高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第七篇 第3講 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題
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第3講 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性 規(guī)劃問(wèn)題 A級(jí) 基礎(chǔ)演練 (時(shí)間：30分鐘 滿(mǎn)分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2012·山東)設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的取值范圍是 ( )． A. B. C. D. 解析 作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，作直線(xiàn)3x－y＝0，并向上、下平移，由圖可得，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z＝3x－y取最大值；當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z＝3x－y取最小值．由解得A(2,0)；由解得B. ∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－. ∴z＝3x－y的取值范圍是. 答案 A 2．(2011·廣東)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M(x，y)為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)則z＝·的最大值為 ( )． A．4 B．3 C．4 D．3 解析 如圖作出區(qū)域D，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y過(guò)點(diǎn)B(，2)時(shí)取最大值，故z的最大值為×＋2＝4，故選C. 答案 C 3．(2013·淮安質(zhì)檢)若不等式組 表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是 ( )． A．(－∞，5) B．[7，＋∞) C．[5,7) D．(－∞，5)∪[7，＋∞) 解析 畫(huà)出可行域，知當(dāng)直線(xiàn)y＝a在x－y＋5＝0與y軸的交點(diǎn)(0,5)和x－y＋5＝0與x＝2的交點(diǎn)(2,7)之間移動(dòng)時(shí)平面區(qū)域是三角形．故5≤a<7. 答案 C 4．(2013·洛陽(yáng)一模)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸．銷(xiāo)售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)1萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元，該企業(yè)在某個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)甲產(chǎn)品至少要生產(chǎn)1噸，乙產(chǎn)品至少要生產(chǎn)2噸，消耗A原料不超過(guò)13噸，消耗B原料不超過(guò)18噸，那么該企業(yè)在這個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)獲得最大利潤(rùn)時(shí)甲產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)是 ( )． A．1噸 B．2噸 C．3噸 D.噸 解析 設(shè)該企業(yè)在這個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)x噸甲產(chǎn)品，生產(chǎn)y噸乙產(chǎn)品，x、y滿(mǎn)足的條件為 所獲得的利潤(rùn)z＝x＋3y，作出如圖所示的可行域． 作直線(xiàn)l0：x＋3y＝0，平移直線(xiàn)l0，顯然，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)所獲利潤(rùn)最大，此時(shí)甲產(chǎn)品的產(chǎn)量為1噸． 答案 A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2012·大綱全國(guó))若x，y滿(mǎn)足約束條件則z＝3x－y的最小值為_(kāi)_______． 解析 畫(huà)出可行域，如圖所示，將直線(xiàn)y＝3x－z移至點(diǎn)A(0,1)處直線(xiàn)在y軸上截距最大，zmin＝3×0－1＝－1. 答案?。? 6．(2012·安徽)若x，y滿(mǎn)足約束條件則x－y的取值范圍是________． 解析 記z＝x－y，則y＝x－z，所以z為直線(xiàn)y＝x－z在y軸上的截距的相反數(shù)，畫(huà)出不等式組表示的可行域如圖中△ABC區(qū)域所示．結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,1)時(shí)，x－y取得最大值0，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,3)時(shí)，x－y取得最小值－3. 答案 [－3,0] 三、解答題(共25分) 7．(12分)(2013·合肥模擬)畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，并回答下列問(wèn)題： (1)指出x、y的取值范圍； (2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)整點(diǎn)？ 解 (1)不等式x－y＋5≥0表示直線(xiàn)x－y＋5＝0上及其右下方的點(diǎn)的集合，x＋y≥0表示直線(xiàn)x＋y＝0上及其右上方的點(diǎn)的集合，x≤3表示直線(xiàn)x＝3上及其左方的點(diǎn)的集合． 所以，不等式組 表示的平面區(qū)域如圖所示． 結(jié)合圖中可行域得x∈，y∈[－3,8]． (2)由圖形及不等式組知 當(dāng)x＝3時(shí)，－3≤y≤8，有12個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝2時(shí)，－2≤y≤7，有10個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝1時(shí)，－1≤y≤6，有8個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝0時(shí)，0≤y≤5，有6個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝－1時(shí)，1≤y≤4，有4個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝－2時(shí)，2≤y≤3，有2個(gè)整點(diǎn)； ∴平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(個(gè))． 8．(13分)制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損．某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.若投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元，問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元，才能使可能的盈利最大？ 解 設(shè)投資人分別用x萬(wàn)元、y萬(wàn)元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目， 由題意知目標(biāo)函數(shù)z＝x＋0.5y. 上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分(含邊界)即為可行域． 將z＝x＋0.5y變形為y＝－2x＋2z，這是斜率為－2、隨z變化的一組平行線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)y＝－2x＋2z經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)M時(shí)，直線(xiàn)y＝－2x＋2z在y軸上的截距2z最大，z也最大． 這里M點(diǎn)是直線(xiàn)x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交點(diǎn)． 解方程組得x＝4，y＝6， 此時(shí)z＝4＋0.5×6＝7(萬(wàn)元)． ∴當(dāng)x＝4，y＝6時(shí)，z取得最大值， 所以投資人用4萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目、6萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元的前提下，使可能的盈利最大． B級(jí) 能力突破(時(shí)間：30分鐘 滿(mǎn)分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2013·臨沂一模)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足若目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y取得最大值4，則實(shí)數(shù)a的值為 ( )． A．4 B．3 C．2 D. 解析 作出可行域，由題意可知可行域?yàn)椤鰽BC內(nèi)部及邊界，y＝－x＋z，則z的幾何意義為直線(xiàn)在y軸上的截距，將目標(biāo)函數(shù)平移可知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值4，此時(shí)A點(diǎn)坐標(biāo)為(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2. 答案 C 2．(2012·四川)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過(guò)12千克．通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是 ( )． A．1 800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3 100元 解析 設(shè)某公司生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y桶，獲利為z元，則x，y滿(mǎn)足的線(xiàn)性約束條件為目標(biāo)函數(shù)z＝300x＋400y. 作出可行域，如圖中四邊形OABC的邊界及其內(nèi)部整點(diǎn)．作直線(xiàn)l0：3x＋4y＝0，平移直線(xiàn)l0經(jīng)可行域內(nèi)點(diǎn)B時(shí)，z取最大值，由得B(4,4)，滿(mǎn)足題意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2 800. 答案 C 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．(2013·咸陽(yáng)一模)設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足則的最大值是________． 解析 不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分． 設(shè)＝t，則y＝tx，求的最大值，即求y＝tx的斜率的最大值．顯然y＝tx過(guò)A點(diǎn)時(shí)，t最大． 由解得A. 代入y＝tx，得t＝.所以的最大值為. 答案 4．(2011·湖南)設(shè)m>1，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my的最大值小于2，則m的取值范圍為_(kāi)_______． 解析 目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my可變?yōu)閥＝－x＋， ∵m>1，∴－1<－<0，z與同時(shí)取到相應(yīng)的最大值，如圖，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)，取最大值，∴＋<2，又m>1，得1下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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