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第3講 數學歸納法
A級 基礎演練(時間：30分鐘 滿分：55分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．用數學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少應取 ( )．
A．7 B．8 C．9 D．10
解析 左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗證可知n的最小值是8.
答案 B
2．用數學歸納法證明命題“當n是正奇數時，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時，正確的證法是 ( )．
A．假設n＝k(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立
B．假設n＝k(k是正奇數)，證明n＝k＋1命題成立
C．假設n＝2k＋1(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立
D．假設n＝k(k是正奇數)，證明n＝k＋2命題成立
解析 A、B、C中，k＋1不一定表示奇數，只有D中k為奇數，k＋2為奇數．
答案 D
3．用數學歸納法證明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，則當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎上加上 ( )．
A. B．－
C.－ D.＋
解析 ∵當n＝k時，左側＝1－＋－＋…＋－，當n＝k＋1時，
左側＝1－＋－＋…＋－＋－.
答案 C
4．對于不等式
1，n∈N*)，求證：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．
證明 (1)當n＝2時，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2時命題成立；
(2)假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時命題成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，
則當n＝k＋1時，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋，
故當n＝k＋1時，命題成立．
由(1)和(2)可知，對n≥2，n∈N*.不等式S2n>1＋都成立．
8．(13分)已知數列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，與數列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(n∈N*)．記Tn＝b1a1＋b2a2＋b3a3＋…＋bnan.
(1)若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝64，求r的值；
(2)求證：T12n＝－4n(n∈N*)．
(1)解 a1＋a2＋a3＋…＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r.
∵48＋4r＝64，∴r＝4.
(2)證明 用數學歸納法證明：當n∈N*時，T12n＝－4n.
①當n＝1時，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立．
②假設n＝k時等式成立，即T12k＝－4k，那么當n＝k＋1時，
T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立．
根據①和②可以斷定：當n∈N*時，T12n＝－4n.
B級 能力突破
(時間：30分鐘 滿分：45分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應在n＝k的基礎上加上 ( )．
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
解析 ∵當n＝k時，左側＝1＋2＋3＋…＋k2，當n＝k＋1時，左側＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2
∴當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
答案 D
2．(2013·廣州一模)已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，則a、b、c的值為 ( )．
A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a、b、c
解析 ∵等式對一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3時等式成立，即
整理得
解得a＝，b＝c＝.
答案 A
二、填空題(每小題5分，共10分)
3．已知整數對的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第60個數對是________．
解析 本題規(guī)律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；
4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；
5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；
…；
一個整數n所擁有數對為(n－1)對．
設1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60，
∴n＝11時還多5對數，且這5對數和都為12，
12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，
∴第60個數對為(5,7)．
答案 (5,7)
4．已知數列{an}的通項公式an＝(n∈N*)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測出f(n)的值是________．
解析 f(1)＝1－a1＝1－＝，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·＝×＝＝，f(3)＝(1－a1)·(1－a2)(1－a3)＝f(2)·＝×＝，由此猜想，f(n)＝(n∈N*)．
答案 (n∈N*)
三、解答題(共25分)
5．(12分)設數列{an}滿足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2，n＝1,2,3，…
(1)求a2，a3，a4的值，并猜想數列{an}的通項公式(不需證明)；
(2)記Sn為數列{an}的前n項和，試求使得Sn<2n成立的最小正整數n，并給出證明．
解 (1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1.
(2)Sn＝＝n2＋2n，使得Sn<2n成立的最小正整數n＝6.
下證：n≥6(n∈N*)時都有2n>n2＋2n.
①n＝6時，26>62＋2×6，即64>48成立；
②假設n＝k(k≥6，k∈N*)時，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1時，不等式成立；
由①、②可得，對于所有的n≥6(n∈N*)
都有2n>n2＋2n成立．
6．(13分)(2012·安徽)數列{xn}滿足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．
(1)證明：{xn}是遞減數列的充分必要條件是c<0；
(2)求c的取值范圍，使{xn}是遞增數列．
(1)證明 先證充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c0，即xn<1－.
由②式和xn≥0還可得，對任意n≥1都有－xn＋1≤(1－)(－xn)．③
反復運用③式，得
－xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1，
xn<1－和 －xn<(1－)n－1兩式相加，知
2－1<(1－)n－1對任意n≥1成立．
根據指數函數y＝(1－)n的性質，得
2－1≤0，c≤，故00，即證xn<對任意n≥1成立．
下面用數學歸納法證明當0xn，即{xn}是遞增數列．
由①②知，使得數列{xn}單調遞增的c的范圍是.
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高考數學人教A版（理）一輪復習：第十二篇 第3講 數學歸納法
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