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第一章　算法初步 1.1.1　算法的概念 課時目標(biāo)　通過分析解決具體問題的過程與步驟，體會算法的思想，了解算法的含義，能用自然語言描述解決具體問題的算法． 1．算法的概念 12世紀(jì)的 算法 指的是用阿拉伯?dāng)?shù)字進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算的過程 數(shù)學(xué)中的 算法 通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟 現(xiàn)代算法 通?？梢跃幊捎嬎銠C(jī)程序，讓計算機(jī)執(zhí)行并解決問題 2.算法與計算機(jī) 計算機(jī)解決任何問題都要依賴于算法，只有將解決問題的過程分解為若干個明確的步驟，即算法，并用計算機(jī)能夠接受的“語言”準(zhǔn)確地描述出來，計算機(jī)才能夠解決問題． 一、選擇題 1．下面四種敘述能稱為算法的是(　　) A．在家里一般是媽媽做飯 B．做米飯需要刷鍋、淘米、添水、加熱這些步驟 C．在野外做飯叫野炊 D．做飯必須要有米 答案　B 解析　算法是解決一類問題的程序或步驟，A、C、D均不符合． 2．下列對算法的理解不正確的是(　　) A．算法有一個共同特點就是對一類問題都有效(而不是個別問題) B．算法要求是一步步執(zhí)行，每一步都能得到唯一的結(jié)果 C．算法一般是機(jī)械的，有時要進(jìn)行大量重復(fù)計算，它的優(yōu)點是一種通法 D．任何問題都可以用算法來解決 答案　D 3．下列關(guān)于算法的描述正確的是(　　) A．算法與求解一個問題的方法相同 B．算法只能解決一個問題，不能重復(fù)使用 C．算法過程要一步一步執(zhí)行，每步執(zhí)行的操作必須確切 D．有的算法執(zhí)行完后，可能無結(jié)果 答案　C 解析　算法與求解一個問題的方法既有區(qū)別又有聯(lián)系，故A不對；算法能重復(fù)使用，故B不對；每個算法執(zhí)行后必須有結(jié)果，故D不對；由算法的有序性和確定性可知C正確． 4．計算下列各式中S的值，能設(shè)計算法求解的是(　　) ①S＝＋＋＋…＋ ②S＝＋＋＋…＋＋… ③S＝＋＋＋…＋ (n≥1且n∈N*) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 答案　B 解析　因為算法的步驟是有限的，所以②不能設(shè)計算法求解． 5．關(guān)于一元二次方程x2－5x＋6＝0的求根問題，下列說法正確的是(　　) A．只能設(shè)計一種算法 B．可以設(shè)計兩種算法 C．不能設(shè)計算法 D．不能根據(jù)解題過程設(shè)計算法 答案　B 解析　算法具有不唯一性，對于一個問題，我們可以設(shè)計不同的算法． 6．對于算法：第一步，輸入n. 第二步，判斷n是否等于2，若n＝2，則n滿足條件；若n>2，則執(zhí)行第三步． 第三步，依次從2到(n－1)檢驗?zāi)懿荒苷齨，若不能整除n，則執(zhí)行第四步；若能整除n，則執(zhí)行第一步． 第四步，輸出n. 滿足條件的n是(　　) A．質(zhì)數(shù) B．奇數(shù) C．偶數(shù) D．約數(shù) 答案　A 解析　此題首先要理解質(zhì)數(shù)，只能被1和自身整除的大于1的整數(shù)叫質(zhì)數(shù).2是最小的質(zhì)數(shù)，這個算法通過對2到(n－1)一一驗證，看是否有其他約數(shù)，來判斷其是否為質(zhì)數(shù)． 二、填空題 7．已知直角三角形兩條直角邊長分別為a，b.寫出求斜邊長c的算法如下： 第一步，輸入兩直角邊長a，b的值． 第二步，計算c＝的值． 第三步，________________. 將算法補(bǔ)充完整，橫線處應(yīng)填____________． 答案　輸出斜邊長c的值 8．下面給出了解決問題的算法： 第一步：輸入x. 第二步：若x≤1，則y＝2x－1，否則y＝x2＋3. 第三步：輸出y. (1)這個算法解決的問題是________； (2)當(dāng)輸入的x值為________時，輸入值與輸出值相等． 答案　(1)求分段函數(shù)y＝的函數(shù)值　(2)1 9．求1×3×5×7×9×11的值的一個算法是： 第一步，求1×3得到結(jié)果3； 第二步，將第一步所得結(jié)果3乘5，得到結(jié)果15； 第三步，____________________； 第四步，再將105乘9得到945； 第五步，再將945乘11，得到10 395，即為最后結(jié)果． 答案　將第二步所得的結(jié)果15乘7，得結(jié)果105 三、解答題 10．已知某梯形的底邊長AB＝a，CD＝b，高為h，寫出一個求這個梯形面積S的算法． 解　第一步，輸入梯形的底邊長a和b，以及高h(yuǎn). 第二步，計算a＋b的值． 第三步，計算(a＋b)×h的值． 第四步，計算S＝的值． 第五步，輸出結(jié)果S. 11．函數(shù)y＝，寫出給定自變量x，求函數(shù)值的算法． 解　算法如下：第一步，輸入x. 第二步，若x>0，則令y＝－x＋1后執(zhí)行第五步，否則執(zhí)行第三步． 第三步，若x＝0，則令y＝0后執(zhí)行第五步，否則執(zhí)行第四步． 第四步，令y＝x＋1； 第五步，輸出y的值． 能力提升 12．某鐵路部門規(guī)定甲、乙兩地之間旅客托運(yùn)行李的費用為： c＝ 其中ω(單位：kg)為行李的質(zhì)量，如何設(shè)計計算托運(yùn)費用c(單位：元)的算法． 解　第一步，輸入行李的質(zhì)量ω. 第二步，如果ω≤50，則令c＝0.53×ω，否則執(zhí)行第三步． 第三步，c＝50×0.53＋(ω－50)×0.85. 第四步，輸出托運(yùn)費c. 13．從古印度的漢諾塔傳說中演變了一個漢諾塔游戲： (1)有三根桿子A，B，C，B桿上有三個碟子(大小不等，自上到下，由小到大)，如圖． (2)每次移動一個碟子，小的只能疊在大的上面． (3)把所有碟子從A桿移到C桿上． 試設(shè)計一個算法，完成上述游戲． 解　第一步，將A桿最上面碟子移到C桿． 第二步，將A桿最上面碟子移到B桿． 第三步，將C桿上的碟子移到B桿． 第四步，將A桿上的碟子移到C桿． 第五步，將B桿最上面碟子移到B桿． 第六步，將B桿上的碟子移到C桿． 第七步，將A桿上的碟子移到C桿. 1．算法的特點 (1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的． (2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且能得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可的． (3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題． (4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法． (5)普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決． 2．算法與數(shù)學(xué)問題解法的區(qū)別與聯(lián)系 (1)聯(lián)系 算法與解法是一般與特殊的關(guān)系，也是抽象與具體的關(guān)系． (2)區(qū)別 算法是解決某一類問題所需要的程序和步驟的統(tǒng)稱，也可理解為數(shù)學(xué)中的“通法通解”；而解法是解決某一個具體問題的過程和步驟，是具體的解題過程．