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江西省八所重點(diǎn)高中2012屆高考數(shù)學(xué)4月模擬聯(lián)考試題 理 1、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．復(fù)數(shù)的實(shí)部是 （ ） A． B． C． D． 2．設(shè)集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U = AB，則集合 的真子集共有（ ） A．3個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè) 3．要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（ ） A．向左平移單位 B．向右平移單位 C．向右平移單位 D．向左平移單位 4．底面水平放置的正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，當(dāng)其主視圖有最大面積時(shí)，其左視圖的面積為（ ） A. B. 3 C. D. 4 5．已知數(shù)據(jù)是江西普通職工個(gè)人的年收入,設(shè)這個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，平均數(shù)為，方差為，如果再加上世界首富的年收入，則這個(gè)數(shù)據(jù)中，下列說(shuō)法正確的是（ ） A．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變 B．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大 C．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變 D．年收入平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變。 6．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列； B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列； C．?dāng)?shù)列是常數(shù)列； D．?dāng)?shù)列有可能是遞增數(shù)列也有可能是遞減數(shù)列． 7．在△中，是邊中點(diǎn)，角的對(duì)邊分別是，若，則△的形狀為（ ） A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰三角形但不是等邊三角形. 8．甲袋中裝有3個(gè)白球5個(gè)黑球，乙袋中裝有4個(gè)白球6個(gè)黑球，現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙袋中，充分混合后再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一個(gè)球放回甲袋，則甲袋中白球沒(méi)有減少的概率為（ ） A． B． C． D． 9．設(shè)、為焦點(diǎn)在軸且具有公共焦點(diǎn)、的標(biāo)準(zhǔn)橢圓和標(biāo)準(zhǔn)雙曲線的的離心率，O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足2=,則的值為（ ） A．2 B． C． D．1 10．已知函數(shù)，則函數(shù)（）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能 （ ） A．3 B．4 C 5 D．6 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 11．________； 12．閱讀右側(cè)程序框圖，輸出的結(jié)果的值為________； 13．若不等式組表示的平面區(qū)域是 一個(gè)三角形，則的取值范圍是　 　. 14．直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，如果函數(shù)的圖象恰好通過(guò)個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)為階格點(diǎn)函數(shù)，下列函數(shù)： ①②；③； ④，其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有 。 三、選做題：請(qǐng)考生在下列兩題中任選一題作答.若兩題都做，則按做的第一題評(píng)閱計(jì)分.本題共5分. 15．(1)（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線、的極坐標(biāo)方程分別為，，則曲線上的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為________. 15．(2) (不等式選擇題）設(shè),若對(duì)任意的正實(shí)數(shù),都存在以為三邊長(zhǎng)的三角形,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 4. 本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 16．（本小題滿分12分） 在銳角三角形ABC中，、、分別是角A、B、C的對(duì)邊，，，且∥. （1）求角A的大?。? （2）求函數(shù)的值域． 17．(本小題滿分12分) 某公司舉辦一次募捐愛心演出，有1000 人參加，每人一張門票，每張100元. 在演出過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第一輪抽獎(jiǎng)從這1000張票根中隨機(jī)抽取10張，其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品，并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕，電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)數(shù)，滿足電腦顯示“中獎(jiǎng)”，且抽獎(jiǎng)?wù)攉@得9000元獎(jiǎng)金；否則電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)． （1）已知小明在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中，求小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率； （2）若小白參加了此次活動(dòng)，求小白參加此次活動(dòng)收益的期望 18．（本小題滿分12分） 如圖，四邊形中（圖1），是的中點(diǎn)，，，將（圖1）沿直線折起，使二面角為（如圖2） （1）求證：平面； （2）求二面角A—DC—B的余弦值。 19．(本小題滿分12分) （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 20．（本小題滿分13分） 設(shè)不在軸負(fù)半軸的動(dòng)點(diǎn)到的距離比到軸的距離大 求的軌跡的方程； 過(guò)作一條直線交軌跡于、兩點(diǎn)，過(guò)，做切線交于點(diǎn)，再過(guò)、作的垂線，垂足為,若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)． 