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§3.1　習題課 課時目標　1.進一步理解隨機事件的有關(guān)概念；理解頻率與概率的關(guān)系及概率的意義.2.會解決簡單的有關(guān)概率的實際問題． 1．下面的事件：①擲一枚硬幣，出現(xiàn)反面；②對頂角相等；③3＋5>10，是隨機事件的有(　　) A．② B．③ C．① D．②③ 2．下面的事件： ①袋中有2個紅球，4個白球，從中任取3個球，至少取到1個白球； ②某人買彩票中獎； ③實系數(shù)一次方程必有一實根； ④明天會下雨． 其中是必然事件的有(　　) A．① B．④ C．①③ D．①④ 3．從某班學生中任意找出一人，如果該同學的身高小于160 cm的概率為0.2，該同學的身高在[160,175]之間的概率為0.5，那么該同學的身高超過175 cm的概率為(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 4．若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，則事件A與B的關(guān)系是(　　) A．互斥不對立 B．對立不互斥 C．對立且互斥 D．以上均不對 5．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽驗一只產(chǎn)品是正品(甲級品)的概率為________． 6．某射擊運動員進行雙向飛蝶射擊訓(xùn)練，七次訓(xùn)練的成績記錄如下： 射擊次數(shù)n 100 120 150 100 150 160 150 擊中飛碟數(shù)nA 81 95 123 82 119 127 121 (1)求各次擊中飛碟的頻率； (2)該射擊運動員擊中飛碟的概率約為多少？(保留3位小數(shù)) 一、選擇題 1．下列說法正確的是(　　) A．任何事件的概率總是在(0,1)之間 B．頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān) C．隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率 D．概率是隨機的，在試驗前不能確定 2．下列事件中，隨機事件是(　　) A．向區(qū)間(0,1)內(nèi)投點，點落在(0,1)區(qū)間 B．向區(qū)間(0,1)內(nèi)投點，點落在(1,2)區(qū)間 C．向區(qū)間(0,2)內(nèi)投點，點落在(0,1)區(qū)間 D．向區(qū)間(0,2)內(nèi)投點，點落在(－1,0)區(qū)間 3．給出下列三個命題，其中正確的有(　　) ①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品； ②做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面向上，因此正面出現(xiàn)的概率是； ③隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率． A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 4．如果事件A、B互斥，、分別為A、B的對立事件，則有(　　) A．A＋B是必然事件 B.＋是必然事件 C.與一定互斥 D.與不互斥 5．關(guān)于互斥事件的理解，錯誤的是(　　) A．若A發(fā)生，則B不發(fā)生；若B發(fā)生，則A不發(fā)生 B．若A發(fā)生，則B不發(fā)生，若B發(fā)生，則A不發(fā)生，二者必具其一 C．A發(fā)生，B不發(fā)生；B發(fā)生，A不發(fā)生；A、B都不發(fā)生 D．若A、B又是對立事件，則A、B中有且只有一個發(fā)生 6．考察正方體6個面的中心，從中任意選3個點連成三角形，再把剩下的3個點也連成三角形，則所得的兩個三角形全等的概率等于(　　) A．1 B. C. D．0 題　號 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空題 7．下列說法： ①頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性大?。? ②做n次隨機試驗，事件A發(fā)生m次，則事件A發(fā)生的頻率就是事件的概率； ③頻率是不能脫離n次試驗的試驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數(shù)的理論值； ④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值． 其中正確的是________． 8．某人在一次射擊中，命中9環(huán)的概率為0.28，命中8環(huán)的概率為0.19，不夠8環(huán)的概率為0.29，則這人在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)的概率為________． 9．從一副混合后的撲克牌(52張)中隨機抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得為黑桃”，則概率P(A∪B)的值是________．(結(jié)果用最簡分數(shù)表示) 三、解答題 10．袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，試求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率各是多少？ 11．我國已經(jīng)正式加入WTO，包括汽車在內(nèi)的進口商品將最多五年內(nèi)把關(guān)稅全部降到世貿(mào)組織所要求的水平，其中有21%的進口商品恰好5年關(guān)稅達到要求，18%的進口商品恰好4年達到要求，其余的進口商品將在3年或3年內(nèi)達到要求，求進口汽車在不超過4年的時間內(nèi)關(guān)稅達到要求的概率． 能力提升 12．甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，乙獲勝的概率為，求(1)甲獲勝的概率；(2)甲不輸?shù)母怕剩? 13．下表為某班英語及數(shù)學成績的分布，學生共有50人，成績分1～5五個檔次，例如表中所示英語成績?yōu)?分、數(shù)學成績?yōu)?分的學生為5人，將全班學生的姓名卡片混在一起，任取一張，該張卡片對應(yīng)學生的英語成績?yōu)閤，數(shù)學成績?yōu)閥，設(shè)x，y為隨機變量．(注：沒有重名學生) (1)x＝1的概率為多少？x≥3且y＝3的概率為多少？ (2)a＋b等于多少？ 1．隨機事件在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機中含有規(guī)律性，概率是大次數(shù)地重復(fù)試驗中頻率的穩(wěn)定值． 2．概率可看作頻率理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小，頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可近似地作為這個事件的概率． 3．復(fù)雜事件求概率時常用的兩種轉(zhuǎn)化方法：一是轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的概率；二是轉(zhuǎn)化為求其對立事件發(fā)生的概率． 答案： §3.1　習題課 雙基演練 1．C　2.C 3．B　[該同學身高超過175 cm(事件A)與該同學身高不超過175 cm是對立事件，而不超過175 cm的事件為小于160 cm(事件B)和[160,175](事件C)兩事件的和事件，即 P(A)＝1－P() ＝1－[P(B)＋P(C)] ＝1－(0.2＋0.5) ＝0.3.] 4．C　[∵P(A＋B)＝1，∴A＋B為必然事件． 又∵P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，∴A與B為互斥事件，因此有A∩B為不可能事件．A∪B為必然事件，所以A與B也是對立事件．] 5．92% 解析　記抽驗的產(chǎn)品是甲級品為事件A，是乙級品為事件B，是丙級品為事件C，這三個事件彼此互斥，因而抽驗產(chǎn)品是正品(甲級品)的概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%. 6．解　(1)計算得各次擊中飛碟的頻率依次為0.810，0.792,0.820,0.820,0.793,0.794, 0.807. (2)由于這些頻率非常接近0.810，在它附近擺動，所以運動員擊中飛碟的概率約為0.810. 作業(yè)設(shè)計 1．C　2.C 3．A　[由頻率和概率的定義及頻率與概率的關(guān)系可知①②③都不正確．] 4．B　[A、B互斥，A、B可以不同時發(fā)生，即A∩B＝?，所以A∩B的對立事件＝∪是必然事件，即＋是必然事件．] 5．B　[A、B互斥，A、B可以不同時發(fā)生，A、B也可以同時不發(fā)生，但只要一個發(fā)生，另一個一定不發(fā)生．對立事件是必定有一個發(fā)生的互斥事件，故只有B錯．] 6．A　[由正方體的對稱性知其六個面的中心構(gòu)成同底的兩個四棱錐，且四棱錐的各個側(cè)面是全等的三角形，底面四個頂點構(gòu)成一個正方形，從這6個點中任選3個點構(gòu)成的三角形可分為以下兩類：第一類是選中相對面中心兩點及被這兩個平面所夾的四個面中的任意一個面的中心，構(gòu)成的是等腰直角三角形，此時剩下的三個點也連成一個與其全等的三角形．第二類是所選三個點均為多面體的側(cè)面三角形的三個點(即所選3個點所在的平面彼此相鄰)此時構(gòu)成的是正三角形，同時剩下的三個點也構(gòu)成與其全等的三角形，故所求概率為1.] 7．①③④ 8．0.52 解析　P＝1－P(x≤8)＝1－P(x<8)－P(x＝8) ＝1－0.29－0.19＝0.52. 9. 解析　一副撲克中有1張紅桃K,13張黑桃，事件A與事件B為互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 10．解　設(shè)事件A、B、C、D分別表示“任取一球，得到紅球”，“任取一球，得到黑球”，“任取一球，得到黃球”，“任取一球，得到綠球”， 則由已知得P(A)＝， P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝， P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝， P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝P(B)＋P(C)＋P(D) ＝1－＝. 解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝. 故得到黑球，得到黃球，得到綠球的概率分別為，，. 11．解　方法一　設(shè)“進口汽車恰好4年關(guān)稅達到要求”為事件A，“不到4年達到要求”為事件B，則“進口汽車不超過4年的時間內(nèi)關(guān)稅達到要求”就是事件A＋B，顯然A與B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79. 方法二　設(shè)“進口汽車在不超過4年的時間內(nèi)關(guān)稅達到要求”為事件M，則N為“進口汽車5年關(guān)稅達到要求”，所以P(M)＝1－P(N)＝1－0.21＝0.79. 12．解　(1)“甲獲勝”是“和棋或乙勝”的對立事件，所以“甲獲勝”的概率為P＝1－－＝. (2)方法一　設(shè)事件A為“甲不輸”，看作是“甲勝”“和棋”這兩個互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝. 方法二　設(shè)事件A為“甲不輸”，看作是“乙勝”的對立事件．所以P(A)＝1－＝. 所以甲不輸?shù)母怕适? 13．解　(1)P(x＝1)＝＝， P(x≥3，y＝3)＝＝. (2)P(x＝2)＝1－P(x＝1)－P(x≥3) ＝1－－ ＝＝， ∴a＋b＝3.