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北京市師大附中2011-2012學年上學期高一年級期中考試數(shù)學試卷 （滿分150分，考試時間120分鐘） 第Ⅰ卷（模塊卷） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1. 設全集，集合，，則等于（ ） A. B. C. D. 2. 給定映射：，在映射下（3，1）的原象為（ ） A. （1，3） B. （1，1） C. （3，1） D. （） 3. 下列函數(shù)中是偶函數(shù)且在（0，1）上單調(diào)遞減的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，則三者的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 5. 設函數(shù)與的圖象的交點為，則所在的區(qū)間是（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 6. 若函數(shù)是函數(shù)（，且）的反函數(shù)，其圖象經(jīng)過點，則（ ） A. B. C. D. 7. 函數(shù)（ ） A. 是奇函數(shù)但不是偶函數(shù) B. 是偶函數(shù)但不是奇函數(shù) C. 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D. 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) 8. 已知實數(shù)且，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。 9. 10. 函數(shù)的定義域是 11. 已知冪函數(shù)的圖象過點，則 12. 設是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，則 13. 有下列命題： ①函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱； ②若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為－2； ③若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則； ④若是上的減函數(shù)，則的取值范圍是。其中正確命題的序號是 。 三、解答題：本大題共3小題，共35分。要求寫出必要演算或推理過程。 14. 已知集合，集合，求。 15. 某租賃公司擁有汽車100輛，當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出，當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛，租出的車每輛每月需維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元。 （1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？ （2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 16. 已知：且， （1）求的取值范圍； （2）求函數(shù)的最大值和最小值。 第Ⅱ卷（綜合卷） 四、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分。 17. 若函數(shù)的定義域為，值域為，則m的取值范圍是 18. 已知是實數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上恰好有一個零點，則的取值范圍 19. 已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為 五、解答題：本大題共3小題，共38分。要求寫出必要演算或推理過程 20. 已知是定義在上的增函數(shù)，且滿足，。 （1）求 （2）求不等式的解集 21. 已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù) （1）求的值； （2）判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明； （3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。 22. 設二次函數(shù)的圖象以軸為對稱軸，已知，而且若點在的圖象上，則點在函數(shù)的圖象上 （1）求的解析式 （2）設，問是否存在實數(shù)，使在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)。 【試題答案】 一、選擇題 1-5 BBDCB 6-8 BAA 二、填空題 9. 3； 10. ； 11. ； 12. 0； 13. ② 三、解答題 14. 解：由 則 ∴ 由 ∴ ∴∩ 15. 解：（1）當每輛車月租金為3600元時，未租出的車輛數(shù)為，所以這時租出了88輛。 （2）設每輛車的月租金定為元，則公司月收益為 整理得： ∴當時，最大，最大值為元 16. 解：（1）由得，由得 ∴ （2）由（1）得 ∴。 當，，當， 四、填空題： 17. ； 18. 或； 19. 五、解答題： 20. 解：（1）由題意得 又∵ ∴ （2）不等式化為 ∴ ∵是上的增函數(shù) ∴解得 21. 解：（1）∵是定義在R上的奇函數(shù)，∴，∴ 2分 ， ∴即對一切實數(shù)都成立， ∴∴ （2），在R上是減函數(shù) 證明：設且 則 ∵，∴，，， ∴，即，∴在R上是減函數(shù) 不等式 又是R上的減函數(shù)，∴ ∴對恒成立 ∴ 22. 解（1）。 （2）由（1）可得。 設， 則 要使在內(nèi)為減函數(shù)，只需，但，故只要，所以，然而當時，，因此，我們只要，在內(nèi)是減函數(shù)。 同理，當時，在內(nèi)是增函數(shù)。 綜上討論，存在唯一的實數(shù)，使得對應的滿足要求。 - 5 -