21．（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)數(shù)列滿足， (1)證明：函數(shù)在是增函數(shù)； （2）求證： （3）若，求證： 數(shù)學(xué)（理）答案 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A B C C A B A 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 11． 12． 13． 14．③④ 三、選做題：請(qǐng)考生在下列兩題中任選一題作答.若兩題都做，則按做的第一題評(píng)閱計(jì)分.本題共5分. 15．(1)（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 15．(2) (不等式選做題） 5. 本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 16.（本小題滿分12分）在銳角三角形ABC中，、、分別是角A、B、C的對(duì)邊， ，，且∥. （1）求角A的大小； （2）求函數(shù)的值域． 解：解：（1）由∥，得……………………………2分 ∴ …………………………4分 在銳角三角形ABC中， ∴，故 …………………………6分 （2）在銳角三角形ABC中，，故…………………………7分 ∴ …………………………9分 ∵，∴ ∴， ∴函數(shù)的值域?yàn)椤?2分 17. 某集團(tuán)公司舉辦一次募捐愛心演出，有1000 人參加，每人一張門票，每張100元. 在演出過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第一輪抽獎(jiǎng)從這1000張票根中隨機(jī)抽取10張，其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品，并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕，電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)數(shù)，滿足電腦顯示“中獎(jiǎng)”，且抽獎(jiǎng)?wù)攉@得9000元獎(jiǎng)金；否則電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)． （1）已知小明在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中，求小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率； （2）若小白參加了此次活動(dòng)，求小白參加此次活動(dòng)收益的期望； 解：（Ⅰ）從0，1，2，3四個(gè)數(shù)字中有重復(fù)取2個(gè)數(shù)字，其基本事件有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共 16 個(gè)……………3分 設(shè)“小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)”為事件A，且事件A所包含的基本事件有（0，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，3）共5個(gè)， ∴P(A)= ……………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）設(shè)小明參加此次活動(dòng)的收益為ξ，ξ的可能取值為-100，900，9900． P(ξ=-100)=，P(ξ=900)=，P(ξ=9900)= ………9分 ∴ξ的分布列為 ξ -100 900 9900 P ∴ ???…………………………12分 18．（本小題滿分12分） 如圖，四邊形中（圖1），是的中點(diǎn)，，，將（圖1）沿直線折起，使二面角為（如圖2） （1）求證：平面； （2）求二面角A—DC—B的余弦值。 18.解： （1） 如圖取BD中點(diǎn)M，連接AM，ME。∵ ∵， , 所以是BC為斜邊的直角三角形，, ∵是的中點(diǎn),∴ME為的中位線 ， , 是二面角的平面角= …………………………3分 ,且AM、ME是平面AME內(nèi)兩相交于M的直線 平面AEM ∵,為等腰直角三角形， ………………6分 （2）如圖，以M為原點(diǎn)MB為x軸，ME為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則由（1）及已知條件可知B(1,0,0),， ,D,C, …………………8分 設(shè)平面ACD的法向量為 則 …………………………10分 …………………………12分 19． (本小題滿分12分) 已知數(shù)列滿足， ,, 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 解：由題意 ① ② 由②-①得，又 ∴，故數(shù)列從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列…………………………3分 將代入①式， ∴時(shí)， ∴數(shù)列的通項(xiàng) …………………………6分 （2） ∴ ∵假設(shè)存在任意三項(xiàng) ①不防設(shè)當(dāng) …………………………9分 ②假設(shè)存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)中包含時(shí) 不妨設(shè)且 ∴ ………………………12分 20.（本小題滿分13分） 設(shè)不在軸負(fù)半軸的動(dòng)點(diǎn)到的距離比到軸的距離大 求的軌跡的方程； 過(guò)做一條直線交軌跡于，兩點(diǎn)，過(guò)，做切線交于點(diǎn)，再過(guò)，做的垂線，垂足為,若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)． A B C D N O x y ……………………6分 設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（a,b）則 …………………………8分 由（1）知，所以為線段的中點(diǎn)，取線段的中點(diǎn)， ∵是拋物線的焦點(diǎn)，∴，∴， ∴ ， ，， ∴, …………………………11分 即，所以，， ∴， ∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為…………………………13分 21.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)數(shù)列滿足， (1)證明：函數(shù)在是增函數(shù)； （2）求證： （3）若，求證： 證明：（1）∵時(shí)，∴恒成立， ∴函數(shù)在是增函數(shù)；…………………………3分 …………………………5分 ① 當(dāng)n=1時(shí) 命題成立 ② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即 恒成立…………………………8分 根據(jù)①②可知對(duì)于任意命題均成立 ∵ …………………………14分 13