解：（Ⅰ）∵、、成等差數(shù)列， ∴即，∴q=2 ……2分 則 ……3分 解得 ……4分 ∴ ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴ ……7分 ……8分 ∴ ……10分 解得 即不等式的解集為 ……12分 （19）解：（Ⅰ）設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B，“甲射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件， ……2分 則，，， ……3分 依題意得，解得 ……5分 所以乙射擊兩次得分為2的概率是 ……6分 （Ⅱ）的取值分別為0,2,4 ……7分 ……8分 ……9分 ∴的分布列為 0 2 4 P ……10分 ……12分 （20）解：（Ⅰ）連結(jié)A1C1，AC， ∵ABCD—A1B1C1D1是長(zhǎng)方體， ∴A1A⊥面ABCD ……1分 又BD面ABCD，∴BD⊥A1A，又ABCD是正方形 ……2分 ∴BD⊥AC，AC∩A1A=A ∴BD⊥面A1AC，即BD⊥面A1ACC1 ……4分 又A1P面A1ACC1，∴BD⊥A1P ……6分 （Ⅱ）如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得 ， 于是， ……8分 設(shè)面BDP， 不妨設(shè)，由得 ∴ ……10分 設(shè)面CDP，取， 若n1與n2的夾角為，則 ……11分 據(jù)分析，二面角C—PD—B是銳角，∴二面角C—PD—B的大小為 ……12分 （21）解：（Ⅰ）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得， ……1分 所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0）， ……3分 又拋物線C的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，所以，得p=2 ……5分 （Ⅱ）設(shè)， 由得， ……7分 所以 ……8分 而，可得……9分 又FR的中點(diǎn)坐標(biāo)為M 當(dāng)x1≠x2時(shí)，利用有，整理得 ……10分 當(dāng)x1=x2時(shí)，R的坐標(biāo)為（7,0），也滿足 ……11分 所以即為動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程 ……12分 （22）解：（Ⅰ） ……2分 由已知，得在上恒成立 即在上恒成立 ……4分 又∵當(dāng)時(shí)，， ∴，即a的取值范圍為 ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)在上為增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，∵，∴ ……7分 即，對(duì)于，且n>1恒成立， ……9分 ……11分 ∴對(duì)于，且時(shí)，恒成立 ……12分 ·10·