高一數(shù)學（人教A版）必修2能力強化提升：4-1-1 圓的標準方程
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一、選擇題 1．以(2，－1)為圓心，4為半徑的圓的方程為( ) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 [答案] C 2．一圓的標準方程為x2＋(y＋1)2＝8，則此圓的圓心與半徑分別為( ) A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2 C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2 [答案] D 3．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的圖形是( ) A．以(a，b)為圓心的圓 B．以(－a，－b)為圓心的圓 C．點(a，b) D．點(－a，－b) [答案] C 4．圓C：(x－)2＋(y＋)2＝4的面積等于( ) A．π B．2π C．4π D．8π [答案] C [解析] 半徑r＝＝2，則面積S＝πr2＝4π. 5．(2012～2013·安徽“江南十校”高三聯(lián)考)若點P(1,1)為圓(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中點，則弦MN所在直線方程為( ) A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0 [答案] D [解析] 圓心C(3,0)，kPC＝－，又點P是弦MN的中點，∴PC⊥MN，∴kMNkPC＝－1， ∴kMN＝2，∴弦MN所在直線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 6．已知A(－4，－5)、B(6，－1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是( ) A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29 C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116 [答案] B [解析] 圓心為AB的中點(1，－3)，半徑為＝＝，故選B. 7．圓(x－1)2＋y2＝1的圓心到直線y＝x的距離是( ) A. B. C．1 D. [答案] A [解析] 先求得圓心坐標(1,0)，再依據(jù)點到直線的距離公式求得A答案． 8．方程y＝表示的曲線是( ) A．一條射線 B．一個圓 C．兩條射線 D．半個圓 [答案] D [解析] 方程y＝可化為x2＋y2＝9(y≥0)， 所以方程y＝表示圓x2＋y2＝9位于x軸上方的部分，是半個圓． 二、填空題 9．圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2過原點，則a、b、r滿足的關系式為________． [答案] a2＋b2＝r2 [解析] 代入(0,0)得a2＋b2＝r2. 10．圓C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圓心C到直線4x＋3y－1＝0的距離等于________． [答案] [解析] C(－4,3)，則d＝＝. 11．若圓C與圓(x＋2)2＋(y－1)2＝1關于原點對稱，則圓C的標準方程是________． [答案] (x－2)2＋(y＋1)2＝1 [解析] 圓(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圓心為M(－2,1)，半徑r＝1，則點M關于原點的對稱點為C(2，－1)，圓C的半徑也為1，則圓C的標準方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 12．以直線2x＋y－4＝0與兩坐標軸的一個交點為圓心，過另一個交點的圓的方程為__________． [答案] x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20 [解析] 令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2， ∴直線與兩軸交點坐標為A(0,4)和B(2,0)，以A為圓心過B的圓方程為x2＋(y－4)2＝20， 以B為圓心過A的圓方程為(x－2)2＋y2＝20. 三、解答題 13．求過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心C在直線x＋y－2＝0上的圓的標準方程． [解析] AB的中垂線方程是x－y＝0，解方程組得即圓心C(1,1)，則半徑r＝|AC|＝2，所以圓的標準方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4. 14．圓過點A(1，－2)，B(－1,4)，求 (1)周長最小的圓的方程； (2)圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的方程． [解析] (1)當AB為直徑時，過A、B的圓的半徑最小，從而周長最?。碅B中點(0,1)為圓心，半徑r＝|AB|＝.則圓的方程為：x2＋(y－1)2＝10. (2)解法1：AB的斜率為k＝－3，則AB的垂直平分線的方程是y－1＝x.即x－3y＋3＝0 由 得 即圓心坐標是C(3,2)． r＝|AC|＝＝2. ∴圓的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 解法2：待定系數(shù)法 設圓的方程為：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 則? ∴圓的方程為：(x－3)2＋(y－2)2＝20. [點評] ∵圓心在直線2x－y－4＝0上，故可設圓心坐標為C(x0,2x0－4)，∵A，B在圓上，∴|CA|＝|CB|可求x0，即可求得圓的方程，自己再用此思路解答一下． 15．(2012～2013·臺州高一檢測)已知圓N的標準方程為 (x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)． (1)若點M(6,9)在圓上，求a的值； (2)已知點P(3,3)和點Q(5,3)，線段PQ(不含端點)與圓N有且只有一個公共點，求a的取值范圍． [解析] (1)因為點M在圓上， 所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2， 又由a>0，可得a＝； (2)由兩點間距離公式可得 |PN|＝＝， |QN|＝＝3， 因為線段PQ與圓有且只有一個公共點，即P、Q兩點一個在圓內(nèi)、另一個在圓外，由于3<，所以3
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