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第2講 命題及其關系、充分條件與必要條件
A級 基礎演練(時間：30分鐘 滿分：55分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．(2012·福建)下列命題中，真命題是 ( )．
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R,2x>x2
C．a(chǎn)＋b＝0的充要條件是＝－1
D．a(chǎn)>1，b>1是ab>1的充分條件
解析 因為?x∈R，ex>0，故排除A；取x＝2，則22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，則不能推出＝－1，故排除C.應選D.
答案 D
2．(2013·徐州模擬)命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是( )．
A．若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)
B．若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)
C．若f(－x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)
D．若f(－x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)
解析 否命題既否定題設又否定結(jié)論，故選B.
答案 B
3．(2012·重慶)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的 ( )．
A．既不充分也不必要條件 B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件 D．充要條件
解析 ∵x∈[0,1]時，f(x)是增函數(shù)，又∵y＝f(x)是偶函數(shù)，∴x∈[－1,0]時，f(x)是減函數(shù)．當x∈[3,4]時，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．∴x∈[3,4]時，f(x)是減函數(shù)，充分性成立．反之：x∈[3,4]時，f(x)是減函數(shù)，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，∴x∈[－1,0]時，f(x)是減函數(shù)，∵y＝f(x)是偶函數(shù)，∴x∈[0,1]時，f(x)是增函數(shù)，必要性亦成立．
答案 D
4．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件是 ( )．
A．0
2”是“<”的充分不必要條件；
④一個命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真．
其中說法不正確的序號是________．
解析 ①逆命題與逆否命題之間不存在必然的真假關系，故①錯誤；②此命題的逆否命題為“設a，b∈R，若a＝3且b＝3，則a＋b＝6”，此命題為真命題，所以原命題也是真命題，②錯誤；③<，則－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要條件，③正確；④否命題和逆命題是互為逆否命題，真假性相同，故④正確．
答案?、佗?
三、解答題(共25分)
7．(12分)分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．
(1)若ab＝0，則a＝0或b＝0；
(2)若x2＋y2＝0，則x，y全為零．
解 (1)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0，真命題．
否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0，真命題．
逆否命題：若a≠0且b≠0，則ab≠0，真命題．
(2)逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0，真命題．
否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為零，真命題．
逆否命題：若x，y不全為零，則x2＋y2≠0，真命題．
8．(13分)已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
解 p：x2－8x－20≤0?－2≤x≤10，
q：x2－2x＋1－a2≤0?1－a≤x≤1＋a.
∵p?q，q?/ p，
∴{x|－2≤x≤10}{x|1－a≤x≤1＋a}．
故有且兩個等號不同時成立，解得a≥9.
因此，所求實數(shù)a的取值范圍是[9，＋∞)．
B級 能力突破(時間：30分鐘 滿分：45分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(2013·皖南八校模擬)“m＝”是“直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的 ( )．
A．充分必要條件 B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件
解析 由兩直線垂直的充要條件知(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝－2或，∴m＝時，兩直線垂直，反過來不成立．
答案 B
2．(2012·濰坊二模)下列說法中正確的是 ( )．
A．命題“若am21”是“x>2”的充分不必要條件
解析 A中命題的逆命題是“若a1”是“x>2”的必要不充分條件．故選C.
答案 C
二、填空題(每小題5分，共10分)
3．(2012·長沙模擬)若方程x2－mx＋2m＝0有兩根，其中一根大于3一根小于3的充要條件是________．
解析 方程x2－mx＋2m＝0對應的二次函數(shù)f(x)＝x2－mx＋2m，∵方程x2－mx＋2m＝0有兩根，其中一根大于3一根小于3，∴f(3)<0，解得m>9，即：方程x2－mx＋2m＝0有兩根，其中一根大于3一根小于3的充要條件是m>9.
答案 m>9
4．已知集合A＝，B＝{x|－13，即m>2.
答案 (2，＋∞)
三、解答題(共25分)
5．(12分)求證：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.
證明 充分性：若a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c，
∴ax2＋bx＋c＝0化為ax2－(a＋c)x＋c＝0，
∴(ax－c)(x－1)＝0，
∴當x＝1時，ax2＋bx＋c＝0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1.
必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1，
∴x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.
綜上可知，關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.
6．(13分)已知全集U＝R，非空集合A＝，
B＝.
(1)當a＝時，求(?UB)∩A；
(2)命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
解 (1)當a＝時，
A＝＝，
B＝＝，
∴?UB＝.
∴(?UB)∩A＝.
(2)∵a2＋2>a，∴B＝{x|a2，即a>時，A＝{x|2
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